Sulla base delle considerazioni sopra discusse, appare evidente che gli sforzi di progettazione del sensore siano stati orientati nel ridurre lo spessore dei cantilever. Per evitare le approssimazioni elencate ad inizio capitolo (necessarie tuttavia ad ottenere una prima espressione della perturbazione di temperatura 𝛿𝑇 e dei principali parametri liberi che su di essa influiscono) si rende necessario l’uso del simulatore numerico COMSOL Multiphysics (in continuità con i lavori precedenti sui sensori APV). Il software COMSOL permette la risoluzione numerica di equazioni differenziali alle derivate parziali che modellano i fenomeni fisici coinvolti con lo studio di questi sensori. Data l’interazione di diversi fenomeni nel modello considerato (elettrici, fluidodinamici e termici) la struttura modulare di COMSOL si presta bene alla risoluzione di problemi di natura multifisica. Ogni modulo infatti risolve (imposte le opportune condizioni al contorno) un preciso set di equazioni differenziali che governano il fenomeno fisico che si intende studiare. Tipicamente una volta risolto un modulo e trovata la funzione incognita (approssimata) di interesse, quest’ultima viene utilizzata come variabile nota di ingresso ad un modulo successivo che risolve equazioni differenziali di fenomeni di diversa natura fisica. La simulazione è stata quindi affrontata per step successivi, in particolare si è reso necessario risolvere dapprima il problema statico in assenza di onda acustica con un modello 3D del sensore. Data l’impossibilità di affrontare con sufficiente precisione la simulazione di tutti i fenomeni fisici in un unico modello tridimensionale, per la seconda fase della simulazione è stato adottato un modello bidimensionale. Infatti data la complessità computazionale delle equazioni differenziali associate ai fenomeni termici e acustici in transitorio, se affrontata con un modello tridimensionale, la simulazione avrebbe dato luogo a problemi di convergenza. Una volta quindi ricavati i parametri statici di interesse si è proseguito con una simulazione termica 2D in transitorio, che inglobasse anche
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gli effetti che l’onda acustica ha sulla distribuzione di temperatura statica. Pertanto per i fenomeni
elettrici e termici stazionari è stato adottato un modello 3D del sensore, per i fenomeni termici ed acustici in transitorio è stato invece adottato un modello 2D che tenesse comunque conto della terza
dimensione.
4.2.1 Modello tridimensionale
Al fine di ridurre il più possibile la massa termica del sensore e di operare un confronto con le prime versioni dei sensori APV, sono stati analizzati tre diversi modelli 3D che consentissero di studiare i vantaggi ottenuti (in termini di risposta in frequenza) nel ridurre la sezione dei fili sospesi sensibili alle variazioni di temperatura indotte dall’onda acustica.
1. Una prima versione del sensore prevede che solamente il filo sensibile sia in polisilicio
(ricoperto in ossido di silicio), mentre i bracci laterali che collegano la struttura sospesa sulla buca col resto del circuito elettrico siano in ossido di silicio. Una pista di metal interna ai due bracci esterni collega elettricamente il polisilicio, attraverso delle vie, al resto del circuito. Si ricorda infatti che la struttura completa è costituita da coppie di cantilever collegate elettricamente in serie tra loro attraverso un livello di metal, esternamente alla buca sulla quale i fili sono sospesi.
Figura 4.4: prima versione del sensore, in rosso l'ossido e le metal dei bracci laterali, che collegano il filo (sensibile alle variazioni di temperatura indotte dall’onda acustica) di polisilicio in verde nel disegno, al resto del circuito. Sono mostrati i parametri geometrici di interesse per la progettazione del sensore.
I parametri geometrici mostrati in figura hanno il seguente significato: • 𝐿𝑙𝑎𝑡 lunghezza dei bracci laterali sospesi sulla buca (40 𝜇𝑚), • 𝑊𝑙𝑎𝑡 larghezza dei bracci laterali sospesi sulla buca (10 𝜇𝑚),
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• 𝐿𝑚 lunghezza delle metal laterali che collegano il filo di polisilicio al circuito esterno alla buca (48.6 𝜇𝑚),
• 𝑊𝑚 larghezza delle metal laterali (0.75 𝜇𝑚),
• 𝐻𝑜𝑥 = 𝐻𝑚 altezza dell’ossido che ricopre sia le metal che il polisilicio (2.25 𝜇𝑚), è una
grandezza fissata dal processo tecnologico,
• 𝐿𝑝 lunghezza del conduttore in polisilicio (50 𝜇𝑚), • 𝑊𝑝 larghezza del conduttore in polisilicio (0.4 𝜇𝑚),
• 𝑑 distanza della coppia di cantilever, considerata non dalla distanza dei fili in polisilicio ma dalla distanza tra i due ossidi che ricoprono i fili (22 𝜇𝑚).
2. Una seconda versione del sensore prevede che anche i collegamenti elettrici del filo, che
costituiscono anche i bracci laterali di sostegno sulla cavità su cui è sospeso, siano in polisilicio. Non viene più usato un livello di metal (che percorre internamente i bracci laterali in ossido di silicio) per interconnettere esternamente alla buca la coppia di cantilever in serie alle altre coppie. Anche questi collegamenti elettrici sono quindi realizzati in polisilicio: questo ha il vantaggio di poter ridurre lo spessore dell’ossido poiché non è più necessario il livello di metal per connettere elettricamente il filo sensibile al resto del circuito. Poter ridurre lo spessore dell’ossido consente di diminuire la sezione del filo sensibile e quindi la massa termica.
Figura 4.5: seconda versione del sensore, in rosso l'ossido che collega il filo di polisilicio sensibile alle variazioni di temperatura indotte dall’onda acustica (verde), al resto del circuito.
In analogia alla prima versione è possibile identificare alcuni parametri geometrici su cui è possibile intervenire in fase di progetto che influiscono sulla perturbazione dinamica di temperatura 𝛿𝑇:
• 𝐿𝑙𝑎𝑡 lunghezza dei bracci laterali sospesi sulla buca (40 𝜇𝑚), • 𝑊𝑙𝑎𝑡 larghezza dei bracci laterali sospesi sulla buca (10 𝜇𝑚),
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• 𝐻𝑜𝑥 = 𝐻𝑚 altezza dell’ossido che ricopre il polisilicio (1.065 𝜇𝑚), ridotta rispetto alla prima versione per la rimozione dell’ossido relativo alla metal (non più presente),
• 𝐿𝑝 lunghezza del conduttore in polisilicio (50 𝜇𝑚),
• 𝑊𝑝 larghezza del conduttore in polisilicio (0.4 𝜇𝑚),
• 𝑑 distanza della coppia di cantilever, considerata non dalla distanza dei fili in polisilicio ma dalla distanza tra i due ossidi che ricoprono i fili (22 𝜇𝑚).
3. In una terza versione del sensore l’ossido viene completamente rimosso: sia i sostegni laterali del cantilever, che come già detto collegano elettricamente al resto del circuito il filo sensibile, sia quest’ultimo, sono costituiti da polisilicio. In questo modo abbiamo un’ulteriore diminuzione della sezione del filo e quindi della capacità termica verso la temperatura più bassa del sistema (substrato), oltre ad aumentare la resistenza termica e quindi l’isolamento termico, permettendo a parità di potenza (rispetto agli altri due modelli) un aumento della temperatura statica di funzionamento. Le dimensioni rimangono invariate rispetto al caso precedente, ad eccezione di quelle dei bracci laterali, che essendo ora di solo polisilicio hanno una larghezza 𝑊𝑝_𝑙𝑎𝑡 = 1 𝜇𝑚.
Figura 4.6: terza versione del sensore, in verde i fili di polisilicio: sia quello sensibile alle variazioni di temperatura indotte dall’onda acustica, sia quelli laterali che offrono sostegno meccanico e collegamento elettrico al circuito esterno alla buca.
I valori dei parametri sopra descritti (e non giustificati in questa sede) si basano su simulazioni effettuate in lavori precedenti riguardanti sensore APV. [11]
Simulazioni statiche elettriche e termiche 4.2.2
Si nota come nelle fig. 4.4, 4.5, 4.6 sia rappresentato un singolo cantilever, mentre il sensore può funzionare solamente con due cantilever affacciati: in realtà COMSOL permette di imporre sulle opportune superfici delle condizioni di simmetria geometrica che ci consentano, a differenza da
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quanto potrebbe sembrare nel modello 3D delle figure sopra, di simulare la struttura completa. In particolare facendo riferimento alla fig.4.4 è stata imposta la condizione di simmetria termica:
−𝑛̂ ∙ (𝑘 ∙ ∇𝑇) = 0 (4.16)
sulle superfici esterne 1,2,4, mentre sulla superficie 3 e su quelle superiore ed inferiore è stata posta la temperatura pari alla temperatura ambiente 𝑇 = 𝑇0, dove 𝑇0 = 293.15 𝐾. Per le tre strutture è stata individuata la stessa temperatura statica di funzionamento ∆𝑇 = 𝑇 − 𝑇0 = 250𝐾, questo si traduce nel dover alimentare esternamente il filo sensibile a diversi valori di tensione, poiché data la stessa potenza complessiva dissipata dal filo la temperatura di funzionamento varierebbe per ogni struttura in base alle diverse resistenze termiche che ognuna presenta verso 𝑇0 (dati sia i diversi materiali sia la diversa geometria delle tre strutture, come già discusso ad inizio capitolo). Inoltre non essendo la temperatura uniforme nel filo di polisilicio si è scelto di calcolare per ogni struttura la temperatura media dissipata nel dominio di polisilicio (che coincide col filo orizzontale sensibile), cosicchè ∆𝑇 = 𝑇 − 𝑇0 = 250𝐾 è da intendersi come temperatura media nel volume del filo. Al fine di ottenere
questo risultato per il primo modello del sensore si è imposta (facendo riferimento alla fig.4) una tensione 𝑉𝑏𝑖𝑎𝑠_1= 1.36 𝑉 (per una potenza totale dissipata lungo il filo orizzontale pari a 𝑃𝑡𝑜𝑡_1 = 1.08 𝑚𝑊), per il secondo modello 𝑉𝑏𝑖𝑎𝑠_2= 1.58 𝑉 con 𝑃𝑡𝑜𝑡_2 = 0.69 𝑚𝑊, per il terzo modello 𝑉𝑏𝑖𝑎𝑠_3= 1.45 𝑉 con 𝑃𝑡𝑜𝑡_3 = 0.51 𝑚𝑊. L’ultimo modello presenta quindi le prestazioni migliori dal punto di vista del consumo di potenza statica a parità di temperatura raggiunta. Per risolvere staticamente il problema elettrotermico è opportuno dapprima risolvere il problema elettrostatico. Si impone quindi come condizioni iniziali una tensione 𝑉𝑏𝑖𝑎𝑠 tra i due terminali esterni del cantilever, inoltre su tutte le altre superfici che delimitano le zone di conduzione elettrica (metal, vie e polisilicio per il primo modello; polisilicio per i restanti due) si impone la condizione di isolamento elettrico (𝑛̂ ∙ 𝑱) = 0. Per i domini che coincidono con le zone di conduzione si impone come condizione iniziale un potenziale ovunque nullo 𝑉 = 0. Una volta calcolato il potenziale viene calcolato il campo elettrico e la densità di corrente sui domini di interesse attraverso le relazioni:
𝑬 = −∇𝑉 (4.17) E per la densità di corrente:
𝑱 = 𝜎𝑬 (4.18)
Dove 𝜎 è la conducibilità elettrica del mezzo sul dominio considerato, dipendente dalla temperatura secondo la relazione:
𝜎(𝑇) = 𝜎0
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Dove 𝜎0 è la conducibilità a temperatura ambiente ed 𝛼 il TCR di primo ordine. Il modulo elettrostatico necessita quindi della distribuzione di temperatura nei domini dove avviene la conduzione elettrica. Il modulo termico risolve l’equazione di Laplace nel caso statico:
∇ ∙ (𝑘∇𝑇) = −𝑄 (4.20)
Dove la densità di potenza 𝑄 è dovuta alla dissipazione per effetto Joule e può quindi essere espressa come 𝑄 = 𝑱 ∙ 𝑬, che sono grandezze ricavate dal modulo elettrico. Una volta ricavata la temperatura viene nuovamente passata al modulo elettrico che è in grado di offrire una migliore stima della conducibilità elettrica.
4.2.3 Confronto della temperatura statica col risultato analitico
A differenza della soluzione analitica presentata nel cap.1 il simulatore numerico COMSOL consente di tenere di conto della dipendenza della conducibilità termica dalla temperatura, si rende quindi lecito a questo punto un confronto coi risultati ottenuti in modo analitico. Considerando la terza versione del sensore, che è quella che più si avvicina al modello teorico (ha la sezione del filo sensibile minore contro il modello teorico che ha sezione nulla) è possibile graficare con l’ausilio del simulatore la temperatura statica presente tra i due fili. Considerando i seguenti parametri noti:
• Potenza dissipata lungo il filo 𝑃𝑡𝑜𝑡_3 = 0.51 𝑚𝑊, calcolata col simulatore numerico nel terzo
modello del sensore (fissata la distanza tra i fili 𝑑 = 22 𝜇𝑚),
• Lunghezza del filo 𝑙𝑦 = 50 𝜇𝑚 in linea con i parametri del modello,
È possibile sostituire questi valori all’espressione approssimata della temperatura statica del cap.2: la differenza tra i due grafici (fig. 4.7) è dovuta alle approssimazioni utilizzate in sede analitica: considerare lo spessore nullo può da una parte risultare una buona approssimazione visto che lo spessore del filo sensibile di polisilicio (0,4 𝜇𝑚) risulta comunque molto minore della distanza tra i due fili (22 𝜇𝑚). D’altra parte questo comporta un profilo divergente della temperatura là dove l’argomento del logaritmo tende a zero, ovvero a distanze dal filo 𝑑 ≪ 𝑙𝑦. Trascurando quindi le zone
immediatamente vicino ai fili per le motivazioni indicate, si può notare che il profilo della temperatura è piuttosto fedele, anche come valore numerico (con una differenza massima di temperatura di 25 𝐾 nelle zone considerate attendibili), a quello ottenuto con COMSOL. Si aggiunge inoltre il fatto di aver trascurato analiticamente la dipendenza della conducibilità termica 𝐾 dalla temperatura: in realtà la conducibilità termica aumenta all’aumentare della temperatura, ovvero vicino ai fili.
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Figura 4.7: Profilo della temperatura statica tra i due fili. In rosso il profilo ottenuto sostituendo i parametri noti (analoghi a quelli della simulazione) nell’espressione analitica trovata nel cap.2, in nero il risultato della simulazione numerica con COMSOL.
4.3 Modello bidimensionale 4.3.1 Simulazione termica statica
Lo studio della propagazione delle onde acustiche nel fluido e l’effetto che queste hanno sulla distribuzione di temperatura statica è stata affrontata con un modello bidimensionale, tenendo conto anche degli scambi energetici nella terza dimensione (convenzionalmente indicata con 𝑦̂). Ciò è equivalente a porsi in un piano ortogonale alla direzione 𝑦̂, ad un’altezza del filo sensibile (che si ricorda essere parallelo a 𝑦̂) tale da avere una temperatura pari a quella media del modello 3D. Una delle grandezze più importanti da estrarre dal modello tridimensionale, per garantire una continuità nello studio dei fenomeni fisici coinvolti nello studio del sensore, è la densità di potenza dissipata internamente al filo sensibile alle variazioni di temperatura indotte dall’onda acustica. Lo studio del fenomeno di diffusione del calore nel modello bidimensionale infatti presuppone la conoscenza di questa grandezza, dato che l’equazione che risolve il simulatore per determinare il profilo di temperatura dovuto alla sorgente di calore (dovuta alla dissipazione di potenza dei fili) è data da:
∇(−𝑘∇𝑇) = 𝑄′+ 𝑄
𝑣 (4.21)
Che rappresenta l’equazione di Laplace con l’aggiunta del termine 𝑄𝑣 che tiene conto del calore
scambiato nella direzione ortogonale al piano della simulazione 2D, mentre 𝑄′ è la potenza media
per unità di volume estratta dal modello 3D. Se infatti si considerasse solamente della densità di potenza volumetrica ricavata dal modello tridimensionale e si impostasse come condizione di ingresso iniziale al simulatore per risolvere l’equazione riportata sopra, si otterrebbe una distribuzione di temperatura statica diversa da quella già ottenuta nel modello 3D: in altre parole la temperatura media sarebbe diversa da quella attesa. Questo è dovuto al fatto di non aver considerato tutti gli scambi termici a cui è sottoposto il filo riscaldato. Per allineare i due modelli a dei valori affini è quindi opportuno determinare il coefficiente di scambio termico per fare in modo che il filo raggiunga
70
effettivamente lo stesso valore di temperatura medio del modello 3D. Una volta ricavata la temperatura media interna al filo nel modello tridimensionale, lo scopo è quindi di ottenere lo stesso valore anche nel modello bidimensionale del sensore (che corrisponde alla sezione perpendicolare al suo asse). Se non esplicitamente indicato nella simulazione, non viene tenuto di conto delle perdite di calore lungo l’asse perpendicolare al disegno di fig. 4.8 (𝑦̂), in altre parole si assume che il flusso termico lungo l’asse 𝑦 sia nullo perché la temperatura è costante in questa direzione. Questo corrisponderebbe a considerare un filo infinito a temperatura costante pari alla temperatura media desiderata (∆𝑇 = 𝑇 − 𝑇0 = 250𝐾), che non coincide col modello reale, in quanto ad una distanza
finita dalla temperatura massima (che si ha al centro del filo), la temperatura è pari alla temperatura ambiente (temperatura del substrato). Per tenere quindi in considerazione la presenza di un gradiente di temperatura lungo il filo si deve inserire nelle equazioni del bilancio di calore una componente (𝑄𝑣) nel bilancio termico che tenga conto delle perdite lungo il suo asse (ortogonale al piano del
disegno in fig. 4.8).
Figura 4.8: Distribuzione della temperatura nella sezione del filo (linee isoterme) nel piano perpendicolare all’asse del filo, tale piano è stato scelto per la simulazione 2D (piano x-z).
4.3.2 Determinazione del coefficiente di scambio termico
Sviluppiamo un modello teorico che ci consenta di capire quale sia l’influenza e l’utilità di questo termine aggiuntivo (𝑄𝑣), indipendentemente a quale delle tre versioni del sensore venga applicata. Uno dei problemi ricorrenti nel quale ci si imbatte in fase di simulazione è infatti il seguente: una volta ottenuto il valore della densità di potenza interna al filo necessaria ad ottenere la temperatura media target (∆𝑇 = 250𝐾) nel modello tridimensionale, ci si aspetta che inserita nel modello bidimensionale (a parità di materiali, condizioni al contorno, dimensioni geometriche degli oggetti) si ottenga lo stesso valore di temperatura media. Questo non accade poiché, come già detto, se non viene esplicitamente indicato nel modello bidimensionale, si assume che la temperatura sia costante lungo l’asse 𝑦 ed il filo sia infinito in questa direzione (non viene considerato un gradiente di
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temperatura in questa direzione). Ciò porta a trascurare un termine di natura conduttiva nel bilancio termico che ha invece un’influenza fondamentale nella determinazione del valore di temperatura corretta, una volta imposta la potenza dissipata ricavata col modello 3D. Supponiamo inizialmente di trascurare tale termine e prendiamo in considerazione una sezione del filo di spessore infinitesimo 𝑑𝑦, come mostrato in figura:
Figura 4.9: Contributi nel bilancio termico in una sezione del filo di lunghezza dy corrispondente alla fig. 4.7 i contributi conduttivi sono volutamente trascurati perché si assume inizialmente le ipotesi di filo infinito in direzione y e temperatura costante.
Trascurando le perdite per irraggiamento, le perdite dovute alla variazione temporale della temperatura e le perdite per conduzione, possiamo scrivere il bilancio termico considerando solamente il calore sviluppato per effetto Joule:
𝜌 ∙ 𝐼2
𝐴 ∙ 𝑑𝑧 − ((2 ∙ ℎ + 2 ∙ 𝑤) ∙ ℎ𝑒𝑓𝑓2𝐷∙ ∆𝑇2𝐷) ∙ 𝑑𝑧 = 0 (4.22)
𝜌 ∙ 𝐼2
𝐴 = 𝑄
′∙ 𝐴 (4.23)
Dove ℎ ed 𝑤 sono l’altezza e la profondità del filo in polisilicio, ℎ𝑒𝑓𝑓 è un coefficiente di scambio termico che consente di bilanciare la potenza generata per effetto Joule con un termine di perdita proporzionale alla temperatura. ℎ𝑒𝑓𝑓 è un parametro che può essere calcolato manualmente (conoscendo 𝑄′) invertendo la (4.22), una volta noti i parametri geometrici ℎ ed 𝑤 della sezione del
filo nella simulazione 2D. Si può dimostrare attraverso i modelli di COMSOL che nonostante (data la complessità nella geometria del problema e delle equazioni alle derivate parziali coinvolte) non si possa ridurre il problema in questione ad un modello a parametri concentrati, può essere utile il calcolo di un parametro, in seguito denominato 𝛾, che lega la variazione di temperatura del filo con la densità di potenza termica dissipata internamente ad esso. Infatti volendo ridurre la simulazione ad un modello a parametri concentrati, la resistenza termica (fissata la sezione del filo) verso la temperatura ambiente che vede il generatore di potenza vale:
72 𝛾 = ∆𝑇2𝐷 𝜌 ∙ 𝐼2 𝐴 = ∆𝑇2𝐷 𝑄′∙ 𝐴 (4.24) Dove 𝛾
𝑙 restituisce la resistenza termica, una volta fissata l’area di dissipazione della potenza
(coincidente con la sezione del filo), del modello equivalente a parametri concentrati della simulazione: infatti una volta fissata la lunghezza del cantilever 𝑙 sarà sufficiente dividere 𝛾 per questa quantità per ottenere la resistenza termica totale che vede il filo verso la temperatura ambiente. Questa resistenza termica equivalente consente al filo di raggiungere la differenza di temperatura ∆𝑇2𝐷). La
densità di potenza dissipata può essere calcolata dal simulatore nel modello 3D, si può quindi concludere che:
𝑃 =𝜌 ∙ 𝐼
2
𝐴 𝑙 = 𝑄
′𝐴 𝑙 (4.25)
Combinando la (4.22) e la (4.24) si può ricavare la resistenza termica in funzione di ℎ𝑒𝑓𝑓 e dei parametri geometrici del polisilicio:
Rth_2D = 𝛾 𝑙 =
1
(2 ∙ ℎ + 2 ∙ 𝑤) ∙ ℎ𝑒𝑓𝑓∙ 𝑙
(4.26)
È inoltre possibile dimostrare in sede di simulazione che tale resistenza non varia molto con la temperatura e che quindi, in questo caso, l’approssimazione di aver ridotto un modello a parametri distribuiti con un modello a parametri concentrati non introduce grossi errori, che comunque dimostra che la temperatura è una funzione crescente con la densità di potenza dissipata. Riportando infatti su un grafico la densità di potenza dissipata internamente al sensore e la temperatura che questo raggiunge, si nota che l’andamento è meno che lineare ma non si discosta eccessivamente da quello ideale:
Figura 4.10: temperatura raggiunta dal filo nel modello bidimensionale del sensore nel caso si consideri costante con la temperatura la resistenza termica (curva in nero) e nel caso reale simulato da COMSOL (curva in rosso).
73
4.3.3 Stima del coefficiente di scambio termico 𝐺𝑡ℎ noti alcuni risultati preliminari ricavati dalla simulazione COMSOL
Per poter ottenere il profilo della temperatura in direzione 𝑦 dobbiamo avere una stima del coefficiente di scambio termico (ortogonale al piano ideale in cui avviene la simulazione 2D). Tale stima può essere ricavata facendo riferimento ai dati ottenuti dalla simulazione. Prendiamo (a titolo di esempio numerico) in considerazione i bracci laterali conduttivi della seconda versione del sensore (adibiti al sostegno meccanico della struttura ed al collegamento elettrico col resto del circuito esterno alla buca) e calcoliamo la potenza media dissipata internamente a uno di questi (con ℎ = 0,2 𝜇𝑚, 𝑤 = 8 𝜇𝑚, 𝑙 = 50 𝜇𝑚) per effetto Joule quando ai terminali della struttura viene applicata una tensione di 1.68 V (ovvero tale da permettere nel sensore della seconda versione, che il filo sensibile alle onde acustiche si porti ad una temperatura statica di ∆𝑇 = 𝑇 − 𝑇0 = 331 𝐾). Attraverso una
simulazione fisica 3D preliminare otteniamo che la densità di potenza media dissipata internamente ai bracci di polisilicio vale 𝑄′= 5.1537 ∙ 1011 [𝑊
𝑚3]. La (4.22), che si riferisce invece ad una struttura
bidimensionale poiché non sono considerate le perdite per conduzione in direzione 𝑦, potrà quindi essere scritta come:
𝑄′∙ 𝐴 ∙ 𝑙 = ((2 ∙ 𝑙
1+ 2 ∙ 𝑙2) ∙ ℎ𝑒𝑓𝑓∙ ∆𝑇) ∙ 𝑙 (4.26)
Da cui si ricava, ricavando dalla simulazione 3D che in queste condizioni ∆𝑇 = 17.05 𝐾 il valore ℎ𝑒𝑓𝑓 = 2952 [
𝑊
𝑚2∙𝐾] che è un valore ragionevole per fenomeni convettivi microscopici. Si deve però
tener presente che ∆𝑇 = 17.05 𝐾 è stato ottenuto nella simulazione bidimensionale, che non tiene perciò conto delle perdite conduttive nella terza dimensione (direzione 𝑦̂), difatti nel bilancio termico che è stato utilizzato per ricavare il valore di ℎ𝑒𝑓𝑓 non compaiono termini dipendenti da 𝑦. Questo è in accordo col modello bidimensionale utilizzato in COMSOL che, a meno che esplicitamente