Abbiamo considerato di interesse solo il segnale πΏπ(π₯, 0) poichΓ© abbiamo considerato il filo di spessore nullo in π§ = 0. Se un filo Γ¨ in posizione π₯ = 0, π§ = 0 ed il secondo in posizione π₯ = π, π§ = 0 allora lβinfluenza del primo sul secondo Γ¨ di entitΓ πΏπ(π, 0), mentre lβentitΓ del secondo sul primo Γ¨ di πΏπ(βπ, 0) = βπΏπ(π, 0) (vedremo infatti che questa funzione Γ¨ antisimmetrica e proprio la sua asimmetria consente di ottenere un segnale differenziale). Il sensore misura proprio questa variazione di temperatura: possiamo quindi considerare la temperatura statica in assenza di convezione forzata e ad essa aggiungere un termine dovuto alla convezione. Dal cap. 2 avevamo infatti ottenuto la temperatura statica come:
49
π(π₯, 0, π§) β β π
2π β π β ππ¦β ππ ( π
ππ¦) (3.63)
Possiamo quindi considerare la temperatura totale come somma di quella statica non perturbata piΓΉ la variazione dovuta a convezione:
π1(π₯) = π(π₯, 0) + πΏπ(π₯, 0) (3.64)
π2(π₯) = π(π₯ β π, 0) + πΏπ(π₯ β π, 0) (3.65)
Ed il profilo della temperatura completa puΓ² essere scritto come:
π(π₯) = π1(π₯) + π2(π₯) (3.66)
Vediamo ora un esempio (fig. 3.1) di rappresentazione grafica nella sovrapposizione di queste funzioni:
Figura 3.1: Distribuzione della temperatura dovuta ad un solo filo (c) come somma della temperatura statica (b) e del termine dovuto a convezione (a).
La funzione (a) rappresenta la perturbazione πΏπ(π₯, 0) che si vede essere antisimmetrica rispetto allβorigine. Nel caso in cui la velocitΓ del fluido sia diretta verso lβasse positivo delle π₯, avremo un
50
massimo a destra dello zero. Nel caso in cui la direzione in cui si muove il fluido sia opposta, il massimo della perturbazione si sposterΓ a sinistra.
3.3.1 Origine del segnale differenziale del sensore
Ipotizzando ora di aggiungere il secondo filo, la distribuzione totale della temperatura (considerando π£ positiva) ha lβaspetto della fig. 3.2:
Figura 3.2: Profilo della temperatura lungo lβasse x (z=0) in presenza di perturbazione del profilo statico dovuto ad aria in movimento.
Dalla figura si vede che il profilo (1) (dovuto al primo filo) ed il profilo (2) (dovuto al secondo filo) presentano la stessa asimmetria dovuta al fatto che la velocitΓ del fluido Γ¨ per entrambi i fili positiva (rivolta lungo lβasse π₯). Difatti, prendendo ad esempio in esame il primo filo, su di esso agiscono i seguenti contributi di temperatura:
π1(π₯) = πβ²(π₯) +πΏπβ²(0,0)+ πΏπβ²β²(0,0) (3.67)
Dove:
β’ π1(π₯) Γ¨ il profilo totale di temperatura espressa in Kelvin in prossimitΓ del primo filo (π₯ = 0),
β’ πΏπβ²(0,0) Γ¨ il contributo della convezione forzata (alterazione della temperatura statica) dovuta
allβaria in movimento totale del primo filo (π₯ = 0),
β’ πΏπβ²β²(0,0) Γ¨ il contributo della convezione forzata (alterazione della temperatura statica)
dovuta allβaria in movimento totale del secondo filo in prossimitΓ del primo filo (π₯ = 0), β’ πβ²(π₯) Γ¨ la temperatura statica, trascurando lβeffetto convettivo, dovuta al solo fenomeno della
conduzione del calore (dovuta alla sorgente termica del filo percorso da corrente). Stesse considerazioni possono essere fatte anche per il secondo filo, difatti avremo:
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π2(π₯) = πβ²β²(π₯) +πΏπβ²β²(π, 0)+ πΏπβ²(π, 0) (3.68)
β’ π2(π₯) Γ¨ il profilo totale di temperatura espressa in Kelvin nella posizione del secondo filo (π₯ =
π),
β’ πβ²β²(π₯) Γ¨ la temperatura statica, trascurando lβeffetto convettivo, dovuta al solo fenomeno della conduzione del calore (dovuta alla sorgente termica del filo percorso da corrente).
β’ πΏπβ²(π, 0) Γ¨ il contributo della convezione forzata (alterazione della temperatura statica)
dovuta allβaria in movimento totale del primo filo (ππ π₯ = π),
β’ πΏπβ²β²(π, 0)Γ¨ il contributo della convezione forzata (alterazione della temperatura statica)
dovuta allβaria in movimento del secondo filo (π₯ = π),
Per calcolare lβentitΓ del segnale si ricorda che il segnale utile Γ¨ dato dalla differenza di temperatura tra i due fili:
βπ = π2(π₯)β π1(π₯)
= πβ²β²(π₯) +πΏπβ²β²(π, 0)+ πΏπβ²(π, 0)β(πβ²(π₯) +πΏπβ²(0,0)+ πΏπβ²β²(βπ, 0)) (3.69)
Nellβipotesi che la potenza π lungo il filo sia la stessa, ed anche la lunghezza ππ¦ dei fili sia la stessa, poichΓ© si ricorda che:
π(π₯) β β π
2π β π β ππ¦β ππ ( π₯
ππ¦) (3.70) Si puΓ² concludere che:
πβ²β²(π₯) = πβ²(π₯) (3.71)
Per le stesse considerazioni possiamo anche concludere che, esaminando lβespressione ottenuta per πΏπ(π₯, 0) :
πΏπ β π β π£
2 β π β ππ¦
(3.72)
52
Infine riscrivendo lβespressione del segnale utile e ricordandosi che πΏπ(π₯, 0) Γ¨ una funzione antisimmetrica rispetto allβorigine:
βπ =π2(π₯)β π1(π₯)= 2 πΏπ(π, 0) (3.74)
Possiamo fornire una descrizione grafica qualitativa, volutamente esagerata nellβentitΓ del segnale di interesse, per aiutare la comprensione del fenomeno. Come si vedrΓ nel capitolo successivo, dove si tratta delle simulazioni del sensore, lβentitΓ del segnale di interesse Γ¨ dellβordine di qualche ππΎ, mentre la temperatura statica di funzionamento Γ¨ prossima ai 600 πΎ, per cui la fig.3.3, riportata sotto, non corrisponde alla reale entitΓ della variazione di temperatura indotta dallβonda acustica.
Figura 3.3: Rappresentazione grafica del segnale utile del sensore, rappresentato dalla variazione di temperatura termica dei due fili dovuta a convezione dell'aria (onda acustica in direzione x)
3.3.2 Considerazioni sulla funzione πΏπ(π₯, 0)
Vogliamo studiare lβandamento della funzione πΏπ(π₯, 0) al variare di π₯ per trovare la distanza ottima nella quale porre i due fili riscaldati. Avevamo trovato una soluzione parziale per le π₯ positive del tipo: πΏπ(π₯, 0) = ππ2πππ‘ π₯ π· β πβ π£ π β π 2 β π β ππ¦ β (1 β βππ πΎ1(βππ)) (3.75)
Si deve perΓ² considerare lβeffetto anche sul semipiano negativo (π₯ < 0), per cui lβespressione completa valida βπ₯ Γ¨ la seguente:
πΏπ(π₯, 0) = ππ2πππ‘ π£ π2ππβ π 2 β π β ππ¦ β1 π₯β (1 β βπ 2ππ π· |π₯| πΎ1(βπ 2ππ π· |π₯|)) (3.76)
53
Riportando il grafico della parte reale di questa espressione (ovvero quella che ha un significato fisico) notiamo la presenza di un unico massimo, come si osserva dalla fig.3.4:
Figura 3.4: Andamento della parte reale di πΏπ(π₯, 0), si nota che la funzione Γ¨ antisimmetrica rispetto alla zero, tende a zero per π₯ β 0 e presenta un unico massimo.
Figura 3.5: Profilo di πΏπ(π₯, 0) su un intervallo piΓΉ ampio dellβasse x, in particolare si nota che tende a zero per π₯ β β.
Appare quindi chiaro, e vedremo che ciΓ² sarΓ confermato dalle simulazioni, che i fili devono essere posti ad una distanza che corrisponde al massimo della funzione πΏπ(π₯, 0) per avere la massima ampiezza del segnale fisico utile. Tale distanza perΓ² deve essere calcolata una volta fissata la frequenza sulla quale ci aspettiamo che il segnale acustico abbia la maggior parte del suo contenuto informativo. Tale massimo spaziale infatti dipende anche dalla frequenza, in particolare studiando la funzione πΏπ allβaumentare della frequenza del segnale acustico, il massimo si avvicina a π₯ = 0. Studiamo i limiti a zero e ad infinito del segnale utile per verificare che siano indipendenti dalla frequenza. In particolare usando la proprietΓ della funzione di Bessel modificata del secondo tipo per la quale:
54
ππππ₯β0 πΎ1(π§) =
1
π§ πππ π§ π π (3.77)
Si conclude che considerando ad esempio le π₯ > 0:
ππππ₯β0π π {ππ2πππ‘ π£ π2ππβ π 2 β π β ππ¦ β1 π₯β (1 β βπ 2ππ π· |π₯| πΎ1(βπ 2ππ π· |π₯|))} = ππππ₯β0π π { ππ2πππ‘ π£ π2ππβ π 2 β π β ππ¦β 1 π₯β ( 1 β βπ2ππ π· π₯ β 1 βπ2πππ· π₯)} = 0 (3.78)
Per il comportamento ad una distanza molto lontana dal filo otteniamo invece, sfruttando una seconda proprietΓ della funzione di Bessel in esame:
ππππ₯ββ πΎ1(π§) = 0 πππ π§ π π (3.79) ππππ₯ββπ π {ππ2πππ‘ π£ π2ππβ π 2 β π β ππ¦β 1 π₯β (1 β βπ 2ππ π· |π₯| πΎ1(βπ 2ππ π· |π₯|))} = ππππ₯ββπ π {ππ2πππ‘ π£ π2ππβ π 2 β π β ππ¦β 1 π₯} = 0 (3.80)
Il comportamento della funzione πΏπ(π₯, 0) nella posizione del filo ed anche molto lontano dal filo non dipende quindi dalla frequenza, il cui unico effetto, quando questa varia, Γ¨ quello di muovere il punto di massimo. Si tiene a precisare che la presenza del massimo Γ¨ dovuto al fatto di aver considerato anche lβeffetto della diffusione del calore. Se avessimo considerato solo lβeffetto della convezione forzata (proporzionale al gradiente della temperatura statica) lβequazione iniziale si sarebbe semplificata come segue:
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Avremmo avuto come soluzione (basta annullare il termine proporzionale a π· nellβequazione completa): πΏπ(π₯, 0) = ππ2πππ‘ π£ π2ππβ π 2 β π β ππ¦β 1 π₯ (3.82)
Quindi per assurdo avremmo avuto come posizione ottima in cui collocare il secondo filo la stessa posizione del primo filo (i due sensori cortocircuitati). In realtΓ la conduzione del calore si oppone allβeffetto della convezione cercando di riportare i due fili alla stessa temperatura, per cui per piccole distanze prevale sul termine convettivo, tanto che nellβorigine la convezione ha effetto nullo (contrariamente alla soluzione errata prima riportata). La presenza del massimo Γ¨ poi dovuta al fatto che a grande distanza lβeffetto della conduzione del calore svanisce ma anche il termine convettivo tende naturalmente a zero.
3.3.3 Esempio di dimensionamento di un sensore
Si vuole trovare lβentitΓ del massimo nelle seguenti condizioni operative tipiche per questi sensori: β’ Potenza dissipata lungo il filo π = 0,5 ππ
β’ Vogliamo il massimo alla frequenza di 40 ππ»π§, si pone quindi π = 40 ππ»π§ β’ Il coefficiente (per ipotesi indipendente dalla temperatura) π = 2.6 β 10β2 [ π
πβπΎ]
β’ VelocitΓ dellβaria pari ad una potenza sonora di 100 ππ΅, π£ = 0.001 [π π ]
β’ Lunghezza del filo ππ¦ = 50 β 10β6π
β’ π· = π
πβπ β 2 β 10 β5 [π2
π ] ππ ππππ
Con questi valori otteniamo:
π΄ = π£ 2ππβ
π
2 β π β ππ¦ = 3.37 β 10
β6 [ππΎ β π]
Da una rappresentazione grafica della (3.75) con questi dati otteniamo:
Figura 3.6: Esempio di distribuzione del disturbo di temperatura dovuto a convezione per movimento dell'aria su un singolo filo. Sullβasse verticale la temperatura espressa in Kelvin, su quello orizzontale la distanza dal filo in metri. Si nota che il massimo per f=40 kHz Γ¨ intorno ai 8 ππ.
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Dal grafico si deduce che il punto di massimo della funzione πΏπ(π₯, 0) si ha intorno ai 8 ππ, questo valore conferma che dai fenomeni convettivi a frequenze ultrasoniche Γ¨ possibile estrarre un segnale utile se la distanza tra i fili Γ¨ dellβordine di qualche ππ, massimo qualche decina. Il valore del massimo conferma lβipotesi iniziale ππ π‘ππ‘πππ β« πΏπ, nonostante il valore ricavato dalla simulazione
sia circa 10 volte minore: questo Γ¨ dovuto al fatto di aver considerato i fili privi di spessore e quindi di aver trascurato la capacitΓ termica di ciascun filo verso la temperatura di riferimento. SarΓ invece dimostrato, grazie alle simulazioni numeriche, che la capacitΓ termica di ciascun filo introduce un polo termico che agisce a frequenze che interessano la banda ultrasonica. Per questo motivo non puΓ² essere trascurato per la determinazione del massimo πΏπ, dato che il valore reale sarΓ inferiore a quello teorico, che non tiene conto della presenza dellβinerzia termica dei sensori. Pertanto la (3.75) puΓ² rappresentare un buon punto di partenza per la progettazione di questi sensori, poichΓ© ci indica con una buona precisione quale possa essere la distanza del secondo filo dal primo per ottenere il massimo del segnale differenziale (devono essere noti da progettazione i dati sopra riportati). Si nota inoltre che il massimo Γ¨ proporzionale alla velocitΓ del fluido, diminuisce allβaumentare della frequenza e sempre allβaumentare di questβultima si avvicina allβorigine (i fili devono essere progettati piΓΉ vicini tra loro).
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Capitolo 4
Simulazione, progetto dei sensori APV ultrasonici e
confronto con i risultati teorici
In questo capitolo vengono presentati i risultati delle simulazioni numeriche ricavati col software COMSOL Multiphysics, allo scopo di massimizzare la variazione di temperatura πΏπ (introdotta nel precedente capitolo) in conseguenza di una perturbazione acustica a frequenze ultrasoniche. Vengono dapprima giustificate le scelte progettuali utili al raggiungimento di questo risultato, analizzando la risposta in frequenza tipica di πΏπ per queste strutture al fine di comprendere i fenomeni fisici che la determinano. Alcuni risultati vengono poi confrontati con quelli teorici ottenuti nel capitolo precedente per analizzare le cause delle analogie e delle diversitΓ . Vengono poi proposte tre diverse strutture per lo stesso sensore e mostrato il dimensionamento ottimo per raggiungere lo scopo prefissato di massimizzare πΏπ(π) nelle frequenze di interesse.
4.1 Introduzione
Nel precedente capitolo Γ¨ stata trovata unβespressione analitica della variazione di temperatura indotta nei fili dalla sollecitazione acustica. Data la complessitΓ del fenomeno fisico erano state introdotte alcune approssimazioni: a) i fili erano stati considerati privi di spessore, il che porta a trascurare la capacitΓ termica dei materiali da cui sono costituiti. Aver inoltre considerato la potenza dissipata dai fili concentrata in uno spessore nullo porta la soluzione (che descrive la distribuzione statica di temperatura) a divergere (temperatura infinita) in prossimitΓ del filo. b) Per semplificare lβanalisi delle equazioni differenziali era stato trascurato lβeffetto della temperatura sulla conducibilitΓ termica dellβaria (assunta costante al variare della temperatura): in realtΓ πΎ(π) aumenta allβaumentare della temperatura, questo significa che secondo il postulato di Fourier: (π = βπΎ(π) β π»π) lβaria diventa piΓΉ conduttiva allβaumentare della temperatura (si incrementa il fenomeno della conduzione termica a scapito della convezione forzata). c) Altri fattori che possono avere delle conseguenze sul segnale utile come la distanza dei fili dal substrato o lβeffetto della parete degli stessi sul moto del fluido in movimento, sono state completamente trascurate. Tuttavia erano state ricavate delle relazioni su alcuni parametri liberi utili a scopo progettuale, in particolare:
β’ Sia la temperatura statica sia la variazione dinamica di temperatura indotta dallβonda acustica aumentano in modo proporzionale allβaumentare della potenza dissipata dal filo;
β’ La velocitΓ delle particelle in movimento Γ¨ direttamente proporzionale alla differenza di temperatura tra i due fili;
β’ Se approssimato come un sistema al primo ordine, il polo termico dovuto alla conduzione di calore tra i due fili Γ¨ proporzionale al quadrato della distanza tra i due sensori, per cui se si vuole che il sensore risponda in un intervallo frequenziale piΓΉ esteso Γ¨ conveniente diminuire la distanza tra i fili.
58
4.1.1. Considerazioni sulla risposta in frequenza
Si vuole studiare con lβausilio delle simulazioni la funzione che descrive la differenza di temperatura tra i fili πΏπ sia al variare della frequenza, sia della distanza tra i cantilever sui quali sono deposti i fili. Si procede dapprima ottimizzando la distanza tra i due fili sensibili alla perturbazione acustica in modo da ottenere quella che massimizza la πΏπ(π) per una frequenza di stimolo acustico fissata: imponendo una frequenza ultrasonica (40 πΎβπ§) e variando la distanza, si cerca quella che offre lβampiezza maggiore della variazione di temperatura in transitorio tra i due cantilever. Sono state quindi eseguite delle simulazioni preliminari sulla versione del sensore in solo polisilicio (che si vedrΓ in seguito essere quella che a paritΓ di parametri di progetto offre la πΏπ piΓΉ elevata a frequenze ultrasoniche) allo scopo di determinare la distanza ottima tra i due fili riscaldati:
Figura 4.1: Grafico della variazione media di temperatura interna ai fili per effetto della perturbazione acustica (imposta a frequenza costante di 40 KHz). Si nota che il massimo si ha per d=22 ππ.
Si osserva dalla fig. 4.1 che la distanza che massimizza πΏπ si ottiene per 22 ππ. Si assumerΓ quindi di qui in avanti che la distanza tra i cantilever abbia questo valore. Variando questo parametro (ottimizzato come giΓ specificato per frequenze ultrasoniche) infatti gli studi seguenti potrebbero variare significativamente nei risultati ottenuti. Nella fig. 4.2 viene riportato lβandamento di πΏπ al variare della frequenza del segnale acustico di stimolo, ottenendo quindi, per varie decadi, la risposta in frequenza della variazione di temperatura dinamica tra i due fili. Si tiene a precisare che il seguente grafico Γ¨ stato ottenuto con i seguenti parametri di progetto:
β’ Lunghezza del filo di polisilicio ππ¦ = 50 ππ,
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β’ Larghezza dei fili di polisilicio (dove viene dissipata potenza per effetto Joule) ππ = 0.4 ππ, β’ Larghezza del dielettrico che ricopre il polisilcio π»ππ₯ = 1 ππ,
Figura 4.2: Andamento tipico della risposta in frequenza della differenza di temperatura tra i due fili.
4.1.2 Effetti degli strati limite di temperatura su πΏ(π)
Nella risoluzione delle equazioni differenziali che portavano allβespressione di πΏπ nel cap.3, era stata trascurata lβampiezza dei fili (assunti di dimensione nulla) ed il conseguente effetto che questi avevano sul moto del fluido. Lβonda acustica stessa aveva una fase ed un modulo della velocitΓ imposti costanti nello spazio (per semplificarne la risoluzione analitica) ma variabile nel tempo e si propagava lungo una sola direzione (π₯Μ). Era stato infatti imposto che il vettore velocitΓ del fluido fosse del tipo:
v = (v0cos (2Οf0t)
0 ) (in tutto lo spazio di propagazione dell
β²onda acustica) (4.1)
Si vuole dimostrare che la presenza di pareti solide (quindi il filo non ha sezione infinitesima) ha in realtΓ conseguenze sul profilo della risposta in frequenza. Quando unβonda acustica si propaga in un gas in presenza di una parete solida, si creano nel fluido quelli che vengono chiamati strati limite di velocitΓ e strato limite termico. La stessa documentazione di COMSOL Multiphysics [10] fornisce una formula per la determinazione approssimata della lunghezza degli strati limite di temperatura:
60
πΏπ = 2πβ π
ππ0ππΆπ (4.2)
PoichΓ© la distanza tra i sensori Γ¨ dello stesso ordine della lunghezza dβonda termica, questa si riduce allβaumentare della frequenza aumentando la differenza di temperatura tra i fili. Tale fenomeno si traduce nellβintroduzione di un andamento a rampa nella risposta in frequenza: inizia a salire alla frequenza per la quale la lunghezza dβonda termica diventa comparabile con la distanza tra i fili riscaldati, smette di salire quando la distanza tra i fili Γ¨ tale da superare πΏπ e quindi da far saturare la
differenza di temperatura tra di essi. Cerchiamo unβespressione approssimata della distribuzione della temperatura lungo lβasse π₯, in direzione ortogonale ad una parete piana a temperatura uniforme π0, conoscendo la temperatura sulla parete piana infinita a π₯ = 0. Si risolve lβequazione del calore monodimensionale (4.3):
ππ
ππ‘ β π· β ππ₯
2π = 0 (4.3)
assumendo che la temperatura abbia un andamento generale del tipo π(π₯, π‘) = π(π₯)ππ2πππ‘ armonico sulla parete in π₯ = 0 del tipo:
π(π₯ = 0, π‘) = π0ππ2πππ‘ (4.4)
In modo analogo a quanto fatto nel cap.3, si ottiene una soluzione nella forma:
π(π₯) = πΌ1πππ₯ + πΌ
2πβππ₯ (4.5)
Imponendo come condizione al contorno la (4.4) e concentrandosi nel semipiano π₯ > 0 (π = 0 per π₯ β +β ) si ottiene una soluzione del tipo:
π(π₯) = π0πβππ₯ (4.6) Dove: π = βπ2ππ π· = 1 + π β2 β 2ππ π· (4.7)
61
Quindi la temperatura decade esponenzialmente dalla parete in direzione π₯:
π(π₯) = π0πββ 2ππ π· π₯ (4.8) Per π₯ = πΏπ β 2π (β2ππ π· ) β1
si calcola il valore dellβesponenziale ottenendo:
π0πββ
2ππ π· πΏπ
β 0.002π0 (4.9)
Possiamo quindi considerare 2π (β2ππ
π· ) β1
= 2πβπππ
0ππΆπ la lunghezza dβonda termica entro la quale
la temperatura diminuisce di circa 500 volte rispetto al valore in π₯ = 0, che Γ¨ lo stesso risultato fornito dalla documentazione di COMSOL della (4.2). Calcolando la lunghezza dβonda per i valori tipici utilizzati nella progettazione si ottiene valori di qualche decina di ππ, inoltre appare evidente dalla (4.2) che la lunghezza dβonda diminuisca con la frequenza. Lo strato limite di velocitΓ e di temperatura sono legati da una costante indipendente dalla frequenza, detta costante di Prandtl, poichΓ© πΏπ£ = βπππΏπ: a temperature di 500 πΎ si ha βππ β 0.83, e al variare della temperatura varia
debolmente. Una volta determinato πΏπ Γ¨ facilmente calcolabile anche πΏπ£, che sono comunque entrambi dello stesso ordine di grandezza e dipendenti dallβinverso della radice della frequenza.
4.1.3 Polo dovuto alla capacitΓ termica del filo e dei dielettrici che lo circondano
Γ possibile analizzare un modello semplificato del sensore per dimostrare che ridurre la massa termica dei fili sospesi puΓ² essere utile ad estendere a frequenze piΓΉ alte il segnale utile. A tale scopo utilizziamo una geometria rappresentata in fig. 4.3:
Figura 4.3: Modello semplificato della sezione del sensore per studiare la propagazione radiale del calore. In rosso Γ¨ rappresentato la regione conduttiva di polisilicio dove viene generata potenza termica, in blu lo strato di ossido ed in bianco lβaria che circonda i fili.
Si ipotizza che la potenza dissipata sia concentrata solamente nel cilindro interno che presenta sulla sua superficie una temperatura costante (che chiameremo ππππ₯), che in analogia al caso reale Γ¨
62
rappresentato dal polisilicio in cui viene dissipata potenza per effetto Joule. Nel cilindro che riveste il filo di polisilicio, rappresentativo dellβossido, non vi Γ¨ dissipazione di potenza. Il cilindro piΓΉ esterno Γ¨ invece rappresentativo dellβaria, che per ipotesi raggiunge la temperatura π0 sulla superficie piΓΉ esterna (la temperatura piΓΉ bassa del sistema in esame), tipicamente a distanze molto maggiori della sezione dellβossido e del polisilicio (la fig. 4.3 non Γ¨ in scala). Si ipotizza inoltre che sia lβaria sia lβossido siano omogenei (la conducibilitΓ termica sia costante nello spazio e con la temperatura) e che il filo sia abbastanza lungo da poter trascurare gli effetti delle estremitΓ . Sotto queste ipotesi in regime stazionario il calore sviluppato nel polisilicio fluisce solo in direzione radiale ed Γ¨ lo stesso per ciascun cilindro cavo, pertanto puΓ² essere calcolata la resistenza termica equivalente del sistema:
π π‘ππ‘ = π 1+ π 2+ π 3 = ππ (ππ2 1) 2ππΏπππ₯ + 1 2ππ2βπΏ + ππ (ππ3 2) 2ππΏππ (4.10) Dove πππ₯ = 8 [ π
πβπΎ] Γ¨ la conducibilitΓ termica dellβossido, ππ = 0.04 [ π
πβπΎ] Γ¨ la conducibilitΓ termica
dellβaria, πΏ = 200 ππ la lunghezza del filo (πΏ β« π1, π2, π3) e β = 500 il coefficiente di scambio
termico tra ossido ed aria dovuto a convezione naturale. Ponendo come valori π1 = 0.2 ππ, π2 = 0.5 ππ ed π3 = 10 ππ otteniamo: π 1 = ππ (ππ2 1) 2ππΏπππ₯ β 91 [ πΎ π] (4.11) π 2 = 1 2ππ2βπΏ β 3.2 β 106[πΎ π] (4.12) π 3 = ππ (ππ3 2) 2ππΏππ β 78 β 103[πΎ π] (4.13)
Da cui si osserva che la componente resistiva dominante Γ¨ data dallo scambio convettivo. Se ora Γ¨ possibile eliminare lo strato di ossido la (4.10) diventa:
π π‘ππ‘ = π 1+ π 2 = 1 2ππ1βπΏ+ ππ (ππ3 1) 2ππΏππ (4.14)
che, poichΓ© π1 < π2 e ππ < πππ₯, Γ¨ sicuramente di entitΓ maggiore della (4.10). In altre parole sia lβaver sostituito lβaria con lβossido (che ha una conducibilitΓ termica molto minore), sia lβaver ridotto la
63
superficie di scambio termico convettivo ha portato in entrambi i casi ad aumentare la resistenza termica verso la temperatura π0. A paritΓ di potenza dissipata quindi ππππ₯ raggiunge una temperatura di equilibrio maggiore nel secondo caso. PoichΓ© come giΓ discusso nel cap.3 la perturbazione della temperatura (da cui deriva il segnale utile) Γ¨ direttamente proporzionale alla temperatura statica di funzionamento, a paritΓ di potenza dissipata risulta conveniente ridurre, od eliminare del tutto, lo spessore dellβossido. Ridurre le dimensioni del filo non ha perΓ² un vantaggio solo in termini di temperatura statica, poichΓ© anche il polo della differenza di temperatura dinamica πΏπ dipende dalle dimensioni della sezione del filo sospeso. Infatti indicando con πππ₯ e π»ππ₯ la larghezza e lβaltezza
dellβossido, con (ππΆπ)
ππ₯ il prodotto tra la densitΓ ed il calore specifico dellβossido si puΓ² trovare
unβespressione approssimata del polo dovuto alla massa termica dei fili sensibili alle variazioni di temperatura [6]: ππ = π·π 2ππππ₯π»ππ₯ (ππΆπ) π (ππΆπ) ππ₯ (4.15)
Dove (ππΆπ)π Γ¨ invece il prodotto tra la densitΓ ed il calore specifico dellβaria e π·π la diffusivitΓ
termica dellβaria. Risulta quindi necessario, al fine di spostare piΓΉ in alto possibile il polo dovuto alla massa termica del sensore, ridurre la sezione dei fili sospesi (πππ₯β π»ππ₯). Questo puΓ² essere
tecnologicamente realizzabile attraverso un attacco dellβossido del cantilever che riveste il polisilicio per ridurne lo spessore, fino eventualmente a rimuoverlo del tutto: in questo modo la sezione del filo viene ridotta al solo polisilicio.