Forme canoniche delle matrici - UNIVERSIT `A CATTOLICA DEL SACRO CUORE Facolt`a di Scienze Mate

1 La relazione di coniugio

Sia K un campo. Il gruppo delle matrici invertibili di Matn(K) si indica con GLn(K). (1.1) Definizione Date A, B ∈ Matn(K), diciamo che B `e coniugata ad A se esiste una matrice P ∈ GLn(K) tale che B = P⁻¹AP .

La relazione di coniugio fra matrici `e di equivalenza. Le corrispondenti classi di equiv-alenza si dicono classi di coniugio. Scopo di questo capitolo `e individuare, in ogni classe di coniugio, una matrice atta a rappresentarla in modo canonico.

Il significato geometrico del coniugio fra matrici (che ´e un caso particolare di equivalenza) si ottiene dal Lemma 4.2 del Capitolo II, ponendo V = W , B = C, B⁰ = C⁰, Q = P . Precisamente:

(1.2) Lemma Siano A, B ∈ Matn(K). Fissata una base B di V , sia α : V → W l’ R-omomorfismo indotto da A rispetto a B. Allora B ´e coniugata ad A se e solo α ´e l’omomorfismo indotto da B rispetto ad un’altra base B⁰ di V .

2 _K[x]-moduli

Consideriamo l’anello K[x] dei polinomi nella indeterminata x a coefficienti nel campo K. Poiché K = Kx⁰ è un sottoanello di K[x], ogni K[x]-modulo V è, a maggior ragione, un K-modulo, ossia uno spazio vettoriale su K. Inoltre, se W é un K[x] modulo, ogni K[x]-omomorfismo da V a W è una applicazione K-lineare.

In particolare, per il Lemma 3.5 del Capitolo I, la applicazione µ_x: V → V tale che v 7→ xv, ∀ v ∈ V

e un K[x]-omomorfismo.

(2.1) Lemma Siano V, W due K[x]-moduli. Una applicazione K-lineare ϕ : V → W `e un K[x]-omomorfismo se e solo se, per ogni v ∈ V , ϕ(xv) = xϕ(v)

Dimostrazione. La condizione è necessaria per definizione di K[x]-omomorfismo. Vicev-ersa, supponiamo ϕ(xv) = xϕ(v), per ogni v ∈ V , e verifichiamo innanzitutto che ϕ(xⁱv) = xⁱϕ(v) per ogni i ≥ 0. Per i = 0, il polinomio x⁰ = 1_Kx⁰ è l’unità di K[x]: quindi l’uguaglianza segue per definizione di K[x]-modulo. Per i > 0, si ha:

ϕ(xⁱv) = ϕ x xⁱ⁻¹v = xϕ xi−1v = xxi−1ϕ(v) = xⁱϕ(v). Sia ora f (x) =Pn

0 k_ixⁱ. Per la K-linearit`a di ϕ e quanto appena dimostrato: ϕ(f (x)v) = ϕ n X 0 ki xⁱv ! = n X 0 kiϕ xⁱv = n X 0 kixⁱϕ (v) = f (x)ϕ(v).

Fissata A ∈ Matn(K), per ogni polinomio f (x) = k0x⁰+ · · · + kmx^m∈ K[x] poniamo f (A) := k₀A⁰+ · · · + k_mA^m . (2.2) Esempio A = 0 2 1 0 , f (x) = −x⁰+ 7x²+ x³ : f (A) = − 1 0 0 1 + 7 2 0 0 2 + 0 4 2 0 = 13 4 2 13 . Si verifica facilmente che l’applicazione ϕA: K[x] → Matn(K) tale che

ϕ_A(f (x)) := f (A), ∀ f (x) ∈ K[x] `

e un omomorfismo di anelli. Chiaramente il gruppo additivo Kⁿ`e un modulo sull’anello Matn(K), rispetto al prodotto di matrici. Per il Lemma 1.2 del Capitolo 1, Kⁿ risulta K[x]-modulo rispetto al prodotto indotto da ϕA, ossia:

(2.3) f (x)   x₁ . . . xn  := f (A)   x₁ . . . xn  . In particolare, per f (x) = x, si ha (2.4) xv := Av, ∀ v ∈ Kn.

2. K[X]-MODULI 45

(2.5) Definizione Indichiamo con _A_Kⁿ il K[x]-modulo definito da (2.3).

AKⁿ´e caratterizzato, come K[x] modulo, dalla condizione µx = µ_A derivante da (2.4). (2.6) Teorema Sia V un K[x]-modulo, di dimensione n su K, e sia A ∈ Matn(K). Allora V ' AKⁿ se e solo se A `e la matrice di µx: V → V rispetto una base B di V . Dimostrazione. A sia la matrice di µx rispetto B. Abbiamo allora:

AvB = (µ_x(v))_B = (xv)B, ∀ v ∈ V.

L’applicazione η⁻¹ : V → Kⁿ tale che η⁻¹(v) = vB `e un isomorfismo di K-moduli. Inoltre da:

η⁻¹(xv) = (xv)B = AvB = x vB = x η⁻¹(v)

segue che η⁻¹ è un isomorfismo di K[x]-moduli, per il Lemma 2.1. Quindi V 'AKⁿ. Viceversa, supponiamo V ' AKⁿ e sia γ : V → AKⁿ un K[x]-isomorfismo. Poniamo B = {v₁, . . . , v_n} dove i v_i sono le preimmagini dei vettori e_i della base canonica di Kⁿ. Da γ(v_i) = e_i, segue che γ(v) = vB, per ogni v ∈ V . Poichè γ è un K[x]-omomorfismo si ha γ(xv) = xγ(v), ossia (µ_x(v))_B= AvB. Quindi A è la matrice di µ_x rispetto a B.

(2.7) Corollario Siano A, B ∈ Mat_n(K). La matrice B `e coniugata ad A se e solo se

BKⁿ ' _A_Kⁿ.

Dimostrazione. Consideriamo il K[x]-modulo V :=AKⁿ. L’ applicazione lineare indotta da A rispetto alla base canonica B di Kⁿ ´e µ_A= µ_x. Per il Lemma 1.2, la matrice B ´e coniugata ad A se e solo se µ_x ha matrice B rispetto una base B⁰ di Kⁿ. Per il Teorema precedente, µ_x ha matrice B rispetto B⁰ se e solo se V '_B_Kⁿ.

(2.8) Teorema Data A ∈ Mat_n(K), esiste una sequenza di polinomi monici non costanti d₁(x), · · · , d_t(x) di K[x], ciascuno dei quali divide il successivo, tali che:

(2.9) AKⁿ ' ^K[x]

hd₁(x)i ^{⊕ · · · ⊕} K[x] hd_t(x)i^. Dimostrazione.

Essendo K[x] un dominio a ideali principali, basta dimostrare cheAKⁿ`e un K[x]-modulo finitamente generato, di torsione, e applicare il Teorema 3.2 del Capitolo III.

Kⁿ è generato da n elementi come modulo. Quindi è finitamente generato come K-modulo e, a maggior ragione, come K[x]-K-modulo. Resta da vedere che, per ogni v ∈ Kⁿ, esiste un polinomio non nullo f (x) ∈ K[x] tale che f (x)v = 0_Kn. Ciò è evidente se Aⁱv = A^jv per qualche i 6= j, non negativi. Basta infatti porre f (x) = xⁱ−xj. Altrimenti il sottoinsieme {v, Av, · · · , Aⁿv} di Kⁿ ha cardinalità n + 1 ed è quindi dipendente. Detti k₀, · · · , k_n degli scalari non tutti nulli tali che k₀v + k₁Av + · · · k_nAⁿv = 0_Kn, poniamo f (x) = k₀+ k₁x + · · · + k_nxⁿ.

(2.10) Definizione La sequenza dei fattori invarianti del K[x]-modulo AKⁿ si dice la sequenza degli invarianti di similarit`a di A. L’ultimo elemento della sequenza (i.e., il minimo comune multiplo dei suoi elementi) si dice il polinomio minimo di A.

(2.11) Lemma Il polinomio minimo di A ´e il generatore dell’ideale Ker ϕ_A.

Dimostrazione. Si ha f (A) = 0_Mat_n_(K) se e solo se f (A)v = 0_Kn per ogni v ∈ Kⁿ. Pertanto Ker ϕ_A coincide con l’annullatore di _A_Kⁿ. Per il Teorema 3.2 del Capitolo 3, tale annullatore ´e l’ideale generato dall’ ultimo dei fattori invarianti, ossia dal polinomio minimo di A.

Nelle notazioni di (2.9), la sequenza degli invarianti di similarit`a di A ´e d1(x), · · · , dt(x).

Il polinomio minimo di A ´e dt(x). Per il Lemma 2.11, per ogni f (x) ∈ K[x] si ha f (A) = 0_Mat_n_(K) se e solo se dt(x) divide f (x). In particolare

dt(A) = 0_Mat_n_(K).

Poich`e moduli isomorfi hanno lo stesso annullatore, matrici coniugate hanno lo stesso polinomio minimo.

3 Forme canoniche razionali

(3.1) Definizione Sia d(x) = k0+ k1x + k2x²· · · + k_s−1x^s−1+ x^s∈ K[x]. La matrice

(3.2) C_d(x) :=       0 0 · · · −k₀ 1 0 · · · −k₁ 0 1 · · · −k₂ · · · · · · · · · · · · 0 · · · 1 −k_s−1       ∈ Mat_s(K)

3. FORME CANONICHE RAZIONALI 47

e detta la matrice companion del polinomio d(x).

(3.3) Esempio d(x) = 3 − 6x + 2x3+ x4, C_d(x) :=     0 0 0 −3 1 0 0 6 0 1 0 0 0 0 1 −2     .

(3.4) Teorema Fissato d(x) monico, di grado s, consideriamo il K[x]-modulo V = ^K[x]

hd(x)i^.

1) B :=hd(x)i + x0, hd(x)i + x, · · · , hd(x)i + x^s−1 `e una base di V su K; 2) la matrice di µx rispetto a B `e la matrice companion C_d(x) del polinomio d(x). Dimostrazione. Poniamo I = hd(x)i.

1) B genera V come K-modulo. Infatti, dato I + f (x) ∈ V , si ha: f (x) = q(x)d(x) + r0+ r1x + · · · + rs−1x^s−1 da cui I + f (x) = I + r0x⁰+ r1x + · · · + rs−1x^s−1 =

(3.5) r₀ I + x⁰ + r₁(I + x) + · · · + r_s−1 I + x^s−1 .

Vediamo che B è indipendente. Una combinazione lineare del tipo (3.5) è uguale al laterale I + 0_K[x] solo se il polinomio r(x) = r₀x0 + · · · + r_s−1xs−1 appartiene a I. Poichè gli elementi non nulli di I hanno grado ≥ s, deve essere r(x) = 0_K[x], ossia r0 = r1= · · · = rs−1= 0_K.

2) Se 0 ≤ i ≤ s − 2 si ha

µ_x(I + xⁱ) = x(I + xⁱ) = I + xⁱ⁺¹. Se i = s − 1 si ha µ_x I + x^s−1 =

I + x^s= I − d(x) + x^s= −k0 I + x⁰ − k₁(I + x) + · · · − ks−1 I + x^s−1 .

(3.6) Corollario Consideriamo il K[x]-modulo V := ^K[x]

hd₁(x)i ^{⊕ · · · ⊕} K[x] hd_t(x)i^.

Esiste una base B di V tale che la matrice di µ_x : V → V rispetto a B `e : (3.7) C =   C_d₁_(x) . . . C_d_t_(x)   .

Dimostrazione. Per t = 1, l’enunciato `e vero per il punto 2) del Teorema 3.4. Se t > 1, indicando con π la proiezione sulle prime t − 1 componenti, abbiamo:

Ker π_t∼ ^K[x] hd₁(x)i ^{⊕ · · · ⊕} K[x] hd_t−1(x)i^, ^{Ker π ∼} K[x] hd_t(x)i^. Per induzione, esiste una base B₁ di Ker π_ttale che la µ_x ha matrice

  C_d₁_(x) . . . C_d_t−1_(x)  .

Per il Teorema 3.4 esiste una base B₂ di Ker π rispetto alla quale la µ_x ha matrice C_d_t_(x). Essendo V = Ker πt_{+ Ker π, si conclude che B = B}˙ ₁_{∪ B}₂ _`_{e una base di V e che la µ}_x ha matrice C rispetto a B. (si veda il Teorema 2.7 del Capitolo II).

(3.8) Definizione Una forma canonica razionale `e una matrice diagonale a blocchi

(3.9) C =   C_d₁_(x) . . . C_d_t_(x)  = blockdiag C_d₁_(x), · · · , C_d_t_(x) dove d_i(x) divide d_i+1(x) per i ≤ t − 1.

(3.10) Teorema Ogni matrice A ∈ Matn(K) `e coniugata ad una e una sola forma canonica razionale.

Dimostrazione. Detta d₁(x), · · · , d_t(x) la sequenza dei fattori invarianti di _A_Kⁿ, con-sideriamo la forma canonica razionale C definita da (3.9). Per il Corollario 3.6 esiste una base di AKⁿ rispetto alla quale µx ha matrice C. Dal Teorema 2.6 segue AKⁿ∼_C _Kn e dal Corollario 2.7 segue A coniugata a C. Infine, se A fosse coniugata ad un’ altra forma canonica razionale B = blockdiag C_c₁_(x), · · · , C_c_h_(x) si avrebbe _C_Kn '_B _Kn, ossia: K[x] hd₁(x)i ^{⊕ · · · ⊕} K[x] hd_t(x)i ^' K[x] hc₁(x)i ^{⊕ · · · ⊕} K[x] hc_h(x)i^.

3. FORME CANONICHE RAZIONALI 49

Per il Corollario 4.2 del Capitolo III, deve essere t = h, d_i(x) = c_i(x) per ogni i ≤ t. Concludiamo che C = B.

(3.11) Definizione Se A ha sequenza di invarianti di similarit`a d1(x), · · · , dt(x), la matrice C = blockdiag C_d₁_(x), · · · , C_d_t_(x) si dice la forma canonica razionale di A. Possiamo cos`ı riassumere le considerazioni precedenti.

Due matrici A, B ∈ Matn(K) sono coniugate se e solo se: • hanno la stessa forma canonica razionale o, equivalentemente, • hanno gli stessi invarianti di similarit`a.

(3.12) Esempio

Le forme canoniche razionali di Mat₂(K) sono dei tipi: a) t = 2, d1(x) = d2(x) = x − k, k 0 0 k b) t = 1, d1(x) = x²+ k1x + k0, 0 −k₀ 1 −k₁ .

(3.13) Esempio Le forme canoniche razionali di Mat₃(K) sono dei tipi: a) t = 3, d₁(x) = d₂(x) = d₃(x) = x − k,   k 0 0 0 k 0 0 0 k   b) t = 2, d1(x) = x − k, d2(x) = (x − h)(x − k),   k 0 0 0 0 −kh 0 1 k + h  . b) t = 1, d1(x) = x³+ k2x²+ k1x + k0,   0 0 −k₀ 1 0 −k₁ 0 1 −k₂  .

4 Il polinomio caratteristico

Se A ∈ Mat_n(K), gli elementi di (xI − A) appartengono all’anello K[x], ossia (xI − A) ∈ Mat_n(K[x]).

(4.1) Definizione Il determinante della matrice xI − A si dice il polinomio caratter-istico di A.

(4.2) Lemma Matrici coniugate hanno lo stesso polinomio caratteristico. Dimostrazione. Se A = P⁻¹BP , si ha:

xI − A = xI − P⁻¹BP = P⁻¹xIP − P⁻¹BP = P⁻¹(xI − B)P. Ne segue det(xI − A) = (det(P ))⁻¹det(xI − B)det(P ) = det(xI − B).

(4.3) Teorema C = blockdiag C_d₁_(x), · · · , C_d_t_(x) ha polinomio caratteristico Qt 1d_i(x). Dimostrazione. Cominciamo a dimostrare che il polinomio caratteristico di una matrice companion C_d(x) `e d(x), ragionando per induzione sul grado s di d(x).

Se s = 1 si ha d(x) = k₀+ x, C_d(x)= (−k₀), det(x − C_d(x)) = x + k₀ = d(x).

Se s > 1, detto e(x) := k₁+ k₂x + · · · + xs−1 il quoziente della divisione di d(x) per x, si ha: C_d(x)=     0 0 . . . −k₀ 1 . . . C_e(x) 0     , xI − C_d(x)=     x 0 . . . k0 −1 . . . xI − C_e(x) 0     .

Sviluppando il determinante di xI − C_d(x) secondo la prima riga, e applicando l’ipotesi induttiva, si ha: det xI − C_d(x) = xe(x) + (−1)s+1(−1)s−1k₀ = d(x).

La tesi si ottiene applicando il precedente risultato ai singoli blocchi di C. Infatti: det(xI − C) = t Y i=1 det(xI − C_d_i_(x)) = t Y i=1 d_i(x).

(4.4) Corollario Il polinomio caratteristico di una matrice `e il prodotto dei suoi in-varianti di similarit`a.

4. IL POLINOMIO CARATTERISTICO 51

Dimostrazione. Siano d₁(x), · · · , d_t(x) gli invarianti di similarit`a di A. Essendo A coni-ugata a C = blockdiag C_d₁_(x), · · · , C_d_t_(x), si conclude che il polinomio caratteristico di A `e uguale a quello di C, ossiaQt

1d_i(x).

(4.5) Teorema (di Hamilton Cayley). Ogni matrice annulla il proprio polinomio caratteristico.

Dimostrazione. Sia A ∈ Matn(K). Nelle notazioni del precedente Corollario si ha det(xI − A) = Qt

i=1di(x), dove dt(x) `e il polinomio minimo di A. Ne segue dt(A) = 0_Mat_n_(K) per il Lemma 2.11. A maggior ragioneQt

i=1di(A) = 0_Mat_n_(K).

Per il calcolo degli invarianti di similarità di una matrice, può essere utile il seguente: (4.6) Teorema Gli invarianti di similarità di A ∈ Matn(K) sono i fattori invarianti non unitari di (xI − A) in Matn(K[x]).

Dimostrazione. Osserviamo preliminarmente che, se d(x) `e un polinomio monico di grado s, la forma normale di xIs− C_d(x) in Mat_s_{(K[x]) `e}

(4.7) ^I^s−1 ⁰ 0 d(x)

! .

Infatti xI_s− C_d(x) `e equivalente alla matrice I_s−1 0 x x² . . . x^s−1 1 ! 0 I_s−1 1 0 ! xI_s− C_d(x) := T.

Poichè T è triangolare superiore, con −1, −1, . . . , −1, d(x) sulla diagonale principale, si verifica facilmente che T è equivalente a 4.7.

Supponiamo ora che A abbia forma canonica razionale C = blockdiag C_d₁_(x), · · · , C_d_t_(x). Da C = P⁻¹AP segue xI − C = P⁻¹(xI − A)P . Quindi xI − A e xI − C sono equiv-alenti in Mat_n(K[x]), e hanno cos`ı gli stessi fattori invarianti. Da quanto osservato nella prima parte della dimostrazione si deduce che d1(x), . . . , dt(x) sono i fattori invarianti non unitari di xI − C.

5 La forma canonica di Jordan

In questo paragrafo supporremo K algebricamente chiuso.

(5.1) Lemma Sia A ∈ Matn(K) e sia V = Kⁿ. Per ogni λ ∈ K, L’insieme V_λ := {v ∈ V | Av = λv}

e un sottospazio di V .

Dimostrazione. A0V = 0V = λ0V, quindi 0V ∈ V_λ. Per ogni v1, v2, v ∈ V_λ e per ogni µ ∈ K si ha: A(v₁+ v₂) = Av₁+ Av₂ = λv₁+ λv₂ = λ(v₁+ v₂), A(µv) = µ(Av) = µ(λv) = λ(µv).

Si conclude che v₁+ v₂ ∈ V_λ e che µv ∈ V_λ.

(5.2) Definizione Nelle notazioni del precedente Lemma, se Vλ 6= {0_V} si dice che λ `e un autovalore di A e che V_λ `e il relativo autospazio.

I valori λ per i quali V_λ 6= {0_V} sono in numero finito. Infatti:

(5.3) Lemma Gli autovalori di A sono le radici del polinomio caratteristico di A. Dimostrazione. Per ogni λ ∈ K, il sistema lineare omogeneo

(A − λI)   x₁ . . . x_n   =   0_K . . . 0_K  

ha soluzioni non nulle se e solo se det(A − λI) = 0_K, se e solo se λ `e radice del polinomio det(A − xI) = (−1)ⁿdet(xI − A) .

(5.4) Definizione Per ogni λ ∈ K e per ogni intero s ≥ 0 definiamo induttivamente il blocco di Jordan J (s, λ) ponendo: J (0, λ) := ∅ e, per s > 0:

(5.5) J (s, λ) :=       λ 0 · · · 0 1 0 · · · J (s − 1, λ) 0       .

5. LA FORMA CANONICA DI JORDAN 53 Cos`ı, ad esempio: J (1, λ) = (λ), J (2, λ) = λ 0 1 λ , J (3, λ) =   λ 0 0 1 λ 0 0 1 λ  .

(5.6) Lemma Il blocco di Jordan J (s, λ) ha λ come unico autovalore. Il corrispondente autospazio in K^s `e hesi e ha quindi dimensione 1.

Dimostrazione. Un calcolo diretto.

(5.7) Lemma Esiste una base di V := _h(x−λ)^K[x]si rispetto alla quale la µx : V → V ha matrice il blocco di Jordan J (s, λ). Ne segue che J (s, λ) `e coniugata alla matrice companion C_(x−λ)s del polinomio (x − λ)^s.

Dimostrazione. V ha dimensione s = deg ((x − λ)^s).

Posto I := h(x − λ)^si, si verifica facilmente che il sottoinsieme

B⁰ :=I + (x − λ)0, I + (x − λ)¹, · · · , I + (x − λ)^s−1 `

e indipendente, quindi una base di V per il Corollario 1.4 del Capitolo III. Per ogni i ≥ 0 si ha l’identit`a:

x(x − λ)ⁱ= λ(x − λ)ⁱ− λ(x − λ)i+ x(x − λ)ⁱ= λ(x − λ)ⁱ+ (x − λ)ⁱ⁺¹. Ne segue che, per i ≤ s − 2:

µ_x I + (x − λ)ⁱ = I + x(x − λ)i = λ I + (x − λ)ⁱ

+ I + (x − λ)ⁱ⁺¹,

µx I + (x − λ)^s−1 = I + x(x − λ)s−1= I + λ(x − λ)^s−1= λ I + (x − λ)^s−1. Ne segue che la matrice di µx, rispetto a B⁰, `e J (s, λ).

D’altra parte sappiamo che la matrice di µx, rispetto alla base B =I + x0, I + x, . . . , I + x^s−1 , `

e la matrice C_(x−λ)s. Si conclude che J (s, λ) `e coniugata a C_(x−λ)s.

(5.8) Corollario

1) Sia d(x) = (x − λ1)^s1. . . (x − λm)^sm dove λi 6= λ_j per i 6= j. La matrice companion C_d(x) `e coniugata alla matrice:

(5.9) J_d(x) :=   J (s1, λ1) · · · J (s_m, λ_m)  .

2) Ogni forma canonica razionale C =   C_d₁_(x) · · · C_d_t_(x)  `e coniugata a J =   J_d₁_(x) · · · J_d_t_(x)   (forma di Jordan di C). Dimostrazione.

1) Detto s il grado di d(x), per il punto 2) del Teorema 3.4 si ha:

C_d(x)K^s' ^K[x] hd(x)i^. Dal Teorema 4.7 del Capitolo III segue:

K[x] hd(x)i ^' K[x] h(x − λ₁)s1i ^{⊕ · · · ⊕} K[x] h(x − λ_m)smi ^{:= V.}

Tenendo presente il Teorema 2.7 del Capitolo II si ha allora, per induzione su m, che esiste una base di V rispetto alla quale la µx: V → V ha matrice J_d(x). Si conclude che J_d(x) e C_d(x) sono coniugate.

2) Per il punto 1), per ogni i ≤ t, posto n_i = deg(d_i(x)) esiste P_i ∈ GL_n_i(K) tale che P_i⁻¹C_d_i_(x)P_i = J_d_i_(x).

La matrice diagonale a blocchi P := blockdiag (P₁, · · · , P_t) `e tale che P⁻¹CP = J .

(5.10) Definizione Nelle notazioni del precedente Corollario: 1) J `e una forma canonica di Jordan di C;

2) dette λ1, . . . , λm le radici distinte di dt(x), e posto:

di(x) = (x − λ1)^si1 . . . (x − λm)^sim, 1 ≤ i ≤ t i fattori di grado positivo fra

(x − λ1)^s11, · · · , (x − λm)^s1m , · · · , (x − λ1)^st1, · · · , (x − λm)^stm

sono i divisori elementari di C.

(5.11) Esempio La matrice A ∈ Mat₈(K) abbia invarianti di similarit`a d1(x) = (x−4), d₂(x) = (x − 3)(x − 4)2, d₃(x) = (x − 3)(x − 4)3. Allora i divisori elementari di A sono:

5. LA FORMA CANONICA DI JORDAN 55

Possiamo cos`ı riassumere le considerazioni precedenti.

Se K `e algebricamente chiuso, due matrici di Matn(K) sono coniugate se e solo se: • sono coniugate a una stessa forma canonica di Jordan o, equivalentemente, • hanno gli stessi divisori elementari (contati con le loro molteplicit`a) .

(5.12) Lemma Sia B = blockdiag (B1, · · · , Bm) ∈ Matn(K). Allora B `e coniugata ad ogni matrice B⁰ ottenuta da B effettuando una qualunque permutazione π sui suoi blocchi dello stesso ordine.

Dimostrazione. Sia β : Kⁿ → Kn l’applicazione v 7→ Bv, ossia l’applicazione lineare indotta da B rispetto alla base canonica ordinata B := {e₁, · · · , e_n}. Si vede facilmente che esiste una permutazione ρ degli ei, dipendente da π, tale che la matrice di β rispetto alla base B⁰= {e_ρ(1), · · · , e_ρ(n)} `e B⁰. Si conclude che B e B⁰ sono coniugate.

(5.13) Definizione Una matrice A ∈ Mat_n(K) si dice diagonalizzabile se `e coniugata a una matrice diagonale.

(5.14) Lemma Sia D ∈ Mat_n(K) una matrice diagonale, e siano λ1, · · · , λ_m gli elementi distinti della diagonale principale di D. Il polinomio minimo di D `e

(x − λ₁) . . . (x − λ_m).

Dimostrazione. D `e una forma canonica di Jordan, i cui divisori elementari sono

x − λ1, · · · , x − λm.

Poich`e il polinomio minimo di D `e il m.c.m. dei suoi divisori elementari, si conclude l’asserto.

Seguono i criteri di diagonalizzazione forniti dal seguente:

(5.15) Teorema Sia K algebricamente chiuso e sia A ∈ M atn(K). Le seguenti con-dizioni sono equivalenti:

1) A `e diagonalizzabile;

2) il polinomio minimo di A non ha radici multiple; 3) ogni forma canonica di Jordan J di A `e diagonale; 4) Kⁿ ha una base costituita da autovettori di A.

Dimostrazione. Siano d₁(x), . . . ,d_t(x) gli invarianti di similarità di A, ordinati in modo che ciascuno divida il successivo. In particolare d_t(x) è il polinomio minimo di A. 1) ⇒ 2). Ricordando che matrici coniugate hanno lo stesso polinomio minimo, se A è coniugata a una matrice diagonale D, allora d_t(x) è anche il polinomio minimo di D. Per il Lemma precedente

dt(x) = (x − λ1) · · · (x − λm) con λi6= λ_j per i 6= j. Quindi dt(x) non ha radici multiple.

2) ⇒ 3) Se dt(x) non ha radici multiple, `e prodotto di fattori lineari a due a due distinti. E lo stesso fatto vale per tutti i di(x), in quanto dividono dt(x). Ne segue che tutti i divisori elementari di J hanno grado 1 o, equivalentemente, che tutti i blocchi di J hanno ordine 1. Si conclude che J `e diagonale.

3) ⇒ 4) Se J `e diagonale, i vettori della base canonica B = {e1, · · · , en} sono autovettori per J . Sia P una matrice invertibile tale che P⁻¹AP = J . Allora B⁰ = {P e₁, · · · , P e_n} `

e una base di Kⁿ. Inoltre la relazione:

AP ei= P J ei= P λiei= λiei

dice che i P ei sono autovettori di A.

4) ⇒ 1) Sia B = {v1, · · · , vn} una base di autovettori di A e sia P la matrice le cui colonne sono i vettori v1, · · · , vn. Ne segue vi = P ei, P⁻¹vi = ei da cui:

P⁻¹AP e_i = P⁻¹Av_i = P⁻¹λ_iv_i = λ_iP⁻¹v_i= λ_ie_i . Si conclude che la matrice P⁻¹AP `e diagonale.

Dato f (x) ∈ K[x] indichiamo con f⁰(x) il derivato formale di f (x) e poniamo d(x) = M.C.D.(f (x), f⁰(x)).

(5.16) Lemma f (x) ha una radice multipla se e solo se d(x) ha grado > 0.

Dimostrazione. Sia α una radice di f (x) di molteplicit`a ≥ 2. Per definizione di molteplicit`a si ha f (x) = (x − α)²q(x). Ne segue f⁰(x) = 2(x − α)q(x) + (x − α)²q⁰(x). Pertanto (x − α) divide f⁰(x) e quindi anche d(x). Viceversa, supponiamo che d(x) abbia grado > 0 e sia (x − α) un suo fattore. Da f (x) = (x − α)g(x) segue f⁰(x) =

6. ESERCIZI 57

g(x)+(x−α)g⁰(x). Poich`e x−α divide f⁰(x), esso divide anche g(x) = f⁰(x)−(x−α)g⁰(x). Si conclude che (x − α)² divide f (x).

6 Esercizi

(6.1) Esercizio Si determini una base B di V = Q[x]

hx3+4i come Q-modulo e si scriva la matrice, rispetto a B, della applicazione lineare:

µ_{f (x)}: V → V tale che v 7→ f (x)v

per i seguenti polinomi: f (x) = x, f (x) = x², f (x) = x³ + 2x + 4. Di ciascuna delle matrici ottenute si scriva la forma canonica razionale.

(6.2) Esercizio Si determini una base B di V = ^Q[x]

hx2+ 4i^⊕ Q[x] hx − 3i

come Q-modulo e si scriva la matrice, rispetto a B, della applicazione lineare: µ_{f (x)}: V → V tale che v 7→ f (x)v

per i seguenti polinomi: f (x) = x, f (x) = −3x + 2, f (x) = x²− 6x. Di ciascuna delle matrici ottenute si scriva la forma canonica razionale.

(6.3) Esercizio Si determinino la forma canonica razionale C, i divisori elementari, la forma canonica di Jordan J , autovalori e autospazi di J di una matrice A avente invarianti di similarit`a :

d₁(x) = x + 5, d₂(x) = x + 5, d₃(x) = x(x + 5)².

(6.4) Esercizio Sia d(x) = a(x)b(x), con M.C.D.(a(x), b(x)) = 1. Si dimostri che la matrice companion C_d(x) `e coniugata a

C_a(x) 0 0 C_b(x)

(6.5) Esercizio Posto i := e^2π4 ∈ C, si determinino la forma canonica di Jordan J , autovalori e autospazi di J , invarianti di similarit`a , forma canonica razionale C e autospazi di C di una matrice A avente divisori elementari:

(6.6) Esercizio Posto ω := e^2π3 ∈ C, si determinino la forma canonica di Jordan J , autovalori e autospazi di J , invarianti di similarit`a , forma canonica razionale C, autospazi di C di una matrice A avente divisori elementari:

x, x², (x + ω)², (x + ω)². (6.7) Esercizio Date A =   0 0 −2^√2 1 0 −6 0 1 −3^√2  , B =   −^√2 0 0 1 −^√2 0 0 1 −^√2   si trovi P tale che P⁻¹AP = B.

(6.8) Esercizio Sia A una delle seguenti matrici:   −1 0 0 2 −3 1 4 −4 1  ,   0 0 0 1 0 0 0 0 1  ,   5 −1 1 −2 4 −1 −16 12 −5  

Si determini la forma canonica razionale C di A. Detta α l’applicazione lineare indotta da A rispetto alla base canonica, si trovi una base di Q3 rispetto alla quale α abbia matrice C.

(6.9) Esercizio Si determini la forma canonica razionale di   1 2 −1 0 3 1 −26 0 0  ,   4 2 2 1 4 2 −2 −3 −1  ,   0 2 −6 0 2 0 1 −1 5  

(6.10) Esercizio Si calcolino autovalori, autospazi e forma canonica razionale di cias-cuna delle seguenti matrici:

    2 0 0 0 1 2 0 0 0 0 2 4 0 0 0 2     ,     −1 0 0 0 1 2 0 0 0 1 1 0 0 0 1 4     ,     −1 0 0 0 1 −1 0 0 3 1 −1 0 2 1 1 −1    

(6.11) Esercizio Sia v un autovettore di A relativo a λ. Si dimostri che P⁻¹v `e un autovettore di P⁻¹AP relativo a λ.

(6.12) Esercizio Sia v un autovettore di A relativo a λ. Dimostrare che: i) v `e autovettore di A^m relativo a λ^m per ogni m ≥ 0;

6. ESERCIZI 59

ii) v `e autovettore di f (A) relativo a f (λ^m) per ogni f (x) ∈ K[x].

(6.13) Esercizio Siano f (x) ∈ K[x] e A, B ∈ Matn(K). Dimostrare che: i) Se A `e coniugata a B, allora f (A) `e coniugata a f (B);

ii) se A `e diagonalizzabile, anche f (A) `e diagonalizzabile.

(6.14) Esercizio Sia A ∈ Matn(C) tale che A²⁰= I. A `e diagonalizzabile?

(6.15) Esercizio In Mat2(C) si scrivano tutte le possibili forme di Jordan J, a due a due non coniugate, tali che J³= I.

(6.16) Esercizio In Mat₅(C) si scrivano tutte le possibili forme di Jordan J, a due a due non coniugate, tali che J⁴= I e det J = 1.

Capitolo V

Nel documento UNIVERSIT `A CATTOLICA DEL SACRO CUORE Facolt`a di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali APPROFONDIMENTI DI ALGEBRA M. Chiara Tamburini Anno Accademico 2013/2014 (pagine 49-67)