Dipendenza dall’entità dei prelievi dai depositi bancari

Sono state effettuate dieci serie di simulazioni, ognuna composta da 10000 simulazioni della durata di 1000 giorni l’una e per ogni serie si è variata l’entità dei prelievi dai depositi bancari ; l’obiettivo di ogni -esima simulazione è stato l’individuazione dell’istante di default corrispondente, cioè .

L’andamento della probabilità di default ricavata in funzione dell’entità dei prelievi dai depositi bancari è il seguente:

Figura 5.10. Andamento della probabilità di default in funzione dell’entità dei prelievi dai depositi bancari .

L’andamento di è non lineare e non può essere linearizzato sfruttando la funzione logaritmo o una qualunque altra funzione ausiliaria. Per , l’andamento di è monotono crescente mentre per l’andamento è monotono decrescente; il valore massimo della probabilità di default si trova in corrispondenza di e vale .

Come affermato nel Capitolo 2, il settore delle imprese richiede prestiti alle banche quando esso non ha una quantità di moneta sufficiente per il pagamento degli stipendi dei dipendenti e per il pagamento dei fornitori. La concessione di un prestito da parte di una banca nei confronti di un’impresa comporta pertanto il pagamento dei dipendenti e dei fornitori ed un conseguente aumento dei depositi bancari di tutte le banche. Poiché il patrimonio totale delle famiglie è costante per tutte le simulazioni, all’aumentare di i depositi e le casse diminuiscono in tempi sempre più rapidi e vengono effettuati sempre meno prestiti al settore delle imprese. La decrescita media delle casse è più rapida di quella dei depositi e ciò provoca un aumento della probabilità di default del sistema. Una volta raggiunto , i prelievi sono sufficientemente

0 20 40 60 80 100 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

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elevati da azzerare i depositi bancari e le casse delle banche che non sono andate in default sono talmente esigue da far sì che nessuna di esse sia più in grado di concedere prestiti al settore delle imprese. Come visto precedentemente per la dipendenza della distribuzione dei tempi di default dall’entità dei prestiti Banca-Impresa, il sistema raggiunge un punto di stallo: le banche che non sono andate in default hanno i depositi azzerati e non concedono più prestiti al settore delle imprese; il sistema sopravvive, ma non vi sono più interazioni tra le varie componenti. Continuando ad aumentare , il sistema raggiunge lo stallo sempre più rapidamente; sempre meno banche vanno in default e di conseguenza la probabilità di default del sistema diminuisce. Ci si concentri ora sulle ultime sei misure effettuate al fine di comprendere quale tipo di decadimento caratterizza per . Il coefficiente di correlazione lineare calcolato su tali misure ha riportato un valore pari a , pertanto si può affermare che le variabili e , per , hanno una relazione lineare negativa altamente significativa.

Provata l’esistenza di tale relazione, la retta di regressione lineare che meglio interpola le misure di per è

Pertanto, con il settaggio dei parametri definito nella Tabella 5.1, il sistema presenta una stabilità maggiore per valori molto bassi di e, per , la probabilità di default decade linearmente con un coefficiente angolare estremamente ridotto. Da ciò ne consegue che anche per valori elevati di , la probabilità di default non scende mai al di sotto del . È interessante notare come per il sistema abbia una probabilità di andare in default compresa tra il ed il ; ciò significa che, in tali situazioni, esso è sostanzialmente destinato al default.

Come visto precedentemente per l’andamento della probabilità di default in funzione del tempo di restituzione , il sistema è in grado di sopravvivere anche in corrispondenza del valore di che individua il massimo di ; ciò è dovuto alla presenza di fluttuazioni stocastiche che permettono la sopravvivenza del sistema anche nei casi più avversi.

Si osservi ora l’andamento dell’istante di default medio ricavato in funzione dell’entità dei prelievi dai depositi bancari :

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entità dei prelievi dai depositi bancari

ist ant e m edi o di def aul t

Figura 5.11. Andamento dell’istante medio di default in funzione dell’entità dei prelievi dai depositi bancari .

L’andamento monotono decrescente di è in accordo con quanto affermato precedentemente riguardo : con l’aumento del valore di , mentre la probabilità di default è caratterizzata per da una decrescita causata dall’influenza del parametro , l’istante di default medio decade con l’aumento del valore di poiché prelievi sempre più ingenti comportano per le banche destinate al default una decrescita del rapporto cassa/depositi sempre più rapida e pertanto un raggiungimento del default in tempi sempre più brevi.

Cionondimeno tale andamento non è di natura esponenziale né di natura polinomiale semplice25 e, considerando la configurazione dei parametri del sistema definita nella Tabella 5.1, non sembra vi sia alcuna spiegazione apparente del perché esso segua la curva presente in Figura 5.11. É in casi come questo che si manifesta la complessità del modello: l’andamento di non è un andamento semplice come quelli incontrati fin’ora poiché esso è soggetto all’influenza di uno o più parametri la cui interazione comporta effetti imprevedibili sulla dinamica del sistema.

L’analisi della dipendenza della distribuzione dei tempi di default del sistema dall’entità dei prestiti , con , ha mostrato che il sistema và in default con una probabilità minima pari al in corrispondenza di in media intorno al quarantatreesimo giorno e con una probabilità massima pari al in corrispondenza di in media intorno al trentunesimo giorno.

25 Sono stati effettuati tre tentativi di interpolazione con le curve , e ma tutti e tre hanno riportato un valore di che esprime un disaccordo significativo tra la curva di regressione e i dati a disposizione.

0 20 40 60 80 100 0 10 20 30 40

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patrimonio totale delle famiglie

pr obab il it à d i de fau lt