Il fibrato tangente `e un esempio della struttura pi`u generale di fibrato vettoriale, che esamineremo in questo capitolo. A loro volta, i fibrati vettoriali sono particolari fibrati differenziabili localmente banali.
VIII.1. Fibrati differenziabili
Definizione VIII.1.1. Un fibrato differenziabile ξ `e il dato di due variet`a differen-ziabili E= E(ξ), B = B(ξ) e di una sommersione differenziabile π = π(ξ) : E → B. Chiamiamo E lo spazio totale, B la base e π la proiezione nella base di ξ.
Per ogni punto p ∈ B, l’insieme Ep = Ep(ξ) = π−1(b) `e una sottovariet`a differenziabile propria di E, che si dice la fibra di ξ su p.
Se U `e un aperto di B, poniamo EU = π−1(U). La restrizione di π ad EU
descrive un fibrato EU → U, che si indica anche con ξ|U e si dice la restrizione ad U di ξ.
Un’applicazione s ∈Ck(U, E) tale che π( f (p))= p per ogni p ∈ U si dice una sezione di classeCk di ξ su U. Indichiamo conΓk
ξ(U, E) lo spazio delle sezioni di ξ su U. Scriveremo per semplicit`a Γk(U, E) invece di Γk
ξ(U, E) e Γ(U, E) per Γ∞(U, E) quando la notazione semplificata non generi confusione.
Ancora, indicheremo a volte il fibrato ξ con la sola lettera del suo spazio totale. Ad esempio, diremo a volte il fibrato tangente T M invece di il fibrato tangente (T M−→ M).π
Lemma VIII.1.2. Sia ξ un fibrato differenziabile, τ0 ∈ E(ξ) e p0 = π(ξ)(τ0). Allora esistono un intorno aperto U di p0in B(ξ) ed una sezione s ∈ Γξ(U, E(ξ)) con s(p0)= τ0.
Dimostrazione. Poich´e π(ξ) `e una sommersione differenziabile in tutti i punti di E(ξ), la tesi segue dal teorema delle funzioni implicite (cf. Proposizione III.8.3). Definizione VIII.1.3. Se M, F sono due variet`a differenziabili, la proiezione πM : M × F → Mdefinisce un fibrato differenziabile, che si dice fibrato banale di base M e fibra F.
Definizione VIII.1.4. Diciamo che il fibrato differenziabile ξ `e localmente banale con fibra tipica Fse
(a) F `e una variet`a differenziabile;
(b) per ogni p ∈ B esistono un intorno aperto U di p in B ed una φU ∈ C∞(EU, F) tale che π × φU ∈C∞(EU, U × F) sia un diffeomorfismo che renda commutativo il diagramma
(8.1.1) EU π×φU // π !!B B B B B B B B U × F prU {{xxxxxx xxx U.
Se ψU : U × F → EU `e l’inversa di π × φU, allora, per ogni σ0 ∈ F fissato, l’applicazione p → ψU(p, σ0) `e una sezione differenziabile di ξ su U. Una carta locale definisce quindi un’applicazione della fibra tipica F nello spazioΓξ(U, E) delle sezioni di ξ su U.
Definizione VIII.1.5. La φU in (8.1.1), o l’inversa ψU : U × F → EU, si dicono una trivializzazione di ξ su U.
Definizione VIII.1.6. Un atlante di trivializzazione di ξ `e una collezione A = {(Ua, φa) | a ∈ A} formata da aperti Uadi B e da trivializzazioni locali
EUa 3σ −→ (π(σ), φa(σ)) ∈ Ua× F, tale che B= Sa∈AUa.
A volte scriveremo E −−→ B per il fibrato diπ fferenziabile ξ con E(ξ) = E, B(ξ) = B e π(ξ) = π. La notazione E −→π
F Bsignificher`a che, inoltre, il fibrato differenziabile ξ `e localmente banale, con fibra tipica F.
Proposizione VIII.1.7 (Un criterio di banalit`a locale). Siano E e B variet`a dif-ferenziabili, con B connessa. Allora ogni sommersione differenziabile propria π : E → B definisce un fibrato differenziabile localmente banale.
Ricordiamo che il fatto che π sia propria significa che π `e continua, chiusa, e che π−1(K) `e compatto in E per ogni compatto K di B.
Dimostrazione. Fissiamo un punto p0 ∈ B. L’insieme Ep0 = π−1(p0) `e una sottovariet`a compatta di E. Consideriamo un suo intorno tubolare W in E (cf. Pro-posizione VI.4.2), di cui Ep0 sia retratto differenziabile d’intorno: W `e un intorno aperto di Ep0 in E ed `e assegnata un’applicazione differenziabile ρ : W → Ep0 con ρ(σ) = σ per ogni σ ∈ Ep0. Poich´e π `e chiusa, π(E \ W) `e un chiuso di B che non contiene p0. Quindi U0 = M \ π(E \ W) `e un intorno aperto di p0 in B, con EU0 = π−1(U0) ⊂ W. Quindi Ep0 ha in E un intorno tubolare EU0. Utilizziamo la retrazione ρ per definire la
Φ : EU0 3σ → (π(σ), ρ(σ)) ∈ U0× Ep0.
Poich´e π `e una sommersione differenziabile, la Φ `e un diffeomorfismo locale in tutti i punti σ ∈ Ep0. L’insieme dei punti σ di EU0 in cui siaΦ che la restrizione di ρad Eπ(σ)sono diffeomorfismi locali `e un intorno aperto W1di Ep0 in EU0. Allora U1 = M \ π(E \ W1) `e un intorno aperto di p0in M e la restrizione diΦ ad EU1 e di ρ a ciascun Ep con p ∈ U1sono diffeomorfismi locali. In particolare, per ogni
VIII.1. FIBRATI DIFFERENZIABILI 133
p ∈ U1, ρ(Ep) `e un sottoinsieme aperto e chiuso di Ep0. Poich´e Ep0 ha al pi`u un numero finito di componenti connesse, ne segue che r(Ep)= Ep0per tutti i punti p della componente connessa U2di p0in U1.
Resta da dimostrare che ρ : Ep → Ep0 `e anche iniettiva se p appartiene a un intorno sufficientemente piccolo di p0in U2. Poich´eΦ `e un diffeomorfismo locale, l’insieme Q= {(σ1, σ2) ∈ EU2× EU2 |σ1 , σ2, Φ(σ1)= Φ(σ2)} `e, in EU2 × EU2 un chiuso disgiunto dalla diagonale∆ = {(σ, σ) | σ ∈ EU2} di EU2 × EU2. Infatti ogni σ ∈ EU2 `e contenuto in un aperto Wσ su cuiΦ definisce un diffeomorfismo con un aperto Wσ0 di U2× Ep0. Quindi Wv× Wv `e un intorno di (v, v) in EU2× EU2
che non interseca Q.
Sia ora {ων} un sistema fondamentale di intorni aperti relativamente compatti di p0 in U2, con ων+1 b ων per ogni ν. AbbiamoT
ν( ¯Eων × ¯Eων) = Ep0 × Ep0 e quindi \ ν (Q ∩ [ ¯Eων× ¯Eων])= Q ∩\ ν( ¯Eων× ¯Eων)= Q ∩ (Ep0 × Ep0)= ∅. Per la propriet`a dell’intersezione finita, possiamo trovare un indice ν per cui Q ∩ ( ¯Eων× ¯Eων)= ∅, e quindi la restrizione di Φ ad Eωνsia una trivializzazione locale. Per completare la dimostrazione, baster`a osservare che le fibre Ep= π−1(p) so-no tutte diffeomorfe tra loro. Ci`o segue dalla connessione di B e dal fatto che dalla prima parte della dimostrazione si ricava che, fissato un punto p0 ∈ B, l’insieme dei p ∈ B per cui la fibra Ep`e diffeomorfa ad Ep0 `e aperto e chiuso in B. Proposizione VIII.1.8. Sia ξ un fibrato differenziabile ed M una sottovariet`a differenziabile di B(ξ). Definiamo
(8.1.2) E|M= π(ξ)−1(M), π|M: E|M3τ → π(ξ)(τ) ∈ M. Allora ξ|M = (E|M
π|M
−−→ M) `e un fibrato differenziabile con base M. Definizione VIII.1.9. Il fibrato ξ|Mdescritto nella Proposizione VIII.1.8 si dice la restrizione ad Mdel fibrato ξ.
Proposizione VIII.1.10. Se ξ e ζ sono fibrati differenziabili, allora, posto E(ξ × ζ)= E(ξ) × E(ζ),
B(ξ × ζ)= B(ξ) × B(ζ),
π(ξ × ζ) : E(ξ × ζ) 3 (α, β) → (π(ξ)(α), π(ζ)(β)) ∈ B(ξ × ζ), ξ × ζ= (E(ξ × ζ)−π(ξ×ζ)−−−−→ B(ξ × ζ)) `e un fibrato differenziabile.
Se ξ e ζ sono localmente banali con fibre tipiche F(ξ) ed F(ζ) rispettivamente, allora anche ξ × ζ `e localmente banale, con fibra tipica F(ξ) × F(ζ).
Definizione VIII.1.11. Il fibrato differenziabile ξ × ζ descritto nella Proposizione VIII.1.10 si dice prodotto cartesiano dei fibrati ξ e ζ.
Proposizione VIII.1.12 (pullback). Sia ξ un fibrato differenziabile, M una variet`a differenziabile ed f : M → B(ξ) un’applicazione differenziabile. Poniamo
π( f∗ξ) : E 3 (p, σ) −→ p ∈ M. Allora f∗ξ= E( f∗ξ) π( f
∗ξ)
−−−−−→ M `e un fibrato differenziabile con base M.
Se ξ `e localmente banale con fibra tipica F, anche f∗ξ `e localmente banale con fibra tipica F.
Definizione VIII.1.13. Il fibrato f∗ξdescritto nella Proposizione VIII.1.12 si dice l’immagine inversa, o pullback, di ξ mediante l’applicazione f .
Definizione VIII.1.14. Siano ξ1 e ξ2 due fibrati differenziabili sulla stessa base B(ξ1)= B(ξ2)= M. Chiamiamo somma di Whitney dei fibrati ξ1e ξ2, ed indichia-mo con ξ1⊕M ξ2, l’immagine inversa del fibrato ξ1× ξ2 mediante l’immersione canonica ι : M 3 p → (p, p) ∈ M × M di M nella diagonale di M × M.
Abbiamo, in modo canonico,
E(ξ1⊕Mξ2) ' {(σ1, σ2) ∈ E(ξ1) × E(ξ2) | π(ξ1)(σ1)= π(ξ2)(σ2)}, π(ξ1⊕Mξ2)(σ1, σ2)= π(ξ1)(σ1)= π(ξ2)(σ2), ∀(σ1, σ2) ∈ E(ξ1⊕Mξ2). Osserviamo che, per le Proposizioni VIII.1.8, VIII.1.10, VIII.1.12, se ξ1e ξ2 sono localmente banali con fibre tipiche F1 ed F2rispettivamente, la loro somma di Whitney ξ1⊕Mξ2 `e ancora localmente banale, con fibra tipica F1× F2.
Definizione VIII.1.15. Siano ξ1 e ξ2 due fibrati differenziabili. Un morfismo di fibrati differenziabili ( f, φ) : ξ1 → ξ2 `e il dato di una coppia di applicazioni dif-ferenziabili f : E(ξ1) → E(ξ2) e φ : B(ξ1) → B(ξ2) che rendano commutativo il diagramma (8.1.3) E(ξ1) −−−−−→ E(ξf 2) π(ξ1) y yπ(ξ2) B(ξ1) −−−−−→ φ B(ξ1). Abbiamo
Lemma VIII.1.16. Siano ξ1e ξ2due fibrati differenziabili. Se f : E(ξ1) → E(ξ2) `e un’applicazione differenziabile e
∀p ∈ B(ξ1), ∃q ∈ B(ξ2) t.c. f (Ep(ξ1)) ⊂ Eq(ξ2),
allora esiste un unico morfismo di fibrati differenziabili ( f, φ) : ξ1→ ξ2che induca f sugli spazi totali.
Dimostrazione. L’unicit`a `e ovvia, in quanto la φ si ottiene per passaggio al quoziente rispetto alle proiezioni sulle basi. Per dimostrare che φ `e differenziabile, basta osservare che, se s ∈ Γξ1(U, E(ξ1)) per un aperto U di B(ξ1), allora φ|U =
π(ξ2) ◦ s, onde φ `e differenziabile su U.
Proposizione VIII.1.17. Sia ( f , φ) : ξ1 → ξ2 un morfismo di fibrati di fferenzia-bili. Se f : E(ξ1) → E(ξ2) `e un diffeomorfismo, anche φ : B(ξ1) → B(ξ2) `e un diffeomorfismo, e la ( f−1, φ−1) : ξ2 → ξ1 `e un morfismo di fibrati differenziabili.
VIII.2. FIBRATI VETTORIALI DIFFERENZIABILI 135
Dimostrazione. Chiaramente φ `e bigettiva. Se W `e un aperto di B(ξ2) ed s2 ∈ Γξ2(W, E(ξ2)), allora φ−1|W = f−1◦ s2dimostra che φ−1`e anche differenziabile. Definizione VIII.1.18. Un isomorfismo di fibrati differenziabili `e un morfismo ( f , φ) : ξ1→ ξ2per cui f : E(ξ1) → E(ξ2) sia un diffeomorfismo.
Un isomorfismo di fibrati differenziabili ( f, φ) : ξ1 → ξ2con B(ξ1)= B(ξ2) = Me φ= idM si dice un’equivalenza.
VIII.2. Fibrati vettoriali differenziabili
Definizione VIII.2.1. Un fibrato vettoriale differenziabile di rango n `e il dato di un fibrato differenziabile ξ = E−→ B, con π surgettiva, e di una struttura di spazioπ vettoriale reale di dimensione n su ogni fibra Ep = π−1(p), compatibile con la struttura differenziabile. Ci`o significa che le applicazioni
E ⊕ME 3(v, w) → v+ w ∈ E, R × E 3 (k, v) → k · v ∈ E sono differenziabili.
Proposizione VIII.2.2. Ogni fibrato vettoriale differenziabile di rango n `e local-mente banale con fibra tipica Rn.
Dimostrazione. Sia ξ = E → B un fibrato di−π fferenziabile vettoriale di rango n. Dato un punto p0 ∈ B, fissiamo una R-base e1, . . . , en di Ep0. Per il Lemma VIII.1.2 possiamo trovare un intorno aperto U di p0 in B e sezioni ηi ∈ Γξ(U, E) con ηi(p0)= eiper i= 1, . . . , n. Per continuit`a, l’insieme U0dei punti p di U in cui η1(p), . . . , ηn(p) sono ancora linearmente indipendenti `e un intorno aperto di p0in B. Allora la
U0× Rn 3 (p; v1, . . . , vn) −→Xn
i=1v
iηi(p) ∈ π−1(U0)
`e una trivializzazione locale differenziabile di ξ in un intorno aperto del punto p0. Se σ ∈Γξ(U, E) `e una sezione di un fibrato vettoriale differenziabile ξ = E −−→ B,π il supporto di σ in U `e la chiusura in U dell’insieme dei punti p in cui σ(p) , 0p:
supp σ= {p ∈ U | σ(p) , 0p} ∩ U.
Proposizione VIII.2.3. Sia ξ = E −−π→ B un fibrato vettoriale differenziabile. Se U, V sono aperti di B con ¯U ⊂ V, allora per ogniσ ∈ Γξ(U,E)possiamo trovare una sezione globaleσ ∈ Γ˜ ξ(B,E)tale chesupp ˜σ ⊂ V e ˜σ(p) = σ(p) per ogni p ∈ U.
Dimostrazione. Se χ ∈ C∞(B) ha supporto contenuto in V ed `e uguale ad 1 in un intorno di ¯U, porremo ˜ σ(p) = χ(p)σ(p) se p ∈ V, 0p se p < V.
Se V, W sono spazi vettoriali reali della stessa dimensione n, indichiamo con IsoR(V, W) l’insieme degli isomorfismi R-lineari di V in W.
Definizione VIII.2.4. Una trivializzazione locale di un fibrato vettoriale differen-ziabile ξ= (E−→ B) `e una trivializzazione localeπ
(8.2.1) φ : U × Rn
→ E|U
di ξ compatibile con la struttura lineare, che sia cio`e lineare sulle fibre. Potremo quindi scrivere1
(8.2.2) φ(p, v) = φ(p)v, con σ(p) ∈ IsoR(Rn, Ep) ∀p ∈ U.
Un atlante di trivializzazione di un fibrato vettoriale differenziabile ξ `e un atlante di trivializzazione di ξ in cui tutte le trivializzazioni locali siano compatibili con la struttura lineare.
Chiameremo funzioni di transizione dell’atlante di trivializzazioneA = {(Ua, φa)} del fibrato vettoriale differenziabile ξ = (E−→ B), le applicazioniπ 2gα,β∈C∞(Ua∩ Ub, GL(n, R)), definite da
(8.2.3) ga,b(p)= φα(p)−1◦φb(p), ∀p ∈ Ua∩ Ub
si dicono le funzioni di transizione dell’atlanteA .
VIII.3. Morfismi e operazioni di fibrati vettoriali Siano ξ1e ξ2due fibrati vettoriali differenziabili.
Definizione VIII.3.1. Un morfismo di fibrati differenziabili ( f, φ) : ξ1 → ξ2 si dice un morfismo di fibrati vettoriali reali differenziabili se `e lineare sulle fibre, se cio`e per ogni p ∈ B(ξ1) l’applicazione E(ξ1)p3 v → f (v) ∈ E(ξ2)φ(p) `e lineare.
Se inoltre la f : E(ξ1) → E(ξ2) `e un diffeomorfismo, allora anche ( f−1, φ−1) : ξ2→ ξ1 `e un morfismo di fibrati vettoriali differenziabili.
In questo caso diremo che ( f , φ) : ξ1→ ξ2`e un isomorfismo di fibrati vettoriali reali differenziabili.
Se, ancora, B(ξ1)= B(ξ2) = M e φ = idM, diremo che la ( f , idM) : ξ1 → ξ2 `e un’equivalenza di fibrati vettoriali reali.
Dire che un fibrato differenziabile ξ di rango n `e trivializzabile equivale dunque a dire che `e isomorfo al fibrato differenziale triviale B(ξ)×V, con V spazio vettoriale reale di dimensione n.
Le costruzioni dell’algebra lineare si estendono in modo naturale ai fibrati vettoriali.
1Le p → φ(p) sono sezioni del fibrato vettoriale ξ ⊗Bξ∗, che sar`a definito nel paragrafo successivo.
2Osserviamo che GL(n, R) `e un aperto di Rn2
, e quindi una variet`a differenziabile di dimensione n2.
VIII.3. MORFISMI E OPERAZIONI DI FIBRATI VETTORIALI 137
Fibrato duale. Sia ξ= E−→ B un fibrato vettoriale reale di rango n. Siaπ E∗=Gp∈BE∗p
l’unione disgiunta dei duali degli spazi vettoriali Ep, al variare di p nella base B. Indichiamo ancora con π : E∗ → B l’applicazione che associa il punto p ∈ B ad η ∈ E∗p⊂ E∗.
SeA = {(Ua, ψa) | a ∈ A} `e un atlante di trivializzazione per ξ, per ogni punto p ∈ Uala
ψa(p) : Rn3 v →ψa(p, v) ∈ Ep
`e un isomorfismo lineare. La sua trasposta (ψ(p))∗: E∗p → (Rn)∗' Rn`e ancora un isomorfismo lineare.
Possiamo cos`ı definire su ξ∗ = E∗ π−→ B un’unica struttura di fibrato vettoriale differenziabile, per cui A∗= {(Ua, ψ∗
a) | a ∈ A}, ove ψ∗
a : Ua× Rn 3 (p, v∗) → [(ψa(p))∗]−1v∗∈ E∗|Ua, sia un atlante di trivializzazione.
Definizione VIII.3.2. Dato un fibrato vettoriale differenziabile ξ, il fibrato vetto-riale differenziabile ξ∗definito sopra si dice il fibrato duale di ξ.
Osservazione VIII.3.3. Se ξ `e un fibrato vettoriale differenziabile su M e ξ∗ il suo duale, sulla somma di Whitney ξ ⊕Mξ∗`e definito l’accoppiamento di dualit`a ξ ⊕Mξ∗ → (M × R −−→ M). Esso associa a due sezioni σ ∈πM Γξ(U, E(ξ)), σ∗ ∈ Γξ∗(U, E∗(ξ)) la funzione (U 3 p → hσ(p), σ∗(p)i) ∈C∞(U).
Proposizione VIII.3.4. Ogni fibrato vettoriale `e equivalente al suo fibrato duale. Dimostrazione. Sia ξ un fibrato vettoriale di rango n ed A = {(Ua, ψa) | a ∈ A} un suo atlante di trivializzazione. Sia {φa} una partizione dell’unit`a subordinata ad {Ua | a ∈ A} con φa ∈C∞(B(ξ)) e φa ≥ 0 su B(ξ). Definiamo un prodotto scalare sulle fibre di ξ mediante
(v1|v2)=X
p∈Uaφa(p) · (prRn(ψa(v1)|prRn(ψa(v2))Rn, ∀p ∈ B(ξ), ∀v1, v2∈ E(ξ)p.
Il prodotto scalare definisce un isomorfismo (di Riesz) ρp : Ep → E∗p per ogni
p ∈ M, che ci d`a un’equivalenza (ρ, idB) : ξ → ξ∗.
Definizione VIII.3.5. Sia M una variet`a differenziabile e T M → M il suo fi-−π brato tangente. Il fibrato duale T∗M → M del fibrato tangente si dice il fibrato−π cotangentesu M.
Somma diretta. Se ξ1, ξ2 sono fibrati vettoriali, di ranghi n1 ed n2 rispetti-vamente, allora il prodotto ξ2× ξ2ha una struttura naturale di fibrato vettoriale di rango n1+ n2, con fibra sopra il punto (p1, p2) ∈ B(ξ1) × B(ξ2) uguale allo spazio vettoriale somma diretta E(ξ1)p1 ⊕ E(ξ2)p2.
Se ξ1e ξ2hanno la stessa base B(ξ1)= B(ξ2)= M, allora la somma di Whitney ξ1⊕Mξ2 `e un fibrato vettoriale differenziabile di rango n1+ n2.
Prodotto tensoriale. Dati due fibrati vettoriali differenziabili ξ1, ξ2, di ranghi n1 ed n2 rispettivamente, con basi B(ξ1) = B1 e B(ξ2) = B2, definiamo il loro prodotto tensoriale ξ1⊗ ξ2 come il fibrato vettoriale differenziabile di rango n1n2 con base B1× B2 e fibra su E(ξ1)p1 ⊗RE(ξ2)p2 sul punto (p1, p2) ∈ B1× B2. Se B1 = B2 = M, indichiamo con ξ ⊗M ξ2 l’immagine inversa di ξ1 ⊗ ξ2 rispetto all’immersione p → (p, p) di M nella diagonale di M × M. Esso si dice prodotto di Whitneydei fibrati ξ1e ξ2.
Fibrati tensoriali. Le operazioni di somme dirette, prodotti tensoriali, som-me e prodotti di Whitney di fibrati vettoriali differenziabili sono associative e commutative, a meno di equivalenze.
In particolare, fissati due interi non negativi r, s possiamo definire, a partire da un fibrato vettoriale reale ξ= E −→ B di rango n, un fibrato vettoriale diπ fferenziabile τr,s(ξ) sulla stessa base B, di rango n(r+ s), con spazio totale
Tr,s(E)=G p∈BEp⊗ · · · ⊗ Ep | {z } rvolte ⊗ E∗p⊗ · · · ⊗ E∗p | {z } svolte .
Possiamo descrivere la sua struttura di fibrato vettoriale differenziabile a partire da un atlante di trivializzazioneA = {(Ua, ψa) | a ∈ A} di ξ. L’atlante corrispondente Tr,sA = {(Ua, ψ(r,s)
a ) | a ∈ A} di τr,s(ξ) consiste delle carte
Ua× (Rn)⊗r⊗ (Rn)⊗s 3 (p, t, σ) → (ψa(p))⊗rt ⊗([ψa(p)∗]−1)⊗sσ ∈ Tr,s(E)|Ua. Il fibrato vettoriale τr,s(ξ) ha rango n(r + s) e si dice la potenza tensoriale r-covariante ed s-controvariantedi ξ.
Definizione VIII.3.6. Se M `e una variet`a differenziabile di dimensione m, il fibrato τr,s(T M−→ M) si indica con Tπ r,sM−→ M e si dice il fibrato dei tensori r-covariantiπ ed s-controvarianti su M.
VIII.4. Fibrati vettoriali e fibrato tangente
Definizione VIII.4.1. Sia ξ= E −→ M un fibrato diπ fferenziabile. Il fibrato verticale su E `e il nucleo del differenziale della proiezione sulla base:
(8.4.1) V E= {v ∈ T E | dπ(v) = 0}.
Supponiamo ora che E−→ M sia un fibrato vettoriale. Possiamo identificare Mπ alla sezione nulla di E, mediante l’applicazione
(8.4.2) ι : M 3 x → 0x ∈ E.
Abbiamo allora
Proposizione VIII.4.2. Ogni fibrato vettoriale ξ = E −→ M `e equivalente alπ pullback su M, mediante l’inclusione(8.4.2), del suo fibrato verticale.
Dimostrazione. Sia x ∈ M e v ∈ E. Associamo a v il vettore ~v ∈ V0xEdefinito da
~v f = d
VIII.5. NORME DIFFERENZIABILI E STRUTTURE EUCLIDEE 139
Otteniamo cos`ı un’applicazione E → V E|M = ι∗(V E), che si verifica facilmente
essere un’equivalenza di fibrati vettoriali.
Proposizione VIII.4.3. Se ξ= E−→ M `e un fibrato vettoriale differenziabile, allo-π ra la restrizione di T E ad M (cio`e il suo pullback mediante l’inclusione(8.4.2)) `e equivalente alla somma diretta di T M e della restrizione ad M del fibrato verticale:
(8.4.3) T E|M' T M ⊕MV E|M.
Utilizzando le proposizioni VIII.4.2 e VIII.4.3 ed il teorema d’immersione di Whitney otteniamo il
Teorema VIII.4.4. Sia ξ= E→ M un fibrato vettoriale di−π fferenziabile. Possiamo allora trovare un fibrato vettoriale differenziabile ζ = E(ζ) −π(ζ)−−→ M sulla stessa base M tale che la somma di Whitney ξ ⊕Mζsia equivalente ad un fibrato banale. Dimostrazione. Utilizzando il teorema di Whitney, possiamo fissare un’inclu-sione differenziabile propria Φ : E → R`. Identifichiamo ad M la sezione nulla di ξ e sia N la sia immagine in R`. Il differenziale dΦ definisce per restrizione un’inclusione differenziabile di VMEsu un sottofibrato differenziabile ξ0, con base N, della restrizione ad N del fibrato tangente di R`, e ξ `e equivalente, per la propo-sizione VIII.4.2, al pullback di ξ0. Identifichiamo TNR` al fibrato banale N × R`. Allora le fibre di ξ0sono della forma {y}×Wy, con y ∈ N e Wysottospazio vettoriale di R`. Definiamo il fibrato vettoriale differenziabile ζ0su N come il sottofibrato di N × R` con fibre {y} × Wy⊥, al variare di y in N, ed indichiamo con ζ il suo pull-back medianteΦ. Allora ξ ⊕M ζ `e il pullback mediante Φ del fibrato vettoriale ξ0⊕Nζ0 ' N × R`, e dunque equivalente ad un fibrato banale perch´e pullback di un
fibrato equivalente ad un fibrato banale.
VIII.5. Norme differenziabili e strutture Euclidee
Sia ξ= (E−−→ B) un fibrato vettoriale. Indichiamo con 0π Ela sua sezione nulla. Definizione VIII.5.1. Una norma differenziabile su ξ `e un’applicazione reale con-tinua e non negativa k kE ∈C0(E, R) che goda delle propriet`a:
kqkE > 0 se q < 0E, (8.5.1) kk qkE = |k| kqkE ∀k ∈ R, ∀q ∈ E, (8.5.2) kq1+ q2kE ≤ kq1kE+ kq2kE, ∀p ∈ B, ∀q1, q2∈ Ep, k k2 E ∈C∞(E). (8.5.3)
Definizione VIII.5.2. Una struttura Euclidea su ξ `e un’applicazione differenziabile E ⊕BE 3(q1, q2) −→ (q1|q2)E ∈ R
bilineare simmetrica, definita positiva. Valgono cio`e (q1, q2)E = (q2|q1)E, ∀(q1, q2) ∈ E ⊕BE, (8.5.4) (q1+ q2, q3)E = (q1|q3)E + (q2|q3)E, ∀p ∈ B, ∀q1, q2, q3∈ Ep, (8.5.5) (kq1|q2)E = k(q1|q2)E, ∀k ∈ R, ∀(q1, q2) ∈ E ⊕BE, (8.5.6) (q|q)E > 0 ∀q ∈ E \ OE. (8.5.7)
Osserviamo che, data una struttura Euclidea ( | )Esu ξ, la kqkE = p(q|q)E ≥ 0 `e una norma differenziabile su ξ.
L’esistenza di norme differenziabili `e garantita quindi dalla
Proposizione VIII.5.3. Ogni fibrato vettoriale ξ ammette una struttura Euclidea. Dimostrazione. Sia A = {(Ui, φi)}i∈I un atlante di trivializzazione di ξ. Se ξ ha rango k, per ogni i la
φi: π−1(Ui) 3 q −→ (π(q), φi(q)) ∈ Ui× Rk
`e un’equivalenza di fibrati vettoriali. Se {χi} ⊂C∞(B) `e una partizione dell’unit`a su B subordinata al ricoprimento {Ui}i∈I, la
(q1|q2)E =X
π(q1)∈Ui
χi(π(q1)) (φi(q1)|φi(q2))Rk, ∀(q1, q2) ∈ E ⊕BE,
definisce una struttura Euclidea su ξ.
Definizione VIII.5.4. Una struttura Euclidea sul fibrato tangente di una variet`a M si dice una struttura Riemanniana su M.
VIII.6. Classi di isomorfismo di fibrati vettoriali
Ricordiamo che, se ξ= E−→ M `e un fibrato vettoriale diπ fferenziabile di rango k, con base M, data un’altra variet`a differenziabile N ed un’applicazione differen-ziabile f : N → M di N nella base di ξ, il pullback f∗ξ`e il fibrato differenziabile di rango k su N, con spazio totale f∗Ee proiezione πf definiti da
(8.6.1) f∗E:= E( f∗ξ)= {(x, v) ∈ N × E | π(v) = f (x)}, πf := π( f∗ξ)(x, v)= x, ∀(x, v) ∈ E( f∗ξ). Se abbiamo una composizione di applicazioni differenziabili
M00 −−−−−→ Mg 0 −−−−−→ Mf ed un fibrato vettoriale ξ= E→ M su M, allora−π
( f ◦ g)∗ξ ≡g∗f∗ξ sono canonicamente equivalenti: infatti
E(( f ◦ g)∗ξ)= {(x, v) ∈ M00
× E | f (g(x))= π(v)},
E(g∗f∗ξ)= {(x, (y, v)) ∈ M00× M0× E | g(x)= y, f (y) = π(v)} e l’equivalenza `e definita dall’applicazione (x, (y, v))= (x, ( f (x), v)) → (x, v).
Indichiamo con Veck(M) la collezione delle classi di isomorfismo dei fibra-ti vettoriali di rango k sulla variet`a M. Possiamo considerarlo come un insieme puntato, ove il punto base `e costituito dalla classe d’equivalenza del fibrato banale M × Rk −−→ M. L’osservazione che abbiamo fatto sopra si pu`o esprimere medianteπM la
Proposizione VIII.6.1. Veck( · ) `e un funtore dalla categoria delle variet`a ed applicazioni differenziabili alla categoria degli spazi puntati e delle applicazioni che preservano i punti base.
VIII.7. FIBRATI VETTORIALI SULLE SFERE 141
Abbiamo la
Proposizione VIII.6.2 (propriet`a d’omotopia dei fibrati vettoriali). Siano M ed N variet`a differenziabili, con M compatta. Se f0, f1 : M → N sono due applicazioni differenziabili omotope e ξ = E πN
−−→ N `e un fibrato vettoriale su N, allora i fibrati f0∗ξed f1∗ξsono isomorfi.
Dimostrazione. Sia F : M × I 3 (x, t) → ft(x) ∈ N un’omotopia di classe C∞tra f0 ed f1. Indichiamo con prM : M × I 3 (x, t) → x ∈ M la proiezione sul primo fattore. Per dimostrare il teorema, sar`a sufficiente verificare che, se per un t0 ∈ [0, 1] il fibrato ft∗ξ `e isomorfo ad un fibrato vettoriale ζ su M, ci`o `e ancora vero per tutti i fibrati ft∗ξcon t ∈ [0, 1] e |t − t0|< per qualche > 0.
Consideriamo sulla variet`a compatta con bordo3 M × I i due fibrati vettoriali F∗ξe pr∗Mζe il fibrato principale Iso(F∗ξ, pr∗
Mζ), la cui fibra su (x, t) `e l’insieme di tutti gli isomorfismi lineari λx : E( ft∗ξ)x → E(ζ)x. Per ipotesi questo fibrato ha una sezione σ su M × {t0}. Il fibrato principale Iso( f∗E, p∗
MF) `e un aperto del fibrato vettoriale
η = Hom(F∗ξ, pr∗
Mζ)= (pr∗
Mζ)∗⊗M×I F∗ξ.
La sezione σ si estende a una sezione globale ˜σ di η su M × I. La ˜σ sar`a ancora una sezione di Iso(F∗ξ, pr∗
Mζ) su un intorno aperto di M × t0. Per la compattezza di M, questo intorno conterr`a M × t per tutti i t ∈ [0, 1] con |t − t0|< per qualche
> 0.
Osservazione VIII.6.3. La proposizione vale anche senza l’ipotesi di compattez-za su M. Ricordiamo che tutte le variet`a che consideriamo supponiamo siano paracompatte.
Corollario VIII.6.4. Ogni fibrato vettoriale sopra una variet`a contrattile `e iso-morfo al fibrato banale.
Esempio VIII.6.5. Veck(S1) si pu`o identificare alle classi di omotopia di applica-zioni f : {±1} → GL(k, R) che mandano il punto 1 in Ik. Esso consiste quindi di due punti se k ≥ 1. Nel caso k = 1 i due fibrati corrispondono rispettivamente al cilindro (caso orientabile) e al nastro di M¨obius (caso non orientabile).
VIII.7. Fibrati vettoriali sulle sfere Decomponiamo la sfera Sn = (x0, x1, . . . , xn) Xn h=0x 2 h= 1 ⊂ Rn+1
nell’unione di due celle chiuse: Sn = Dn +∪ Dn−, con Dn+= {x ∈ Sn | x0 ≥ 0}, Dn−= {x ∈ Sn | x0≤ 0}. Sia Sn−1= Dn +∩ Dn−= {x ∈ Sn| x0 = 0}.
3Per evitare di utilizzare nella dimostrazione la variet`a compatta a bordo M × I, possiamo osservare che l’omotopia F = ( ft) : M × I → N si estende ad un’applicazione differenziabile
˜
Data un’applicazione continua f : Sn−1 → GL(k, R), possiamo definire un fibrato vettoriale di rango r su Snincollando i fibrati banali D+
n × Rke D−n × Rk mediante la funzione d’incollamento che associa ad (x, v) ∈ Sn−1× Rk ⊂ D+
n× Rkl’elemento (x, f (x)v) ∈ Sn−1× Rk ⊂ D−n × Rk. La f `e detta la funzione di clutching4. Si dimostra facilmente che
Lemma VIII.7.1. Siano f0, f1: Sn−1 → GL(k, R) due funzioni di clutching. Se f0
ed f1sono omotope, allora i fibrati vettoriali Ef1ed Ef2 sono equivalenti. Abbiamo quindi un’applicazione naturale
(8.7.1) π(Sn−1, GL(k, R)) −→ Veck(Sn).
Poich´e Dn+ e Dn− sono contrattili, i fibrati vettoriali con basi Dn+ e Dn− sono banali. Da questa osservazione segue il
Lemma VIII.7.2. L’applicazione (8.7.1) `e surgettiva.
Lo studio dell’applicazione (8.7.1) `e complicato dal fatto che il gruppo GL(k, R) ha due componenti connesse. `E quindi conveniente considerare dapprima i fibrati vettoriali orientati.
Indichiamo con Vec+
k(M) le classi di equivalenza di fibrati vettoriali orientati di rango k sulla variet`a differenziabile M. Sia GL+(k, R) il gruppo degli endomorfismi lineari di Rkcon determinante positivo. Abbiamo allora
Proposizione VIII.7.3. L’applicazioneπ(Sn−1, GL+(k, R)) → Vec+k(Sn) `e bigetti-va.
Per analizzare Veck(Sn), introduciamo lo spazio Vec0k(Sn) che consiste delle classi di equivalenza di fibrati vettoriali di rango k su Snche hanno un’orientazione assegnata sul punto e1 ∈ Sn−1 ⊂ Sn. Scegliendo le trivializzazioni su Dn± che mantengono questa orientazione assegnata, le abbiamo fissate entrambe a meno di omotopia. Otteniamo cos`ı
Lemma VIII.7.4. Vi `e una bigezione naturale
π(Sn−1, e1; GL(k, R), GL+(k, R)) → Vec0 k(Sn). Se n ≥ 2, Sn−1`e connesso ed abbiamo quindi:
Lemma VIII.7.5. Se n ≥ 2, vi `e una bigezione naturale π(Sn−1, GL+(k, R)) → Vec0k(Sn). Quindi l’applicazione naturale Vec+
k(Sn) → Vec0k(Sn) `e una bigezione. Ne segue che
Proposizione VIII.7.6. Se n ≥ 2, ogni fibrato vettoriale reale su Sn `e orientabile, ed ha esattamente due orientazioni, che dipendono dalla scelta dell’orientazione su una singola fibra. L’applicazione (8.7.1) ha fibre che hanno al pi`u due ele-menti. Hanno un solo elemento le fibre che corrispondono a fibrati vettoriali che ammettono un automorfismo che inverte l’orientazione delle fibre, due elementi altrimenti.
VIII.8. QUOZIENTI DELLA SFERA E SPAZI LENTICOLARI 143
Osservazione VIII.7.7. Poich´e SO(k) `e un retratto di deformazione di GL+(k, R), abbiamo
π(Sn−1, GL+(k, R)) ' π(Sn−1, SO(k)) ' πn−1(SO(k)). VIII.8. Quozienti della sfera e spazi lenticolari
Consideriamo in primo luogo il caso della sfera S3. Ricordiamo che essa si pu`o considerare come lo spazio dei quaternioni di modulo 1 ed `e quindi un gruppo con la restrizione del prodotto di quaternioni.
I sottogruppi G di S3 operano su S3, per moltiplicazione a sinistra, in modo libero. In particolare, se G `e un sottogruppo finito, il quoziente M = S3/G `e una variet`a differenziabile di dimensione 3, di cui S3 `e il rivestimento universale.
I gruppi non ciclici che operano su S3sono
Q8 (gruppo quaternionale) che consiste degli elementi {±1, ±i, ± j, ±k}, caso particolare del
Q4m (gruppo quaternionale generalizzato), che `e il sottogruppo di S3generato da a= eiπ/me b= j. Esso `e descritto dalle relazioni
am= −1, b2= −1, bab−1= a−1
e contiene il sottogruppo ciclico di ordine 2m generato da eiπ/m come sottogruppo normale di indice due. Il gruppo Q4m si indica anche con D∗4m e detto gruppo diedrale binario perch´e il suo quoziente rispetto al sottogruppo normale {±1} `e il gruppo diedrale D2mdi ordine 2m.
T∗24 (gruppo binario tetraedrale), O∗48 (gruppo binario ottaedrale),
I∗120 (gruppo binario icosaedrale). Gli ultimi tre sono le immagini inverse dei gruppi tetraedrale, ottaedrale ed icosaedrale delle simmetrie rotazionali