Adesso vogliamo a↵rontare un modello molto semplice per capire il mecca- nismo di Lee-Wick; consideriamo la seguente lagrangiana [22]:
L = 12@µ @µ 1 2m 2 2+1 2@µ'@ µ' + 1 2m 2 ''2 1 3!g( ') 3 (A.5)
notiamo che `e la versione semplificata e interagente della (3.10); `e un campo scalare mentre ', come si vede dal segno opposto del termine cinetico, `e il campo di ghost. Se consideriamo il propagatore del ghost, a causa dell’interazione cubica, ricever`a contributi di sola self-energy:
P'(p) = i p2+ m2 ' + i p2+ m2 ' ( i⌃(p2)) i p2+ m2 ' +· · · = i p2+ m2 '+ ⌃(p2) . (A.6) il contributo di self-energy nel denominatore ha il segno opposto rispetto a quello che avrebbe nel propagatore rinormalizzato di uno scalare. Quando il canale di decadimento del ghost `e aperto, quindi siamo nella condizione m' > 2m , il contributo alla self-energy del ghost dal diagramma a 1 loop
con due vertici ' ha una parte immaginaria in prossimit`a del polo: ⌃ = im' dove = g 2 32⇡m' s 1 4m 2 m2 ' < 0 . (A.7) La condizione m' > 2m `e esattamente la condizione che abbiamo usato
nel capitolo 3 per ottenere il vincolo sulle masse (3.11). Se adesso conside- riamo uno scattering , il teorema ottico a↵erma che la parte immaginaria dell’ampiezza di scattering deve essere non negativa, in questo modo l’uni- tariet`a della teoria `e garantita. A questo proposito andiamo a considerare il
caso in cui si potrebbe presentare una violazione dell’unitariet`a, quindi uno scattering mediato da un ghost ':
iM = ( ig) · P'(p)· ( ig) (A.8)
la parte immaginaria diM `e data da
=M = g 2m ' (p2+ m2 ')2+ m2' 2 (A.9) notiamo che questa quantit`a `e positiva e quindi l’unitariet`a `e preservata. Quello che accade `e che il segno negativo della compensa il segno negativo del residuo del propagatore, in questo modo si recupera l’unitariet`a.
Quindi se la massa del ghost `e tale da non escludere il decadimento in particelle fisiche, il meccanismo di Lee-Wick permette di recuperare l’uni- tariet`a della teoria. L’ampiezza di decadimento `e proporzionale a , con il meccanismo di Lee-Wick abbiamo visto che per il ghost < 0 (A.7), quindi implicherebbe una vita media negativa. Questo `e un modo euristico per sottolineare che meccanismi come quello di Lee-Wick tipicamente generano violazioni della microcausalit`a [23].
Ringraziamenti
Ogni nome `e un uomo ed ogni uomo `e solo quello che scoprir`a inseguendo le distanze dentro se. (Negrita, 2005)
A distanza di 12 anni dall’ultima volta mi ritrovo a concludere la mia tesi di laurea. In mezzo tante esperienze, tutte diverse e tutte che mi hanno lasciato un segno indelebile; mi hanno dato la forza e la determinazione di rimettermi in gioco e a↵rontare questo percorso ormai giunto al termine. Ma non `e stato solo merito mio, alcune persone sono state fondamentali per raggiungere questo obiettivo e mi sembra doveroso, oltre che piacevole, ringraziarle.
Ringrazio di cuore il Dr. Zanusso, o meglio Omar, che ho avuto il piacere e la fortuna di avere accanto in questo percorso, `e stato una guida paziente e precisa, ha capito e assecondato le esigenze dettate dai tempi stretti. Il nostro `e uno dei rari casi in cui laureando e relatore sono quasi coetanei; ma credo che alla fine questo poco divario di et`a sia stato un valore aggiunto piuttosto che un ostacolo, soprattutto in questo assurdo 2020. Grazie.
Non posso che esprimere una profonda gratitudine verso mia moglie, Paola, che mi ha supportato e sopportato in questi anni impegnativi per entrambi, che mi ha ascoltato con interesse (finto, ma non si notava) quando provavo a spiegarle i concetti della tesi. Senza di lei non ce l’avrei fatta, adesso per sdebitarmi sicuramente mi aspetteranno altrettanti anni di duro lavoro domestico...
Per ultimi ma non in importanza ringrazio i miei genitori che mi hanno sostenuto e che senza il loro prezioso aiuto questo obiettivo sarebbe stato impossibile da raggiungere, sono stati una spalla su cui appoggiarmi nei mo- menti difficili e spero, in un futuro, di poter essere il bastone che li sorregger`a quando saranno stanchi.
I miei nonni mi hanno insegnato che il tempo `e tanto pi`u prezioso quanto pi`u ce ne lasciamo alle spalle, ma che alla fine non `e mai abbastanza; grazie a chiunque abbia speso il suo tempo per leggere questa tesi.
Marco Martinucci
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