IL MODELLO BLACK-SCHOLES

Le formule di questo modello consentono di valutare le opzioni europee in modo analitico.

Per fare un esempio, supponiamo che il 29 settembre 2016, il prezzo dell’azione X era pari a $48,89, la deviazione standard continua annuale era del 55,56%, il rendimento di un Buono del Tesoro americano a rischio zero in scadenza al 15 gennaio 2017 era lo 0,96%, il prezzo di esercizio di un’opzione Call sull’azione X era $50,00, il prezzo di un’opzione Put sull’azione X era $50,00 e il tempo che mancava alla scadenza (16 gennaio 2017) era, per entrambe le opzioni, 0,2972 anni. Qual è il prezzo corrente dell’opzione Call e dell’opzione Put?

Per costruire questo modello in Excel, digitiamo gli input nel range B4:B8. La formula per calcolare è:

ln ⁄ ⁄2 / √

Nella cella B11, digitiamo =(LN(B4/B7)+(B6+B5^2/2)*B8)/(B5*RADQ(B8)). La formula per calcolare è:

√ Nella cella B12, digitiamo =B11-B5*RADQ(B8).

Per quanto riguarda le formule cumulative normali, digitiamo usando la funzione cumulativa normale DISTRIB.NORM.ST nella cella B13

68

Digitiamo poi usando la formula cumulativa normale DISTRIB.NORM.ST nella cella B14

=DISTRIB.NORM.ST(B12)

Figura 4.1: Modello in Excel dell’Option Pricing di Black Scholes.

La formula di Black Scholes per determinare il prezzo dell’opzione europea Call è . Nella cella B15, digitiamo =B4*B13-B7*EXP(-B6*B8) *B14.

Vediamo che il modello di Black Scholes predice un prezzo dell’opzione europea Call di $5,47.

Occupiamoci ora dell’opzione Put.

Per quanto riguarda le formule e , digitiamo per le denominazioni ‘ in A17 e ‘ in A18. Il segno ‘ dice a Excel che si tratta di un’etichetta e non di una

69

formula. Quanto ai due termini della formula per la determinazione del prezzo dell’opzione europea Put, sono uguali ma di segno opposto rispetto ai loro omologhi della formula dell’opzione Call. Digitiamo =-B11 in B17 e =-B12 in B18.

Per quanto riguarda le formule cumulative normali, digitiamo usando la formula cumulativa normale DISTRIB.NORM.ST nella cella B19

=DISTRIB.NORM.ST(B17)

Digitiamo poi usando la formula cumulativa normale DISTRIB.NORM.ST nella cella B20

=DISTRIB.NORM.ST(B18)

La formula di Black Scholes per determinare il prezzo dell’opzione europea Put è . Nella cella B21, digitiamo =-B4*B19+B7*EXP(- B6*B8)*B20.

Vediamo che il modello di Black Scholes predice un prezzo di $6,44 per l’opzione Put.

Il vantaggio del modello di Black Scholes sta nella rapidità e nella facilità di calcolo, ma per contro è applicabile a un numero limitato di derivati.

1.2 IL MODELLO BINOMIALE

Come si è visto nel capitolo 2, il metodo degli alberi binomiali richiede che la vita dell’opzione venga suddivisa in un gran numero di intervalli di lunghezza ∆ . In ogni intervallo, il prezzo dell’azione passa dal valore iniziale, S, a uno dei due nuovi valori possibili, e . In generale, 1 e 1. Pertanto, la variazione da S a è “al rialzo” e la variazione da S a è “al ribasso”. Si suppone che la probabilità di rialzo sia

e che la probabilità di ribasso sia 1 .

Prendiamo la stessa opzione europea che abbiamo valutato con il metodo di Black Scholes e valutiamola ora con il metodo degli alberi binomiali. Valutiamo un’opzione Call e un’opzione Put suddividendo il tempo in 10 intervalli di tempo.

Per costruire questo modello in Excel, innanzitutto digitiamo gli input. Per evidenziare il tipo di opzione da valutare, digitiamo =SE($B$4=1;”Call”;”Put”) nella cella G1. Copiamo questa cella nella cella A33.

Il Tempo/Periodo = (Tempo che manca alla scadenza)/(Numero dei periodi). Digitiamo =B11/B12 nella cella B14.

70

Figura 4.2: Modello in Excel dell’Option Pricing binomiale – Opzione Call – 10 intervalli temporali.

Il tasso di rendimento di un investimento a rischio zero/Periodo = exp[(Deviazione standard annuale) * Radice quadrata (Tempo/Periodo)] 1. Digitiamo =EXP(B8*B14) 1 nella cella B9.

Il Movimento al rialzo/Periodo = exp[(Deviazione standard annuale) * Radice quadrata (Tempo/Periodo)] 1. Digitiamo =EXP(B13*RADQ(B14))-1 nella cella B6.

Il Movimento al ribasso/Periodo = exp[ (Deviazione standard annuale) * Radice quadrata (Tempo/Periodo)] 1. Digitiamo =EXP( B13*RADQ(B14))-1 nella cella B7. Il movimento al rialzo/periodo e il movimento al ribasso/periodo sono calibrati in modo da corrispondere alla deviazione standard annuale dell’azione.

La probabilità di neutralizzazione del rischio = (Tasso di rendimento di un investimento a rischio zero/Periodo – Spostamento in ribasso/Periodo) / (Spostamento in

71

rialzo/Periodo Spostamento in ribasso/Periodo). Digitiamo =(B9-B7)/(B6-B7) nella cella B15.

Poi digitiamo i periodi 0, 1, 2, …, 10 nelle celle B18:L18. La formula per il tempo = Tempo che manca alla scadenza * (Periodo/Numero dei periodi). Digitiamo =$B$11*(B18/$B$12) nella cella B19 e la copiamo nel range C19:L19.

Ora dobbiamo costruire l’albero del prezzo delle azioni. Il Prezzo dell’azione nel periodo 0 si assume uguale al prezzo attuale dell’azione. Quanto al resto, vogliamo creare l’intero albero applicando il comando copy a un range quadrato. Per poterlo fare, dobbiamo capire se una cella che si trova all’interno dell’area quadrata sta all’interno o all’esterno dell’albero. Inoltre, ci sono due diverse formule da applicare all’albero (Prezzo al ribasso vs. Prezzo al rialzo). Dunque ci sono tre possibilità:

 quando la cella che sta immediatamente a sinistra e la cella posta diagonalmente in alto a sinistra sono entrambe vuote, la cella di riferimento va lasciata in bianco;

 quando la cella che sta immediatamente a sinistra è vuota e la cella posta diagonalmente in alto a sinistra contiene un numero, ci troviamo sul lato inferiore di un triangolo, perciò calcoliamo il Prezzo al ribasso = (Prezzo dell’azione nella cella superiore a sinistra) * (1 + Variazione in diminuzione/Periodo);

 quando entrambe le celle contengono numeri, calcoliamo il Prezzo al rialzo = (Prezzo dell’azione nella cella superiore sinistra) * (1 + Variazione in diminuzione/Periodo). Digitiamo =SE(B21="";SE(B20="";"";B20*(1+$B$7)); B21*(1+$B$6)) nella cella C21 e la copiamo nel range quadrato 11 11 C21:L31. La funzione SE genera un albero binomiale nell’area triangolare che ha come vertici le celle C21, L21 e L31. La stessa procedura potrebbe creare un albero binomiale per qualunque numero di periodi.

Per calcolare il rendimento delle opzioni alla scadenza, dobbiamo copiare l’indicatore del tipo di opzione dalla cella G1 alla cella A33. Le formule per calcolare il rendimento delle opzioni sono:

 per una opzione Call, Rendimento alla scadenza = Max (Prezzo dell’azione alla scadenza – Prezzo di esercizio, 0);

 per una opzione Put, Rendimento alla scadenza = Max (Prezzo di esercizio – Prezzo dell’azione alla scadenza, 0);

72

Digitiamo =SE($B$4=1;MAX(L21-$B$10;0);MAX($B$10-L21;0)) nella cella L33 e la copiamo nel range L34:L43.

Per quanto riguarda l’albero del prezzo delle opzioni, in ciascun punto del range 10×11, dobbiamo stabilire se ci troviamo dentro o fuori dall’albero. Ci sono due possibilità:

 quando la cella corrispondente nell’area Prezzo dell’azione è vuota, la cella di riferimento va lasciata in bianco;

 quando la cella corrispondente nell’area Prezzo dell’azione contiene un numero, allora (in assenza di arbitraggio) il Prezzo dell’opzione in ogni nodo = Valore atteso del Prezzo dell’opzione nel periodo successivo (usando la Probabilità di neutralizzazione del rischio) scontato al Tasso di rendimento di un investimento a rischio zero = [(Probabilità di neutralizzazione del rischio) * (Prezzo dell’azione al rialzo) + (1 – Probabilità di neutralizzazione del rischio) * (Prezzo dell’azione al ribasso)]/(1 + Tasso di rendimento di un investimento a rischio zero/Periodo). Digitiamo =SE(C34="";"";($B$15*C33+(1-$B$15)*C34)/(1+ $B$9)) nella cella B33 (il che genera inizialmente un output in bianco) e poi copiamo questa cella nel range 10×10 B33:K42. Non sovrapponiamola alla colonna L che contiene i rendimenti delle opzioni alla scadenza. Un albero binomiale si formerà nell’area triangolare che ha come vertici le celle B33, L33 e L43. Con la medesima procedura si potrebbe creare un albero binomiale per qualunque numero di periodi.

Vediamo che il modello dell’Option Pricing binomiale predice un prezzo di $5,44 per un’opzione europea Call di dieci periodi.

Adesso occupiamoci dell’opzione Put. Dobbiamo digitare 0 nella cella B4.

Vediamo che il modello dell’Option Pricing binomiale predice un prezzo di $6.41 per un’opzione europea Put di dieci periodi.

L’accuratezza del prezzo si può aumentare suddividendo l’intervallo temporale in un maggior numero di periodi (15, 30, ecc.). In genere occorrono da 30 a 100 sottoperiodi per ottenere la massima accuratezza del prezzo.

73

Figura 4.2: Modello in Excel dell’Option Pricing binomiale – Opzione Put – 10 intervalli temporali.

1.3 UN CONFRONTO TRA IL MODELLO BLACK-SCHOLES E IL MODELLO