EQUAZIONE DIFFERENZIALE FONDAMENTALE

Supponiamo che il prezzo spot, S, dell’azione segua il processo stocastico seguito dal prezzo di un titolo che non paga dividendi.

(2.27)

Sia f il prezzo di una call o di un altro derivato che dipende da S. La variabile f deve essere una certa funzione di S e t. Pertanto, si ha:

(2.28)

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∆ ∆ ∆ (2.29) e

∆ ∆ ∆ (2.30)

dove ∆ e ∆ sono le variazioni di f e S in un piccolo intervallo di tempo, ∆ .

I processi di Wiener da cui è influenzata la dinamica di f e S sono gli stessi. Ne segue che, scegliendo un portafoglio composto dall’azione e dal derivato, il processo di Wiener può essere eliminato.

Il portafoglio appropriato è così composto:

1: derivato : azione

Il possessore di questo portafoglio è corto di un derivato e lungo di una quantità di azioni pari a / . Sia il valore del portafoglio. Per definizione si ha

S (2.31)

La variazione, ∆ , del valore del portafoglio nell’intervallo di tempo ∆ è data da

∆ ∆ ∆S (2.32)

Sostituendo le equazioni (2.29) e (2.30) nell’equazione (2.32), si ottiene

∆ ∆ (2.33)

Dato che in quest’equazione non figura il termine ∆ , il portafoglio deve essere privo di rischio durante l’intervallo di tempo ∆ .

Le ipotesi elencate precedentemente implicano che il portafoglio deve rendere nel prossimo istante di tempo lo stesso tasso di rendimento dei titoli a breve privi di rischio. Se rendesse di più (o di meno), gli arbitraggisti potrebbero far profitti vendendo (comprando) titoli privi di rischio e acquistando (vendendo) il portafoglio. Ne segue che

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dove r è il tasso d’interesse privo di rischio. Sostituendo nella (2.34) i valori di Π e ∆ riportati nelle equazioni (2.31) e (2.33), si ottiene

1

2 ∆ ∆

cosicché

1 2

Questa è l’equazione differenziale di Black-Scholes-Merton. Ha molte soluzioni, una per ogni derivato che dipende da S. La soluzione particolare che si ottiene risolvendo l’equazione dipende dalle “condizioni al contorno” (boundary conditions). Queste condizioni definiscono il valore del derivato per valori estremi di S e t.

Nel caso di una call europea, la principale condizione al contorno è

, 0 quando

Nel caso di una put europea è

, 0 quando

Questo portafoglio non è sempre privo di rischio. Lo è solo per un periodo di tempo infinitesimo. Quando S e t cambiano, anche ⁄ cambia. Pertanto, per mantenere il portafoglio privo di rischio, è necessario aggiustare continuamente le quote del portafoglio rappresentate dal derivato e dall’azione sottostante.

2.7 VALUTAZIONE NEUTRALE VERSO IL RISCHIO

Il principio della valutazione neutrale verso il rischio trae origine da una proprietà fondamentale dell’equazione differenziale di Black-Scholes-Merton: in quest’equazione non figurano variabili che sono influenzate dalla propensione al rischio degli investitori. Le variabili che appaiono nell’equazione sono il prezzo corrente dell’azione, il tempo, la volatilità dell’azione e il tasso d’interesse privo di rischio. Tutte queste variabili non dipendono dalla propensione al rischio degli investitori.

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L’equazione differenziale di Black-Scholes-Merton non sarebbe indipendente dalla propensione al rischio degli investitori se contenesse il tasso di rendimento atteso, , dell’azione. Il livello di dipende dalla propensione al rischio. Più elevata è l’avversione al rischio degli investitori, più elevato è il tasso di rendimento atteso di ogni titolo. Fortunatamente, nel ricavare l’equazione, i termini in si elidono tra di loro. Il fatto che l’equazione differenziale di Black-Scholes-Merton sia indipendente dalla propensione al rischio degli investitori ci consente di utilizzare un’ingegnosa argomentazione. Se è vero che la propensione al rischio non figura nell’equazione differenziale, ne segue che essa non può influenzarne la soluzione. Pertanto, al fine di determinare il valore corrente, f, di un derivato, possiamo fare qualsiasi ipotesi circa la propensione al rischio degli investitori. In particolare, possiamo semplicemente ipotizzare che tutti gli investitori siano neutrali verso il rischio.

In un mondo di investitori neutrali verso il rischio, il tasso di rendimento atteso di tutti i titoli è uguale al tasso d’interesse privo di rischio, r. Gli investitori non richiedono alcun premio per assumersi dei rischi. E’ anche vero che, in un mondo neutrale verso il rischio, il valore attuale di ogni futuro pagamento va calcolato attualizzandone il valore atteso in base al tasso d’interesse privo di rischio. Pertanto, l’ipotesi che il mondo sia neutrale verso il rischio semplifica notevolmente l’analisi dei derivati.

Consideriamo un derivato che offre un certo payoff al tempo T. Applicando il principio della valutazione neutrale verso il rischio, lo possiamo così valutare:

1. supponiamo che il tasso di rendimento atteso dell’attività sottostante sia pari al tasso d’interesse privo di rischio, r (si suppone cioè che ;

2. calcoliamo il valore atteso del derivato al tempo T;

3. attualizziamo il valore atteso in base al tasso d’interesse privo di rischio

L’ipotesi di neutralità verso il rischio rappresenta solo un espediente tecnico per ottenere le soluzioni dell’equazione differenziale di Black-Scholes-Merton. Le soluzioni ottenute sono valide comunque e non solo nel caso in cui gli investitori siano neutrali verso il rischio. Quando passiamo da un mondo neutrale verso il rischio a un mondo di avversione al rischio, due sono le cose che succedono. Cambia il tasso di rendimento atteso dell’azione e cambia il tasso d’interesse per attualizzare il valore finale dei derivati. Questi due effetti si compensano esattamente tra di loro.

41 2.8 FORMULE BLACK-SCHOLES-MERTON

Le formule Black-Scholes-Merton per la valutazione di calls e puts europee su titoli che non pagano dividendi sono le seguenti:

(2.35) (2.36) dove ln ⁄ ⁄2 √ ln ⁄ ⁄2 √ √

L’espressione N(x) indica la funzione di distribuzione di una variabile normale con media nulla e deviazione standard pari a 1, ossia la probabilità che una variabile normale standardizzata assuma un valore inferiore a x (Figura 2.5). Come al solito, è il prezzo dell’azione al tempo zero, K è il prezzo d’esercizio, r è il tasso d’interesse privo di rischio (composto continuamente), è la volatilità del prezzo dell’azione e T è la vita residua dell’opzione.

Figura 2.5: La funzione N(x) misura l’area tratteggiata.

Un modo per ricavare le formule di Black, Scholes e Merton è quello di risolvere l’equazione differenziale soggetta alle condizioni al contorno menzionate nel paragrafo 2.6. Un altro modo è quello di ricavarle in base al principio della valutazione neutrale verso il rischio.

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Significato di N( ) e N( )

L’espressione N( ) ha un significato molto semplice. Rappresenta la probabilità, in un mondo neutrale verso il rischio, che la call venga esercitata.

L’espressione N( ) non è altrettanto semplice da interpretare. Il termine N( ) è il valore atteso, in un mondo neutrale verso il rischio, di una variabile che è pari a se e che è pari a zero altrimenti. Lo strike K viene pagato solo se e la probabilità che ciò accada è pari a N( ).

Pertanto , il valore atteso della call in un mondo neutrale verso il rischio è pari a

Attualizzando il valore atteso in base al tasso d’interesse privo di rischio, si ottiene la formula di Black-Scholes-Merton per il valore corrente della call: