ha come immagine i gruppi di una classe di coniugio [H]

◦ ∼ ◦

Nella parte finale di questo paragrafo ci proponiamo di studiare certi legami tra la teoria dell’omotopia e quella dei rivestimenti. `E importante assumere che X sia localmente connesso per archi; non tanto in quanto ipotesi semplificativa, quanto piuttosto per il fatto che solamente sotto tale ipotesi il gruppo fondamentale ne codifica meglio la topologia (si veda l’esempio 20 del “quasi cerchio” Y′ con gruppo fondamentale banale). D’altro canto, sotto questa ipotesi le componenti connesse di uno spazio X sono aperte (oltre che chiuse), di conseguenza studiare i rivestimenti di X equivale a studiare i rivestimenti delle sue componenti connesse. Per questa ragione assumeremo che X sia connesso e localmente connesso per archi (c.l.c.a.). Ugualmente, un rivestimento eX di uno spazio c.l.c.a. X, in quanto ne eredita le propriet`a locali, `e anch’esso localmente connesso per archi e studiarlo equivale a studiarne le componenti connesse (che sono aperte e chiuse). Assumendo che il nostro rivestimento eX sia connesso, `e anch’esso c.l.c.a. (per esercizio). Si osservi che mettendo insieme le due cose, connessione e locale connessione per archi, si ottengono spazi connessi per archi e localmente connessi per archi (c.a.l.c.a.), i.e. c.l.c.a. = c.a.l.c.a. (per esercizio). Per eventuali riferimenti futuri stabiliamo la seguente definizione:

Def. 24. Uno spazio c.l.c.a. `e uno spazio topologico connesso per archi e localmente connesso

per archi.

Sia dunque ̺ : eX −→ X un rivestimento di spazi connessi per archi (qui l’“l.c.a.” non serve), si fissi x0 ∈ X, si considerino due punti nella corrispondente fibra ex0, ex′

0 ∈ ̺−1(x0) ed un cammino eα da ex0 a e

x′

0. Dall’osservazione (4.4) sappiamo che c’`e un isomorfismo di gruppi π1( eX, ex0) −→ π1( eX, ex′

0) , _βe 7→ eα−∗ eβ∗ eα Posto α = ̺⋆(eα), per funtorialit`a abbiamo quindi

(24.1) ̺⋆π1( eX, ex^′₀) = α⁻ ∗ ̺⋆π1( eX, ex0) ∗ α i.e. i gruppi ̺⋆π₁( eX, ex₀) e ̺⋆π₁( eX, ex′

0) sono coniugati (come sottogruppi di π₁(X, x₀) naturalmente). D’altro canto avremmo potuto fissare arbitrariamente un elemento α ∈ π1(X, x₀) e definire conseguentemente

e

α (sollevamento con punto iniziale ex₀, cos`ı da avere α = ̺⋆(eα)) nonch´e definire ex′

0 = eα(1), Questo prova che qualsiasi sottogruppo coniugato a ̺⋆π1( eX, ex0) si ottiene nel modo descritto, i.e. `e del tipo ̺⋆π1( eX, ex^′₀) per un qualche ex′

0 (cfr. 24.1). Abbiamo pertanto il risultato che segue.

Proposizione 25. Un rivestimento ̺ : eX −→ X di spazi c.l.c.a. individua una classe di

coniugio di sottogruppi del gruppo fondamentale. Precisamente, fissato x

₀

∈ X , la funzione

̺

⁻¹

(x

₀

) −−−→ { sottogruppi di π

₁

(X, x

₀

)}

ex

0

7→ ̺

⋆

π

₁

( eX, ex

0

)

ha come immagine i gruppi di una classe di coniugio [H].

Pu`o accadere che tale classe di coniugio sia costituita da un solo elemento, i.e. che H sia normale. Ci`o, ad esempio, accade nei due casi estremi che seguono:

• se eX = X e ̺ `e l’identit`a, si ha H = π₁(X, x₀);

• se eX `e semplicemente connesso (i.e. `e il rivestimento universale di X, cfr. def. 31 e Teorema 34 sotto), allora H `e il sottogruppo banale (costituito dal solo elemento neutro).

Def. 25.1. Se H `e normale, il rivestimento ̺ si dice normale (̺ ed H come nella

Propo-sizione precedente).

La nozione appena introdotta concerne esclusivamente il rivestimento: la normalit`a di ̺⋆π1( eX, ex0) non dipende dalle scelte di x0 e ex0 ∈ ̺−1(x0). Per x0 fissato, che non dipenda da ex0 segue dal fatto che la normalit`a in teoria dei gruppi `e invariante per coniugio, quanto all’indipendenza da x<sub>0</sub> `e sufficiente osservare che la condizione in questione `e aperta (se `e vera per x₀ lo `e anche per ogni x in un intorno ben rivestito di x₀). Al termine di questo paragrafo vedremo una caratterizzazione geometrica dei rivestimenti normali e giustificheremo meglio quanto affermato (oss. 37). Il lemma che segue ci dice che il gruppo fondamentale π₁(X, x₀) agisce sulla fibra ̺−1(x₀) del rivestimento e descrive tale azione.

Lemma 26. Sia ̺ : eX −→ X un rivestimento di spazi c.l.c.a., x

₀

∈ X . C’`e un’azione

transitiva

Ψ : π

₁

(X, x

₀

) × ̺

−1

(x

₀

) −−−→ ̺

⁻¹

(x

₀

)

( γ , ex

0

) 7→ γ ex

0

:= eγ

x0˜

(1)

con Stabilizzatore (ex

0

) = ̺

_⋆

π

₁

( eX, ex

0

) (

eγx˜₀ denota il sollevamento di γ con punto iniziale ex0

).

(Com’`e consuetudine trattando l’azione di un gruppo su un insieme, la giustapposizione γ ex<sub>0</sub> denota Ψ(γ, ex<sub>0</sub>)). Che Ψ sia un’azione significa che `e compatibile con la moltiplicazione in π₁(X, x₀), che sia transitiva significa che c’`e un’unica orbita, in altri termini che l’azione collega ogni coppia di punti, lo stabilizzatore di un elemento `e il sottogruppo costituito dagli elementi del gruppo che lo lasciano fisso. In formule:

i) x0ex0 = ex0 , δ (γ ex0) = (γ∗ δ) ex0 , ∀ γ, δ ∈ π1(X, x0) , ex0 ∈ ̺⁻¹(x0) ; ii) ∀ ex0, ex′

0 ∈ π1(X, x0) , ∃ γ ∈ π1(X, x0) | γ ex0 = ex′

0 ; iii) Stabilizzatore (ex₀) := { γ ∈ π1(X, x₀)| γex₀ = ex₀} .

dove ricordiamo che x0 denota l’elemento neutro del gruppo π1(X, x0), cio`e il cammino costante x0(t) = x0. Dimostrazione. Il teorema del sollevamento dell’omotopia (22), o meglio l’affermazione (23.2), garantisce che Ψ `e ben definita. La i) `e evidente, quanto alla ii) `e sufficiente considerare un cammino eγ in eX da ex₀ a ex′

0 e buttarlo gi`u in X , i.e. prendere γ = ̺⋆(eγ). Infine, quanto all’uguaglianza Stabilizzatore (ex0) = ̺⋆π1( eX, ex0), l’inclusione “⊇” segue dal fatto che se si prende un cammino con estremi ex0, lo si butta gi`u e lo solleva con estremo iniziale ex₀ si ottiene il cammino dal quale si era partiti, in particolare con estremo finale ex₀,

l’inclusione “⊆” `e analoga. _

Nelle ipotesi del Lemma (26), assumendo che eX sia semplicemente connesso, ogni punto ex0 ∈ ̺−1(x0) ha stabilizzatore banale e, di conseguenza, corrispondente orbita che si identifica col gruppo π1(X, x0). D’altro canto, per la transitivit`a dell’azione, sappiamo che tale orbita `e tutta la fibra ̺−1(x0). In altri termini, si ha il risultato seguente:

Corollario 27. Sia ̺ : eX −→ X un rivestimento di spazi c.l.c.a.. Se eX `e semplicemente

connesso, la funzione

ψ

₀

: π

₁

(X, x

₀

) −→ ̺

⁻¹

(x

₀

) (

x0 = ̺(ex0), ex0 fissato

)

γ 7→ γ ex

0

`e biunivoca.

Ricordiamo che γex₀ denota l’estremo finale del sollevamento di γ con punto iniziale ex₀ (i.e. γex₀ = eγx˜₀(1), cfr. lemma. 26).

Considerando cammini con estremo finale arbitrario (non fissato), questa corrispondenza si estende: le classi d’omotopia di cammini con estremo iniziale x₀ si identificano con l’intero spazio eX, cio`e c’`e una corrispondenza biunivoca (27.1) ψ : Γ = (x, γ_x 0, x)   x ∈ X , γ_x 0, x ∈ ̥_x 0, x 1:1 ←−−→ _Xe ( x , γ_x 0, x ) 7→ eγ_e x0(1) dove ̥_x

0, x denota l’insieme delle classi d’omotopia di cammini da x0 ad x e dove, come al solito, eγ_ex

0

il sollevamento di γ = γ_x

0, x con punto iniziale ex₀. (Naturalmente, cammini γ_x

0, x e coppie (x, γ_x

0, x) sono sostanzialmente la stessa cosa, abbiamo preferito usare i secondi semplicemente per enfatizzare il ruolo di x). N.b.: la composizione Γ → eX → X `e la proiezione (x, γ) 7→ x. Ribadiamo alcuni punti: il sollevamento dei cammini e dell’omotopia ci dicono che tale funzione `e ben definita, la connessione per archi di eX d`a la suriettivit`a, la semplice connessione di eX d`a l’iniettivit`a: per come `e definita ψ, dire che due elementi (x, γ), (x<sup>′</sup>, γ<sup>′</sup>) ∈ Γ hanno la stessa immagine in eX, significa dire che i sollevamenti eγ di γ e eγ<sup>′</sup> di γ<sup>′</sup> hanno lo stesso estremo finale; essendo eX semplicemente connesso, eγ e eγ<sup>′</sup> sono omotopi, buttando gi`u in X l’omotopia si ottiene (x, γ) = (x^′, γ^′).

Nota. Di nuovo, fin qui `e sufficiente assumere la connessione per archi: l’“l.c.a.” non l’abbiamo mai utilizzata. A questo punto siamo pronti ad introdurre il cosiddetto rivestimento universale. Premettiamo una definizione ed alcune considerazioni. Consideriamo un diagramma commutativo

(28)

X

₁

−−→

^f

→ X

2

̺

₁

ց _

y̺

2

X

(̺

₁

e ̺

₂

rivestimenti, f suriettiva, ̺

₁

= ̺

₂

◦ f )

Def. 29. Nella situazione del diagramma (28) diciamo che ̺

₁

domina ̺

₂

tramite f .

Esercizio 29.1. Si provi che nelle ipotesi della definizione (29), se X `e c.l.c.a., anche f `e un rivestimento. Esercizio 29.2. Siano X′′ ̺−→ X^′ ′ e X′ ̺−→ X due rivestimenti. Si provi che se ̺ `e finito (le fibre sono finite), allora la composizione ̺◦ ̺′ `e anch’essa un rivestimento.

Avvertenza. Per quanto possa sorprendere, in generale pu`o accadere che la composizione di rivestimenti non sia un rivestimento (per dare un controesempio, nelle notazioni dell’esercizio, gli aperti ben rivestiti per ̺′

dei punti di una fibra ̺−1(x) di ̺ devono “essere via via pi`u piccoli”, cos`ı da fare in modo che x non abbia intorni ben rivestiti per ̺◦ ̺′).

Accanto al diagramma (28), c’`e un diagramma analogo per i corrispondenti gruppi d’omotopia. Qui, natural-mente, abbiamo fissato dei punti

x₀ ∈ X , x2 ∈ ̺−1

2 (x₀), x₁ ∈ f−1(x₂).

Come conseguenza del sollevamento dell’omotopia, sappiamo che tutti i morfismi sono iniettivi (̺_1⋆ e ̺_2⋆ lo sono per l’esercizio (23.1), di conseguenza lo `e anche f⋆): ̺1⋆π1(X1, x1) < ̺2⋆π1(X2, x2) < π1(X, x0) π1(X1, x1) −−→ π^f⋆ 1(X2, x2) ̺1⋆ց _ y̺_{2 ⋆} π1(X, x0) Grazie al teorema del sollevamento (21) il discorso appena fatto si inverte:

Lemma 30. Siano ̺

₁

e ̺

₂

rivestimenti puntati di spazi c.l.c.a.,

come nel diagramma a lato. La condizione

(♣) ̺

_1⋆

π

₁

(X

₁

, x

₁

) ⊆ ̺

_2⋆

π

₁

(X

₂

, x

₂

)

`e c.n.e.s. affinch´e ̺

₁

domini ̺

₂

tramite un morfismo di rivestimenti puntati.

(X

₁

, x

₁

) (X

₂

, x

₂

)

̺₁

ց _

y

̺₂

(X, x

₀

)

Per definizione, un rivestimento puntato `e un rivestimento ̺ : ( eX, ex) → (X, x) di spazi puntati, i.e. soddisfacente la condizione ̺(ex) = x (nel lemma, i punti x₀, x₁, x₂ sono fissati, ̺₁(x₁) = x₀ e ̺₂(x₂) = x₀, dire che ̺₁ domina ̺₂ tramite un morfismo di rivestimenti puntati significa dire che esiste f come nel diagramma (28) soddisfacente f (x2) = x1.

Dimostrazione. Il fatto che la condizione (♣) sia una condizione necessaria `e stato gi`a osservato. Proviamo che `e una condizione sufficiente. Nella situazione del diagramma, sappiamo che esiste un unico sollevamento f di ̺1 con punto iniziale f (x1) = x2 se e solo se `e soddisfatta la condizione (19), condizione che nel nostro caso `e la condizione (♣). Essendo X2 connesso per archi, tale sollevamento `e necessariamente suriettivo (facile,

Osservazione 30.1. Nelle ipotesi del Lemma, se risulta ̺_1⋆π₁(X₁, x₁) = ̺_2⋆π₁(X₂, x₂), si ha anche f⋆π1(X1, x1) = π1(X2, x2) (essendo ̺1⋆ = ̺2⋆◦ f⋆, ci`o segue dall’iniettivit`a di ̺2⋆). In questo caso f `e necessariamente un isomorfismo di rivestimenti. Per esercizio, si provi quanto affermato e si descriva f−1

(suggerimento: `e possibile scambiare i ruoli di X1 ed X2).

Osservazione 30.2. Se inoltre X1 `e semplicemente connesso, avendo gruppo fondamentale banale e, di conseguenza, essendo la condizione (♣) una condizione vuota (i.e. “certamente verificata”), il rivestimento ̺1

domina ogni altro rivestimento connesso. Ci`o suggerisce la definizione che segue.

Def. 31. Un rivestimento universale di uno spazio X connesso per archi `e un rivestimento

̺ : Xe −−−→ X

Nel documento Note di (pagine 38-41)