In questa sezione vogliamo costruire l’azione media efficace per la gravit`a massiva che verr`a utilizzata nel capitolo seguente. Per raggiungere l’obiet- tivo abbiamo bisogno di definire un path integral gravitazionale. Come in ogni teoria di gauge quando si considera l’integrale funzionale abbiamo la presenza di una ridondanza di configurazioni fisiche. Cos`ı come per la teoria di Yang-Mills useremo il metodo di Faddeev-Popov.
La teoria `e invariante rispetto al di↵eomorfismo
gµ⌫ =L⇠gµ⌫ =rµ⇠⌫ +r⌫⇠µ (2.25)
dove con ⇠µ si `e indicato un vettore infinitesimo, quindi la funzione di partizione sar`a
Z / Z
Dg e S[g] (2.26)
dove con S[g] abbiamo indicato l’azione di Einstein-Hilbert. Per introdur- re il campo di fluttuazione nella teoria quanto-gravitazionale non possiamo considerare uno sviluppo del tipo (1.10), perch´e non `e lecito assumere che le fluttuazioni siano piccole in regime quantistico, in altre parole dobbia- mo formulare una teoria in modo che non ci sia una metrica privilegiata di background. Nella teoria del gruppo di rinormalizzazione si pu`o raggiungere questo scopo attraverso il “background field method”. Quindi introducia- mo una metrica di background arbitraria contestualmente alla metrica di fluttuazione:
gµ⌫ = ¯gµ⌫+ hµ⌫ (2.27)
in modo che trasformino sotto il di↵eomorfismo fisico (2.25): hµ⌫ = rµ⇠⌫+r⌫⇠µ
¯
gµ⌫ = 0 . (2.28)
Definiamo inoltre le trasformazioni sotto il di↵eomorfismo di background: ¯hµ⌫ = ⇠⇢r¯⇢hµ⌫+ h⇢µr¯⌫⇠⇢+ h⇢⌫r¯µ⇠⇢
dove le derivate covarianti ¯rµ sono da intendersi rispetto alla metrica di
background.
Notiamo che l’azione di Einstein-Hilbert ha in aggiunta una nuova sim- metria di split dovuta alla (2.27):
¯
g0µ⌫ = ¯gµ⌫ sµ⌫
h0µ⌫ = hµ⌫+ sµ⌫
SEH[g] = SEH[¯g + h] = SEH[¯g0+ h0] . (2.30)
La gauge fisica viene fissata attraverso il metodo di Faddeev-Popov, mentre tutte le quantit`a che vengono definite sono invarianti rispetto al di↵eomorfi- smo di background. Il metodo di Faddeev-Popov consiste nell’inserire nella (2.26) la quantit`a “1” scritta in modo opportuno al fine di eliminare la ri- dondanza di configurazioni dovute all’invarianza di gauge, quindi andiamo a considerare 1 = Z Df [f] = Z D⇠ [f⇠]det f ⇠ ⇠ (2.31)
f `e la funzione di gauge-fixing e f⇠`e la sua trasformata sotto di↵eomorfismo
fisico. f dipende sia dalla fluttuazione che dalla metrica di background, definiamo la condizione di gauge-fixing:
fµ[h; ¯g] = 0 . (2.32)
Un gauge-fixing tipico `e della forma
fµ[h; ¯g] = µ⌫r¯ 2g¯⌫ r¯µ h⌫ (2.33)
da cui deriva un termine che si va ad aggiungere all’azione: Sgf[h; ¯g] =
1 2↵
Z
ddxp¯g¯gµ⌫ fµ[h; ¯g]f⌫[h; ¯g] (2.34)
dove ↵ e sono i parametri di gauge-fixing.
Oltre all’aggiunta del termine di gauge fixing, nell’azione avremo il ter- mine di ghost di Faddeev-Popov, questo termine nasce nell’isolare l’integra- zione sul vettore del di↵eomorfismo ⇠µ. L’integrazione sui di↵eomorfismi
viene “fattorizzata” e quello che rimane `e il determinante della matrice M[h; ¯g]µ⌫ =
fµ[h⇠; ¯g]
⇠⌫
⇠=0
(2.35) dove si `e indicato con h⇠µ⌫ = hµ⌫+rµ⇠⌫+r⌫⇠µ. Questo determinante viene
riscritto, per mezzo dei campi di ghost di Faddeev-Popov, in un termine che contribuir`a all’azione totale:
detM = Z
DCµD ¯Cµexp
Z
Il contributo all’azione dovuto al termine di ghost con la condizione di gauge- fixing (2.33) avr`a al forma
Sgh[h, ¯C, C; ¯g] =
Z
ddxp¯g ¯Cµ r¯⇢g⌫⇢rµ+ ¯r⇢gµ⌫r⇢ r¯µg⌫⇢r⇢ C⌫.
(2.37) Infine aggiungiamo il termine di massa. In questo caso la presenza della metrica di background `e insita nella definizione che abbiamo dato del termine di massa (1.13) e quindi Sm[h; ¯g] = m2 2 Z ddxp¯g ¯gµ⇢g¯⌫ a0h⇢⌫hµ + b0h⇢µh⌫ (2.38)
dove le due costanti a0 e b0 sono state inserite per avere un termine di massa pi`u generale possibile, il Fierz-Pauli tuning si ritrova imponendo a0 = b0.
L’azione di gauge-fixing, di ghost e quella massiva che abbiamo appena introdotto sono invarianti sotto il di↵eomorfismo di background:
¯Sgf[h; ¯g] = 0
¯Sgh[h, ¯C, C; ¯g] = 0
¯Sm[h; ¯g] = 0 . (2.39)
L’azione totale quindi sar`a
S['; ¯g] = SEH[¯g + h] + Sm[h; ¯g] + Sgf[h; ¯g] + Sgh[h, ¯C, C; ¯g] (2.40)
dove con ' si `e indicato per brevit`a il multipletto di campi (h, ¯C, C). L’ulti- mo ingrediente che ci serve per scrivere l’azione media efficace `e l’azione di cuto↵ Sk['; ¯g] = 1 2 Z ddxp¯g 'Rk[¯g]' (2.41)
l’azione di cuto↵ `e stata costruita con la metrica di background e in modo da essere quadratica nei campi, in questo modo si preserva la struttura a 1-loop della (2.16); ' indica il multipletto di campi e questo significa che avremo un cuto↵ per le fluttuazioni hµ⌫ e per i campi ghost ¯Cµ, C⌫.
A questo punto scriviamo la (2.10) per la gravit`a quantistica massiva e k[';¯g]= Z D exp ✓ S[ + '; ¯g] Sk[ ; ¯g] + Z ddxpg¯ (1;0)k ['; ¯g] ◆ (2.42) dove abbiamo introdotto la notazione compatta
(1;0)
k ['; ¯g] =
k['; ¯g]
'
e dove con S[ + '; ¯g] abbiamo indicato l’azione (2.40) e il multipletto `e tale da avere valore di aspettazione sul vuoto nullo: h i = 0.
La funzione k['; ¯g] nella (2.42) viene chiamata “background E↵ecti-
ve Average Action” (bEAA) per sottolineare la sua derivazione attraverso il background field method. La bEAA cos`ı definita mantiene l’invarianza rispetto al di↵eomorfismo di background lungo tutto il flusso, quello che vogliamo ottenere a k = 0 `e un funzionale che recuperi l’invarianza rispet- to al di↵eomorfismo fisico in quanto l’azione efficace “fisica” (il generatore funzionale dei diagrammi 1PI) dipende esclusivamente dalla metrica totale gµ⌫ ed `e invariante rispetto alla gauge fisica (2.28):
k=0['; ¯g]' [¯g + h] . (2.43)
Per ottenere un funzionale che rispetti queste caratteristiche notiamo che l’invarianza di split definita nella (2.30) implica nell’azione che
S[g] ¯ g =
S[g] h
che in termini dell’azione efficace “fisica” si traduce nell’identit`a di Ward per la simmetria di split:
¯ g = h
dove h `e il valore di aspettazione del campo di fluttuazione. A questo punto quindi possiamo dividere la bEAA:
k[h, ¯C, C; ¯g] = ¯k[¯g + h] + ˆk[h, ¯C, C; ¯g] . (2.44)
Abbiamo definito la gauge-EAA, ¯k[¯g + h], come la parte della bEAA che
soddisfa l’identit`a di Ward di split e che quindi recupera l’invarianza rispetto al di↵eomorfismo fisico. La parte della bEAA che non soddisfa l’identit`a di Ward prende il nome di reminder-EAA, ˆk[h, ¯C, C; ¯g], che comprende anche
il termine massivo definito nella (2.38). In questo modo otteniamo ¯k=0[g] = [g]
Concludiamo il capitolo menzionando l’articolo di Arkani-Hamed, Georgi e Schwartz [7], in questo lavoro si mostra come rendere il termine massivo invariante rispetto a due di↵eomorfismi; si considerano due siti nello spazio delle teorie che sono invarianti rispetto a due cambi di coordinate, i due siti vengono connessi mediante un operatore di link che trasforma in modo non banale rispetto ai due di↵eomorfismi. L’operatore di link cos`ı definito permette la costruzione di un termine massivo che sia al contempo invariante sotto entrambi i di↵eomorfismi dei due siti. Con le opportune modifiche nella bEAA, attraverso questa definizione, il termine massivo rientrerebbe nella gEAA e quindi nell’azione efficace “fisica”.
RG nella Teoria non
Fierz-Pauli
La validit`a della Relativit`a Generale `e confermata sperimentalmente da scale dell’ordine dei millimetri1 (⇠ 10 4m) fino a distanze superiori al sistema
solare (⇠ 1013m) [19]; quindi quando si vuole modificare la gravit`a bisogna
farlo in modo che la “nuova” teoria sia consistente con la Relativit`a Generale nel range di grandezze dove la GR `e confermata sperimentalmente. La teoria di Fierz-Pauli della Massive Gravity non `e a↵etta da ghost ma so↵re della patologia legata alla discontinuit`a di vDVZ, come abbiamo visto nel primo capitolo.
In questo capitolo verr`a presentata una possibile teoria non Fierz-Pauli (nFP), ripercorreremo quanto fatto nel capitolo 1: verranno analizzati gli eventuali modi ghost e la discontinuit`a di vDVZ.
Utilizzeremo lo schema del gruppo di rinormalizzazione per ottenere le funzioni beta per le masse della teoria nFP, e verranno cercati gli eventuali punti fissi con le funzioni beta complete e con le funzioni approssimate.
Useremo da subito la notazione del background field method cos`ı da avere continuit`a con tutto quello che seguir`a, inoltre lavoreremo in dimensione d = 4 e nello spazio euclideo come nel capitolo precedente.
3.1
Teoria non Fierz-Pauli
La teoria Fierz-Pauli ha la caratteristica di non essere a↵etta da ghost grazie alla scelta dei coefficienti dei termini quadratici che annullano il termine (1.17) ma ha il noto problema della discontinuit`a di vDVZ.
1A queste scale quella che si osserva `e la legge di gravitazione di Newton, le correzioni
non lineari della GR si iniziano ad apprezzare su scale planetarie.
L’idea `e quella di rilassare la condizione sui coefficienti e avere un termine pi`u generale rispetto a quello di Fierz-Pauli.
SnFP(mass) = m
2
2 Z
ddxpg h¯ µ⌫hµ⌫ a h2 . (3.1)
Come vedremo in seguito generalizzare il termine di massa `e giustificato dal fatto che il termine di Fierz-Pauli non ha nessuna simmetria che lo protegga dalle correzioni radiative.
Gli indici sono alzati e abbassati attraverso la metrica di background. Il coefficiente a `e quello che utilizzeremo per modificare la teoria; possiamo riscrivere a in modo da generare un termine di massa aggiuntivo:
m2 hµ⌫hµ⌫ a h2 = m2 hµ⌫hµ⌫ h2 + m2Sh2 (3.2)
dove abbiamo definito la “nuova” massa a = m 2 m2 S m2 ! m 2 S = m2(1 a) . (3.3)
Adesso che abbiamo un nuovo termine massivo andiamo a vedere cosa im- plica nelle due patologie: discontinuit`a vDVZ e ghost.
Consideriamo l’azione, quadratica nei campi, di non Fierz-Pauli nel caso di background piatto: SnFP(2) = Z ddx ⇢ @⌫h⌫µ@⇢h⇢µ 1 2@⇢hµ⌫@ ⇢hµ⌫+ 1 2@µh@ µh @ ⌫hµ⌫@µh + m2 2 (hµ⌫h µ⌫ h2) m2S 2 h 2 (3.4)
il propagatore che ne consegue nello spazio degli impulsi a livello ad albero `e PnFPµ⌫⇢ =K 1 p2+ m2 ⌘µ ⌘⌫⇢+ ⌘µ⇢⌘⌫ p 2+ m2 m2 S p2+ (3m2 4m2 S) m 2 2m2 S ⌘µ⌫⌘⇢ = =K 1 p2+ m2 ⌘µ ⌘⌫⇢+ ⌘µ⇢⌘⌫ ⌘µ⌫⌘⇢ + +K 1 p2+ m2 m2(2a 1) 2p2(1 a) + m2(4a 1)⌘ µ⌫⌘⇢ (3.5)
doveK `e una costante moltiplicativa, che in questo contesto non `e rilevante, nel contributo proporzionale a m2 abbiamo usato il coefficiente a definito nella (3.3) per una pi`u chiara lettura del propagatore. Inoltre nella deriva- zione del propagatore non abbiamo fissato la gauge perch´e di fatto il termine massivo rompe la simmetria di gauge eliminando la ridondanza delle configu- razioni, la mancanza dei termini proporzionali agli impulsi dei modi longitu- dinali pµ`e giustificata dal fatto che la discontinuit`a vDVZ si osserva quando
la gravit`a `e accoppiata alla materia e quindi con una sorgente conservata i termini proporzionali agli impulsi non contribuiscono: pµTµ⌫= 0.
Notiamo che la parte tensoriale del propagatore nella seconda riga della (3.5) `e esattamente la stessa del propagatore della GR (1.18). Se consi- deriamo il limite di massa nulla (o equivalentemente di energie p m) abbiamo che il termine proporzionale a m2 tende a zero proprio con la mas-
sa. Nel limite m ! 0 otteniamo il propagatore della GR, questo significa che la teoria nFP `e in accordo con la GR per grandi energie rispetto alle masse. Quindi la discontinuit`a vDVZ `e assente, i termini correttivi saranno dell’ordine O(m2/k2). Inoltre come verifica, notiamo che fissando a = 1 si
ritrova il propagatore di Fierz-Pauli con il termine proporzionale a ⌘µ⌫⌘⇢ moltiplicato per un fattore 2/3 che genera la discontinuit`a vDVZ.
La teoria nFP ci fornisce un punto di accordo con la GR, ma il prezzo da pagare `e la presenza del ghost che rinunciando al tuning di Fierz-Pauli non viene eliminato dalla teoria.
Invece di cercare un modo per eliminare il ghost `e possibile trovare un metodo per aggirare l’ostacolo, come suggerito da Park [17], tramite il mec- canismo di Lee-Wick. Il fulcro del meccanismo `e un metodo per trattare l’integrazione sui poli generati dai ghost; tramite la prescrizione di Lee-Wick si riesce quindi a preservare l’unitariet`a della teoria in presenza dei ghost; per una spiegazione qualitativa del metodo rimandiamo all’ Appendice A.
Se indichiamo conS la matrice di scattering, la condizione di unitariet`a si scrive S†S = 1. Evidenziando la parte interagente (T ) allora l’unitariet`a:
S†S = (1 iT )(1 + iT ) = 1
da cui segue che T†T = 2 Im(T ), il teorema ottico asserisce che 2 Im(T ) 0. Nel caso dei ghost, a causa del segno “sbagliato” del termine cinetico, non viene garantita la non-negativit`a della parte immaginaria e di conse- guenza viene meno l’unitariet`a della teoria. Il meccanismo di Lee-Wick consiste nel considerare il decadimento del ghost in campi “ordinari”, quin- di imponendo la condizione per cui il canale di decadimento del ghost sia aperto (mghost > 2mfield) si ottiene che il propagatore rinormalizzato del
ghost ricever`a un contributo dai diagrammi di self-energy tale da compen- sare il segno del residuo del propagatore e soddisfare, quindi, il criterio di unitariet`a.
La condizione per poter usare il meccanismo di Lee-Wick `e che il ca- nale di decadimento del ghost sia aperto, vediamo cosa implica nell’azione (3.4). Siamo interessati alla massa del ghost e per determinarla ci conviene decomporre il campo hµ⌫ in rappresentazione di Lorentz:
hµ⌫ = Qµ⌫+ 1 m(@µA⌫ + @⌫Aµ) + 1 m2@µ@⌫ + ⌘µ⌫' (3.6) dove @µQµ⌫ = 0 , ⌘µ⌫Qµ⌫ = 0 , @µAµ= 0 . (3.7)
Cos`ı abbiamo che il campo hµ⌫ (10 componenti) `e stato separato in un
tensore a traccia nulla trasverso (5 componenti), un vettore trasverso (3 componenti) e due scalari ( , ').
Il modo ghost `e uno spin-0, come abbiamo gi`a visto, quindi per semplicit`a possiamo porre Aµ= 0. Possiamo eliminare uno dei due spin-0 in funzione
dell’altro utilizzando le equazioni del moto, quindi usando il parametro a definito nella (3.3) e la decomposizione del campo hµ⌫ nella (3.6):
@⌫ S (2) nFP hµ⌫ = 0) @ ⌫h µ⌫ a @µh = 0 (3.8)
che in termini dei campi e ': @µ2 = m2
4a 1
1 a @µ' . (3.9) A questo punto usiamo la (3.6), (3.9) con la condizione Aµ= 0, nella (3.4)
e otteniamo SnFP(2) ! Z ddx ✓ 1 2@⇢Qµ⌫@ ⇢Qµ⌫ m2 2 Qµ⌫Q µ⌫+3 @ µ'@µ'+m 2 2 4a 1 1 a' 2 ◆ (3.10) dalla quale si vedono i gradi di libert`a fisici di spin-2 (Qµ⌫) e il modo ghost
spin-0 (').
La massa del ghost `e data da mgh = m
q
4a 1
2(a 1) e la condizione affinch´e
si possa usare il meccanismo di Lee-Wick `e mgh > 2m che si traduce in
una condizione sul parametro a: 34 < a < 1, che a sua volta ci fornisce una condizione sul valore della massa mS:
0 < m2S< 1 4m
2 (3.11)
che ci fornisce un limite superiore alla mS, come avevamo anticipato, e che
useremo nel seguito.
In conclusione abbiamo visto che abbandonando la restrizione del tuning di Fierz-Pauli il modo ghost viene ripristinato, ma abbiamo il vantaggio di poter eliminare la discontinuit`a di vDVZ quando consideriamo il limite di m ! 0 o equivalentemente quando consideriamo energie molto grandi rispetto alla massa del gravitone, come si vede dal propagatore nella (3.5).
Inoltre con la condizione (3.11) possiamo utilizzare il metodo di Lee-Wick per aggirare l’ostacolo dei ghost e recuperare l’unitariet`a; sottolineiamo che non abbiamo eliminato il ghost dalla teoria ma sfruttiamo il metodo di Lee-Wick per poterlo gestire.