Dimensionamento e scelta motore Momento statico

𝑀𝑠= 𝐹 ∙ 𝑏 Calcolo della forza e del momento statico agente sul disco

Per il calcolo della forza, le polveri vengono approssimate ad un liquido (tuttavia si considera che l’aria riesca a fluire attraverso le polveri dunque, nelle formule, si tralascerà l’attrito dovuto alla pressione all’interno del feeder) e si ipotizza che il disco sia completamente sommerso dalle polveri. Come è possibile notare nello schema sottostante il momento generato per sollevare le polveri si annulla mentre le forze d’attrito generate dalla pressione idrostatica sulle superfici del disco, dovranno essere vinte dal motore per poter mettere il disco in rotazione.

Figura 29: Schema delle forze agenti sul disco

Un altro fattore da valutare è quale materiale utilizzare per il calcolo delle forze d’attrito e, per farlo possiamo prendere in considerazione la forza d’attrito generata dai due materiali a parità di

volume: alluminio: 𝜌𝑎𝑙∙ 𝑔 ∙ 𝜇𝑎𝑙 = 2700 ∙ 9.81 ∙ 1.4 = 37′081.8 [𝑁] Acciaio: 𝜌𝑎𝑐𝑐∙ 𝑔 ∙ 𝜇𝑎𝑐𝑐= 7500 ∙ 9.81 ∙ 0.8 = 58′860 [𝑁] Con:  Densità dell’acciaio 𝜌_𝑎𝑙= 2700 [𝑘𝑔/𝑚^3]  Densita dell’acciaio 𝜌𝑎𝑐𝑐 = 7000 [𝑘𝑔/𝑚^3]  Coefficiente d’attrito dell’aluminio:𝜇_𝑎𝑙= 1.4  Coefficiente d’attrito dell’acciaio: 𝜇_𝑎𝑐𝑐 = 0.8  Accelerazione di gravità:𝑔 = 9.81 [𝑚/𝑠]

Siccome l’acciaio genera una forza di attrito maggiore il calcolo verrà effettuato unicamente per questo materiale.

È dunque possibile calcolare la forza agente sul disco sfruttando la seguente formula: 𝐹𝑝= (𝑝0+ 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ) ∙ 𝐴𝑠𝑢𝑝 = 18.36[𝑁]

(𝑝0 viene considerato pari a 0 in quanto la pressione riesce a comprimere le particelle di polvere in qualsiasi direzione).

(siccome la densità di un acciaio generico può variare da 7500 𝑎 8000 [𝑘𝑔

𝑚3] si utilizza una densità

di 8000 [𝑘𝑔

𝑚3] per considerare la condizione di lavoro peggiore)

Dove:

 Densità acciaio: 𝜌 = 8000 [𝑘𝑔 𝑚3]

 Accelerazione gravitazionale 𝑔 = 9.81 [𝑚 𝑠2]

 Profondità del disco sotto il livello delle polveri:ℎ =0.0705 [m]  Area della superficie del disco:𝐴_𝑠𝑢𝑝 =𝑏₄2∙ 𝜋 = 0.0034 [𝑚2]  Diametro del disco: 𝑏 = 0.065[𝑚]

 Forza dovuta alla pressione: 𝐹_𝑝

 Coefficiente d’attrito dell’acciaio: 𝜇 = 0.8

 Pressione all’interno del feeder (si considera quella massima): 𝑝0 = [𝑃𝑎]  Distanza tra il pelo libero della polvere al disco: 𝑠 = 0.0066 [𝑚]

 Spessore disco: 0.0015 [m]

Questa forza però agisce su entrambe le pareti del disco quindi, la forza d’attrito totale risulta essere:

𝐹 = 2 ∙ 𝐹𝑝∙ 𝜇 = 29.38 [𝑁]

Ora occorre trovare il braccio, ovvero il centro di pressione (il punto in cui applicare la forza trovata) con la seguente formula:

𝑦𝑝= 𝑠 + 𝑏 2+ 𝑏2 12 ∙ (𝑠 +𝑏 2+ 𝑝0/(𝑔 ∙ 𝜌)) = 0.048105[𝑚]

La distanza trovata è quella dal pelo libero delle polveri al punto d’applicazione della forza d’attrito, mentre quella dal baricentro al punto d’applicazione è la seguente:

𝑥 = 𝑦𝑝− 𝑠 − 𝑏

2= 0.009005[𝑚] Momento statico del disco:

𝑀𝑠𝑑 = 𝐹 ∙ 𝑥 = 0.266[𝑁𝑚] Con:

 Distanza tra asse di rotazione e punto d’applicazione della forza:𝑥  Momento statico del disco: 𝑀_𝑠𝑑

Attrito sulla superficie laterale:

Dato che la forza di spinta delle polveri lungo la superfice laterale del disco varia in base all’altezza delle polveri, per tenere conto dell’attrito laterale si considera la medesima formula utilizzata

precedentemente ma con la nuova area laterale 𝐴𝑠= 2𝜋 ∙

𝑏

2∙ 𝑠𝑝𝑒𝑠𝑠𝑜𝑟𝑒 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜 = 0.000306 [𝑚 2_] 𝐹𝑝= (𝑝0+ 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ) ∙ 𝐴𝑠= 1.7[𝑁] Come braccio si utilizza il raggio del disco

𝑀𝑑 1= 𝐹𝑝∙ 𝑏

2∙ 𝜇 + 𝑀𝑠𝑑 = 0.3102 [𝑁𝑚] Con:

 Momento totale del disco (senza sporgenze) :𝑀𝑑 1

Il momento statico dovuto alle sporgenze del disco è il seguente: 𝐴𝑠= 0.001131 [𝑚2] (dal CAD)

𝑟 = 0.0075 [𝑚] ℎ = 0.0455 [𝑚]

𝑀𝑠𝑠𝑑 = (𝑝0+ 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ) ∙ 𝐴𝑠∙ 𝑟 ∙ 𝜇 = 0.024 [𝑁𝑚] Con:

 Raggio delle sporgenze: 𝑟

 Profondità delle sporgenze sotto il livello delle polveri: ℎ  Momento statico delle sporgenze del disco: 𝑀𝑠𝑠𝑑

Figura 31: Sporgenze del disco

Momento statico totale dovuto alla ruota e alle sporgenze:

𝑀𝑠𝑟 𝑡𝑜𝑡 = 𝑀𝑠𝑠𝑑 + 𝑀𝑑 𝑡𝑜𝑡= 0.3342 [𝑁𝑚]

Calcolo delle forze e del momento statico agenti sugli agitatori

L’agitatore oltre ad avere lo scopo di livellare le polveri, serve anche a convogliare la polvere verso il disco grazie all’inclinazione dei denti. Le polveri scorrono dunque lungo le scanalature

Figura 32: schema delle forze agenti sull'agitatore

Per quanto riguarda le facce frontali del miscelatore, la situazione rimane analoga a quanto

descritto in precedenza per il calcolo del momento statico del disco, mentre per quanto riguarda la polvere che scorre nelle scanalature inclinate, visto il medesimo senso di scorrimento delle polveri, esisterà una componente della forza di attrito in grado di generare un momento statico. La forza di attrito è dovuta al peso delle polveri presenti nella scanalatura. Il volume di tali polveri viene ricavato tramite CAD e viene approssimato come mostrato nella figura seguente:

Estrudendo la sezione e misurandone il volume è ora possibile ricavare la forza d’attrito delle polveri in questione in una scanalatura.

𝑉𝑃𝑆 = 3.231 ∙ 10−7 [𝑚3] 𝐹𝐴𝑆= 𝑉𝑃𝑆∙ 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝜇 = 0.02 [𝑁]

La componente della forza d’attrito, in grado di generare momento statico, risulta dunque la seguente:

𝐹_{𝐴𝑆𝑒𝑓𝑓𝑒𝑡𝑡𝑖𝑣𝑎}= 𝐹𝐴𝑆 ∙ sin(𝛼) = 0.002 [𝑁]

Per calcolare il momento generato dalla forza si utilizza il raggio della circonferenza media: 𝑀𝑠𝑎𝑝 = 𝐹_{𝐴𝑆𝑒𝑓𝑓𝑒𝑡𝑡𝑖𝑣𝑎}∙ 𝑅𝑚= 0.000023 [𝑁𝑚]

I calcoli precedenti valgono per una scanalatura, dato che sul disco si hanno 8 scanalature il momento statico generato dall’agitatore posteriore è il seguente:

𝑀𝑠𝑎𝑝𝑡𝑜𝑡 = 𝑀𝑠𝑎𝑝∙ 8 = 0.000184 [𝑁𝑚]

Ora considerando che sull’ albero vengono montati due agitatori che spingono entrambi le polveri verso il disco l’agitatore frontale spinge le polveri nel verso opposto a quello posteriore. Se i due agitatori fossero identici i momenti si annullerebbero a vicenda ma dato che l’agitatore frontale risulta essere di lunghezza inferiore rispetto a quello posteriore possiamo calcolare il momento statico risultante nel seguente modo:

𝑀𝑠𝑎_𝑡𝑜𝑡 = −𝑀𝑠𝑎𝑝_𝑡𝑜𝑡+𝑀𝑠𝑎𝑝𝑡𝑜𝑡 𝐿𝐴𝑃

∙ 𝐿𝐴𝑓 = 0.000015 [𝑁𝑚]

(siccome l’agitatore posteriore differisce da quello superiore solamente per quanto riguarda la lunghezza per calcolare il momento statico basta dividere quello del disco anteriore per la sua lunghezza e moltiplicarla per la lunghezza di quello posteriore)

Dove:

 Volume delle polveri spinte dal disco:𝑉𝑃𝑆

 Forza d’attrito generata dalle polveri spinte dal disco:𝐹_𝐴𝑆  Raggio medio del miscelatore:𝑅_𝑚 = 0.0115 [𝑚]

 Angolo di inclinazione dei denti del miscelatore: 𝛼 = 5°  Lunghezza dell’agitatore posteriore:𝐿𝐴𝑃 = 0.024 [𝑚]  Lunghezza dell’agitatore frontale:𝐿𝐴𝑓 = 0.026 [𝑚]

Per calcolare l’attrito dovuto alla pressione sulla superficie laterale si approssima l’elica ad un cerchio e si utilizza il diametro medio come diametro di referenza. (per avere un margine di sicurezza si utilizza l’agitatore più grande e viene moltiplicato per due per tenere conto anche di quello più piccolo)

𝐴𝑠 = 0.00188 [𝑚2] (misurata tramite CAD) 𝑟 = 0.0115 [𝑚]

ℎ = 0.05037 [𝑚]

Per il calcolo della forza agente sulle facce anteriori si procede analogamente a quanto fatto per il disco considerando il diametro medio dell’agitatore:

𝐴𝑠= 0.0003678 [𝑚^2] ℎ = 0.05037 [𝑚] 𝑏 = 0.023 [𝑚] 𝑠 = 0.02558 [𝑚] 𝐹𝑝= (𝑝0+ 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ) ∙ 𝐴𝑠 = 1.45 [𝑁] 𝐹 = 4 ∙ 𝐹𝑝∙ 𝜇 = 4.65 [𝑁] (la forza viene moltiplicata per 4 perché ci sono 4 facce anteriori)

𝑦𝑝= 𝑠 + 𝑏 2+ 𝑏2 12 ∙ (𝑠 +𝑏₂+ 𝑝0/(𝑔 ∙ 𝜌)) = 0.038 [𝑚] 𝑥 = 𝑦𝑝− 𝑠 − 𝑏 2= 0.00121 [𝑚] 𝑀𝑓𝑎= 𝐹 ∙ 𝑥 = 0.005627 [𝑁𝑚]

Momento statico totale .

𝑀𝑠𝑡𝑜𝑡 = 𝑀𝑠𝑟 𝑡𝑜𝑡+ 𝑀𝑓𝑎+ 𝑀𝑠𝑑 + 𝑀𝑠𝑎𝑡𝑜𝑡 = 0.408 [𝑁𝑚]

Momento dinamico

𝑀𝑑= 𝐼𝑡𝑜𝑡∙ 𝛼̈

Momenti di inerzia (WCS) ricavati tramite CAD considerando gli elementi pieni 𝐼𝑎𝑙𝑏𝑒𝑟𝑜= 0.00043 [𝑘𝑔𝑚^2] 𝐼𝑎𝑔𝑖𝑡𝑎𝑡𝑜𝑟𝑒 𝑓𝑟𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙𝑒= 5.42 ∙ 10−6 [kgm^2] 𝐼𝑎𝑔𝑖𝑡𝑎𝑡𝑜𝑟𝑒 𝑝𝑜𝑠𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑒 = 6.5 ∙ 10−6 [kgm^2] 𝐼𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜= 1.24 ∙ 10−5 [𝑘𝑔𝑚^2] 𝐼𝑟𝑜𝑡𝑜𝑟𝑒 (𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑠𝑖)= 0.1 𝐼𝑟𝑖𝑑𝑢𝑡𝑡𝑜𝑟𝑒 (𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑠𝑖)= 0.1 𝐼𝑡𝑜𝑡= 0.200454 [𝑘𝑔𝑚^2]

Si ipotizza un tempo per arrivare a velocità di crociera (60 RPM , anche se la velocità di regime effettiva sarà sicuramente più bassa) di 1 secondo quindi l’accelerazione angolare risulta essere: Velocità tangenziale massima:

𝜔 =𝑛 ∙ 2 ∙ 𝜋

𝛼̈ =2 ∙ 𝜋

1 = 6.28[𝑟𝑎𝑑/𝑠^2] 𝑀𝑑= 𝐼𝑡𝑜𝑡∙ 𝛼̈ = 1.26 [𝑁𝑚] Momento totale:

𝑀𝑡𝑜𝑡= 𝑀𝑑+ 𝑀𝑠= 1.67 [𝑁𝑚]

Per sicurezza si applica un coefficiente di sicurezza pari a 2 sul momento totale richiesto: 𝑀𝑡𝑜𝑡= 3.34 [𝑁𝑚]

Scelta del riduttore:

Si sceglie un riduttore planetario in quanto non si necessita di grande precisione nel

posizionamento e questo tipo di riduttori in combinazione con un motore DC è particolarmente adatto nelle applicazioni dove si richiede un’alta coppia.

Da catalogo Faulhaber si sceglie il riduttore 26/1R 134:1 dato che consente di ottenere 3.5 Nm di coppia continua

Potenza

𝑃 = 𝑀 ∙ 𝜔 = 21 [𝑊]

Scelta del motore

Per quanto riguarda la tipologia del motore da implementare, conviene selezionare un BLDC dato che questi funzionano naturalmente in ampi campi di condizioni operative e sono in grado di erogare piena coppia anche a velocità nulla, il che risulta essere un fattore necessario soprattutto in “fase di avvio” del feeder ovvero quando il motore dev’essere in grado di vincere l’inerzia dell’albero e dei componenti su esso montati, insieme all’attrito generato dalle polveri.

Considerando le condizioni di lavoro del motore, nelle quali si ha a che fare con polveri altamente volatili ed infiammabili è opportuno utilizzare un motore che non produca scintille per una

questione di sicurezza (anche se le polveri non dovrebbero entrare in contatto con il motore). Oltre a questi fattori va menzionato il fatto che l’ingombro dei motori BLDC risulta essere limitato rispetto a potenza e coppia. Questo fattore favorisce lo sviluppo di una soluzione compatta in termini di ingombro.

Infine questa tipologia di motori è in grado di adeguare rapidamente il proprio stato alle variazioni imposte dalla legge di controllo, possiede una lunga durata di vita e richiede poca manutenzione.

Da catalogo si sceglie: 2264W024BP4 (consigliato per il riduttore 26/1R 134:1)

Dal sito è possibile ottenere il grafico dell’area operativa e delle curve caratteristiche della coppia motore-riduttore selezionata:

Figura 34: Area operativa del motore selezionato

Dal grafico dell’area operativa possiamo notare che il sistema selezionato può funzionare correttamente senza la necessità di un sistema di raffreddamento.

Figura 35: Curve caratteristiche del motore accoppiato con il moto riduttore

Nel grafico delle curve caratteristiche invece è possibile valutare l’efficienza del motore a regime (61.2%). Nel nostro caso la coppia motore/riduttore selezionata non è quella che garantisce il rendimento migliore in assoluto per questa applicazione, ma è quella che offre il miglior compromesso dimensioni/rendimento.

Verifica della selezione limitando il numero di giri del motore a quello massimo che è in grado di sopportare il riduttore.:

𝑛max _𝑟𝑖𝑑 𝑖 = 9000 134 = 67.16 > 𝑛 = 60 [min −1_] 𝑀𝑚𝑜𝑡_𝑐𝑜𝑛𝑡∙ 𝑖 ∙ 𝜂 = 0.059 ∙ 134 ∙ 0.69 = 4.83 [𝑁𝑚] > 𝑀𝑟𝑖𝑐𝑖ℎ𝑒𝑠𝑡𝑜 = 3.34[𝑁𝑚]

I dati utilizzati nei calcoli sono stati ricavati dalle schede tecniche del motore e del riduttore in allegato.

Scelta del controllore

Per quanto riguarda il motion controller se ne cerca uno per motori BLDC in grado di fornire almeno 3.32 Ampere e 10.34 V. Il modello più idoneo al montaggio in un quadro elettrico è il modello MCBL … S in quanto non richiede saldature ne per il fissaggio ne per il suo collegamento. Si sceglie dunque il modello MCBL 3006 S.

Scelta dell’encoder

Con il motore selezionato da catalogo consigliano due serie di encoder:  IE3-1024 (L)

 IER3-10000 (L)

Siccome in questo progetto non si lavora in presenza di disturbi elettromagnetici significativi e il modello IER3-1000 risulta essere particolarmente adatto per il posizionamento di precisione, (caratteristica non necessaria per l’applicazione in questione), si opta per la serie IER3-1024 (L) Ora considerando che:

 per questo tipo di applicazione non si necessita di un posizionamento di precisione  non si hanno disturbi elettromagnetici rilevanti

 si lavora con polveri che potrebbero compromettere sensori fotosensibili

 il controllore selezionato, deve essere in grado di fornire l’alimentazione richiesta dall’encoder

 il controllore deve supportare il range di frequenze al quale può operare l’encoder.¨ Si sceglie l’encoder IER3-128L in quanto rispetta tutte le caratteristiche considerate.

7.16 Dimensionamento dei cuscinetti