Il Lemma di Morse-Sard descrive alcune importanti propriet`a delle applicazio-ni differenziabili. Esso ha conseguenze importanti sia nella geometria che nella topologia differenziale. Ad esempio, utilizzando il Lemma di Sard, dimostreremo nel Capitolo VI il teorema d’immersione di Whitney1, che ci dice che ogni va-riet`a differenziabile paracompatta di classe C∞ e di dimensione m `e diffeomorfa ad una sottovariet`a propria di R2m+1. Tra i diversi argomenti di cui il Lemma di Sard costituisce un’indispensabile premessa, citiamo la trasversalit`a, la teoria delle singolarit`a, la teoria di Morse.
Il Lemma fu dimostrato da Anthony P. Morse2nel 1939 per funzioni a valori scalari e generalizzato da Arthur Sard3, nel 1942, al caso di funzioni a valori in una variet`a differenziabile di classe C∞. In letteratura il risultato `e citato come Teorema di Sard, o Lemma di Sard, o Teorema di Morse-Sard.
V.1. Il caso degli spazi Euclidei V.1.1. Applicazioni differenziabili Rm
→ Rncon m< n.
Lemma V.1.1. Siano m, n, due interi positivi con m< n ed f : A → Rn un’appli-cazione differenziabile di classe C1, definita su un aperto A di Rm. Allora f(A) `e di prima categoria ed ha misura di Lebesgue nulla.
Dimostrazione. Per ogni intero positivo N ed ogni α ∈ Zm indichiamo con Q(α, N) il cubo m-dimensionale di lato 1/N e centro nel punto α/N:
Q(α, N)= {x ∈ Rm| |N xi−αi| ≤ 1/2, per i= 1, . . . , m}. La famiglia:
Q(α, N) | α ∈ Zm, N ∈ N \ {0}
`e numerabile e le sue sottofamiglie formate dai cubi di lato 1/N sono ricoprimenti chiusi localmente finiti (quadrettature) di Rm. L’insieme A `e l’unione numerabile S
νQν della famiglia {Qν = Q(αν, Nν) ⊂ A} dei cubi Q(α, N) in esso contenuti. Allora
f(A)=[ f(Qν)
`e una rappresentazione di f (A) come unione numerabile di insiemi compatti.
1Hassler Whitney, Differentiable manifolds, Ann. of Math. (2) 37 (1936), no. 3, 645–680.
2Anthony P. Morse, The behavior of a function on its critical set. Ann. of Math. (2) 40 (1939), no. 1, 62–70.
3Arthur Sard, The measure of the critical values of differentiable maps. Bull. Amer. Math. Soc. 48, (1942). 883–890.
Baster`a dimostrare che ogni f (Qν) ha parte interna vuota e misura di Lebesgue nulla.
Fissiamo un indice ν. Le derivate parziali prime di f sono uniformemente limitate su Qν. Per il teorema della media, la f `e Lispchitziana su Qν. Abbiamo cio`e, per una costante Lν > 0,
| f (x1) − f (x2)| ≤ Lν|x1− x2|, ∀x1, x2 ∈ Qν.
Quindi l’immagine f (E) di un sottoinsieme E di Qν di diametro δ ha diametro minore o uguale a Lν·δ ed `e perci`o contenuto in una palla n-dimensionale di raggio Lνδ e dunque in un cubo n-dimensionale di lato 2Lνδ. L’insieme f (Qν) `e compatto e quindi misurabile secondo Lebesgue in Rn.
Poich´e Qν `e unione di Nm cubi m-dimensionali di lato 1/(N · Nν) di Rm, la sua immagine f (Qν) `e contenuta in un’unione di Nmcubi n-dimensionali di lato 2Lν√m/(N · Nν) di Rn. Per la subadditivit`a della misura, otteniamo
(5.1.1) vol( f (Qν)) ≤ Nm 2Lν√m N ·Nν !n = 2nLnνmn/2 Nνn N m−n, ∀N ∈ N.
Facendo tendere N all’infinito, otteniamo che f (Qν) ha misura di Lebesgue nulla. Ne segue che f (A), essendo unione numerabile di sottoinsiemi misurabili di misura nulla `e misurabile ed ha misura di Lebesgue nulla in Rn.
Per dimostrare che f (A) `e un sottoinsieme della prima categoria di Baire, basta verificare che ciascuno dei compatti f (Qν) ha parte interna vuota. Questo segue dalla prima parte della dimostrazione, perch´e un compatto di Rncon parte interna non vuota ha misura di Lebesgue positiva. La dimostrazione `e completa. V.1.2. Punti e valori regolari e critici. Ricordiamo le nozioni di punti e valori regolari e critici per applicazioni differenziabili negli spazi Euclidei. Definizione V.1.2. Sia f : A −→ Rnun’applicazione differenziabile, di classe Ck, con k ≥ 1, definita su un aperto A di Rm.
Un punto x0∈ A si dice regolare se f `e una sommersione differenziabile in x0, se cio`e d f (x0) : Rm → Rn `e surgettiva, critico se invece d f (x0) non `e surgettiva, cio`e se ha rango < n.
L’immagine f (x0) di un punto critico si dice valore critico di f .
Indichiamo con C( f ) e CV( f ) rispettivamente l’insieme dei punti e dei valori critici di f .
Gli elementi di f (A) \ CV( f ) si dicono valori regolari di f .
I punti critici di f sono cio`e tutti e soli i punti x ∈ A in cui f non `e una sommer-sione. Se y `e un valore regolare di f , allora f−1(y) `e una sottovariet`a differenziabile propria, di dimensione m − n, di A.
In particolare, se m < n ed f ∈Ck
(A, Rn), allora tutti i punti di A sono critici e CV( f )= f (A).
Possiamo riformulare il teorema delle funzioni implicite utilizzando la nozione di punto critico :
Teorema V.1.3 (delle funzioni implicite). Sia f : A −→ Rnun’applicazione di ffe-renziabile di classeCk, con k ≥ 1, definita su un aperto A di Rm. Se x0 ∈ A `e un
V.1. IL CASO DEGLI SPAZI EUCLIDEI 93
punto regolare, possiamo trovare un intorno aperto V di f(x0) in Rn, un intorno aperto W di0 in Rm−n, un intorno U di x0in A ed un diffeomorfismo di classe Ck
g: V × W −→ U che non abbia punti critici in V × W e soddisfi l’identit`a
f(g(y, z))= y ∀(y, z) ∈ V × W.
In particolare, se m = n, la g `e un diffeomorfismo di classe Ck di V su un aperto g(V) di A. In questo caso la f definisce un sistema di coordinate di classe Ckin g(V).
Dal teorema delle funzioni implicite deduciamo immediatamente il seguente : Lemma V.1.4. Sia A un aperto di Rn ed f : A −→ Rn un’applicazione di fferen-ziabile di classeC1. Se y `e un valore regolare di f , allora f−1(y) `e un sottospazio discreto di A.
Dimostrazione. Dal teorema delle funzioni implicite segue che ogni punto x di f−1(y) ha un intorno aperto U tale che f−1(y) ∩ U = {x} .
V.1.3. Il lemma di Morse-Sard.
Teorema V.1.5 (Lemma di Morse-Sard). Sia f : A → Rn un’applicazione di ffe-renziabile di classeC∞
, definita su un aperto A di Rm. Allora CV( f ) `e di prima categoria ed ha misura di Lebesgue nulla.
Dimostrazione. L’enunciato del teorema `e banalmente vero quando n = 0, perch´e in questo caso l’insieme dei punti critici di f `e vuoto. Possiamo quindi supporre n > 0 ed il teorema vero per applicazioni di classeC∞
a valori in Rn−1. Se m < n, tutti i punti di A sono critici e dunque CV( f )= f (A). In questo caso, la tesi `e conseguenza del Lemma V.1.1.
Consideriamo quindi, nel resto della dimostrazione, il caso in cui m, n ≥ 1, supponendo per ricorrenza che la tesi sia vera per applicazioni differenziabili di classeC∞
definite su aperti di Rkcon k < m.
Posto C = C( f ), per ogni intero positivo k sia Ck il sottoinsieme di C in cui si annullano tutte le derivate parziali di f di ordine positivo minore o uguale di k:
Ck= {x ∈ A | Dαf(x)= 0 per ogni α ∈ Nm
con 0 < |α| ≤ k}, e poniamo
C∞=\
kCk.
L’insieme C `e chiuso in A e, per ogni 0 < k ≤ ∞, i Ck sono sottoinsiemi chiusi di Ce quindi di A.
Dimostreremo separatamente che le immagini mediante f di C\C1, di Ck\Ck+1
e di C∞sono di prima categoria ed hanno misura di Lebesgue nulla in Rn. Poich´e CV( f )= f (C \ C1) ∪ ∞ [ k=1 f(Ck\ Ck+1) ∪ f (C∞),
da ci`o seguir`a che CV( f ) `e anch’esso di prima categoria ed ha misura di Lebe-sgue nulla, perch´e unione numerabile d’insiemi di prima categoria con misura di Lebesgue nulla.
Sia x0un punto di C \ C1. Mostriamo che esso ammette un intorno compatto Bin A tale che f (B ∩ C) abbia misura di Lebesgue nulla e sia quindi privo di punti interni. Possiamo supporre, per semplicit`a, che siano
x0 = 0, f(0)= 0, ∂ f (0)∂x1 , 0.
Mediante un cambiamento di coordinate di classeC∞ in un intorno W di 0 in A, possiamo ricondurci al caso in cui la restrizione di f a W si possa scrivere nella forma4:
f(x)= f (x1, x2, . . . , xm
)= (x1, f2(x), . . . , fn(x))= (x1, g(x)), con g ∈C∞
(W, Rn−1). Lo Jacobiano di f si scrive in queste coordinate come
Jf = ∂(x1, . . . , x∂ f m ) =∂ f ∂x1, . . . , ∂ f ∂xm = 1 0 ∂g ∂x1 ∂g ∂(x2, . . . , xm)
e quindi i punti critici di f in W sono un sottoinsieme dell’insieme dei punti critici di g in W. Sia B un intorno compatto di 0 in W. Per l’ipotesi induttiva g(B∩CV(g)) `e un compatto di Rn−1con parte interna vuota e misura di Lebesgue nulla. Poich´e
g(B ∩ C(g)) ⊃ πn−1( f (B ∩ C( f ))), ove πn−1: Rn
3 (y1, . . . , yn
) → (y2, . . . , yn
) ∈ Rn−1,
e la proiezione πn−1 `e aperta, ne segue che anche il compatto f (B ∩ C( f )) `e privo di punti interni. Inoltre, f (B ∩ C( f )) `e contenuto in [−r, r] × g(B ∩ C(g)) per qualche r> 0. Quindi anche f (B ∩ C( f )) ha misura nulla per il teorema di Fubini.
Ripetendo questo ragionamento per i diversi punti di C \ C1, dimostriamo che `e possibile ricoprire C \ C1 con una famiglia numerabile di compatti {B`} tali che f(C ∩ B`) sia privo di punti interni e di misura di Lebesgue nulla. Dunque
f(C \ C1)=[
`f(C ∩ B`) `e di prima categoria ed ha misura di Lebesgue nulla in Rn.
Siano ora k ≥ 1 ed x0 ∈ Ck \ Ck+1. Per semplicit`a, possiamo supporre che x0 = 0, f (x0) = 0. Indichiamo con ϕ una derivata parziale di f di ordine k, per cui sia dϕ(0) , 0. A meno di restringerci ad un intorno aperto W di 0 ∈ Rm, e di cambiare le coordinate in W ed in Rn, possiamo supporre che ϕ(x)= x1.
Allora Ck ∩ W `e contenuto in {x1 = 0} e quindi f (Ck ∩ W) `e contenuto nell’insieme dei valori critici dell’applicazione
g(x2, ..., xm
)= f (0, x2, ..., xm
),
4Se, ad esempio, risulta ∂ f1/∂x1
, 0, risolvendo l’equazione implicita x1= f1(t1, . . . , tm) in un intorno di 0, troviamo una funzione t1 = h(x1, t2, . . . , tm) ed allora x1 = f1, x2 = t2, . . . , xm = tm
V.1. IL CASO DEGLI SPAZI EUCLIDEI 95
definita e di classeC∞in un intorno W0di 0 in Rm−1. L’insieme f (Ck∩ W0) `e allora di prima categoria ed ha misura di Lebesgue nulla per l’ipotesi induttiva su m.
Ricoprendo Ck\ Ck+1con una famiglia numerabile di tali intorni W, dimostria-mo che f (Ck\ Ck+1) `e di prima categoria ed ha misura di Lebesgue nulla, perch´e unione numerabile di insiemi di prima categoria con misura di Lebesgue nulla.
Ci resta da verificare che anche f (C∞) `e di prima categoria ed ha misura di Lebesgue nulla in Rn.
Fissiamo un cubo Q, di lato r > 0, contenuto in A e sia {Qi,N}1≤i≤Nm una sua suddivisione in Nmcubi di lato r/N. Per ogni N sia IN l’insieme degli indici i per cui Qi,N∩ C∞ , ∅.
Fissiamo un intero positivo ` con n(`+ 1) > m. Poich´e tutte le derivate parziali di f si annullano identicamente su C∞, per ogni intero positivo ` possiamo trovare5 un intorno aperto U`di Q ∩ C∞in A tale che :
(5.1.2) |∇ f (x)| ≤ dist(x, Q ∩ C∞)`, ∀x ∈ U`. Poich´e dist(Q ∩ C∞, {U`)= δ > 0,
Qi,N ⊂ U`, ∀N> r/δ, i ∈ IN, e perci`o otteniamo che
|∇ f (x)| ≤ (r√m/N)`, se N > r/δ, ed x ∈[
i∈IN Qi,N. Da questa diseguaglianza ricaviamo che
diam( f (Qi,N)) ≤ (r√m/N)`+1 se N > r/δ, i ∈ IN.
Quindi, se ωn`e il volume della palla unitaria di Rn, abbiamo, per ogni N > r/δ, vol( f (K ∩ C∞) ≤X
i∈INvol( f (Qi,N)) ≤ Nmωn(r√m/N)n(`+1).
Poich´e n(`+ 1) > m, il secondo membro di questa diseguaglianza tende a 0 per N → ∞. Quindi vol( f (Q ∩ C∞)) = 0 e perci`o f (Q ∩ C∞) `e un chiuso con parte interna vuota.
Poich´e C∞ `e unione numerabile di compatti Q ∩ C∞, con Q cubo chiuso in A, l’insieme f (C∞) `e di prima categoria ed ha misura di Lebesgue nulla, perch´e unione numerabile di insiemi di prima categoria con misura di Lebesgue nulla. La
dimostrazione `e completa.
Osservazione V.1.6. Dalla dimostrazione si pu`o osservare come it teorema riman-ga valido sotto l’ipotesi pi`u debole che f sia di classeCkcon kn > m.
5Se ψ ∈Ck+1((−a, a), R) si annulla in 0 con tutte le sue derivate fino all’ordine k, allora ψ(x) = 1
k! Z x
0
(x − t)kψ(k+1)(t)dt, ∀x ∈ (−a, a).
In particolare, se |ψ(k+1)(x)| ≤ L per |x| ≤ b < a, abbiamo
|ψ(x)| ≤ L|x|k, ∀x ∈ (−b, b).
Otteniamo la diseguaglianza (5.1.2) applicandola alla restrizione di ciascuna defivata parziale prima di f ai segmenti uscenti da un punto di C∞.
V.2. Il teorema di Sard per variet`a differenziabili
Siano M, N variet`a differenziabili di classe Ck, con k ≥ 1, di dimensioni m, n rispettivamente, ed f ∈ Ck(M, N) un’applicazione differenziabile di classe Ck. Un punto p che sia critico per la rappresentazione di f in una qualsiasi coppia di sistemi di coordinate locali in p ed in f (p), lo `e anche per la sua rappresentazione rispetto a qualsiasi altra scelta di sistemi di coordinate locali.
Possiamo quindi definire senza ambiguit`a l’insieme C( f ) dei punti critici di f in M e l’insieme CV( f ) dei valori critici di f in N.
Definizione V.2.1. Diciamo che un punto p ∈ M `e un punto critico (rispettivamente punto regolare) di un’applicazione differenziabile f : M → N, di classe Ck, con k ≥1, se, rispetto a coordinate locali x in un intorno U di p in M ed y in un intorno Vdi f (U) in N, il punto x(p) `e critico (rispettivamente regolare) per la
y ◦ f ◦ x−1: x(U) ⊂ Rm→ y(V) ⊂ Rn.
L’insieme dei valori regolari di f `e il complementare in f (M) dell’insieme CV( f ) dei valori critici.
Se q ∈ f (M) ⊂ N `e un valore regolare, allora f−1(q) `e una sottovariet`a propriadi M, differenziabile di classe Ck, di dimensione m − n.
Usando atlanti formati da un insieme al pi`u numerabile di elementi otteniamo immediatamente:
Lemma V.2.2. Sia f : M → N un’applicazione differenziabile di classe C1
tra due variet`a differenziabili di classe Ck, con k ≥ 1, di dimensioni m ed n, rispettivamente. Se m< n, allora f (M) `e un sottoinsieme di N di prima categoria. Teorema V.2.3 (Lemma di Sard). Siano M ed N variet`a differenziabili di classe Cke di dimensione m, n rispettivamente, con k ≥1 e kn > m. Allora, per ogni ap-plicazione f ∈Ck(M, N), l’insieme CV( f ) dei valori critici `e della prima categoria di Baire in N.
Osservazione V.2.4. Possiamo introdurre sulla variet`a differenziabile N una mi-surapositiva n-dimensionale µ, con la condizione che il suo pull-back rispetto a ciascuna carta locale sia un multiplo, rispetto ad una funzione di densit`a di classe C∞
, della misura di Lebesgue in Rn. Un modo per costruire la µ `e il seguente. Fissiamo un ricoprimento aperto localmente finito {Ui}i∈I di N mediante gli aperti di un atlante {(Ui, xi)}i∈I di N, di classeC∞. Sia {φi} una partizione dell’unit`a su N, con funzioni φi≥ 0, subordinata al ricoprimento {Ui}i∈I. Definiamo la misura µ mediante l’integrale delle funzioni continue a supporto compatto, ponendo :
Z N g dµ = X i∈I Z xi(Ui) g(x−1i ) φi(xi−1) dλn, ∀g ∈C0 c(N, R) , ove λn `e la misura di Lebesgue n-dimensionale in Rn.
Vale allora il Lemma di Sard nella formulazione :
Teorema V.2.5. Se M, N sono variet`a differenziabili di classe Ck e dimensione m, n, rispettivamente, con k ≥ 1 e kn > m, allora l’insieme CV( f ) dei valori critici di una f ∈Ck(M, N) `e µ-misurabile ed ha misura nulla.
CAPITOLO VI