Dipendenza dal patrimonio totale delle famiglie

Sono state effettuate dieci serie di simulazioni, ognuna composta da 10000 simulazioni della durata di 1000 giorni l’una e per ogni serie si è variato il patrimonio totale delle famiglie ; l’obiettivo di ogni -esima simulazione è stato l’individuazione dell’istante di default corrispondente, cioè .

L’andamento della probabilità di default ricavata in funzione del patrimonio totale delle famiglie è il seguente:

Figura 5.12. Andamento della probabilità di default in funzione del patrimonio totale delle famiglie .

L’andamento di è caratterizzato da una crescita esponenziale per seguita da un arresto e da un decadimento per . I valori della probabilità di default del sistema corrispondenti a e sono rispettivamente e . Tali valori sono estremamente bassi poiché all’istante iniziale le banche hanno in media una cassa inferiore a e, non essendo in grado di concedere prestiti, fanno sì che i propri depositi si azzerino in pochi giorni; il sistema raggiunge velocemente lo stallo e pertanto, con tale configurazione, esso ha una probabilità di andare in default entro il millesimo giorno sostanzialmente nulla. Aumentando il valore del patrimonio totale delle famiglie fino a , la probabilità di default del sistema cresce esponenzialmente. Tale crescita è dovuta al fatto che, sebbene il valore di diventi sufficientemente grande da far sì che le banche abbiano in media una cassa superiore a , esso non sia abbastanza elevato da impedire che la crescita media dei depositi sia più rapida di quella delle casse. Per valori superiori di , tale differenza tra la rapidità della crescita dei depositi e quella delle casse diventa sempre più esigua fino ad azzerarsi e a diventare negativa;

0 2000 4000 6000 8000 10 000 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

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quando avviene tale inversione, cioè in corrispondenza di , la probabilità di default del sistema inizia a decrescere.

Come fatto per l’andamento della probabilità di default in funzione dell’entità dei prestiti Banca-Impresa, ci si concentri sulle ultime cinque misure effettuate al fine di comprendere quale tipo di decadimento caratterizza per . Sono stati presi in considerazione due andamenti polinomiali e un andamento esponenziale per ; ricavate le migliori stime delle costanti che caratterizzano ognuno di tali andamenti, sono stati calcolati i rispettivi coefficienti di determinazione ed è stato scelto l’andamento individuato dal coefficiente di determinazione più vicino ad 1 come curva di regressione migliore:

 . Le migliori stime delle costanti sono , e ed il coefficiente di determinazione associato a tale curva vale .

 . Le migliori stime delle costanti sono , , e ed il coefficiente di determinazione associato a tale curva vale .

 . Le migliori stime delle costanti sono e ed il coefficiente di determinazione associato a tale curva vale . Il fatto che la migliore stima della costante sia stata lo 0, significa che la curva di interpolazione da considerare in questo caso è .

Si ricava pertanto che la curva di regressione che meglio interpola le misure di per è

Valendo , l’accordo tra tale curva e le misure effettuate è altamente significativo.

Le migliori stime delle costanti ricavate sono dell’ordine di per quanto riguarda e per quanto riguarda poiché i valori di sono dell’ordine di e pertanto, calcolandone il quadrato ed il cubo, moltiplicandoli per i corrispettivi coefficienti e sommandoli, si ottengono quantità dell’ordine di come è corretto che sia per una funzione di probabilità.

Con il settaggio dei parametri definito nella Tabella 5.1, il sistema presenta una stabilità maggiore per valori di che si trovano agli estremi dell’intervallo e, per , la probabilità di default decade come una curva polinomiale di grado 3. É importante sottolineare che, sebbene per e il sistema abbia una probabilità di andare in default entro il millesimo giorno sostanzialmente nulla, esso raggiunge lo stallo in pochi giorni e pertanto, non essendoci più flussi di moneta tra le varie componenti del sistema, tale scelta di non è ottimale.

Si osservi ora l’andamento dell’istante di default medio ricavato in funzione del patrimonio totale delle famiglie :

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patrimonio totale delle famiglie

ist ant e m edi o di def aul t

Figura 5.13. Andamento dell’istante medio di default in funzione del patrimonio totale delle famiglie .

Non sono state prese in considerazione le prime due misure effettuate poiché gli istanti medi di default corrispondenti a ed sono stati calcolati rispettivamente su un campione di due e sei misure e pertanto, essendo associato ad entrambi un errore estremamente elevato, la loro significatività per l’andamento di è sostanzialmente nulla.

Tale andamento per è in accordo con quanto affermato precedentemente riguardo : per le banche destinate al default, all’aumento del valore di corrisponde un sempre più elevato poiché esse hanno una cassa sempre più ingente e pertanto impiegano sempre più tempo per raggiungere il default.

Sono stati effettuati quattro tentativi di interpolazione delle misure in considerazione: il primo tentativo di interpolazione lineare di in funzione di ha riportato un valore di pari a , il secondo tentativo di interpolazione lineare di in funzione di ha riportato un valore di pari a , il terzo tentativo di interpolazione lineare di in funzione di ha riportato un valore di pari a ed il quarto tentativo di interpolazione lineare di in funzione di ha riportato un valore di pari a . La causa di questi valori estremamente elevati del per i quattro tentativi di interpolazione è da ricercare nel fatto che tali misure sono soggette a fluttuazioni ingenti in relazione agli errori associati che sono estremamente ridotti. Pertanto, non potendo definire univocamente l’andamento di ma osservando i diversi valori di per i quattro tentativi di interpolazione, si può affermare che l’andamento dell’istante medio di default in funzione del patrimonio totale delle famiglie è del tipo con . 0 2000 4000 6000 8000 10 000 0 10 20 30 40 50

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