OPZIONE ASIATICA

Il metodo Monte Carlo è in grado di trattare opzioni con valori finali molto complessi come le opzioni esotiche e in questo lavoro è stata presa come esempio un’opzione asiatica. Le opzioni asiatiche (Asian options) sono opzioni il cui valore finale dipende dal prezzo medio dell’attività sottostante osservato, almeno in parte, durante la vita dell’opzione. Il valore finale di una call “scritta sul prezzo medio” (average price call) è max (0, Smed K), mentre quello di una put “scritta sul prezzo medio” (average price

put) è max(0, K Smed), dove Smed è il prezzo medio dell’attività sottostante calcolato in un periodo predeterminato.

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Figura 4.36: Modello in Excel della simulazione Monte Carlo - Opzione asiatica.

Il foglio elettronico permette di ottenere simultaneamente i valori di un’opzione Call e di un’opzione Put.

Dopo aver digitato gli inputs, iniziamo a impostare il foglio elettronico.

Per quanto riguarda il Tempo, digitiamo =D2+$B$6 nella cella D3 e poi la copiamo fino alla cella D52.

Nella prima riga riportiamo il numero di simulazioni da effettuare e nella seconda riga riportiamo Stock Price Now, che è pari a $48,89.

Nella cella E3 digitiamo la formula =E2*EXP(($B$7-0,5*$B$3*$B$3)*$B$6+$B$3 *RADQ($B$6)*INV.NORM.ST(CASUALE())) e la copiamo per tutte le simulazioni che dobbiamo effettuare.

Per ogni realizzazione il prezzo finale del titolo è mostrato alla riga 52. Le righe da 22 a 39 sono state nascoste, così come alcune colonne per problemi di spazio.

Nella cella E54 digitiamo =MEDIA(E2:E52) e la copiamo in tutte le colonne in modo da trovare Smed, il prezzo medio dell’attività sottostante calcolato in un periodo predeterminato.

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Possiamo ora calcolare i payoffs, che per l’opzione Call sono indicati alla riga 56 e per l’opzione Put sono indicati alla riga 59. Per quanto riguarda l’opzione Call, digitiamo =MAX(E54-$B$56;0) nella cella E56 e la copiamo per ogni colonna. Per quanto riguarda l’opzione Put, digitiamo =MAX($B$56-E54;0) nella cella E59 e la copiamo per ogni colonna.

La media di tutti questi payoffs, su tutte le simulazioni, appare alle righe 57 per l’opzione Call e 60 per l’opzione Put. Per calcolare la media, digitiamo =MEDIA(E56:IV56) nella cella D57 per quanto riguarda l’opzione Call e =MEDIA(E59:IV59) nella cella D60 per quanto riguarda l’opzione Put.

Le righe 58 e 61 contengono i valori attuali delle medie, che corrispondono ai valori delle opzioni. Per quanto riguarda l’opzione Call, digitiamo =D57*EXP(-$B$7*$D$52) nella cella D58 e per quanto riguarda l’opzione Put, digitiamo =D60*EXP(- $B$7*$D$52) nella cella D61.

104 CONCLUSIONI

Sulla base dell’analisi condotta, possiamo fare alcune conclusioni.

Considerando il tema della valutazione e della corretta valorizzazione del prezzo di uno strumento derivato, le opzioni rappresentano la tipologia di strumento finanziario più idonea per dimostrare come l’utilizzo di fogli elettronici possa semplificare ed automatizzare delle operazioni che, altrimenti, non sarebbero facilmente implementabili.

Con le esemplificazioni numeriche tramite Excel siamo partiti dal valutare la stessa opzione europea sia con la formula di Black-Scholes, sia con il modello binomiale e sia con la simulazione Monte Carlo. La formula di Black-Scholes ci consente di ottenere in modo analitico i prezzi delle opzioni. Abbiamo quindi confrontato i risultati ottenuti da questa formula prima con il modello binomiale e poi con la simulazione Monte Carlo. Dal confronto con il modello binomiale abbiamo visto che, all’aumentare del numero degli stadi, i prezzi ottenuti con questo modello si stabilizzano e convergono verso quelli ottenuti con la formula di Black-Scholes. Invece, dal confronto con i risultati ottenuti con la simulazione Monte Carlo, abbiamo visto che, all’aumentare del numero delle simulazioni, i prezzi variano sia al rialzo che al ribasso, però le variazioni sono via via più contenute e quindi i prezzi più affidabili e vicini a quelli ottenuti con la formula di Black-Scholes.

Successivamente, abbiamo valutato le opzioni americane. Abbiamo visto che per valutare questo tipo di opzioni dobbiamo utilizzare il modello binomiale perché il metodo Monte Carlo non può facilmente trattare le situazioni in cui è possibile l’esercizio anticipato. Il motivo è che per le opzioni americane è fondamentale stabilire il momento in cui l’esercizio anticipato è ottimo. Per scoprirlo occorre calcolare il prezzo dell’opzione per tutti i valori di S e t fino alla scadenza, al fine di controllare che in nessun momento vi siano opportunità di arbitraggio. Tuttavia, il metodo Monte Carlo nella sua forma base è usato unicamente per stimare il prezzo dell’opzione in un unico punto (S, t), cioè adesso e al valore odierno. Per quanto riguarda il modello di Black- Scholes, le formule di questo modello consentono di valutare le opzioni europee in modo analitico. Non esistono soluzioni analitiche per le opzioni americane. Quindi, il modello di Black-Scholes ci consente di valutare solo le opzioni europee. Pertanto, gli alberi binomiali sono utilissimi per valutare queste opzioni. La procedura è quella di

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tornare indietro nell’albero dalla fine all’inizio e di verificare a ogni nodo se l’esercizio anticipato è conveniente.

Infine, abbiamo visto che se vogliamo valutare le opzioni esotiche dobbiamo ricorrere al metodo Monte Carlo. Questo perché il metodo Monte Carlo è in grado di trattare opzioni con valori finali molto complessi e in questo lavoro è stata presa come esempio un’opzione asiatica. La simulazione Monte Carlo diventa più efficiente con il crescere del numero delle simulazioni, quindi, nelle esemplificazioni su Excel che abbiamo fatto, abbiamo effettuato cento simulazioni per avere una certa affidabilità del prezzo.

Quindi abbiamo visto che il metodo di pricing che viene scelto dipende dalle caratteristiche dell’opzione oggetto di valutazione e dal grado di accuratezza richiesto. Ad esempio, se vogliamo valutare un’opzione americana, dobbiamo ricorrere agli alberi binomiali, mentre se vogliamo valutare un’opzione europea possiamo ricorrere sia agli alberi binomiali, che alla formula di Black-Scholes, oppure potremo usare anche una simulazione Monte Carlo.

Attraverso Excel si riesce meglio a mettere a fuoco il profilo teorico dei modelli di pricing delle opzioni. Excel è quindi uno strumento per potenziare la teoria. Un vantaggio di usare Excel nella finanza è che possiamo realizzare direttamente un modello, mettendolo a punto mentre lo sviluppiamo. Un altro vantaggio è che, una volta impostato il foglio elettronico, possiamo valutare molto velocemente i vari tipi di opzioni perché basta modificare gli inputs e le formule.

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SITOGRAFIA

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http://people.stern.nyu.edu/

Borsa Italiana:

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INDICE DELLE FIGURE

Figura 1.1: Valore finale di posizioni su opzioni europee. Figura 1.2: Fattori che influenzano i prezzi delle opzioni.

Figura 1.3: Il prezzo di una Call e di una Put in funzione di , K e T Figura 1.4: Il prezzo di una Call e di una Put in funzione di e r.

Figura 2.1: Prezzi di un’azione e di un’opzione in un albero a uno stadio. Figura 2.2: Prezzi di un’azione e di un’opzione in un albero a due stadi. Figura 2.3: Alberi binomiali per il mondo reale e il mondo risk-neutral. Figura 2.4: Una distribuzione log-normale.

Figura 2.5: La funzione misura l’area tratteggiata. Figura 3.1: Griglia per l’approccio delle differenze finite.

Figura 3.2: Il metodo implicito e il metodo esplicito delle differenze finite. Figura 3.3: Il metodo esplicito delle differenze finite come albero trinomiale. Figura 3.4: Metodo hop scotch.

Figura 4.1: Modello in Excel dell’Option Pricing di Black Scholes.

Figura 4.2: Modello in Excel dell’Option Pricing binomiale – Opzione Call – 10 intervalli temporali.

Figura 4.3: Modello in Excel dell’Option Pricing binomiale – Opzione Put – 10 intervalli temporali.

Figura 4.4: Modello in Excel dell’Option Pricing binomiale – Opzione Call – 20 intervalli temporali.

Figura 4.5: Modello in Excel dell’Option Pricing binomiale – Opzione Call – 20 intervalli temporali (continuazione).

Figura 4.6: Modello in Excel dell’Option Pricing binomiale – Opzione Call – 30 intervalli temporali.

Figura 4.7: Modello in Excel dell’Option Pricing binomiale – Opzione Call – 30 intervalli temporali (continuazione).

Figura 4.8: Modello in Excel dell’Option Pricing binomiale – Opzione Call – 40 intervalli temporali.

Figura 4.9: Modello in Excel dell’Option Pricing binomiale – Opzione Call – 40 intervalli temporali (continuazione).

Figura 4.10: Modello in Excel dell’Option Pricing binomiale – Opzione Call – 50 intervalli temporali.

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Figura 4.11: Modello in Excel dell’Option Pricing binomiale – Opzione Call – 50 intervalli temporali (continuazione).

Figura 4.12: Modello in Excel dell’Option Pricing binomiale – Opzione Put – 20 intervalli temporali.

Figura 4.13: Modello in Excel dell’Option Pricing binomiale – Opzione Put – 20 intervalli temporali (continuazione).

Figura 4.14: Modello in Excel dell’Option Pricing binomiale – Opzione Put – 30 intervalli temporali.

Figura 4.15: Modello in Excel dell’Option Pricing binomiale – Opzione Put – 30 intervalli temporali (continuazione).

Figura 4.16: Modello in Excel dell’Option Pricing binomiale – Opzione Put – 40 intervalli temporali.

Figura 4.17: Modello in Excel dell’Option Pricing binomiale – Opzione Put – 40 intervalli temporali (continuazione).

Figura 4.18: Modello in Excel dell’Option Pricing binomiale – Opzione Put – 50 intervalli temporali.

Figura 4.19: Modello in Excel dell’Option Pricing binomiale – Opzione Put – 50 intervalli temporali (continuazione).

Figura 4.20: Tabella dei prezzi dell’opzione Call e dell’opzione Put – Binomial Option Pricing.

Figura 4.21: Tabella dei prezzi dell’opzione Call. Confronto Binomial Option Pricing e Black Scholes Option Pricing.

Figura 4.22: Grafico del confronto del prezzo dell’opzione Call - Binomial Option Pracing e Black Scholes Option Pricing.

Figura 4.23: Tabella dei prezzi dell’opzione Put. Confronto Binomial Option Pricing e Black Scholes Option Pricing.

Figura 4.24: Grafico del confronto del prezzo dell’opzione Put - Binomial Option Pracing e Black Scholes Option Pricing.

Figura 4.25: Modello in Excel della simulazione Monte Carlo – Opzione Call e Opzione Put – 50 simulazioni.

Figura 4.26: Modello in Excel della simulazione Monte Carlo – Opzione Call e Opzione Put – 100 simulazioni.

Figura 4.27: Modello in Excel della simulazione Monte Carlo – Opzione Call e Opzione Put – 150 simulazioni.

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Figura 4.28: Modello in Excel della simulazione Monte Carlo – Opzione Call e Opzione Put – 200 simulazioni.

Figura 4.29: Modello in Excel della simulazione Monte Carlo – Opzione Call e Opzione Put – 250 simulazioni.

Figura 4.30: Tabella dei prezzi dell’opzione Call. Confronto Black-Scholes e simulazione Monte Carlo.

Figura 4.31: Grafico dei prezzi dell’opzione Call. Confronto Black-Scholes e simulazione Monte Carlo.

Figura 4.32: Tabella dei prezzi dell’opzione Put. Confronto Black-Scholes e simulazione Monte Carlo.

Figura 4.33: Grafico dei prezzi dell’opzione Put. Confronto Black-Scholes e simulazione Monte Carlo.

Figura 4.34: Modello in Excel dell’Option Pricing binomiale – Opzione Call americana. Figura 4.35: Modello in Excel dell’Option Pricing binomiale – Opzione Put americana. Figura 4.36: Modello in Excel della simulazione Monte Carlo – Opzione asiatica.