Proiezioni per il futuro - Punti Fissi e Risultati

3.3 Punti Fissi e Risultati

3.3.1 Proiezioni per il futuro

A livello puramente qualitativo consideriamo adesso la versione adimensionale delle funzioni complete (3.38) e (3.39), che si ottiene tramite la sosti- tuzione (3.40). Per quanto riguarda la funzione G manteniamo la (3.36)

consapevoli di non garantire la consistenza nei livelli di approssimazione. Con queste tre funzioni cerchiamo i possibili punti fissi e i relativi esponenti critici. Quello che ci si aspetta di trovare è il punto fisso gaussiano (presente in ogni teoria) e un punto fisso non banale con valori critici simili a (3.48), perché anche se nella sezione precedente abbiamo utilizzato uno sviluppo delle funzioni , gli esponenti critici di un punto fisso sono quan- tità universali; dobbiamo però tenere di conto che non abbiamo la forma della funzione della costante di Newton completa e sicuramente in questa approssimazione “naive” stiamo tralasciando dei contributi che in linea di principio non si possono trascurare.

Quello che si trova `e la presenza del punto fisso gaussiano, e di quattro punti fissi non banali. Di questi solo due hanno gli esponenti critici positivi:

˜ G_⇤ = 1.7136! ⌫G= 2 ( ˜ m2_⇤= 3.427! ⌫1 = 5.991 ˜ m2_S_⇤ = 3.433_{! ⌫}2 = 6.759 ( ˜ m2_⇤= 0.546! ⌫1 = 6 ˜ m2_S_⇤ = 0.679_{! ⌫}2 = 154 . (3.49) Come abbiamo detto i valori numerici delle masse non hanno un vero e proprio significato fisico, quello a cui siamo interessati sono gli esponenti critici che hanno un carattere universale, confrontando quelli ottenuti nella (3.48) con quelli appena trovati, il possibile candidato ad essere il punto fisso osservato con le funzioni approssimate `e il primo della (3.49). Questo suggerisce un passo in avanti nello studio di questa teoria con il calcolo della funzione della costante di Newton direttamente dall’equazione di Wetterich (3.19) senza approssimazioni, includendo la dimensione anomala.

Conclusioni

Nel 1916 quando Albert Einstein regalò all’umanità una delle teorie più eleganti e predittive della fisica, lasciò in eredità anche due grandi questioni tutt’ora aperte: il problema della costante cosmologica e quello di trovare una teoria completa della gravità quantistica. Questi due aspetti riguardano la Relatività Generale a due scale di lunghezza diametralmente opposte. Il problema della costante cosmologica si riferisce a lunghezze dell’ordine di_⇠ 1026_{m (universo osservabile), mentre la teoria quantistica della gravitazione}

riguarda ordini di grandezza della lunghezza di Planck⇠ 10 35_{m. Tra questi}

due estremi, nelle scale intermedie, la relativit`a generale descrive con estrema precisione il nostro universo.

Una delle strade percorse dai fisici per trovare una soluzione al problema della costante cosmologica `e modificare la teoria della relativit`a generale nel settore IR, dotando di massa il mediatore dell’interazione gravitazionale: il gravitone.

La relatività generale con l’azione di Einstein-Hilbert non è perturbati- vamente rinormalizzabile in termini di QFT, questo è un problema direttamente legato al fatto che non abbiamo una teoria di QG. Dalla metà degli anni ’60 del secolo scorso, partendo dal lavoro di Wilson [9] sul gruppo di rinormalizzazione, alcuni fisici svilupparono un metodo di rinormalizzazione non perturbativo, che Weinberg [10] chiamò “Asymptotic Safety”. Questo metodo prende in considerazione le teorie efficaci, che sono teorie predittive e valide al di sotto di una determinata scala energetica, e ne studia il comportamento al variare dell’energia di cuto↵.

La descrizione della gravità di Einstein nel contesto dell’Asymptotic Sa- fety necessita dell’introduzione di una metrica di background per poter definire un’azione efficace dipendente dalla scala k che sia gauge-invariante, come abbiamo visto nel capitolo 2, questo è un punto in comune con le teorie efficaci della gravità massiva, che a loro volta hanno bisogno di una metrica di background per poter definire un termine massivo. Questo pun- to in comune ha stimolato la nostra curiosità, e spinti anche dall’assenza

di ricerche in questo campo, abbiamo applicato il metodo del gruppo di rinormalizzazione alla gravit`a massiva.

Storicamente il primo termine di massa utilizzato nella gravità massiva è il termine di Fierz-Pauli; è uno dei più utilizzati in quanto la sua particolare forma esclude la possibilità di avere dei modi ghost (1.17). D’altra parte i gradi di libertà della teoria Fierz-Pauli passano da 5 ai 2 della GR nel limite m _{! 0, questa variazione si presenta attraverso la discontinuità di vDVZ.} La teoria che abbiamo studiato in questa tesi rilassa la condizione del tuning di Fierz-Pauli considerando un termine massivo più generico (3.13), riscritto in modo da avere un termine massivo di Fierz-Pauli e un termine aggiunti- vo proporzionale alla traccia del tensore di fluttuazione⇠ h2_{, che abbiamo}

chiamato termine scalare. Abbiamo visto nel capitolo 3 che questa teoria non è soggetta dalla discontinuità di vDVZ, e quindi nel limite m_{! 0, equi-} valentemente per energie E m, ritroviamo con continuità i risultati della Relatività Generale. Il prezzo da pagare però è la presenza del modo ghost che crea instabilità nella teoria che si manifesta attraverso la violazione del teorema ottico e la conseguente perdita di unitarietà. Non tutto è perduto perché anche se non possiamo eliminare il ghost, possiamo trovare un modo per conviverci, per fare questo ci viene in aiuto il meccanismo di Lee-Wick che prevede una prescrizione specifica in grado di poter recuperare l’unita- rietà della teoria. Per poter usare il meccanismo di Lee-Wick abbiamo una condizione sulle masse (3.11) che ci permette di fissare un limite superiore alla massa scalare legato alla massa di Fierz-Pauli.

La teoria che abbiamo studiato è compatibile con la Relatività Generale nel limite m! 0 e mantiene l’unitarietà tramite il meccanismo di Lee-Wick. A questo punto ci siamo spinti a studiarne il comportamento ad alte energie con il metodo del gruppo di rinormalizzazione funzionale. Per prima cosa abbiamo definito la bEAA (sezione 3.2) ovvero un’azione efficace della gravità con il termine di massa (3.13) quantizzata con il metodo di Faddeev-Popov (3.14), (3.15), (3.16) e con un termine di cuto↵ (3.18). Il termine di cuto↵, oltre a “curare” le divergenze IR modificando il propagatore, ha la funzione di introdurre la dipendenza nella teoria dalla scala k. L’evoluzione della bEAA rispetto alla scala di tempo RG1 _{è data dall’equazione di Wetterich}

(3.19) che prende anche il nome di equazione esatta del gruppo di rinormalizzazione, evidenziando il fatto che non sono state fatte approssimazioni nella derivazione di questa equazione; siamo in regime non perturbativo.

Considerando la variazione seconda rispetto al campo di fluttuazione hµ⌫

dell’equazione di Wetterich ci siamo ricavati le espressioni complete delle funzioni delle masse (3.38), (3.39). A questo punto abbiamo introdotto due approssimazioni:

1_{il tempo RG `e definito come t = log k/k}

0dove k0`e una scala di energie di riferimento

che in questa tesi è stata presa k0 = 10 11eV che in unità naturali equivale ad un’Unità

• abbiamo posto la dimensione anomala dei campi ⌘h,C =

1 Zh,C

@tZh,C = 0

questo equivale allo sviluppo cosiddetto ad un loop nella teoria per- turbativa

• abbiamo considerato la funzione della costante di Newton trascu- rando le correzioni di tipo soglia dovute alle masse: (3.36) e (3.38). Per essere consistenti con queste approssimazioni abbiamo sviluppato le funzioni delle masse in potenze di m2/M_Pl2 fino al prim’ordine. In questo modo oltre alla consistenza con le approssimazioni abbiamo recuperato l’indipen- denza dallo schema di rinormalizzazione [18] infatti il termine proporzionale a k0 nelle (3.42) e (3.43) è il termine relativo alla divergenza logaritmica, come abbiamo mostrato alla fine del sezione 3.2. Questo termine è in corri- spondenza diretta con il termine 1/" della regolarizzazione dimensionale, ed ha un carattere universale, indipendente dallo schema di rinormalizzazione. Il metodo del gruppo di rinormalizzazione funzionale studia le traiettorie nello spazio delle teorie al variare della scala k in funzione degli accoppiamenti della teoria che ne rappresentano le coordinate. In questo modo il comportamento delle teorie a diverse energie viene determinato dal comportamento degli accoppiamenti stessi. Una teoria è “Asymptotically Safe”, ammette quindi un completamento UV, quando per k ! 1 gli accoppiamenti non divergono, ma raggiungono quello che prende il nome di punto fisso, come abbiamo definito nel capitolo 2. Al di là del valore numerico che assumono gli accoppiamenti e che non ha un vero e proprio significato fisico, quelli a cui siamo interessati sono gli esponenti critici che hanno invece un carattere universale, indipendente dalla funzione di regolarizzazione utilizza- ta. Gli esponenti critici positivi caratterizzano punti critici che attraggono le traiettorie e per questo si chiamano rilevanti, mentre esponenti critici negativi determinano un carattere repulsivo e vengono chiamati irrilevanti. La teoria che abbiamo studiato oltre al punto fisso gaussiano (corrispon- dente alla teoria libera) presenta un punto fisso UV (3.47) con esponenti critici rilevanti ma si trova in prossimità di valori negativi delle masse (3.47). Il cambio di segno subito dalle masse al crescere di k è sintomatico di rot- tura spontanea di simmetria di una qualche simmetria nascosta, questo può significare due cose: potremmo aver bisogno di aggiungere dei termini al nostro potenziale che attualmente non conosciamo, oppure potrebbe essere una conseguenza delle approssimazioni che abbiamo fatto, e quindi inter- pretare il cambio di segno come un limite di validità delle approssimazioni fatte. Un modo per vedere se quest’ultima a↵ermazione è corretta oppure no sarebbe considerare le funzioni complete sia delle masse che della costante di Newton, sfruttando la piena potenza dell’equazione esatta del gruppo di rinormalizzazione.

La massa del gravitone è una modifica del settore IR della Relatività Generale e quindi ci si aspetta che nel regime UV la massa adimensionale tenda a zero ed è quello che si osserva nei grafici di fig. 3.4a e fig. 3.4b prima del cambio di segno, che come abbiamo già osservato, segna il limite di validità della teoria. Come si vede dal grafico di fig. 3.5 la teoria è unitaria tramite il parametro di Lee-Wick; la teoria mantiene le sue caratteristiche fino a valori del tempo RG prossimi a t ⇠ 30. Una delle teorie efficaci di gravità massiva più famose è la teoria ⇤3 introdotta nel capitolo 1. Questa

teoria ha un cuto↵ in energia pari a ⇤3= (MPlm2)1/3⇠ 10 5eV al di sopra

del quale la teoria non è più valida, mentre il limite della nostra teoria è t_{⇠ 30 che corrisponde a circa 10}2eV (entrambi calcolati con una massa del gravitone pari a_{⇠ 10} 22_{eV [13]).}

In questa tesi abbiamo applicato per la prima volta il metodo RG alla gravità massiva nella teoria non Fierz-Pauli, abbiamo studiato la teoria dal settore IR, dove presenta le caratteristiche principali delle teorie di gravità massiva, al settore UV, dove è possibile che esista un completamento della teoria ma non ne abbiamo la certezza in quanto con le approssimazioni fatte abbiamo attraversato una qualche transizione di fase che segna la fine di validità della teoria; inoltre per lunghezze intermedie ritroviamo l’andamen- to della GR nel limite di massa nulla. Sottolineiamo il fatto che il modo ghost non è stato eliminato dalla teoria ma deve essere trattato mediante il meccanismo di Lee-Wick; nella teoria ⇤3si elimina il modo ghost ma si paga

il prezzo di avere un termine massivo con infiniti termini e con coefficienti da scegliere in modo opportuno al fine di cancellare il ghost.

Questo primo approccio apre la strada ad uno studio più approfondito della gravità massiva nella teoria non Fierz-Pauli con il metodo RG, il natu- rale proseguimento è la ricerca di punti fissi con le funzioni complete con il controllo dell’unitarietà attraverso il parametro di Lee-Wick.

Se chiudete la porta a tutti gli errori anche la verit`a ne rester`a fuori.

Meccanismo di Lee-Wick

Nella teoria non Fierz-Pauli studiata nella tesi, abbiamo a↵rontato il problema di modi che hanno il termine cinetico con il segno opposto rispetto a quello convenzionale: i ghost. Questi modi creano instabilità, violano il teorema ottico e compromettono l’unitarietà della teoria. Nel corso della tesi abbiamo più volte fatto riferimento al meccanismo di Lee-Wick per aggirare l’ostacolo dei ghost e mantenere la teoria unitaria, però senza mai spiegare in che cosa consiste questo metodo.

In questa appendice vogliamo dare un’idea pi`u chiara, seppur qualitativa, di come funziona il meccanismo di Lee-Wick; nella prima sezione vedremo come a↵rontare un integrale tipico derivante dai modi ghost, mentre nella seconda vedremo il meccanismo all’opera con una teoria modello.

A.1 Prescrizione di Lee-Wick

Nel 1939 Fierz e Pauli introdussero un termine massivo nella teoria dello spin-2 scegliendo i coefficienti al fine di annullare il modo ghost come abbiamo visto nel capitolo 1. Se abbandoniamo la restrizione del tuning di Fierz-Pauli avremo nella nostra teoria dei propagatori del tipo ⇠ _ap4_+bp1 2_+c

che nascono da termini come quelli nella (1.17); questo tipo di propagatori sono presenti anche nelle teorie della gravità con derivate di ordine superiore. Il numeratore del propagatore non influisce sulla discussione delle singolarità e quindi viene posto per semplicità uguale all’unità.

Possiamo riscrivere il propagatore in modo da avere: 1

(p2 _µ2₎2_{+ M}4 =

(p2 _µ2 _iM2_)(p2 _µ2_{+ iM}2₎ (A.1)

dove con p indichiamo il momento su cui stiamo integrando. Possiamo quindi definire due masse complesse:

m2₁ = µ2+ iM2 e m2₂= µ2 iM2. (A.2) 59

Figura A.1: Grafico dei poli (A.3), notiamo come l’integrazione nell’euclideo in azzurro e nel minkowskiano in verde non siano equivalenti; la rotazione di Wick non `e pi`u valida.

Stiamo considerando due masse con una parte immaginaria, ma a di↵erenza della prescrizione di Feynman, la parte immaginaria non `e una quantit`a infinitesima che poi manderemo a zero. In questa situazione si vengono a creare quattro poli:

p0=_±p~p2_{+ µ}2_{± iM}2_. _(A.3)

Nella fig. A.1 si vede che la rotazione di Wick non è più lecita in quanto l’integrazione lungo l’asse reale, nello spazio di Minkowski e quella lungo l’asse immaginario, nello spazio euclideo, non sono più equivalenti; integrando su Minkowski otterremo delle quantità⇠ (k2 _m2₎ 1_{che per}_|k2_| _m2_avran-

no un andamento k 2 ma che rischiano di essere divergenti anche in questo limite a causa della metrica: k2 _{= k}02 _~k2_{. Mentre l’integrazione lungo}

l’asse immaginario, elimina le divergenze e cos`ı si ottengono degli integrali ben definiti.

La prescrizione di Lee-Wick si pu`o riassumere nella deformazione del cammino di integrazione in modo opportuno da eliminare i termini divergenti, come per esempio nella fig. A.2 dove `e riportato un esempio di cammino di integrazione che deriva da un integrale del tipo

Z d4p (2⇡)4 1 (p2 _µ2₎2_{+ M}2 1 ((p k)2 _µ2₎2_{+ M}2 . (A.4)

Nella teoria di Lee-Wick anche la prescrizione di Feynman viene vista come una deformazione del cammino di integrazione.

Figura A.2: Grafico dei poli e del cammino di integrazione in verde dell’integrale (A.4) seguendo la prescrizione di Lee-Wick.

Nel documento Un approccio alla gravita massiva con il gruppo di rinormalizzazione: la teoria non Fierz-Pauli (pagine 53-61)