Infine, soddisfa la cosiddetta Formula di Proiezione:

Le cocatene, per definizione, agiscono sulle catene. Ci`o pu`o essere visto in termini duali e, per m ≥ k, si generalizza ad una azione delle m-catene sulle k-cocatene, a valori nelle m− k catene (di seguito, omettiamo dalla notazione il gruppo dei coefficienti, che per il momento assumiamo sia il gruppo degli interi Z):

Oss./Def. 9. Dato uno spazio topologico X e due interi k ≤ m, si definisce il prodotto cap

ponendo

(9.1) ^C

^(X) × C

(X) −−−−→ C

(X)

( σ , ϕ ) 7→ σ ⌢ ϕ := ϕ [e

, ..., e

]

· [e

, ..., e

]

dove σ = [e

, ..., e

]

(cfr. notazione§3, 13.1). Naturalmente la definizione si intende estesa

alle m-catene per linearit`a. Il prodotto cap soddisfa la formula

(9.2) ∂(σ ⌢ ϕ) = (−1)

(∂σ ⌢ ϕ − σ ⌢ dϕ)

Come funzione a valori in H

(X), il prodotto cap `e ben definito a livello di classi di omologia

e coomologia, i.e. induce un morfismo

(9.3) H

(X) × H

(X) −−−→ H

(X)

Infine, soddisfa la cosiddetta Formula di Proiezione:

(9.4) f

(σ) ⌢ ψ = f

(σ ⌢ f

ψ)

dove f : X −→ Y denota una funzione continua, σ ∈ H

(X), ψ ∈ H

(Y ).

Dimostrazione. La (9.2) si verifica con un conto esplicito, che lasciamo per esercizio. Dalla formula (9.2), con un argomento analogo a quello della dimostrazione del cor. (6), segue immediatamente che il prodotto cap `e ben definito a livello di classi di omologia e coomologia (lasciamo questo passaggio per esercizio). Infine, la Formula di Proiezione (9.4) segue dalle definizioni: se σ `e un m-simplesso (in X ) e ψ ∈ Ck(Y ), si ha

f⋆σ = f◦ σ (cfr. §3, 9) ed f⋆ψ = ψ◦ f⋆ (cfr.§4, 3.1). _

Nota 9.5. Sia σ un m-simplesso, ϕ ∈ Hm(X) (n.b.: k = m). Si ha σ ⌢ ϕ = ϕ(σ){v}, dove v `e uno (l’ultimo) dei vertici di σ. Di conseguenza, a livello di classi di omologia e coomologia, per m = k il prodotto cap si interpreta come segue: il valore ϕ(σ), che a priori `e solo un intero, viene visto come l’elemento in H0(X) corrispondente alla componente connessa individuata da σ (naturalmente, quanto osservato si generalizza nel modo ovvio alle m-catene P

§ 5. Variet`a Topologiche.

Assumiamo che chi legge abbia un minimo di familiarit`a con la nozione di variet`a topologica. Per comodit`a ricordiamo la definizione (cfr.§0, def. 10): una variet`a topologica di dimensione n `e uno spazio topologico di Hausdorff, 2<sup>◦</sup>-numerabile, dove ogni punto ammette un intorno U omeomorfo ad Rn, un omeomorfismo ϕ : U −→ Rn si chiama carta locale. Come gi`a osservato, l’ipotesi che lo spazio sia di Hausdorff serve ad escludere dalla definizione alcune patologie e a garantire che una variet`a topologica appaia, in senso forte, localmente come Rn (cfr.§0, 10.4 e successive considerazioni).

Orientazione.

Iniziamo con alcune considerazioni concernenti Rn(n≥ 1). Per ogni p ∈ D^◦n ⊆ Rn esistono degli isomorfismi naturali

(1) Hk(Rn, Rnr{p}) ^∼= Hek−1(Rnr{p}) ^∼= Hek−1(Sn−1) ∼₌ 

Z, k = n 0 , k 6= n

dove: il primo `e dato dalla successione della coppia; il secondo dalla retrazione di deformazione di Rnr{x} su Sn−1 (cfr.§2, 2.7); il terzo dal calcolo dell’omologia della sfera (della quale, per k = n, ne `e stato dato il generatore canonico). Naturalmente, quanto sopra si estende a p ∈ Rn arbitrario: `e sufficiente considerare un disco pi`u grande. In particolare, dati due punti in Rn, c’`e un isomorfismo naturale tra i corrispondenti gruppi di n-omologia locale. Per utilizzi futuri, `e utile osservare che tale isomorfismo si caratterizza in quanto composizione degli isomorfismi indicati

(1.1)

Hn(Rn, RnrB)

∼

= ւ ց^∼=

Hn(Rⁿ, Rⁿr{p}) Hn(Rⁿ, Rⁿr{q})

(dove: B `e un n-disco, p, q ∈ B, i due isomorfismi sono i morfismi indotti dalle due inclusioni di coppie)

Detto in altri termini, abbiamo un criterio che consente un confronto “immediato” dei gruppi di omologia locale in due punti distinti p, q ∈ Rn: due elementi σp ∈ Hn(Rn, Rnr{p}) e σq ∈ Hn(Rn, Rnr{q}) si corrispondono se provengono da uno stesso elemento in un qualche Hn(Rn, RnrB) ∼= Z (B come sopra). Sia ora X una variet`a topologica di dimensione n ≥ 1, x ∈ X un punto e ϕ : U → Rn una carta locale intorno ad x (i.e. ϕ `e un omeomorfismo soddisfacente ϕ(x) = 0). Abbiamo degli isomorfismi

(1.2) Hn(X, X r{x}) ^∼= (cor. §3, 29)

Hn(U, U r{x}) −−−→^ϕ⋆ Hn(Rn, Rnr{0}) ^∼= (cfr. 1)

Z

L’isomorfismo ϕ_⋆ dipende dalla carta locale ed i due isomorfismi esistenti a priori sono ottenibili entrambi, per cui il gruppo d’omologia locale Hn(X, X r{x}) (def. §3, 29.1) non ha un generatore canonico. Diamo la seguente definizione.

Definizione 2. Sia X una variet`a topologica di dimensione n ≥ 1 ed x ∈ X un punto.

• Un’orientazione locale di X in x `e la scelta di un generatore del gruppo di omologia locale Hn(X, X r{x}); • due orientazioni locali ox ed o_y si dicono concordi relativamente alla carta locale ϕ : U → Rn (che si

assume contenga i punti x ed y), se risulta ϕ⋆o_x = ϕ⋆o_y. In questo caso scriveremo o_x ∼ϕ o_y

l’uguaglianza ϕ⋆o_x = ϕ⋆o_y `e da intendersi via l’isomorfismo canonico (1.1) Hn(Rn, Rnr{ϕ(x)}) ∼= Hn(Rn, Rnr{ϕ(y)})

.

• Un’orientazione (globale) di X `e una scelta di un’orientazione locale o<sub>x</sub> per ogni x ∈ X soddisfacente una delle propriet`a che seguono (tra loro equivalenti):

i) ogni coppia o_x ed o_y `e concorde relativamente ad ogni carta locale contenente x ed y;

ii) esistono carte locali ϕα : Uα → Rn che ricoprono X tali che o_x ∼ϕ_α o_y, ∀ α, ∀ x, y ∈ Uα; iii) x 7→ (x, ox) `e una sezione globale del rivestimento π : eX −→ X (definito sotto, cfr. inciso 2.2). • X si dir`a orientabile se ammette un’orientazione globale.

Criterio 2.1. Data X come sopra, ϕ : U −→ Rn carta locale, x, y ∈ U , o_x ∼ϕ o_y ⇐⇒

(

esistono B ⊆ U con ϕ(B) = “disco” ⊆ Rn, η ∈ Hn(U, U r B) tali che o_x = j⋆^(x)(η) , o_y = j⋆^(y)(η)

dove j^(x) denota l’inclusione di coppie j^(x): (U, U rB) ⊆ (U, U r{x}) (e j(y) `e analoga).

Inciso 2.2. Sia eX l’insieme delle coppie (x, o_x), essendo o_x un’orientazione locale in x. Consideriamo la corrispondente proiezione naturale 2:1

π : _{X :=}e ^_{(x, ox)} o_x orientazione locale in x 2:1

−−−→ X

Si ha che l’insieme eX ha una naturale struttura di variet`a topologica rispetto alla quale π `e un rivestimento 2:1 di variet`a, dove gli aperti delle carte locali di X sono ben rivestiti. Infatti, se ϕ : U → Rn `e una carta locale, il “concordare relativamente a ϕ” ci consente di spezzare π−1(U ) in due insiemi in corrispondenza biunivoca con U tramite π:

π⁻¹(U ) = U+∪ U−, U+ := {(x, ox)| x ∈ U, ox = ϕ⁻¹_⋆ (1)}, U− := {(x, ox)| x ∈ U, ox = ϕ⁻¹_⋆ (−1)} dove 1 denota il generatore canonico di Hn(Rn, Rn− {p}), per ogni p. Naturalmente, −1 denota il suo opposto.

Esercizio 2.3. Si verifichi che i), ii) e iii) sono equivalenti. (Suggerimento: “i) ⇒ ii)” `e banale, provare che “ii) ⇒ iii)” e che “iii) ⇒ i)” di fatto si riduce a verificare che l’inciso 2.2 definisce effettivamente un rivestimento di variet`a soddisfacente le propriet`a ivi indicate). Si osservi che come corollario immediato si deduce che X `e orientabile se e solo se π : eX −→ X `e un rivestimento banale, i.e. eX `e unione disgiunta di due copie di X (ci`o, nel caso in cui X `e una variet`a connessa, equivale a che eX sia sconnessa).

Osserviamo quanto segue.

(2.4) Dalla ii) segue immediatamente che ogni aperto di Rn `e orientabile (per esercizio). (2.5) Dalla i) segue facilmente che il nastro di M¨obius non `e orientabile:

• ∗ σ 0 1 2 • ∗ τ ℓ ℓ 0 2

1 Nella figura (che abbiamo ripetuto due volte per chiarezza), il 2-simplesso σ(vertici ordinati come indicato), genera un opportuno H2(U, U rB) con U carta locale e B palla contenente i due punti “•” e “∗”. Lo stesso vale per τ per una qualche carta locale V . Nonostante ci`o, σ e τ definiscono la stessa orientazione sul punto “•” e orientazioni opposte sul punto “∗” (si osservi come “gira” il percorso “012” intorno ai due punti “•” e “∗” ...nella figura a destra si faccia attenzione alle identificazioni: si guardi ℓ). Ne segue che se le orientazioni locali dei due punti “•” e “∗” sono concordi relativamente ad una delle due carte locali (U e V ), necessariamente non lo sono rispetto all’altra.

In (1) abbiamo fissato degli isomorfismi, va da se che sono quelli che si utilizzano per definire l’orientazione canonica di Rn:

Def. 2.6. Si definisce l’orientazione canonica di R

scegliendo

o

←→ 1 tramite l’isomorfismo canonico H

R

, R

{x}
∼_{= Z}

per ogni x ∈ R

.

Esercizio 2.7. Si verifichi che l’inclusione σ : ∆n ֒→ Rn (∆n= n-simplesso standard) `e un rappresentante dell’orientazione canonica o_x per ogni x interno a ∆n.

Naturalmente σ pu`o essere dilatato e traslato: anche σ′ := λσ + µ : ∆n −→ Rn (0 < λ∈ R, µ ∈ Rn) `e un rappresentante dell’orientazione canonica (per i punti interni all’immagine di σ′).

Proposizione 3. Sia X una variet`a topologica. La variet`a eX `e orientabile (sempre).

Dimostrazione. Definiamo un’orientazione globale di eX scegliendo o_xcome orientazione locale nel punto (x, o_x).