Fisica del modello

Discretizzazione Il codice in uso si basa su calcoli statici, ripetuti iterativamente parten- do da valori di primo tentativo no a raggiungere una soluzione stazionaria per le grandezze in esame; come grandezza di riferimento è stata presa la pressione in camera, che è anche una delle più importanti, dalla quale sono dettate le condizioni per fermare i calcoli una volta raggiunta la convergenza. Durante la rivoluzione del rotore ogni grandezza è, inoltre, calcolata in una successione molto ravvicinata di avanzamenti angolari dello stesso, il cui

numero è denito dalla discretizzazione scelta. Lo scatto angolare varia da ∆α = 1/10 a ∆α = 1/100 di grado sessagesimale a seconda della velocità di rotazione inserita. In questo modo si trascurano alcuni eetti dinamici del uido, ma come aermato in [13] le dierenze che si ottengono rispetto ad una simulazione più accurata sono limitate ad oscillazioni di pressione durante la fase di ammissione e non pregiudicano l'adabilità dei risultati otteni- bili. I calcoli sono eettuati non per una rivoluzione completa del rotore, ma per soli 180° perché, si ricorda, in un giro completo ogni camera compie due cicli termodinamici e la sua geometria segue la stessa evoluzione per entrambi, perciò basta simularne uno e ripetere i dati per l'altro sfasandoli di 180°. Delle tre camere inoltre ne viene calcolata solamente l'evoluzione di una, poiché le altre seguiranno allo stesso modo, sfasate rispettivamente di 120° e 240°.

La discretizzazione spaziale, da cui quella temporale è imposta attraverso la velocità angolare, è stata oggetto di una approfondita analisi, meglio esposta nella sezione 3.2 a pagina 41, in ragione della velocità scelta con l'obiettivo di mantenere un buon livello di dettaglio ltrando alcuni fenomeni di instabilità numerica che insorgono nei ussi di massa se calcolati con discretizzazione troppo ne.

Numerica dei bilanci Come già aermato, il codice è iterativo: parte da dei valori di tentativo per cui si hanno forti squilibri nelle grandezze dettati dalle condizioni imposte in ammissione, scarico e dalla variazione di volume della camera. Esso, avendo imposte tutte le condizioni degli ambienti esterni alla camera calcola allora dei ussi di massa ed energia nelle direzioni che ristabiliscano l'equilibrio termodinamico del sistema per poi farne dei bilanci ed ottenere valori da inserire nel passo successivo. In particolar modo i calcoli termodinamici del ciclo indicato sono eettuati due volte per iterazione secondo il metodo "predittore-correttore" esposto nell'equazione 3.1 con la grandezza generica y dove i indica la posizione angolare attuale. Ogni iterazione ripete due volte i calcoli, la prima utilizzando come dati di partenza quelli del passo precedente e calcolando la conseguente variazione ∆0_y della grandezza e la seconda ripete quanto fatto dalla prima partendo dai risultati di essa; una media dei due valori dà una stima più accurata del valore nale mantenendo lo sforzo computazionale a livelli bassi.

(

y_i0 = yi−1+ (∆y)0

y_i00= y_i0 + (∆y)00 ⇒ yi =

y0_i+ y_i00

2 (3.1)

Bilancio di massa I ussi di massa, di cui il modello di calcolo è presentato nel paragra- fo 3.1.2 a pagina 37, da e verso la camera sono riassumibili in quattro gruppi:

ˆ Attraverso l'ammissione, sia quando la valvola è aperta ed il usso è necessario ad introdurre il uido di lavoro, sia quando essa è chiusa ma comunque in vista della camera, attraverso i giochi tra valvola e camicia creando un usso indesiderato di modesta entità che contribuisce ad innalzare la pressione in camera. Indicata nel bilancio come ˙min

ˆ Attraverso lo scarico, come per l'ammissione sia desiderato che indesiderato, con la dierenza che quest'ultimo risulta in una perdita energetica verso il condensatore. Indicata nel bilancio come ˙mout

ˆ Attraverso le tenute apicali quando queste perdono contatto con lo statore o per sollecitazioni centripete sia da parte delle inerzie che per la dierenza di pressione a

Figura 3.1: Esempio di usso di massa attraverso la tenuta apicale, fonte [21]

cavallo della quale si trovano a lavorare, oppure durante il passaggio della tenuta sulla sede della valvola per cui è lo statore ad allontanarsi (vedi gura 3.1). Ciò si traduce in una indesiderata comunicazione tra le camere e scambio di uido verso quelle a pressione minore, che può risultare in una sovra-pressione dannosa per la potenza se la camera adiacente è in fase di scarico/ricompressione o dannosa per il rendimento se in fase di espansione. Esse sono distinte per le due camere per tenere conto delle diverse condizioni e sono indicate come ˙mba e ˙mca dove "a" è la camera seguita e "b" e "c" sono le altre non simulate.

ˆ Attraverso le tenute laterali e la cassa statorica verso l'ambiente esterno causando una perdita denitiva di uido che, nel caso di impianto operante a circuito chiuso, deve essere reintegrato. Questa perdita è accettabile nei prototipi in quanto macchine costruite in più parti facilmente rimovibili, rimpiazzabili o riposizionabili per eventuali modiche; si fa presente che ne viene tenuto conto ai ni di valutare correttamente le prestazioni del prototipo in studio ma che, in una versione più denitiva ed even- tualmente operante con uidi organici della macchina stessa, si dovranno prevedere delle soluzioni costruttive per eliminarle. Nel bilancio sono indicate con ˙mext e sono calcolate con una unica equazione che tiene conto della supercie variabile ad ogni step angolare, dato che le condizioni dell'ambiente sono assunte costanti.

Ad ogni scatto angolare αi il codice valuta tutti questi contributi, li moltiplica per l'in- tervallo temporale che risulta dalla 3.2 dove con ˙α si indica la velocità angolare del rotore espressa in [rad/s] per distinguerla da ω velocità angolare dell'albero inserita in [giri/min] e li somma con segno per determinare la variazione di massa nella camera come indicato dalla 3.3.

∆t = ∆α ˙

α (3.2)

∆m = m(i)_in + m(i)_out+ m(i)_ba + m(i)_ca + m(i)_ext (3.3)

Bilancio di entalpia I contributi entalpici dovuti allo scambio di uido sono conteggiati in modo analogo al bilancio di massa, in cui il uido: se esce ha l'entalpia della camera; se entra dall'ammissione o dallo scarico (usso inverso nel caso di sovra-espansione) ha imposta l'entalpia da pressione e temperatura o titolo; se entra da altre camere ha l'entalpia in esse calcolata sfasando il ciclo della camera "a" dei rispettivi gradi di rotore; se inne entra dall'esterno si impone contributo entalpico nullo.

A questo si aggiungono altri tre contributi:

ˆ Il lavoro scambiato con il rotore, che osservando il sistema come aperto vale Vi(pi − pi−1); esso è inserito solo nel bilancio del passo correttore perché necessita delle stima di pi.

ˆ Il calore trasmesso da e verso l'esterno, attraverso l'area laterale e le due piastre fron- tale e posteriore; la relazione che denisce il coeciente convettivo del uido all'interno è stata oggetto di studio ed è ampiamente denita in [21], si riporta qua solamente l'espressione dell'energia scambiata in cui i coecienti di scambio globale U(lat,f r) _(uno per l'area laterale e uno per quelle frontali) è denito secondo la ben nota analogia elettrica : U(lat,f r) =  1 hint i + s (lat,f r) k(lat,f r) + 1 hext −1

Q_ith =U_ilatAlat_i + 2U_if rAf r_i  T_iint− Text
_{· ∆t (3.5)} Si fa notare inne che sono trascurati gli eetti capacitivi (dinamici) delle pareti dal momento che il codice tratta un gas (aria) per il quale tali apporti non sono signicativi come potrebbero esserlo per un vapore bifase.

ˆ Gli attriti delle tenute che vengono calcolati solo dopo alcune iterazioni per poterne ottenere delle stime realistiche basate sulle sollecitazioni reali della macchina, anch'essi inseriti come potenza moltiplicata per ∆t. È stato aggiunto un coeciente per valutare la loro inuenza, ma si è notato con diverse prove che è molto ridotta nelle condizioni sperimentate; sono comunque stati inclusi per completezza del bilancio.

Il bilancio entalpico è scritto per esteso nella 3.6 in cui la potenza termica è espressa come Pth e quelle di attrito delle due tenute apicali e laterali sono riassunte in Pattr

( ∆Hi = [ P j(mjhj)]i+ Vi(pi− pi−1) + (Pth+ Pattr) · ∆t Hi = mi−1hi−1+ ∆Hi (3.6) Tale bilancio calcolato sulla grandezza estensiva H consente di ricavare, dividendo per la massa presente al passo i, per ottenere quella intensiva; noti quindi volume e massa (ovvero densità) ed entalpia specica il uido può essere completamente caratterizzato richiamandone le proprietà dal software REFPROP.

Calcoli equilibrio tenute I calcoli di equilibrio delle tenute sono stati approfonditamente sviluppati in [21], a cui si rimanda per una più completa trattazione. Si riassumono qui le ipotesi fatte ed il metodo di calcolo:

ˆ ogni forza d'inerzia è trascurata; ˆ non ci sono eetti transitori;

ˆ per quelle laterali si assume costante e perfetto contatto, solo quelle apicali si distaccano dallo statore;

ˆ dati i piccoli giochi, si possono confondere le dimensioni di sede e valvola.

Con queste ipotesi, si procedono a calcolare le azioni esercitate sulla tenuta da pressioni, molla, contatto e forza di attrito ed in base alle soluzioni del sistema che ne deriva si possono avere tre casi:

(a) si ha attrito statico tra tenuta e statore;

(b) si ha attrito dinamico a velocità costante tra i due;

(c) le forze di contatto sono negative oppure il momento della reazione della sede ha un braccio troppo lungo, in questo caso l'assurdo sta a signicare che non è possibile una posizione di equilibrio in contatto e si assume perciò un distacco della tenuta (solo per quelle apicali).

Questi calcoli sono iterati insieme a quelli termodinamici perché strettamente collegati: da essi infatti si hanno gli input da inserire nelle equazioni di usso di massa per calcolare lo scambio di uido tra camere e gli attriti che entrano nel bilancio entalpico.

Calcoli statici L'ultima parte del codice provvede al calcolo delle sollecitazioni di ciascun organo in movimento, ovvero i cinque alberi (quattro per le valvole e albero motore) ed il rotore. Questi calcoli sono, in accordo con il resto del programma, calcoli statici di equilibrio dei corpi ripetuti per ogni scatto angolare ma non iterati: si eettuano infatti solo quando l'andamento della pressione nella camera è già noto in quanto non inuenzano la termodina- mica del problema e sono sistemi algebrici determinati. In essi infatti le sollecitazioni note sono date dalle pressioni risultanti dalle interazioni del uido, quelle incognite sono i mo- menti che i vari alberi si scambiano con il sistema di pulegge che li collega, il momento utile dell'albero motore che va a cedere potenza e gli attriti sui vari cuscinetti. Inne come ro- bustezza aggiuntiva del modello, è vericata per ogni prova la condizione di non slittamento delle pulegge che trasmettono il moto ai vari alberi.

Le perdite totali da sottrarre alla potenza del ciclo indicato comprendono anche quelle descritte al paragrafo precedente e possono essere riassunte come

1. attriti delle tenute laterali ed apicali;

2. attriti su bronzina eccentrica e cuscinetti dell'albero motore;

3. attriti sui cuscinetti della distribuzione, ovvero dei 4 alberi delle valvole; 4. perdite sulla ruota dentata che collega rotore pignone statorico;

5. usso termico, che può essere perdita se uscente o apporto gratuito se entrante. La potenza eettiva si può ricavare in due modi: come potenza del ciclo indicato a cui si sottraggono le potenze degli attriti o come momento all'albero moltiplicato per la velocità di rotazione dell'albero motore (che si ricorda essere 3 volte quella angolare del rotore). È stato scelto il secondo per una maggiore congruenza tra grandezze confrontate; in questo modo infatti momento all'albero ed attriti sono calcolati nello stesso sistema e le stime che ne derivano sono infatti molto accurate.