Portata massica in uscita

L’organo di dosaggio è costituito da una ruota forata. La dimensione del foro cosi come la velocità di rotazione, la loro disposizione ed il tempo necessario allo svuotamento del foro influiscono sulla portata massica della polvere e sull’oscillazione di quest’ultima.

Per il calcolo della portata massica consideriamo ora un singolo foro di raggio r, posizionato su un piano cartesiano. L’equazione che descrive tale situazione risulta essere la seguente:

𝑦 = √𝑟2_{− (𝑥 − 𝑥}

𝑐)2− 𝑦𝑐 Dove 𝑥𝑐 𝑒 𝑦𝑐 sono le coordinate del centro del cerchio.

Ora conoscendo la velocità di rotazione del disco forato, è possibile convertire la velocità angolare in una velocità lineare con la seguente formula:

𝑣 = 𝑤 ∙ 𝑟 Dove:

 Velocità lineare 𝑣 [𝑚/𝑠]

 Velocità angolare della ruota: 𝑤 [𝑟𝑎𝑑/𝑠]  Raggio del foro:𝑟 [𝑚]

Sapendo che la posizione della ruota in funzione del tempo è pari a: 𝑥 = 𝑣 ∙ 𝑡

E sostituendo questo valore nella formula della circonferenza in un piano cartesiano possiamo ora ottenere la y corrispondente alla posizione del cerchio in funzione del tempo e della velocità della ruota:

𝑦 = √𝑟2_{− (𝑣 ∙ 𝑡 − 𝑥}

𝑐)2− 𝑦𝑐

Considerando che il foro di eiezione delle polveri inglobi completamente i fori di dosaggio presenti sulla ruota, è possibile discretizzare il tempo in intervalli molto piccoli in modo da ottenere la portata massica durante il percorso del foro di dosaggio. Più precisamente questo procedimento consente di approssimare l’area del cerchio con le aree di tanti piccoli rettangoli di altezza pari a 2 ∙ 𝑦 e larghezza pari a 𝑣 ∙ (𝑡(𝑛)− 𝑡(𝑛−1)) come illustrato nella figura seguente:

Figura 12: Schema di discretizzazione dell'area di un foro durante il suo svuotamento Moltiplicando ogni area per lo spessore del disco, per la densità delle polveri e dividendo il tutto per il tempo di svuotamento del foro calcolato precedentemente, è possibile ottenere la portata massica delle polveri in ogni istante di tempo:

𝑚̇ = (𝜌 ∙ 𝑠 ∙ 𝐴)/𝑡𝑠𝑐 [𝑘𝑔/𝑠] Dove:

 Portata massica: 𝑚̇ [𝑘𝑔/𝑠]  Densita delle polveri: 𝜌 [𝑘𝑔/𝑚3_]  Velocità di svuotamento del foro: 𝑣_𝑠𝑐

 Area in esame: 𝐴 = 𝑣 ∙ (𝑡(𝑛)− 𝑡(𝑛−1)) ∙ 2 ∙ 𝑦 [𝑚2]  Spessore del disco: 𝑠 [𝑚𝑚]

Per considerare più fori separati da una distanza k, come nella figura sottostante, il procedimento è analogo a quanto spiegato in precedenza. L’unica differenza è che occorre ripetere il calcolo anche per il secondo foro e poi sommare le due portate per ottenere quella totale. Per calcolare i fori distribuiti su una seconda circonferenza di diametro inferiore a quella considerata fin ora, basta nuovamente ripetere il calcolo considerando ogni volta l’equazione del foro desiderato.

La distanza k che separa i fori situati sulla stessa circonferenza, è pari all’arco di cerchio che collega i centri dei due fori, ovvero:

𝑘 = 𝜋

Figura 13: Schema disposizione dei fori

Il posizionamento dei fori ideali, sarebbe quello con 2 circonferenze di fori. la prima circonferenza con i centri dei fori posizionati con una distanza pari al raggio, mentre il centro dei fori della seconda circonferenza, dovrebbe trovarsi esattamente in mezzo ai centri dei fori disposti sulla prima circonferenza.

Nella realtà questo risulta essere impossibile (utilizzando 2 file di fori), tra i fori dev’essere presente una certa distanza, più questa distanza è piccola e più piccola sarà l’oscillazione della portata massica delle polveri nel tempo.

Sostanzialmente la prima circonferenza di fori fornisce il valore della portata massica mentre la seconda circonferenza, con i fori sfasati rispetto alla prima, serve per “mantenere costante” la portata.

Tenendo presente che l’oscillazione massima della portata consentita è del 10% rispetto alla portata media, possiamo calcolare la distanza ideale k tra i due fori.

Considerando l’aspirazione delle polveri dai fori come istantanea possiamo dedurre che il valore stabile cercato della portata massica è direttamente dipendente dal diametro del foro. Ora per mantenerla costante occorre che il foro presente sulla seconda circonferenza cominci a svuotarsi non appena quello sulla prima risulta essere mezzo vuoto e che quello sulla seconda abbia finito di svuotarsi non appena il secondo foro sulla prima circonferenza sia stato svuotato a metà e così via. Quindi se ad esempio scegliessimo:

𝑑𝑓 = 1 [𝑚𝑚]

Volendo avere una variazione di portata massica al massimo pari al 10%, la distanza k tra 2 fori posizionati sulla stessa circonferenza dovrebbe essere pari a:

𝑘 = 𝑑𝑓 + 𝑑𝑓∙ 0.1 = 1.1[𝑚𝑚] (con centro del primo cerchio in (x=r ; y=0))

(Considerando che la precisione di una macchina utensile è in media sui 50 [µm]) 𝑘 = 𝑑𝑓+ 𝑑𝑓∙ 0.1 − 0.05 = 1.05 [𝑚𝑚]

Il centro del foro sulla seconda circonferenza deve trovarsi esattamente in mezzo alla distanza che separa i centri dei due cerchi in modo da compensare la portata. La sua distanza dall’origine sarà dunque di: 𝑘2= 𝑑𝑓 2 + 𝑘 2= 1.025 [𝑚𝑚]

Tenendo presente le tolleranze macchina, realizzare questo tipo di posizionamento non è

possibile. Per risolvere il problema del posizionamento conviene utilizzare 3 o più file di fori. Così facendo si elimina il problema delle tolleranze dato che il foro sulla fila inferiore dovrà distare del raggio dal centro del foro sulla fila superiore, allargando così la distanza tra due fori posizionati sulla stessa circonferenza da un decimo del diametro a l’intero raggio del foro. (non con qualsiasi diametro dei fori)

Implementando le formule spiegate in precedenza in matlab è ora possibile plottare la portata massica delle polveri in funzione del tempo. (utilizzando 3 file di fori da 1 mm)

Questo grafico mostra i singoli contributi alla portata massica totale nel tempo. In blu sono raffigurati i picchi corrispondenti a 3 fori situati sulla stessa circonferenza mentre i picchi colorati, presenti tra i picchi blu, sono quelli dovuti ai fori presenti sulle circonferenze inferiori.

Sommando i singoli contributi possiamo ottenere il grafico della portata massica totale nel tempo:

Figura 15: grafico della portata massica totale nel tempo

Considerando che per il calcolo si sono utilizzati solo 3 file di fori, la portata media effettiva sarebbe quella la cui sommatoria comprende i 3 fori della fila centrale. Facendo un calcolo

grossolano e approssimativo, prendendo il valore minimo e quello massimo per calcolare il valore medio si ottiene circa 0.5095 come valore medio. Il picco massimo, consentito sarebbe dunque di 0.56 mentre quello minimo di 0.46. Ed anche con gli accorgimenti presi, non si riesce a stare nel margine di tolleranza richiesto.

(è stato utilizzato un tempo di campionamento pari a 0.0002, 35 RPM pressione pari a 8 bar) Oltre a non rispettare il margine di tolleranza richiesto è possibile notare come anche la portata sia decisamente troppo bassa. Per aumentare la portata, è possibile aumentare il diametro dei fori ed aggiungere una fila extra di fori.

Prima di continuare con altri calcoli occorre valutare l’accuratezza del modello matematico

sviluppato. Per poterlo eseguire conviene effettuare delle prove sperimentali in modo da avere dei dati a disposizione per effettuare un confronto tra modello matematico e modello sperimentale.