Dipendenza dal numero di imprese e dal numero di banche

all’istante iniziale

Sono stati effettuati due blocchi di simulazioni, individuati rispettivamente da ed , composti da dieci serie di 10000 simulazioni della durata di 1000 giorni e per ogni serie si è variato il numero di imprese ; l’obiettivo di ogni -esima simulazione è stato l’individuazione dell’istante di default corrispondente, cioè .

In questa analisi è stata presa in considerazione la dipendenza contemporanea della distribuzione dei tempi di default dai parametri ed poiché essi determinano univocamente il numero delle componenti del sistema e pertanto è la loro comune influenza sulla dinamica del sistema ad essere di estremo interesse.

L’andamento della probabilità di default ricavata in funzione del numero di imprese è:

Figura 5.14. Andamento della probabilità di default in funzione del numero di imprese

per ed .

Gli andamenti di per e per sono non lineari e non possono essere linearizzati sfruttando la funzione logaritmo o una qualunque altra funzione ausiliaria. Per tutto l’intervallo di valori di preso in considerazione, cioè , tali andamenti hanno le stesse caratteristiche: dopo una rapida crescita iniziale, continua ad aumentare seguendo un andamento lineare con un coefficiente angolare estremamente ridotto.

Come affermato nel Capitolo 2, il numero di imprese richiedenti un prestito al generico istante è definito come dove è distribuito Poissonianamente con media . Il fatto che venga mantenuto costante all’aumentare di fa sì che ad ogni istante l’intervallo in cui può variare sia più ampio poiché il limite destro della distribuzione

0 50 100 150 200 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

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Poissoniana troncata in considerazione è individuato da un ascissa sempre più grande e pertanto valori della coda di destra che prima non potevano essere presi in considerazione, ora lo sono. Quindi, aumentando , aumenta il numero medio di richieste di prestito per istante e ciò comporta una diminuzione media della cassa delle varie banche con un conseguente aumento del rischio di default causato da un prelievo dai depositi.

Come si può osservare in Figura 5.14, l’andamento di per è caratterizzato da un valore iniziale più elevato di quello di per e da una crescita successiva più limitata. Ciò è dovuto al fatto che un valore più elevato di comporta una partizione maggiore del patrimonio totale delle famiglie all’istante iniziale e pertanto, avendo così le varie banche una cassa più esigua, il rischio di andare in default a causa di un prelievo dai depositi è più elevato. Aumentando il numero di imprese, la crescita della probabilità di default è più limitata poiché, anche se il numero medio di richieste di prestito per istante aumenta, il fatto che il sistema sia composto da un numero maggiore di banche comporta una maggiore concessione di prestiti interbancari che fanno sì che la probabilità di default non cresca come nel caso

.

Ci si concentri ora sulle ultime sette misure effettuate di per ; il coefficiente di correlazione lineare calcolato su tali misure ha riportato un valore pari a , pertanto si può affermare che le variabili e per e , hanno una relazione lineare positiva altamente significativa.

Provata l’esistenza di tale relazione, la retta di regressione lineare che meglio interpola tali misure è

Si è osservato che, aumentando il numero di misure e tralasciando di volta in volta i valori di

più piccoli, la retta di regressione lineare che si ottiene presenta un coefficiente angolare sempre più ridotto. Si può pertanto ipotizzare che, proseguendo con le misure della probabilità di default per valori di sempre più grandi, si ottenga l’asintoto orizzontale a cui tende . Pertanto, con il settaggio dei parametri definito nella Tabella 5.1 e con un numero di banche all’istante iniziale pari ad , se il sistema in considerazione è caratterizzato da un numero di imprese molto elevato, la probabilità che esso vada in default entro il millesimo giorno ha un valore prossimo all’ .

Ripetendo il procedimento effettuato per le ultime sette misure di con , il coefficiente di correlazione lineare calcolato su tali misure ha riportato un valore pari a , pertanto si può affermare che le variabili e per e , hanno una relazione lineare negativa altamente significativa.

Provata l’esistenza di tale relazione, la retta di regressione lineare che meglio interpola tali misure è

Anche in questo caso si è osservato che, aumentando il numero di misure e tralasciando di volta in volta i valori di più piccoli, la retta di regressione lineare che si ottiene presenta un coefficiente angolare sempre più ridotto. Si può pertanto ipotizzare che,

113 numero di imprese ist ant e m edi o di def aul t

proseguendo con le misure della probabilità di default per valori di sempre più grandi, si ottenga l’asintoto orizzontale a cui tende . Pertanto, con il settaggio dei parametri definito nella Tabella 5.1 e con un numero di banche all’istante iniziale pari ad , se il sistema in considerazione è caratterizzato da un numero di imprese molto elevato, la probabilità che esso vada in default entro il millesimo giorno ha un valore prossimo al .

Si osservi ora l’andamento dell’istante di default medio ricavato in funzione del numero di imprese :

Figura 5.15. Andamento dell’istante medio di default in funzione del numero di imprese

per ed .

Gli andamenti di per e per sono non lineari e monotoni decrescenti per tutto l’intervallo di valori di preso in considerazione. Tali andamenti sono in accordo con quanto affermato precedentemente riguardo : con l’aumento del valore di , mentre la probabilità di default è caratterizzata da una crescita, l’istante di default medio decade poiché un numero maggiore di imprese comporta per le banche destinate al default un numero di richieste di prestito più elevato con una conseguente riduzione della cassa ed un raggiungimento più rapido del default.

Si intende ora ricavare quale tipo di decadimento interessa l’istante di default medio per : un tentativo di interpolazione con la curva ha riportato un valore di pari a che esprime un disaccordo significativo tra la curva di regressione in considerazione e i dati a disposizione. Si è effettuato pertanto un secondo tentativo di interpolazione con una funzione iperbolica e si è ricavato che la curva di regressione che meglio interpola le misure di per è:

0 50 100 150 200 0 10 20 30 40 50 60

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Il Test ha riportato un valore pari a ; considerando gradi di libertà, si può concludere che la curva ottenuta ha un accordo significativo con le misure effettuate.

Ripetendo il procedimento effettuato per per , si ottiene che la curva di regressione che meglio interpola le misure è:

Il Test ha riportato un valore pari a ; considerando gradi di libertà, si può concludere che la curva ottenuta ha un accordo significativo con le misure effettuate.

Considerando , è possibile ricavare i valori asintotici a cui tendono i due andamenti di per e per ; essi valgono rispettivamente e . Ciò significa che, con il settaggio dei parametri definito nella Tabella 5.1 e con un numero di imprese molto elevato, se allora il sistema ha una probabilità di default pari all’ e va in default intorno al trentottesimo giorno mentre se allora il sistema ha una probabilità di default pari al e va in default intorno al trentatreesimo giorno.