Definizione 36.1. Una funzione f : Sn −→ Sm
• la diremo simmetrica (o pari) se soddisfa la relazione f (−z) = f (z), ∀ z ∈ Sn;
• la diremo antisimmetrica (o dispari) se soddisfa la relazione f (−z) = −f (z), ∀ z ∈ Sn. Esercizio 36.2. Si provi che una funzione antisimmetrica f : S1 −→ S1 ha grado dispari.
R
gր
yπ
I f ◦ε1
−−−−→ S1
Suggerimento: si consideri il diagramma a lato, dove ε1: I −→ S1 denota il generatore canonico di H1(S1) e g un sollevamento della composizione f◦ ε1. Si provi che
∃ m ∈ Z g(1 2)− g(0) = m +1 2 , g(12+t)− g(1 2) = g(t)− g(0) , t ∈ [0, 1 2] . Infine, si verifichi che deg f = g(1)− g(0) = 2m+1 (che `e dispari).
Nota 36.3. In dimensione superiore vale un risultato analogo (che non dimostriamo): una funzione antisimmetrica f : Sn −→ Sn ha grado dispari.
Inciso 36.4. Le funzioni simmetriche f : Sn −→ Sn hanno grado pari. Torneremo su questo risultato nella sezione sull’omologia cellulare, per ora ci limitiamo ad osservare che tali funzioni si fattorizzano come composizione
Sn −−→ Sπ n/± 1 −−→ Sg n π `e la proiezione naturale e g([x]) := f (x) . Si noti che lo spazio al centro `e lo spazio proiettivo reale Pn(R), cfr. esempio (61).
Il caso dove n = 1 pu`o essere trattato ora:
Esercizio 36.5. Si provi che una funzione simmetrica f : S1 −→ S1 ha grado pari.
Suggerimento: la sequenza dell’inciso (36.4) assume la forma S1 −−→ Sπ 1= P1(R) −−→ Sg 1 dove π manda il punto di angolo θ in quello di angolo 2θ . Si provi che π⋆ `e la “moltiplicazione per 2”.
Teorema 37 (di Borsuk-Ulam). Sia f : S
2−−→ R
2una funzione continua. Si ha che
esistono due punti antipodali aventi la stessa immagine.
Esercizio 37.1. Si provi il teorema di Borsuk-Ulam secondo la linea indicata: • assumendo per assurdo che ci`o non accada, si consideri la composizione
ω : S1 ֒→ S2 h
−−→ R2r{0} −−→ Sπ 1
x 7→ f (x)− f (−x) dove h `e definita nella maniera indicata e π `e la retrazione π(z) = z
||z|| ;
• si osservi che ω `e antisimmetrica, quindi deve avere grado dispari per l’esercizio (36.2), ma fattorizzandosi per S2 (che ha primo gruppo di omologia banale) deve avere grado nullo. Questo `e assurdo.
Nota 37.2. Di nuovo, in dimensione superiore vale un risultato analogo:
f : Sn −→ Rn continua antisimmetrica =⇒ ci sono due punti antipodali con la stessa immagine. La dimostrazione `e identica a quella data per n = 2, solo che si deve utilizzare il risultato della nota (36.3).
◦ ∼ ◦
Esercizio 38.0. Sia X uno spazio topologico, x0 ∈ X un punto. Assumiamo che x0 abbia un intorno U omeomorfo ad Rn. Provare che
Hi(X, X r{x0}) =
Z, i = n
0 , i 6= n , Hi(X r{x0}) ∼= Hi(X) , i 6= n, n−1 . Suggerimento: Si usino il corollario (29) e la successione esatta della coppia (X, X r{x0}) .
L’esempio (§1, 13) fornisce una curva immersa36 nel piano in maniera decisamente bizzarra (basti pensare che ha misura di Lebesgue nel piano, i.e. area, strettamente positiva), ciononostante tutte le immersioni di S1
nel piano sono topologicamente equivalenti. Gi`a per le curve chiuse in R3 la situazione si complica (`e oggetto di studio della teoria dei nodi) ed in effetti la situazione si complica anche rimanendo in codimensione uno: l’immersione di Alexander della sfera in R3 non `e equivalente all’inclusione naturale S2 ⊆ R3 in quanto i rispettivi complementari non sono omeomorfi (non entreremo nel merito di quest’esempio).
Per contro, da un punto di vista omologico la situazione `e estremamente semplice: i risultati che seguono ci dicono che se ψ : Dk −→ Rn `e un’immersione, allora l’omologia di Rnrψ(Dk) `e l’omologia di Rnr{p} (stessa cosa se si sostituisce Rn con Sn), detto in altri termini privare Rn (ovvero Sn) di un disco equivale omologicamente a privarlo di un punto. Come corollario si deduce il Teorema di Jordan: se ψ : Sk −→ Sn
`e un’immersione, allora l’omologia di Snrψ(Sk) `e quella che ci si aspetta (cfr. sotto), in particolare non dipende dall’immersione ψ.
Lemma 38.1. Sia ψ : D
k−−→ S
nuna immersione (cfr. §0, 8.3). Allora
e
H
iS
nrψ(D
k)
= 0 , ∀ i .
Teorema 38.2 (di Jordan). Sia ψ : S
k−−→ S
nuna immersione (§0, 8.3). Allora
e
H
iS
nrψ(S
k) ∼
=
Z , i = n−k−1
0 , altrimenti
Questi risultati si traducono in analoghi risultati per le immersioni in Rn: se identifichiamo Rn con Snr{N } (un punto, e.g. il “polo nord”), denotata con ι l’inclusione Rn ֒→ Sn, data un’immersione ϕ : W −→ Rn
corrispondentemente possiamo considerare ψ = ι◦ ϕ (che sar`a anch’essa un’immersione), conseguentemente Ω := Rnrϕ(W ) si identifica con bΩ r{N } , essendo bΩ = Snrψ(W ) .
A priori, assumendo solamente che N sia un punto interno ad bΩ (ci`o accade se e solo se ϕ(W ) `e limitato), dalla successione esatta della coppia (bΩ, Ω) si ottiene
(38.3) Hn−1(Ω) ∼= Hn−1(bΩ)⊕ Z , Hi(Ω) ∼= Hi( bΩ) , i 6= n − 1
Dimostrazione. L’omologia della coppia (bΩ, Ω) `e l’omologia locale di bΩ in N (cfr. def. 29.1), nulla in ogni grado eccetto che in grado n dove `e Z , inoltre Hi(Ω) ∼= Hi( bΩ) per i 6= n, n − 1 (cfr. esercizio 38.0). D’altro canto il tratto intorno al termine Hn(bΩ, Ω) ∼= Z della successione della coppia (bΩ, Ω) `e
0 −→ Hn(Ω) −→ Hn(bΩ) −→ Z −−→ Hδ n−1(Ω) −→ Hn−1(bΩ) −→ 0 ,
da ci`o si evince la tesi37 (almeno nei casi che ci interessano W = Dk e W = Sk dove Hn(bΩ) = 0 e Hn−1(bΩ) = 0 eccetto che nel caso elementare W = S0, per il Lemma 38.1 ed il Teorema 38.2).
36Osserviamo una volta per tutte (sia per la curva dell’esempio che stiamo citando che per tutte le funzioni che stiamo per incontrare in questa sezione) che una funzione continua tra spazi di Hausdorff definita su un compatto, in quanto automaticamente chiusa, `
e un’immersione (cfr. §0, 8.3) se e solo se `e iniettiva.
37E sufficiente provare che δ `` e iniettiva e spacca (cfr. §A2, 17.1 e 17.2), fatto che nel caso in esame pu`o essere provato entrando nel merito della definizione di δ (cfr. §A2, nota 9.1). In effetti, vedremo che l’omologia in grado n delle n-variet`a topologiche connesse non compatte si annulla (cfr. §5, Cor. 5.1), per cui Hn(bΩ) = 0 se W `e compatto non-vuoto (cos`ı bΩ, in quanto aperto proprio di Sn, `e una variet`a topologica di dimensione n con componenti connesse non compatte).
Il teorema di Jordan e quanto appena esposto ci dicono che se ϕ : Sn−1−→ Rn `e un’immersione ed n≥ 2, ovvero ψ : Sn−1−→ Sn `e un’immersione, allora
(38.4) H0 Rnrϕ(Sn−1) ∼ =
(se n ≥ 2)
Z⊕ Z , ovvero H0 Snrψ(Sn−1) ∼= Z ⊕ Z .
Detto in altri termini “una n−1 sfera divide il nostro ambiente in due componenti connesse per archi”. In effetti si pu`o dire qualcosa di pi`u forte:
Proposizione 38.5. Una n−1 sfera immersa in S
n(ovvero in R
n, se n≥ 2), lo divide
in due componenti connesse aperte, delle quali ne `e la frontiera comune.
Dimostrazione. I due casi dell’immersione in Rn e dell’immersione in Sn sono assolutamente identici, per fissare le notazioni trattiamo il primo. Sia dunque ϕ : Sk −→ Rn l’immersione.
Lo spazio Rnrϕ(Sn−1) `e aperto e per la (38.4) si decompone in due componenti connesse per archi A e B che, in quanto componenti connesse38di un aperto di Rn, devono essere esse stesse aperte. Resta da provare che
ϕ(Sn−1) = F A = F B (F sta per “frontiera”)
Proveremo che ϕ(Sn−1) = FA (l’uguaglianza ϕ(Sn−1) = FB si ottiene scambiando i ruoli di A e B). L’inclusiene “⊇” `e facile: A `e aperto e unendolo con ϕ(Sn−1) si ottiene il chiuso RnrB.
Proviamo “⊆”. L’idea `e semplice: se si rimuove un pezzetto del nostro ϕ(Sn−1) le componenti connesse del complementare scendono a una per il lemma (38.1), ma ci`o non pu`o accadere se quel pezzetto rimosso ha, per assurdo, intersezione vuota con A. Traduciamo quest’idea in termini rigorosi:
dato p ∈ Sn−1 e posto x = ϕ(p), se per assurdo x6∈ A, allora esiste un dischetto aperto U ⊆ Sn−1, con U ∋ p, tale che ϕ(U ) ∩ A = ∅, Di conseguenza, A e B′ = B∪ ϕ(U ) sono anch’essi separati39, cos`ı come lo erano A e B. D’altro canto D = Sn−1rU `e omeomorfo a un disco chiuso e, per il lemma (38.1), si ha che Rnrϕ(D) = A∪ B′ `e connesso per archi. Ma questo `e assurdo perch´e A e B′ sono separati.
Nello spirito di queste note di evitare lungaggini e, al tempo stesso, di evidenziare i punti essenziali delle dimostrazioni, proponiamo il lemma (38.1) ed il teorema di Jordan (38.2) come esercici guidati.
Esercizio 38.6. Si provi il Lemma (38.1) secondo la linea indicata:
• si osserevi che la tesi `e vera per k = 0, procedendo per induzione si assuma vera la tesi per i valori k′ < k ; • per comodit`a, si sostituisca Dk con un plurirettangolo E , si suddivida E in due plurirettangoli chiusi E1 e E2 (cos`ı da avere E1 ∩ E2 ∼= Dk−1) e si scriva la successione di Mayer-Vietoris per gli aperti A1 = Snrψ(E1) e A2 = Snrψ(E2) tenendo presente che A1∪ A2 = Snrψ(E1∩ E2) soddisfa la tesi per l’ipotesi induttiva;
• si deduca che se, per assurdo, σ `e un elemento non nullo dell’omologia ridotta di Snrψ(E) allora anche la sua immagine nell’omologia ridotta di uno degli Ai `e non nulla;
• si deduca che esiste una successione di plurirettangoli E ⊇ E′ ⊇ E′′ ⊇ E′′′... convergenti a un punto p, con σ non nullo nell’omologia ridotta di ogni Snrψ(E∗) ;
• si fissi un rappresentante di σ, lo si scriva come ∂ η nel complesso delle catene di Snrψ({p}) ∼= Rn e si osservi che, avendo η supporto compatto (cfr. def. 8), appartiene anche al complesso delle catene di qualche Snrψ(E∗). Ci`o contraddice il fatto che σ `e non nullo nell’omologia ridotta di ogni Snrψ(E∗). Esercizio 38.7. Si provi il Teorema (38.2) secondo la linea indicata:
• di nuovo, si ragioni per induzione su k ;
• si scriva Sk come unione delle due semisfere chiuse D+ e D− (cos`ı da avere D+∩D− ∼= Sk−1) e si scriva la successione di Mayer-Vietoris per gli aperti A = Snrψ(D+) e B = Snrψ(D−) tenendo presente che A∪ B = Snrψ(D+∩ D−) ;
• si deduca la tesi dalla successione scritta.
38
Per gli aperti di Rn la connessione coincide con la connessione per archi.
39
Due sottoinsiemi di uno spazio topologico ambiente si dicono separati se nessuno dei due incontra la chiusura dell’altro. Uno spazio topologico `e connesso se e solo se non `e unione di due separati.
◦ ∼ ◦
Il risultato che segue concerne le variet`a topologiche (cfr.§5, cfr. §0, 8.1 e 8.3 per le definizioni di omeomorfismo locale in un punto e di immersione).