UNIVERSIT `A CATTOLICA DEL SACRO CUORE Facolt`a di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali APPROFONDIMENTI DI ALGEBRA M. Chiara Tamburini Anno Accademico 2013/2014

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UNIVERSIT `A CATTOLICA DEL SACRO CUORE

Facolt`a di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali

APPROFONDIMENTI DI ALGEBRA

M. Chiara Tamburini

Anno Accademico 2013/2014

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Indice

Prefazione iii

I Moduli su un anello 1

1 Definizione e prime propriet`a . . . . 1

2 Sottomoduli generati da un sottoinsieme . . . . 3

3 Moduli quoziente e omomorfismi . . . . 4

4 Somme dirette . . . . 8

5 Moduli liberi . . . . 10

6 Rango dei moduli liberi su anelli commutativi . . . . 13

7 Matrici . . . . 14

8 Esercizi . . . . 16

II Omomorfismi fra moduli liberi 19 1 Vettore coordinate . . . . 19

2 Matrice di un omomorfismo . . . . 19

3 Cambiamenti di base . . . . 22

4 Equivalenza fra matrici . . . . 23

5 Forme normali sui dominii a ideali principali . . . . 24

6 Esercizi . . . . 25

III Moduli finitamente generati su PID 29 1 Basi di sottomoduli . . . . 29

2 Ideali annullatori . . . . 32

3 Teorema di Struttura . . . . 34

4 Fattori invarianti e divisori elementari . . . . 37

5 Esercizi . . . . 40 i

(4)

IV Forme canoniche delle matrici 43

1 La relazione di coniugio . . . . 43

2 K[x]-moduli . . . . 43

3 Forme canoniche razionali . . . . 46

4 Il polinomio caratteristico . . . . 50

5 La forma canonica di Jordan . . . . 52

6 Esercizi . . . . 57

V La geometria dei gruppi classici 61 1 Forme bilineari e forme Hermitiane . . . . 61

2 Ortogonalit`a . . . . 64

3 Lemma di Witt . . . . 66

4 Spazi simplettici . . . . 67

5 Spazi ortogonali e spazi unitari . . . . 68

6 I gruppi classici . . . . 70

Elenco dei simboli 75

Indice analitico 76

Bibliografia 77

(5)

Prefazione

Il corso di Approfondimenti di Algebra, rivolto a studenti del terzo anno della triennale in matematica, consta di 20 ore di lezione e 20 di esercitazioni. Esso presuppone Algebra 1, Algebra 2 e Algebra lineare per i cui contenuti, in parte riassunti nel primo capitolo, rimando a [8].

La trattazione `e incentrata sul teorema di struttura dei moduli finitamente generati su un dominio a ideali principali. Si tratta di un risultato centrale in algebra, che unifica concetti apparentemente scollegati e che, come tale, ha parecchie applicazioni. Due di queste vengono sviluppate, e offrono ampio materiale per le esercitazioni: la struttura dei gruppi abeliani finitamente generati e le forme canoniche delle matrici.

I temi considerati e la loro impostazione derivano da un bellissimo libro di B.Hartley e T.O.Hawkes [4], ai quali va la mia affettuosa riconoscenza. Sono grata anche ai colleghi Marco Degiovanni e Clara Franchi per gli utili suggerimenti ed osservazioni.

Brescia, novembre 2005 M. C. Tamburini

iii

(6)

(7)

Capitolo I

Moduli su un anello

Sia R un anello con unit`a 1R6= 0_R.

1 Definizione e prime propriet`a

(1.1) Definizione Un gruppo abeliano (M, +, 0M) è un R-modulo sinistro se è definito un prodotto (r, m) 7→ rm da R × M a M per cui valgono le seguenti proprietà .

Per ogni r, r₁, r₂∈ R e per ogni m, m₁, m₂∈ M : 1) r(m₁+ m₂) = rm₁+ rm₂;

2) (r₁+ r₂)m = r₁m + r₂m;

3) r₁(r₂m) = (r₁r₂)m;

4) 1_Rm = m.

Analogamente, M è un R-modulo destro se è definito un prodotto M × R → M per cui valgono le analoghe proprietà . Qui considereremo sempre R-moduli sinistri, chiamandoli per brevitá R-moduli.

Se R `e un corpo, un R-modulo si dice anche uno spazio vettoriale su R.

Chiaramente ogni R-modulo ´e un R₀-modulo per ogni sottoanello R₀ di R.

(1.2) Lemma Sia f : S → R un omomorfismo di anelli. Ogni R-modulo M risulta un S-modulo rispetto

sm := f (s)m, ∀s ∈ S, m ∈ M.

La dimostrazione ´e lasciata per esercizio.

(1.3) Esempio Il gruppo abeliano (R, +, 0_R) `e un R-modulo sinistro rispetto al prodotto di anello (r₁, r₂) 7→ r₁r₂. Si chiama l’R-modulo regolare sinistro e si indica con _RR.

1

(8)

(1.4) Esempio Sia Z l’anello degli interi. Ogni gruppo abeliano (M, +, 0M) `e uno Z-modulo sinistro rispetto al prodotto (z, m) 7→ zm, dove:

zm :=











m + · · · + m

| {z }

z volte

se z > 0 0M se z = 0

−(−zm) se z < 0.

Ricordiamo che R^∗ indica l’insieme degli elementi di R che hanno inverso moltiplicativo.

Dagli assiomi di modulo si deducono le seguenti utili regole di calcolo.

(1.5) Lemma Sia M un R-modulo. Per ogni r ∈ R, m ∈ M : 1) 0_Rm = 0_M;

2) r 0_M = 0_M;

3) (−r) m = r (−m) = −(rm);

4) se ν ∈ R^∗ e ν m = 0M, allora m = 0M. Dimostrazione.

1) 0Rm = (0R+ 0R) m = 0Rm + 0Rm.

Sommando al primo e all’ultimo termine − (0_Rm) ∈ M si ha 0_M = 0_Rm.

2) r 0_M = r (0_M+ 0_M) = r 0_M + r 0_M.

Sommando al primo e all’ultimo termine − (r 0_M) ∈ M si ha 0_M = r0_M. 3) (−r)m + rm = (−r + r)m = 0Rm = 0M.

Quindi (−r) m `e l’opposto di rm.

r(−m) + rm = r(−m + m) = r0_M = 0_M. Quindi r(−m) `e lopposto di rm:

4) Moltiplicando per ν⁻¹ si ha: ν⁻¹(νm) = ν⁻¹0_M, da cui ν⁻¹ν m = 0_M. Si conclude 1Rm = m = 0M.

(1.6) Definizione Un sottoinsieme N di un R-modulo M si dice un sottomodulo (o anche un sottospazio quando R `e un corpo) se soddisfa i seguenti assiomi:

1) 0M ∈ N ;

2) per ogni n1, n2 ∈ N , l’elemento (n₁+ n2) appartiene a N ; 3) per ogni r ∈ R, n ∈ N , l’elemento (rn) appartiene a N .

Per ogni n ∈ N , anche −1_Rn = −n ∈ N . Quindi un sottomodulo `e un sottogruppo N di (M, +, 0_M) tale che RN ⊆ N . Indichiamo che N `e sottomodulo di M mediante N ≤ M .

(9)

2. SOTTOMODULI GENERATI DA UN SOTTOINSIEME 3

Notiamo che i sottomoduli del modulo regolare _RR sono gli ideali sinistri dell’anello R.

In particolare, se R `e un corpo, gli unici sottomoduli di_RR sono {0_R} e R.

(1.7) Lemma Siano N₁ e N₂ due sottomoduli di un R-modulo M . Allora:

1) il massimo sottomodulo di M contenuto in entrambi `e N₁∩ N₂; 2) il minimo sottomodulo di M che li contiene entrambi `e

N1+ N2:= {n1+ n2 | n₁∈ N₁, n2∈ N₂}.

Dimostrazione. Per definizione di sottomodulo 0_M ∈ N₁ e 0_M ∈ N₂. Quindi 0_M ∈ N₁∩ N₂. Inoltre 0_M = 0_M + 0_M ∈ N₁+ N₂.

1) Basta dimostrare che N1∩ N₂ `e sottomodulo. Siano m1, m2, m ∈ N1∩ N₂, r ∈ R.

Da m1, m2, m ∈ N1 segue (m1+ m2) ∈ N1 e rm ∈ N1 per definizione di sottomodulo.

Idem per N2. Si conclude che (m1+ m2) ∈ N1∩ N₂, rm ∈ N1∩ N₂. 2) Siano (n₁+ n₂) , (n₁+ n₂) ∈ N₁+ N₂, r ∈ R.

Da n1, n1 ∈ N₁ e n2, n2∈ N₂, segue:

(n1+ n2) + (n1+ n2) = (n1+ n1) + (n2+ n2) ∈ N1+ N2, r(n₁+ n₂) = (rn₁) + (rn₂) ∈ N₁+ N₂.

Abbiamo cos`ı verificato che N₁+ N₂ `e un sottomodulo.

Resta da vedere che `e il minimo sottomodulo che contiene sia N₁, sia N₂. Per ogni n1 ∈ N₁ si ha n1 = n1+ 0M ∈ N₁+ N2. Quindi N1 ≤ N₁+ N2. In modo analogo N2≤ N₁+ N2. Concludiamo N1∪ N₂ ⊆ N₁+ N2. Infine sia X un sottomodulo di N che contiene N₁∪ N₂.

Per ogni n1+ n2 ∈ N₁+ N2 si ha: n1 ∈ N₁≤ X, n₂ ∈ N₂ ≤ X.

Pertanto (n1+ n2) ∈ X, ossia N1+ N2≤ X.

Pi`u in generale, valgono i seguenti fatti. Sia {Ni| i ∈ I} una famiglia non vuota di sottomoduli Ni di un R-modulo M . Si definisca P

i∈I Ni come l’insieme di tutte le somme finite n_i₁+ · · · + n_i_m di elementi n_i_j appartenenti ai sottomoduli della famiglia.

• l’intersezione insiemistica ∩_i∈IN_i `e un sottomodulo di M ;

• P

i∈I Ni `e il minimo sottomodulo di M che contiene ∪i∈INi.

2 Sottomoduli generati da un sottoinsieme

Dato un elemento m di un R-modulo M , definiamo

< m >:= {rm | r ∈ R} = Rm.

(10)

In virtù del successivo Lemma, < m > è il minimo sottomodulo di M a cui appartiene m. Si dice quindi che < m > è il sottomodulo generato da m. Più in generale, si ha:

(2.1) Lemma Dato un sottoinsieme S = {m₁, . . . , m_n} di un R-modulo M , sia < S >

l’insieme delle combinazioni lineari, a coefficienti in R, degli elementi di S, ossia:

< S >:=

( _n X

1

r_im_i| r_i∈ R )

= Rm₁+ · · · + Rm_n. 1) < S > `e un sottomodulo di M ;

2) S ⊆< S >;

3) per ogni sottomodulo N di M tale che S ⊆ N , si ha < S >≤ N . Dimostrazione.

1) 0_M = 0_Rm₁+ · · · + 0_Rm_n∈< S >.

Per ogni (r₁m₁+ · · · + r_nm_n), (r₁m₁+ · · · + r_nm_n) ∈< S > e per ogni r ∈ R, si ha:

(r1m1+ · · · + rnmn) + (r1m1+ · · · + rnmn) = (r1+ r1) m1+ · · · + (rn+ rn) ∈< S >, r (r1m1+ · · · + rnmn) = (rr1)m1+ · · · + (rrn)mn∈< S >.

2) m₁ = 1_Rm₁+ · · · + 0_Rm_n∈< S >. Cos`ı per gli altri elementi di S.

3) Da S ⊆ N , sottomodulo, segue r₁m₁+ · · · + r_nm_n∈ N per ogni r₁, . . . , r_n∈ R.

Pertanto < S > `e il minimo sottomodulo di M che contiene S. Ci`o giustifica la seguente:

(2.2) Definizione < S > si dice il sottomodulo di M generato da S.

Poich`e il minimo sottomodulo di M che contiene ∅ `e quello nullo, si pone < ∅ >:= {0M}.

Più in generale, se S è un qualunque insieme non vuoto, il sottomodulo < S > è definito come l’insieme delle combinazioni lineari finite, a coefficienti in R, degli elementi di S.

(2.3) Definizione S `e un insieme di generatori per M , o genera M , se hSi = M .

3 Moduli quoziente e omomorfismi

Siano M un R-modulo e N un suo sottomodulo. In particolare N `e un sottogruppo del gruppo (M, +, 0_M). Possiamo quindi considerare la relazione di congruenza modulo N , definita ponendo, per ogni m, m ∈ M :

m ≡ m (mod N ) ⇐⇒ (m − m) ∈ N.

Come visto nel Teorema 4.2 del Capitolo 2 di [9], la congruenza modulo N `e una relazione di equivalenza in M . Per ogni m ∈ M , la classe di equivalenza di m `e l’insieme

N + m := {n + m | n ∈ N }

(11)

3. MODULI QUOZIENTE E OMOMORFISMI 5

detto il laterale destro di N individuato da m. Ne segue che, per ogni m, m ∈ M :

(3.1) N + m = N + m ⇔ (m − m) ∈ N.

Della relazione (3.1), per comodit`a del lettore, diamo anche una dimostrazione diretta.

Sia N + m = N + m. Da m = 0M+ m ∈ N + m, segue m ∈ N + m. Quindi m = n + m, per un opportuno n ∈ N . Si conclude (m − m) = n ∈ N . Viceversa, sia (m − m) ∈ N . Posto (m − m) = n si ha m = n + m. Ne segue che N + m ⊆ N + m. Infatti, per ogni n₁ ∈ N , si ha n₁+ m = n₁ + (n + m) = (n₁+ n) + m ∈ N + m. Analogamente, da m = (−n) + m segue N + m ⊆ N + m. Pertanto N + m = N + m.

(3.2) Teorema L’insieme ^M_N dei laterali di N in M `e un R-modulo rispetto alle operazioni definite ponendo, per ogni m₁, m₂, m ∈ M e per ogni r ∈ R:

(N + m1) + (N + m2) := N + (m1+ m2), r(N + m) := N + rm.

Dimostrazione.

N è un sottogruppo normale di (M, +, 0M), essendo tale gruppo abeliano. Pertanto, rispetto alla somma, ^M_N è un gruppo (abeliano) per il Teorema 5.7 del Capitolo 2 di [8]. Resta da vedere che è un R-modulo. A tale scopo verifichiamo innanzitutto che il prodotto R ×^M_N → ^M_N è ben definito. Ossia che, per ogni r ∈ R, m, m ∈ M ,

N + m = N + m =⇒ N + rm = N + rm.

Infatti da (m − m) ∈ N segue r(m − m) ∈ N , per definizione di sottomodulo. Ne segue (rm − rm) ∈ N , da cui N + rm = N + rm.

Infine, per ogni r, r₁, r₂∈ R e per ogni N + m, N + m₁, N + m₂ ∈ ^M_N si ha:

1) r ((N + m₁) + (N + m₂)) = r (N + m₁+ m₂) = N + r(m₁+ m₂) = N + rm1+ rm2 = (N + rm1) + (N + rm2) = r(N + m1) + r(N + m2);

2) (r1+ r2)(N + m) = N + (r1+ r2)m = N + r1m + r2m = (N + r1m) + (N + r2m) = r₁(N + m) + r₂(N + m);

3) r₁(r₂(N + m)) = r₁(N + r₂m) = N + r₁(r₂m) = N + (r₁r₂)m = (r₁r₂)(N + m);

4) 1R(N + m) = N + 1Rm = N + m.

(3.3) Definizione Il modulo ^M_N, descritto nel Teorema 3.2, `e detto il modulo quoziente di M rispetto a N .

(12)

Siano M e M⁰ degli R-moduli, con rispettivi prodotti

∗ : R × M → M, ◦ : R × M⁰ → M⁰. Si noti che, anche nel caso M = M⁰, pu´o essere ∗ 6= ◦.

(3.4) Definizione Un R-omomorfismo da M a M⁰ `e una applicazione Φ : M → M⁰ tale che, per ogni m₁, m₂, m ∈ M e per ogni r ∈ R:

1) Φ(m1+ m2) = Φ(m1) + Φ(m2), 2) Φ(r ∗ m) = r ◦ Φ(m).

Se non vi é ambiguitá si omettono i simboli ∗ e ◦. Quando R è un corpo, un R- omomorfismo si dice anche una applicazione lineare.

Un esempio importante di omomorfismo fra moduli `e fornito dal seguente:

(3.5) Lemma Sia M un R-modulo. Fissato r ∈ R, sia µ_r: M → M l’applicazione tale che m 7→ rm, per ogni m ∈ M . Se R `e commutativo la µ_r `e un R-omomorfismo.

Dimostrazione. Per ogni m₁, m₂, m ∈ M , e per ogni s ∈ R:

µr(m1+ m2) = r (m1+ m2) = rm1+ rm2 = µr(m1) + µr(m2).

µr(sm) = r(sm) = (rs)m = (sr)m = s(rm) = sµr(m).

I prodotti e, quando esistono, gli inversi di R-omomorfismi sono R-omomorfismi. Infatti:

(3.6) Lemma Siano Φ : M → M⁰ e Ψ : M⁰→ M⁰⁰ degli R-omomorfismi.

1) L’applicazione prodotto ΨΦ : M → M⁰⁰ `e un R-omomorfismo;

2) se Φ `e bijettiva, la sua inversa Φ⁻¹ : M⁰→ M `e un R-omomorfismo.

Dimostrazione.

1) Per ogni m₁, m₂ ∈ M :

ΨΦ(m1+ m2) = Ψ (Φ(m1+ m2)) = Ψ (Φ(m1) + Φ(m2)) = ΨΦ(m1) + ΨΦ(m2).

Per ogni r ∈ R e ogni m ∈ M : ΨΦ(rm) = Ψ (Φ(rm)) = Ψ (rΦ(m)) = rΨ (Φ(m)).

2) Per ogni m⁰₁, m⁰₂ ∈ M⁰, dette m₁, m₂ le rispettive preimmagini in M si ha:

m⁰₁+ m⁰₂= Φ(m1) + Φ(m2) = Φ(m1+ m2). Ne segue:

Φ⁻¹(m⁰₁+ m⁰₂) = m₁+ m₂ = Φ⁻¹(m⁰₁) + Φ⁻¹(m⁰₂).

Per ogni r ∈ R e ogni m⁰∈ M⁰, detta m la sua preimmagine in M , si ha:

rm⁰ = rΦ(m) = Φ(rm). Ne segue: Φ⁻¹(rm⁰) = rm = rΦ⁻¹(m⁰).

(3.7) Definizione Sia Φ : M → M⁰ un R-omomorfismo. Poniamo:

(13)

3. MODULI QUOZIENTE E OMOMORFISMI 7

• Im Φ := {Φ(m) | m ∈ M };

• Ker Φ := {m ∈ M | Φ(m) = 0_M⁰}.

(3.8) Lemma Sia Φ : M → M⁰ un R-omomorfismo. Per ogni sottomodulo N di M e per ogni sottomodulo N⁰ di M⁰ valgono i seguenti fatti:

1) l’immagine Φ(N ) := {Φ(n) | n ∈ N } `e un sottomodulo di M⁰; 2) se N = hn₁, . . . , n_ki, allora Φ(N ) = hΦ(n₁), . . . , Φ(n_k)i;

3) la preimmagine Φ⁻¹(N⁰) := {m ∈ M | Φ(m) ∈ N⁰} `e un sottomodulo di M . In particolare:

• M sottomodulo di M implica Im Φ := Φ(M ) sottomodulo di M⁰;

• {0_M⁰} sottomodulo di M⁰ implica Ker Φ := Φ⁻¹{0_M⁰} sottomodulo di M . Dimostrazione.

Φ `e un omomorfismo di gruppi additivi, per l’assioma 1) della Definizione 3.4. Quindi, per il Lemma 7.6 del Capitolo II di [9] si ha Φ(0_M) = 0_M⁰. Cos`ı , da 0_M ∈ N segue 0_M⁰ ∈ Φ(N ) e da 0_M⁰ ∈ N⁰ segue 0_M ∈ Φ⁻¹(N⁰). Inoltre, per lo stesso Lemma, Φ(−m) = −Φ(m), per ogni m ∈ M .

1) Per ogni Φ(n₁), Φ(n₂), Φ(n), dove n₁, n₂, n ∈ N , e per ogni r ∈ R si ha:

Φ(n1) − Φ(n2) = Φ(n1− n₂) ∈ Φ(N ), dato che (n1− n₂) ∈ N , in quanto sottomodulo, rΦ(n) = Φ(rn) ∈ Φ(N ) dato che rn ∈ N in quanto sottomodulo.

2) Per ogni Φ(n) ∈ Φ(N ), dove n ∈ N , si ha n =Pk i=1r_in_i per opportuni coefficienti r_i ∈ R. Pertanto: Φ(n) = Φ

P_k

i=1r_in_i

=P_k

i=1r_iΦ (n_i).

3) Siano m1, m2, m ∈ Φ⁻¹(N⁰), r ∈ R. Da Φ(m1), Φ(m2), Φ(m) ∈ N⁰ segue:

Φ(m1− m₂) = Φ(m1) − Φ(m2) ∈ N⁰, da cui (m1− m₂) ∈ Φ⁻¹(N⁰), Φ(rm) = rΦ(m) ∈ N⁰ da cui rm ∈ Φ⁻¹(N⁰).

(3.9) Definizione Sia Φ : M → M⁰ un R-omomorfismo.

• Φ `e un monomorfismo se `e una applicazione iniettiva (⇔ Ker Φ = {0M});

• Φ `e un epimorfismo se `e una applicazione suriettiva, ossia se Im Φ = M⁰;

• Φ `e un isomorfismo se `e monomorfismo e epimorfismo.

(3.10) Definizione Come sopra, siano M e M⁰ due R-moduli. Diciamo che:

• M⁰ `e immagine epimorfa di M se esiste un R-epimorfismo da M a M⁰;

• M⁰ `e isomorfo a M , in simboli M ' M⁰, se esiste un R-isomorfismo da M a M⁰.

(14)

La relazione di isomorfismo fra moduli `e riflessiva, simmetrica e transitiva. Dal punto di vista dell’algebra astratta, moduli isomorfi sono identificati.

Illustriamo ora la stretta connessione fra moduli quoziente e omomorfismi.

(3.11) Lemma Siano M un R-modulo, N un suo sottomodulo e ^M_N il modulo quoziente.

L’applicazione π : M → ^M_N tale che m 7→ N + m `e un R-epimorfismo e Ker π = N . Dimostrazione.

Per ogni m₁, m₂, m ∈ M , r ∈ R si ha:

π (m1+ m2) = N + m1+ m2 = (N + m1) + (N + m2) = π (m1) + π (m2), π(rm) = N + (rm) = r (N + m) = rπ(m).

Ogni laterale N + m ha come preimmagini gli elementi di N + m (fra cui m).

Ker π = {m ∈ M | N + m = N + 0_M} = {m | m − 0_M ∈ N } = N .

Quindi ogni modulo quoziente di M è immagine epimorfa di M . Viceversa ogni immagine epimorfa di M è isomorfa a un suo modulo quoziente, in virtù del seguente:

(3.12) Teorema Sia Φ : M → M⁰ un R-omomorfismo. Allora l’applicazione:

(3.13) Φ : M

Ker Φ → Im Φ tale che Ker Φ + m 7→ Φ(m)

`

e un R-isomorfismo. In particolare _{Ker Φ}^M ' Im Φ.

Dimostrazione.

Φ `e ben definita. Infatti, con ovvie notazioni:

Ker Φ + m = Ker Φ + m =⇒ (m − m) ∈ Ker Φ =⇒ Φ(m − m) = 0 =⇒ Φ(m) = Φ(m).

Poichè valgono anche le implicazioni inverse, Φ è iniettiva. Chiaramente è suriettiva.

Infine `e un R-omomorfismo:

Φ ((Ker Φ + m1) + (Ker Φ + m2)) = Φ (Ker Φ + m1+ m2) = Φ (m1+ m2) = Φ (m₁) + Φ (m₂) = Φ (Ker Φ + m₁) + Φ (Ker Φ + m₂),

Φ (r(Ker Φ + m)) = Φ (Ker Φ + rm) = Φ(rm) = rΦ(m) = rΦ (Ker Φ + m).

4 Somme dirette

(4.1) Definizione Dati un R-modulo M e due sottomoduli M₁ e M₂, diciamo che M

`

e somma diretta interna di M₁ e M₂, e scriviamo M = M₁+M˙ ₂, se:

(15)

4. SOMME DIRETTE 9

1) M = M₁+ M₂; 2) M₁∩ M₂= {0_M}.

(4.2) Lemma M = M1+M˙ 2 se e solo se ogni m ∈ M si scrive in modo unico nella forma m = m1+ m2 con m1 ∈ M₁, m2∈ M₂.

Dimostrazione. Sia M = M1+M˙ 2. Per l’assioma 1) ogni m si scrive nella forma richiesta.

Quanto all’unicit`a , sia m₁+ m₂= m⁰₁+ m⁰₂ con m₁, m⁰₁ ∈ M₁, m₂, m⁰₂∈ M₂. Ne segue m₁ − m⁰₁ = m⁰₂ − m₂ ∈ M₁ ∩ M₂. Per l’assioma 2) m₁ − m⁰₁ = 0_M, da cui m₁ = m⁰₁, m₂ = m⁰₂.

Viceversa. Se ogni m ∈ M si scrive nella forma indicata si ha M = M1+ M2. Infine sia i ∈ M1∩ M₂. Da 0M = 0M + 0M = i + (−i) segue i = 0M, per l’ unicit`a della scrittura di 0_M nella forma indicata.

Siano ora M₁ e M₂ due R-moduli. Il lettore verifichi, per esercizio, che

(4.3) M1⊕ M₂ :=

m1

m₂

| m₁ ∈ M₁, m2 ∈ M₂

`

e un R-modulo rispetto alle seguenti operazioni:

(4.4)

m₁ m₂

+

m₁ m₂

:=

m₁+ m₁ m₂+ m₂

, r

m₁ m₂

:=

rm₁ rm₂

, dove m1, m1 ∈ M₁, m2, m2 ∈ M₂, r ∈ R.

(4.5) Definizione Il modulo M₁⊕ M₂ si dice la somma diretta esterna di M₁ e M₂. Si noti che gli elementi di M₁⊕ M₂ sono quelli del prodotto cartesiano M₁× M₂ e che le operazioni sono definite componente per componente. Il lettore verifichi che le proiezioni

π₁: M₁⊕ M₂ → M₁, π₂: M₁⊕ M₂ → M₂ definite rispettivamente mediante:

m₁ m2

7→ m₁ ,

m₁ m2

7→ m₂ sono R-epimorfismi. Verifichi inoltre che

Ker π₂ =

m1

0_M₂

| m₁∈ M₁

, Ker π₁=

0M1

m₂

| m₂ ∈ M₂

. Ne deduca:

M₁⊕ M₂ = Ker π₂ + Ker π˙ ₁, Ker π₂ ' M₁, Ker π₁ ' M₂.

(16)

Dati n > 2 moduli M₁, · · · , M_n su R, la loro somma diretta esterna M₁ ⊕ · · · ⊕ M_n `e definita induttivamente come il modulo (M₁⊕ · · · ⊕ M_n−1) ⊕ M_n.

Considerando il caso particolare in cui ogni M_i=_RR, si ha:

(4.6) Definizione (RR)⁰ := {0} e, per n > 1:

(_RR)¹:=_RR, (_RR)² :=_RR ⊕_RR, . . . , (_RR)ⁿ:=_RR ⊕ · · · ⊕_RR

| {z }

n volte

.

In virt`u di (4.3) di (4.4), per ogni n > 1 il modulo (_RR)ⁿ ha come elementi i vettori colonna a n componenti in R e le operazioni di modulo risultano le seguenti:

(4.7)



 x1

. . . x_n



+



 y1

. . . y_n



=





x1+ y1

. . . x_n+ y_n



, r



 x1

. . . x_n



=



 rx1

. . . rx_n



.

5 Moduli liberi

(5.1) Definizione Un sottoinsieme S di un R-modulo M si dice indipendente se S = ∅ oppure se, posto S = {m1, . . . , mn}, si ha che:

n

X

i=1

rimi= 0_M (con ri ∈ R) ⇒ ri = 0_R, 1 ≤ i ≤ n.

In caso contrario si dice che S `e dipendente.

Ad esempio {0M} `e dipendente: infatti 1R0M = 0M.

(5.2) Lemma Sia S indipendente. Ogni suo sottoinsieme T `e indipendente.

In particolare 0_M 6∈ S.

Dimostrazione.

Se T = ∅ oppure T = S l’asserto `e vero. Supponiamo quindi T = {m₁, . . . , m_k}, S = {m1, . . . , mn}, 1 ≤ k < n. Se, per assurdo, T fosse dipendente, esisterebbero dei coefficienti non tutti nulli r1, . . . , r_k∈ R tali chePk

i=1rimi = 0M. Posto r_k+1= 0R, . . . , r_n= 0_R, ne seguirebbe P_n

i=1r_im_i= 0_M, in contrasto con l’ indipendenza di S.

(5.3) Lemma Sia S = {v₁, . . . , v_n} un sottoinsieme di un R-modulo M . L’applicazione η : (RR)ⁿ→ M tale che:

(5.4)



 x1

· · · x_n



7→

n

X

i=1

x_iv_i

(17)

5. MODULI LIBERI 11

`

e un R-omomorfismo. Inoltre

• η `e suriettiva se e solo se S genera M come R-modulo (Definizione 2.3 );

• η `e iniettiva se e solo se S `e indipendente.

Dimostrazione. Verifichiamo che η `e un R-omomorfismo.



 x₁

· · · xn



+



 y₁

· · · yn



=





x₁+ y₁

· · · xn+ yn



 7→

n

X

i=1

(x_i+ y_i)v_i=

n

X

i=1

x_iv_i+

n

X

i=1

y_iv_i

r



 x1

· · · xn



=



 rx1

· · · rxn



 7→

n

X

i=1

(rx_i)v_i = r

n

X

i=1

x_iv_i. Il resto `e ovvio.

(5.5) Definizione Un sottoinsieme B di un R-modulo M `e una base di M se genera M come R-modulo e se `e indipendente.

(5.6) Osservazione Chiaramente un sottoinsieme {v₁, · · · , v_n} di un R-modulo M `e una base se e solo se l’applicazione η : (RR)ⁿ→ M , definita da (5.4), `e bijettiva.

Equivalentemente {v1, · · · , vn} `e una base di M se ogni m ∈ M si scrive in modo unico nella forma x1v1+ · · · + xnvn con xi ∈ R.

Un’altra caratterizzazione delle basi `e data dal seguente:

(5.7) Lemma Sia B = {v1, · · · , vn} una base di un R-modulo M . Per ogni R-modulo N e ogni applicazione (di insiemi!) ϕ : B → N , esiste un unico R-omomorfismo

Φ : M → N che estende ϕ.

Dimostrazione. Φ `e l’estensione, per linearit`a , di ϕ a M . Ossia:

Φ (x1v1+ · · · + xnvn) := x1ϕ(v1) + · · · + xnϕ(vn).

(5.8) Definizione Un R-modulo L si dice libero se ha una base.

Per ogni n ≥ 0 il modulo (_RR)ⁿ `e libero. Infatti:

R⁰= {0_R} ha come base l’insieme ∅.

R¹=RR ha come base il singoletto {1R}.

Per n ≥ 2, `e immediato verificare che (RR)ⁿ ha come base l’insieme:

(5.9)





 e₁ :=



 1R

. . . 0_R



, . . . , e_n:=



 0R

. . . 1_R











(base canonica).

(18)

Se L `e un R-modulo libero con base {v₁, · · · , v_n}, l’applicazione η : (_RR)ⁿ→ L, definita da (5.4), `e un R-isomorfismo. Quindi:

(RR)ⁿ' L.

Ne segue, ad esempio, che Z2 non `e libero come Z-modulo. Infatti |Z2| = 2. D’altra parte,

(_ZZ)⁰

= 1 e, per n > 0, (_ZZ)ⁿ `e infinito. Tuttavia Z2 `e libero come Z2-modulo.

Un isomorfismo fra R-moduli porta basi in basi. Infatti:

(5.10) Lemma Dati due R-moduli L, L⁰, sia Φ : L → L⁰ un R-isomorfismo.

Se B = {v₁, . . . , v_n} è una base di L, allora B⁰ = {Φ (v₁) , . . . , Φ (v_n)} è una base di L⁰. In particolare se L è libero, anche L⁰ è libero.

Dimostrazione. Da hBi = L segue hB⁰i = L⁰ per il punto 2) del Lemma 3.8. Quanto alla indipendenza di B⁰, sia Pn

i=1xiΦ (vi) = 0_L⁰. Segue Φ (Pn

i=1xivi) = 0_L⁰ da cui Pn

i=1x_iv_i∈ Ker(Φ) = {0_L}. Si conclude x_i= 0_R per i ≤ n, essendo B indipendente.

Una somma diretta di moduli liberi `e un modulolibero. Infatti:

(5.11) Lemma Sia L = L₁+L˙ ₂. Se B₁ è una base di L₁ e B₂ è una base di L₂, allora B₁∩ B₂= ∅ e B = B₁∪ B₂ è una base di L.

Dimostrazione.

B₁∩ B₂⊆ L₁∩ L₂ = {0_L}. Poich`e 0_L6∈ B₁ per il Lemma 5.2, si ha B1∩ B₂ = ∅.

Ogni ` ∈ L si scrive in modo unico nella forma ` = `₁ + `₂, con `₁ ∈ L₁, `₂ ∈ L₂. Per i = 1, 2, l’addendo `_i si scrive in modo unico come combinazione lineare di elementi di B_i. Si conclude che ` si scrive in modo unico come combinazione lineare di elementi di B, che `e pertanto una base di L.

(5.12) Teorema Sia f : M → L un epimorfismo di R-moduli. Se L `e libero, esiste un sottomodulo L^∗ di M tale che: M = Kerf ˙+L^∗ con L^∗' L.

In particolare, se Kerf `e libero, anche M `e libero.

Dimostrazione.

Sia B = {v₁, . . . , v_n} una base di L e siano m₁, . . . , m_n elementi di M tali che f (mi) = vi, 1 ≤ i ≤ n.

Consideriamo il sottomodulo L^∗= hm₁, . . . , m_ni, generato dagli m_i.

(19)

6. RANGO DEI MODULI LIBERI SU ANELLI COMMUTATIVI 13

Mostriamo innanzitutto che M = Ker f + L^∗. Per ogni m ∈ M , si ha

f (m) =

n

X

1

xivi =

n

X

1

xif (mi) = f

n

X

1

ximi

! .

Ne segue (m −Pn

1x_im_i) ∈ Ker f e, dall’identit`a m = (m −

n

X

1

x_im_i) +

n

X

1

x_im_i

si deduce m ∈ Ker f + L^∗.

Mostriamo ora che L^∗∩ Ker f = {0_M}. Infatti P_n

1y_im_i∈ Ker f implica 0_L= f

n

X

1

y_im_i

!

=

n

X

1

y_if (m_i) =

n

X

1

y_iv_i

da cui y1 = · · · = yn= 0R, per l’indipendenza di B. Infine la restrizione fL^∗di f a L^∗è un isomorfismo da L a L^∗. Infatti è suriettiva perchè B ⊆ f (L^∗) implica L = hBi ≤ f (L^∗), ed è iniettiva perchè Ker f_L^∗ = Ker f ∩ L^∗ = {0_M}.

6 Rango dei moduli liberi su anelli commutativi

(6.1) Teorema Sia R un anello commutativo e sia n ≥ 0.

1) Il modulo (_RR)ⁿ non `e generato da alcun sottoinsieme di cardinalit`a m < n;

2) tutte le basi (finite) di un R-modulo libero L hanno la stessa cardinalit`a . Dimostrazione.

1) Per n ≤ 1 l’asserto `e chiaro. Sia quindi n ≥ 2. Supponiamo per assurdo che S = {v₁, · · · , v_m} sia un insieme di m < n generatori per (_RR)ⁿ. Esprimiamo ogni vettore e_i della base canonica (5.9) nella forma e_i = Pm

j=1a_jiv_j per opportuni coefficienti a_ji (non necessariamente unici).

Si ottiene la contraddizione desiderata considerando il seguenti prodotto di matrici:

v1 . . . vm 0ⁿ . . . 0ⁿ







a11 · · · a1n

· · · · · · · · · am1 · · · amn

0 · · · 0

· · · · · · · · · 0 · · · 0







=

Pm

j=1aj1vj . . . Pm

j=1ajmvj . . . Pm

j=1ajnvj

= e₁ . . . e_m . . . e_n

= I.