Temperatura statica tra i due fili sospesi a distanze comparabili alla sezione del filo

Ipotizzando che il regime sia stazionario (𝜕𝑇

𝜕𝑡 = 0), che non ci siano sorgenti interne di calore in aria

(𝑄_𝑣 = 0) (supposta ferma trascurando fenomeni di convezione) e considerando solo le coordinate spaziali 𝑥 e 𝑧 l’equazione generale della conduzione (equazione di Laplace) si può scrivere come:

𝜕2𝑇 𝜕2_𝑥+

𝜕2𝑇

𝜕2_𝑧 = 0 (2.56)

Che risolta con le opportune condizioni al contorno fornisce l’andamento della temperatura 𝑇(𝑥, 𝑧) e quindi il flusso termico nelle direzioni 𝑥 e 𝑧. L’equazione sopra descritta può essere utilizzata per ricavare l’andamento della temperatura tra i due fili conoscendo la temperatura sulle pareti laterali del filo. Vogliamo quindi trovare la soluzione nella porzione di piano 𝑥 − 𝑧 delimitata dalle 𝑥 positive. Se vogliamo delle soluzioni limitate dobbiamo imporre 𝑓 > 0 quindi 𝐶1 = 0. Poiché

nell’esempio −∞ < 𝑧 < +∞ possiamo trasformare attraverso la trasformata continua di Fourier rispetto alla variabile 𝑧. Così facendo si ottiene la seguente uguaglianza:

𝜕2_{𝑡̅(𝑥, 𝑓)}

𝜕2_𝑥 − 𝑓2𝑡̅(𝑥, 𝑓) = 0 (2.57)

Dove 𝑡̅(𝑥, 𝑓) è la trasformata continua di Fourier di 𝑇(𝑥, 𝑧) rispetto alla variabile 𝑧. Dobbiamo ora stabilire il valore della funzione nel contorno del dominio in questione. Si assume l’ipotesi che il filo sia a temperatura costante lungo il suo spessore, ipotesi che verrà poi confermata con una buona

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approssimazione anche in sede di simulazione. Assunta quindi come 𝑧 la direzione con cui rappresentare lo spessore del filo, possiamo rappresentare il problema con la seguente figura, ricavata attraverso le simulazioni numeriche esposte nei capitoli seguenti:

Figura 2.5: Sistema di riferimento per la risoluzione dell'equazione di Laplace nelle coordinate x e z, in bianco la sezione del filo.

Le linee curve rappresentano le isoterme, in particolare si nota che in prossimità della superficie sono parallele ad essa ovvero la temperatura superficiale dei fili è costante in direzione 𝑧. Questo andamento della temperatura sulle pareti del filo può essere rappresentato con una funzione a gradino positivo in 𝑧 = −ℎ, con un gradino negativo in 𝑧 = +ℎ di valore pari alla temperatura del filo ovvero:

Figura 2.6: Profilo della temperatura lungo l'asse z per x=0.

Quindi per 𝑥 = 0 si potrà scrivere:

𝑇(0, 𝑧) = 𝑇0∙ 𝑟𝑒𝑐𝑡 (

𝑧

2ℎ) (2.58)

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𝑢(𝑓) = 𝑡̅(0, 𝑓) = 𝐹{𝑇(0, 𝑧)} (2.59)

Dove la trasformata è effettuata solamente rispetto a 𝑧. Poiché 𝑇(0, 𝑧) si suppone assolutamente integrabile per −∞ < 𝑧 < +∞:

∫ |𝑇(0, 𝑧)|

+∞ −∞

< ∞ (2.60)

E’quindi possibile calcolare la trasformata 𝑢(𝑓). Possiamo, data l’equazione (4), scrivere:

𝑡̅(𝑥, 𝑓) = {𝑢(𝑓)𝑒

𝑓𝑥 _{𝑝𝑒𝑟 𝑓 > 0}

𝑢(𝑓)𝑒−𝑓𝑥 _{𝑝𝑒𝑟 𝑓 < 0} (2.61)

O in modo più compatto si può scrivere:

𝑡̅(𝑥, 𝑓) = 𝑢(𝑓)𝑒−|𝑓|𝑥 (2.62)

Eseguendo ora la trasformata inversa di Fourier:

𝑇(𝑥, 𝑧) = 1 2𝜋∫ 𝑢(𝑓)𝑒 −|𝑓|𝑥 +∞ −∞ 𝑒−𝑖𝑓𝑧 ∙ 𝑑𝑓 (2.63)

Applicando ora la trasformata alla variabile f:

𝑢(𝑓) = ∫ 𝑓

+∞ −∞

(𝑠)𝑒𝑖𝑓𝑠 _{∙ 𝑑𝑠 (2.64)}

Si sostituisce ora all’espressione 𝑇(𝑥, 𝑧):

𝑇(𝑥, 𝑧) = 1 2𝜋∫ ∫ 𝑓 +∞ −∞ (𝑠)𝑒𝑖𝑓𝑠_𝑒−|𝑓|𝑥 +∞ −∞ 𝑒−𝑖𝑓𝑧_{∙ 𝑑𝑓 ∙ 𝑑𝑠 (2.65)}

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Sviluppando l’esponenziale complesso:

𝑇(𝑥, 𝑧) = 1 2𝜋∫ ∫ 𝑓 +∞ −∞ (𝑠)𝑒𝑖𝑓𝑠_𝑒−|𝑓|𝑥 +∞ −∞ 𝑒−𝑖𝑓𝑧 _{∙ 𝑑𝑓 ∙ 𝑑𝑠 =} = 1 2𝜋∫ 𝑓(𝑠) +∞ −∞ ∫ 𝑒−|𝑓|𝑥 +∞ −∞ [𝑐𝑜𝑠(𝑓(𝑠 − 𝑧)) + 𝑖 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝑓(𝑠 − 𝑧))] ∙ 𝑑𝑓 ∙ 𝑑𝑠 (2.66)

Distribuendo il prodotto interno all’integrale:

𝑇(𝑥, 𝑧) = 1 2𝜋∫ 𝑓(𝑠) +∞ −∞ {∫ 𝑒−|𝑓|𝑥 +∞ −∞ 𝑐𝑜𝑠(𝑓(𝑠 − 𝑧))𝑑𝑓 + 𝑖 ∫ 𝑒−|𝑓|𝑥 +∞ −∞ 𝑠𝑒𝑛(𝑓(𝑠 − 𝑧))𝑑𝑓} 𝑑𝑠 (2.67)

Essendo 𝑒−|𝑓|𝑥 una funzione pari il secondo membro della somma è una funzione dispari, pertanto:

∫ 𝑒−|𝑓|𝑥

+∞ −∞

𝑠𝑒𝑛(𝑓(𝑠 − 𝑧))𝑑𝑓 = 0 (2.68) Infine si può quindi scrivere:

𝑇(𝑥, 𝑧) = 1 2𝜋∫ 𝑓(𝑠) +∞ −∞ ∫ 𝑒−|𝑓|𝑥 +∞ −∞ 𝑐𝑜𝑠(𝑓(𝑠 − 𝑧))𝑑𝑓 ∙ 𝑑𝑠 = = 1 𝜋∫ 𝑓(𝑠) +∞ −∞ ∫ 𝑒−𝑓𝑥 +∞ 0 𝑐𝑜𝑠(𝑓(𝑠 − 𝑧))𝑑𝑓 ∙ 𝑑𝑠 = = 1 𝜋∫ 𝑓(𝑠) +∞ −∞ ∙ 𝑥 𝑥2 _{+ (𝑠 − 𝑧)}2∙ 𝑑𝑠 (2.69)

Nel nostro caso riscrivendo la (2.58):

𝑓(𝑠) = 𝑇(0, 𝑧) = 𝑇₀∙ 𝑟𝑒𝑐𝑡 (𝑧 2ℎ)

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Per trovare 𝑇(𝑥, 𝑦) resta ora da risolvere l’integrale (2.69):

𝑇(𝑥, 𝑧) = 𝑇0 𝜋 ∫ 𝑓(𝑠) +∞ −∞ ∙ 𝑥 𝑥2_{+ (𝑠 − 𝑧)}2𝑑𝑠 = = 𝑇0 𝜋 ∫ 𝑥 𝑥2 _{+ (𝑠 − 𝑧)}2 +ℎ −ℎ 𝑑𝑠 =𝑇0 𝜋 ∙ arctan ( 𝑠 − 𝑧 𝑥 )|−ℎ +ℎ = = 𝑇0 𝜋 ∙ arctan ( ℎ − 𝑧 𝑥 ) + 𝑇₀ 𝜋 ∙ arctan ( ℎ + 𝑧 𝑥 ) = 𝑇(𝑥, 𝑧) (2.70)

Abbiamo trovato un andamento più realistico della temperatura tra i due fili, tenendo conto che le pareti del filo non sono puntiformi (come nella precedente soluzione). Questi risultati sono confermati anche in [9]. Si rappresenta ora la funzione (fig. 2.7) per verificarne l’andamento:

Figura 2.7: Profilo della temperatura in prossimità del filo con h=0.2 𝜇𝑚 a una 𝑦 fissata con temperatura sul filo 𝑇0= 543 K. Si nota che le condizioni al contorno vengono rispettate in quanto si ha nel grafico:

lim

𝑥→0𝑇(𝑥, 𝑧) = 𝑇0∙ 𝑟𝑒𝑐𝑡 (

𝑧

2ℎ) (2.71)

Le curve di livello della temperatura (fig. 2.8) hanno il seguente andamento fino ad una distanza 𝑥 = 0.6 𝜇𝑚, tenendo conto dell’effetto di un solo filo riscaldato:

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Figura 2.8: Linee di livello della temperatura fino a distanza 𝑥 = 0.4 𝜇𝑚 dalla parete del filo.

Per verificare la somiglianza con i risultati della simulazione ingrandiamo ulteriormente in prossimità delle pareti del filo:

Figura 2.9: Temperatura fino a distanza 𝑥 = 0.5 𝜇𝑚 dalla parete del filo.

Con le corrispondenti curve di livello:

Figura 2.10: Curve isoterme fino a 𝑥 = 0.5 𝜇𝑚 dal filo.

Che somiglia molto al profilo simulato con COMSOL in prossimità del filo nel modello 2D:

Figura 2.11: Curve di livello della temperatura in aria simulate in COMSOL tenendo conto anche delle pareti orizzontali del filo.

Ovviamente il modello COMSOL, tenendo conto della presenza di due ulteriori pareti lungo 𝑥 (la parete alta e bassa del filo) e non solo di quella laterale lungo 𝑧 (la sola tenuta in considerazione nel

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modello fisico sopra descritto), avrà un andamento tanto più diverso tanto quanto più ci si allontana dal filo, in questo spazio l’influenza delle altre due pareti a temperatura massima sarà più evidente. A grande distanza dal filo il comportamento quasi puntiforme del filo sarà più evidente, in modo da ricollegarsi al primo modello visto:

Figura 2.12: Andamento della temperatura a grande distanza (10 𝜇𝑚) dal filo, normalizzato rispetto alla temperatura massima.

Figura 2.13: Curve di livello della temperatura in aria a grande distanza (10 𝜇𝑚) dal filo.

In questo modo abbiamo superato la divergenza del primo modello a piccola distanza dal filo, in quanto l’andamento era circa logaritmico a distanze comparabili allo spessore del filo. Nelle applicazioni di interesse ingegneristico i due fili saranno comunque posti a distanza tale da rendere apprezzabile la precisione anche del primo modello, che pertanto sarà nel prossimo capitolo il punto di partenza per analizzare il comportamento non più in condizioni statiche ma in presenza di onde di pressione (presenza di aria in movimento).

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Capitolo 3

Modello fisico per la perturbazione dinamica della

temperatura statica

In questo capitolo viene presentato un metodo per ricavare un’espressione analitica approssimata della perturbazione indotta da un fluido in movimento (aria) sul profilo di temperatura statica (di cui è già stata ricavata sotto ipotesi semplificative l’espressione matematica nel precedente cap. 2) tra i due fili riscaldati per effetto Joule. Nella prima parte vengono esposte considerazioni fisiche sull’entità del disturbo nei confronti della temperatura di regime (non dipendente dal tempo e derivante dal solo fenomeno di conduzione di calore). Viene poi risolta l’equazione di Laplace per determinare i parametri fisici da cui dipende questo disturbo, al fine di ricavare un’espressione utile a scopi progettuali. A questo scopo viene considerato il profilo di temperatura di un unico filo, per ottenere la distribuzione di temperatura completa nello spazio sarà sufficiente, data la linearità dell’equazione di Laplace, sommare il contributo del secondo filo sia per quanto riguarda la temperatura statica, sia per quella dinamica indotta dall’onda acustica. Infine viene proposto un esempio per il dimensionamento di un sensore noti alcuni parametri di progetto e vengono fornite delle osservazioni sulle espressioni analitiche che saranno confermate ed utilizzate anche nelle successive simulazioni numeriche su COMSOL Multiphysics.

3.1 Osservazioni preliminari sull’entità del disturbo di temperatura indotto dal fluido in movimento

Per poter considerare l’effetto del movimento dell’aria generato dall’onda acustica si deve aggiungere nell’equazione differenziale di Laplace un termine convettivo rispetto a quella considerata nel capitolo precedente, che tenga conto (attraverso il vettore velocità del fluido) dell’effetto che questo ha sulla distribuzione di temperatura statica.

Nell’ipotesi di fluido (aria) in movimento l’equazione di Laplace si modifica come segue:

𝜌 ∙ 𝑐 (𝜕𝑇

𝜕𝑡 + 𝑣 ∙ ∇𝑇) − 𝑘 ∙ ∇

2_{𝑇 = 𝑄 (3.1)}

Dove 𝑣 è il vettore che descrive la velocità del fluido, 𝜌 è la densità del gas e 𝑐 la capacità termica del gas. 𝑄 è la densità di potenza dissipata nel filo (definita come nel cap. 2):

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𝑄 = 𝑃

𝑙𝑦

𝛿(𝑥)𝛿(𝑧) (3.2)

L’equazione (3.1) contiene il termine di convezione forzata 𝑣 ∙ ∇𝑇 che è responsabile del segnale differenziale del sensore. Senza questo termine infatti non avremmo differenza di temperatura tra i due fili. La convezione naturale nel nostro caso non è rilevante poiché questa assume importanza quando il numero di Grashof, 𝐺𝑟, è più grande di 1000. Nel caso di interesse la temperatura di funzionamento è circa di 500 K, e la lunghezza caratteristica è circa 100 𝜇𝑚 quindi:

𝐺𝑟 =𝑔 ∙ 𝛽 ∙ ∆𝑇 ∙ 𝑙𝑦

3

𝑣2 ≪ 1000 (3.3)

Si può quindi concludere che le perdite di calore dovute alla convezione libera sono piccole rispetto ad altre perdite che coinvolgono il sensore (come ad esempio rispetto alle perdite di conduzione del calore), per questo il loro effetto sul profilo della temperatura è trascurabile. La (3.1) può essere riscritta come: 𝜕𝑇 𝜕𝑡 + 𝑣 ∙ ∇𝑇 − 𝑘 𝜌 ∙ 𝑐∙ ∇ 2_{𝑇 =} 𝑄 𝜌 ∙ 𝑐 (3.4)

Si può definire la diffusività termica:

𝐷 = 𝑘

𝜌 ∙ 𝑐 ≈ 2 ∙ 10

−5 _[𝑚 2

𝑠 ] 𝑖𝑛 𝑎𝑟𝑖𝑎 (3.5)

Vogliamo ora confrontare l’entità dei due fenomeni che concorrono nell’equazione di bilancio del calore: il fenomeno della conduzione termica e quello della convezione forzata. Il primo è caratterizzato dal coefficiente 𝐷, a cui si può associare una velocità di diffusione in aria di una particella da un filo ad un altro pari a:

𝑣_𝑑 = 𝐷

𝑎 = 0.2 𝑚

𝑠 (3.6)

40 𝑡_𝑑 = 𝑎 𝐷 𝑎 = 𝑎 2 𝐷 (3.7)

Dove 𝑎 è la distanza tra i fili. Il secondo contributo alla diffusione del calore è data dalla convezione forzata, assumendo una potenza sonora pari a 100 dB abbiamo una velocità dell’onda acustica pari a:

𝑣_𝑐 = 0.0044𝑚

𝑠 (3.8)

Anche in questo caso il tempo di transito del calore può essere trovato come:

𝑡𝑐 =

𝑎 𝑣𝑐

(3.9)

Confrontando i due tempi otteniamo:

𝑡_𝑐

𝑡_𝑑 ≫ 1 (3.10)

Questo significa che nel range di velocità dell’aria di interesse per le applicazioni acustiche il profilo di temperatura dovuto alla conduzione del calore si crea relativamente prima a quello dovuto a convezione forzata, questo perché:

𝑣_𝑑 ≫ 𝑣_𝑐 (3.11)

La temperatura può quindi essere scritta come la somma di due contributi: il primo dovuto alla temperatura statica (quello trovato nel precedente capitolo), il secondo molto più piccolo e quindi considerabile come una perturbazione causata dalla convezione:

𝑇 = 𝑇𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑐𝑎 + 𝛿𝑇 (3.12)

L’equazione di Laplace, trascurando i termini solo statici e considerando solo quelli che contribuiscono al disturbo del profilo statico (ovvero 𝛿𝑇), diventa:

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𝜌 ∙ 𝑐 (𝜕𝛿𝑇

𝜕𝑡 + 𝑣 ∙ ∇𝑇) − 𝑘 ∙ ∇

2_{𝛿𝑇 = 0 (3.13)}

Ipotizzando ora che il gas si muova esclusivamente in una direzione, ad esempio (considerando la stessa geometria del problema e lo stesso riferimento cartesiano del cap.2) in direzione 𝑥:

𝑣 = (𝑣₀ 0 ) (3.14) L’equazione (3.13) diventa: 𝜕𝛿𝑇 𝜕𝑡 − 𝐷 ∙ ∇ 2_{𝛿𝑇 = −𝑣 ∙ 𝜕} 𝑥𝑇 (3.15) 𝜕𝛿𝑇 𝜕𝑡 = 𝐷 ∙ ∇ 2_{𝛿𝑇 − 𝑣 ∙ 𝜕} 𝑥𝑇 (3.16)

Si nota già da ora che l’entità del segnale utile che ci aspettiamo è molto minore della temperatura statica che raggiungono i due fili, questo deriva dal fatto di aver concluso che:

𝑇𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑐𝑎 ≫ 𝛿𝑇 (3.17)

Nelle applicazioni acustiche siamo interessati a segnali periodici, quindi si può scrivere la perturbazione dovuta a convezione 𝛿𝑇 come:

𝛿𝑇 = 𝛿𝑇(𝑥, 𝑧) ∙ 𝑒𝑗2𝜋𝑓𝑡 (3.18)

Dove 𝛿𝑇(𝑥, 𝑧) dipende solo dalle coordinate e non dal tempo; inoltre non dipende dalla coordinata 𝑦 in linea con quanto avevamo stabilito nel paragrafo precedente. Alla luce di queste considerazioni la (3.16) diventa:

𝜕𝛿𝑇

𝜕𝑡 − 𝐷 ∙ (𝜕𝑥

2_{𝛿𝑇 + 𝜕}

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Tenendo conto poi che:

𝜕𝛿𝑇 𝜕𝑡 = 𝑗2𝜋𝑓 ∙ 𝛿𝑇(𝑥, 𝑧) ∙ 𝑒 𝑗2𝜋𝑓𝑡 _(3.20) La (3.19) diventa: 𝑗2𝜋𝑓 ∙ 𝛿𝑇 − 𝐷 ∙ (𝜕_𝑥2_{𝛿𝑇 + 𝜕} 𝑧2𝛿𝑇) = −𝑣 ∙ 𝜕𝑥𝑇 (3.21)

Nel documento Progetto di sensori integrati di velocità delle particelle acustiche per frequenze ultrasoniche (pagine 34-45)