Il modello matematico risulta come in figura 2.5. Determinato il verso della velocità viene determinata la direzione della forza di attrito T e si possono quindi scrivere gli equilibri sulla chiocciola e sulla vite:
C rv = S sin(α + ϕ) (2.1.4) Fm = S cos(α + ϕ) (2.1.5) ( C rv = S sin (α + ϕ) Fm = S cos (α + ϕ) =⇒ Fm= C rvtan (α + ϕ) (2.1.6)
determinando così la forza ottenuta con l’applicazione di una certa coppia.
2.2
Modello del sistema non ricorsivo
In prima analisi si considera il sistema trascurando l’attrito dovuto alle guide li- neari. Questa semplificazione verrà superata nel modello completo, proposto in sezione 2.3, in cui si terranno in considerazione sia il coefficiente di attrito delle guide lineari che il precarico. Per quanto riguarda la forza di inerzia, una vol- ta dimensionati i componenti della slitta traslante (e di conseguenza le masse ad essi associate) e definita la relativa legge di moto (vedi sezione 3.1), essa risulta univocamente determinata in ciascun istante: tali forze saranno opportunamente ripartite tra sottomodello A e B per quanto concerne la massa dei corpi traslanti (FinA, FinB) e l’inerzia della vite Jv.
In questo modo le forze esterne agenti sul sistema sono quelle esercitate dalle molle sulle madreviti (Fm) e le forze di inerzia. A causa di tali forze le madreviti, la
cui rotazione è impedita dalle ali, tendono a far ruotare in versi opposti la vite nel tratto fra esse compreso. La vite è quindi soggetta localmente ad un momento tor- cente. Tale momento, nello schema a cunei equivalenti, viene rappresentato come una forza resistente che si oppone alla traslazione del cuneo-vite, come mostrato in figura 2.6. Il modulo di tale forza equivarrà al momento resistente diviso per il raggio della vite stessa (Cv/rv). In tale schema la chiocciola A è quella prossima al motore, mentre l’altra è contrassegnata dalla lettera B.
La chiocciola A, modellata come un cuneo, oltre alla forza resistente della vite vede anche la presenza di un’ulteriore forza orizzontale relativa alla coppia motrice (Cm/rv). Le incognite del sistema così schematizzato sono due:
• la coppia resistente della vite Cv;
• la coppia richiesta al motore Cm.
Il sottosistema viene indagato al suo interno utilizzando la semplificazione in- trodotta con il contatto tra cunei di figura 2.3: tra i due cunei infatti si genera una forza di contatto S. In assenza di attrito tra vite e chiocciola la forza di contatto risulterebbe normale alla superficie di contatto (angolo α). L’introduzione di at- trito (angolo ϕ) genera una componente di attrito T che devia S dalla normale al
CAPITOLO 2. MODELLO DEL BANCO
Figura 2.6: Sottosistemi vite-madrevite A e B: modello cunei equivalenti.
piano. La componente di attrito T è sempre opposta al moto tra le due superfici di contatto; la componente normale alla superficie N ha verso opposto nei due sistemi A e B in quanto la forza esercitata dalla molla sulle due chiocciole (Fm) ha verso
opposto nelle due situazioni.
Poiché la chiocciola più vicina al motore (A) presenta in contemporanea le due incognite Cv e Cm, mentre l’altra (B) solo il momento resistente Cv, si procede
risolvendo il sottosistema B; solo successivamente, ottenuto il valore dell’incognita comune ai due sistemi, si risolve il sottosistema A ottenendo così la coppia motrice richiesta Cm.
2.2.1 Risoluzione del sottosistema B
Risolvendo il sottosistema B otterremo l’incognita Cv in funzione della forza eser-
citata dalla molla sulle due chiocciole (Fm). La forza orizzontale (Cv/rv), data dal rapporto tra la coppia resistente della vite e il raggio, deve equilibrare la compo-
2.2. MODELLO DEL SISTEMA NON RICORSIVO
Figura 2.7: Sottosistema vite-madrevite B: modello cunei equivelenti.
nente orizzontale della forza di contatto S che si origina tra le superfici. La forza Fm dovrà invece equilibrare la componente verticale della forza di contatto S.
Esprimendo tali considerazioni in termini di equazioni di equilibrio, si ottiene che: Cv rv = −S sin(α − ϕB) + Jvω˙v 2 · rv (2.2.1) Fm= S cos(α − ϕB) + FinB (2.2.2)
Scomponendo la forza di contatto S nelle due componenti N e T si ottiene dalla equazione 2.2.1 Cv rv = Jvω˙v rv − [N sin(α) − T cos(α)] (2.2.3) e dalla equazione 2.2.2
Fm− FinB = N cos(α) + T sin(α) (2.2.4)
La componente d’attrito T è funzione della forza perpendicolare al piano N e del coefficiente di attrito fvite, che a sua volta è funzione dell’angolo di attrito ϕ
come da relazione:
T = N · fvite = N tan(ϕ) (2.2.5)
Andando a sostituire l’equazione 2.2.5 nelle equazioni 2.2.3 e 2.2.4 e mettendole a sistema si ottiene:
Cv
rv = − [N sin(α) − N tan(ϕ) cos(α)] +
Jvω˙v
2·rv = = −N [sin(α) − tan(ϕ) cos(α)] + Jvω˙v
2·rv
Fm− FinB = N cos(α) + N tan(ϕ) sin(α) = N [cos(α) + tan(ϕ) sin(α)]
CAPITOLO 2. MODELLO DEL BANCO
Figura 2.8: Sottosistema vite-madrevite B.
Ottenendo N dalla seconda equazione del sistema 2.2.6 e andando a sostituirlo nella prima equazione otterremo l’incognita Cv in funzione della forza esercitata
dalla molla sulle due chiocciole (Fm):
N = Fm− FinB
cos(α) + tan(ϕ) sin(α) (2.2.7)
Cv = Jv2ω˙v − (Fm− FinB) rvcos(α)[1+tan(α) tan(ϕ)]cos(α)[tan(α)−tan(ϕ)] =
= Jvω˙v
2 − (Fm− FinB) rvtan(α − ϕ)
(2.2.8) Come si evince dal modello in figura 2.8, le alette, o meglio, la singola aletta vista dal modello dovrà reggere una reazione vincolare Nb pari al rapporto tra la
coppia appena ottenuta e la distanza l dell’asse delle guide dal centro della vite: Nb =
Cv−Jvω˙v/2
l = −
(Fm− FinB) rvtan(α − ϕ)
l (2.2.9)
2.2.2 Risoluzione del sottosistema A
Nota Cv in funzione della forza delle molle Fm, è possibile passare al sottosistema
A per ottenere la rimanente incognita Cm, come mostrato in figura 2.9.
Le equazioni di equilibrio saranno le stesse del sottosistema B con la presenza della forzaCm/rv. Cm rv = Cv rv + Jvω˙v 2 · rv + S sin(α + ϕB) (2.2.10) Fm+ FinA= S cos(α + ϕB) (2.2.11)
2.2. MODELLO DEL SISTEMA NON RICORSIVO
Figura 2.9: Sottosistema vite-madrevite A: modello cunei equivalenti.
Scomponendo la forza di contatto S nelle due componenti N e T si ottiene dalla equazione 2.2.10 Cm rv = Cv rv +Jvω˙v 2 · rv + N sin(α) + T cos(α) (2.2.12) e dalla equazione 2.2.11
Fm+ FinA= N cos(α) − T sin(α) (2.2.13)
Andando a sostituire l’equazione 2.2.5 nelle equazioni 2.2.12 e 2.2.13 e metten- dole a sistema si ottiene:
Cm rv = Cv rv + Jvω˙v
2·rv + N sin(α) + N tan(ϕ) cos(α) = = Cv
rv +
Jvω˙v
2·rv + N [sin(α) + tan(ϕ) cos(α)]
Fm+ FinA = N cos(α) − N tan(ϕ) sin(α) = N [cos(α) − tan(ϕ) sin(α)]
(2.2.14) Sostituendo l’equazione 2.2.8 nella prima equazione del sistema 2.2.14 e otte- nendo N dalla seconda equazione del sistema 2.2.14 e andando a sostituirlo nella prima equazione, otterremo l’incognita Cm in funzione della forza esercitata dalla
molla sulle due chiocciole (Fm):
N = Fm+ FinA
cos(α) − tan(ϕ) sin(α) (2.2.15)
Cm = Jv2ω˙v − (Fm− FinB) rvtan(α − ϕ) +Jv2ω˙v+
+ (Fm+ FinA) rvcos(α)[1−tan(α) tan(ϕ)]cos(α)[tan(α)+tan(ϕ)] =
= Jvω˙v− (Fm− FinB) rvtan (α − ϕ) + (Fm+ FinA) rvtan (α + ϕ)
CAPITOLO 2. MODELLO DEL BANCO
Figura 2.10: Sottosistema vite-madrevite A.
Come si evince dal modello in figura 2.10, le alette, o meglio, la singola aletta vista dal modello dovrà reggere una reazione vincolare Na pari al rapporto tra la
coppia risultante sulla chiocciola e la distanza l dell’asse delle guide dal centro della vite. Na= Cm− Cv−Jvω˙v/2 l = (Fm+ FinA)rvtan(α + ϕ) l (2.2.17)
Si può apprezzare che le due reazioni vincolari Nae Nb, ottenute rispettivamente
con le equazioni 2.2.17 e 2.2.9, oltre ad avere modulo leggermente diverso, hanno segno opposto, in accordo con quanto citato nella sezione 2.2 dove si affermava che le madreviti, la cui rotazione è impedita dalle ali, tendono a far ruotare in versi opposti la vite nel tratto fra esse compreso, che è quindi soggetta localmente ad un momento torcente.