Moduli finitamente generati su PID - UNIVERSIT `A CATTOLICA DEL SACRO CUORE Facolt`a di Scienze

1 Basi di sottomoduli

Chiaramente i sottomoduli del D-modulo regolare _DD sono gli ideali dell’anello D. (1.1) Lemma Se D `e un dominio a ideali principali, i sottomoduli di DD sono liberi, di rango ≤ 1.

Dimostrazione. Sia I un sottomodulo di D. Poichè I è un ideale dell’anello D, i cui ideali sono principali, esiste d ∈ I tale che I = hdi. Se d = 0_D, si ha che I = {0_D} è libero di rango 0. Altrimenti {d} è una base di I: infatti I = Dd e xd = 0_D implica x = 0_D, poichè D è privo di divisori dello zero. Quindi I è libero, di rango 1.

(1.2) Teorema Sia V un D-modulo libero di rango n. Se D `e un dominio a ideali principali, ogni sottomodulo W di V `e libero, di rango m ≤ n.

Dimostrazione. Ragioniamo per induzione su n.

Se n = 0, si ha V = {0_V}. Ne segue W = {0_V}, che `e quindi libero, di rango 0. Sia ora n > 0. In virt`u di (5.4) del Capitolo II, possiamo supporre V = Dⁿ. Consideriamo l’n-esima proiezione π : Dn → D tale che:

  x1 · · · x_n   7→ x_n.

Chiaramente Ker π `e l’insieme delle n-ple che hanno l’ultima componente nulla. Quindi: (1.3) Ker π ' Dⁿ⁻¹ .

Il sottomodulo π(W ) di D `e libero, di rango ≤ 1, per il Lemma precedente. Consideriamo la restrizione di π a W , ossia l’epimorfismo:

π_W : W → π(W ).

Per il Teorema 5.12 del Capitolo 1, esiste un sottomodulo L^∗ di W tale che L^∗ ' π(W ) e W = Ker π_W _{+ L}˙ ∗.

Ora Ker π_W = Ker π ∩ W ≤ Ker π. Per 1.3, il modulo Ker π è libero, di rango n − 1. Quindi, per l’ipotesi induttiva, Ker π_W è libero di rango m ≤ n − 1. D’altra parte L^∗ ' π(W ) è libero di rango ` ≤ 1. Pertanto W è libero, di rango m + ` per il Teorema 6.3 del Capitolo I. Si conclude che m + ` ≤ (n − 1) + 1 = n.

(1.4) Corollario Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n su K. Ogni sottoinsieme indipendente B = {v₁, · · · , v_n} `e una base di V .

Dimostrazione. Dobbiamo dimostrare che ogni v ∈ V è combinazione lineare di elementi di B. Se v ∈ B, questo è chiaro. In caso contrario l’insieme S := {v1, · · · , vn, v} ha n + 1 elementi. Non può quindi essere indipendente, altrimenti genererebbe un sottomodulo di rango n+1. Esistono quindi degli scalari non tutti nulli tali che k₁v₁+· · ·+k_nv_n+kv = 0_V. Se fosse k = 0_K, avremmo k₁v₁+ · · · + k_nv_n= 0_V da cui anche k₁ = · · · = k_n= 0_K, per l’indipendenza di B. Ne segue k 6= 0_K da cui v = −k⁻¹k₁v₁− · · · − k⁻¹k_nv_n.

Sia A ∈ Matm,n(D). Le colonne Ae1, · · · , Aen di A sono elementi di D^m. Analoga-mente le righe di A sono elementi del trasposto di Dⁿ. Possiamo quindi considerare il sottomodulo di (_DD)^m, generato dalle colonne di A, e quello del trasposto di (_DD)ⁿ, generato dalle righe di A. Questi moduli sono entrambi liberi, per il Teorema precedente. Abbastanza sorprendetemente hanno lo stesso rango. Infatti:

(1.5) Teorema Data A ∈ Matm,n(D), dove D `e un dominio a ideali principali, sia µ_A: Dⁿ→ Dm il D-omomorfismo indotto da A rispetto alle basi canoniche, ossia: (1.6)   x1 · · · x_n   7→ A   x1 · · · x_n  .

Il sottomodulo generato dalle colonne di A coincide con l’immagine µ_A(Dⁿ) = Im µ_A, che ha lo stesso rango r di A, essendo r il numero delle componenti non nulle di una forma normale A⁰ di A. Il sottomodulo generato dalle righe di A, ha anch’esso rango r.

1. BASI DI SOTTOMODULI 31

Dimostrazione. Per il Lemma 3.8 del Capitolo I, si ha:

Im µ_A = hµ_A(e₁), · · · , µ_A(e_n)i = hAe₁, · · · , Ae_ni .

Sia ora A⁰ = pseudodiag (d₁, · · · , d_r, 0, · · · ), dove d_i|d_i+1, una forma normale di A. Se A ha rango r = 0, si ha d₁ = 0, A⁰= 0_Mat_m,n_(D). Ne segue A = 0_Mat_m,n_(D) e l’asserto `

e ovvio. Sia quindi r > 0, ossia d_r 6= 0. Dette Q, P due matrici invertibili tali che A⁰ = Q⁻¹AP , si ha che A⁰ `e la matrice di µA rispetto alle basi B⁰ = {P e1, · · · , P en} e C⁰= {Qe1, · · · , Qem} di (_DD)ⁿ e (DD)^m. Posto P ei = vi, Qei= wi otteniamo quindi:

Im µA= hµA(v1), · · · , µA(vn)i = hd1w1, · · · , drwri .

Pertanto Im µA è generato dall’insieme C⁰ = {d1w1, · · · , drwr}. Si verifica facilmente che, essendo D privo di divisori dello zero, C⁰ è indipendente ed è quindi una base di Im µ_A. Si conclude che Im µ_A ha rango r.

Infine, il rango di A^t`e anch’esso r, per il Lemma 5.5 del Capitolo I. Applicando ad A^T il risultato appena dimostrato per A, si ha che il sottomodulo generato dalle colonne di A^T ha rango r. Poich`e le righe di A coincidono con le colonne di A^T, si ha l’asserto.

(1.7) Corollario Sia AX = 0_Kn un sistema lineare omogeneo, a coefficienti in un campo K, in m equazioni indipendenti e n ≥ m indeterminate. L’insieme W delle sue soluzioni `e un sottospazio di Kn avente dimensione n − m.

Dimostrazione. La matrice A dei coefficienti del sistema appartiene a Matm,n(K). Il rango di A `e m, dato che stiamo supponendo che le equazioni siano indipendenti. Per il Teorema precedente, l’immagine dell’applicazione lineare

µ_A: Kⁿ→ K^m

definita in (1.6) ha dimensione m. Notando che W = Ker µ_A si ha che W `e un sot-tospazio. Inoltre, tenendo presente il Teorema 5.12 del Capitolo 1, n = dim (Kⁿ) = dim (Ker µ_A) + dim (Im µ_A), da cui dim W = n − m.

(1.8) Teorema Siano V un D-modulo libero di rango n e W un suo sottomodulo di rango t. Se D `e un dominio a ideali principali, esistono una base B = {v₁, · · · , v_n} di V e una sequenza d₁, · · · , d_t di elementi non nulli di D, ciascuno dei quali divide il successivo, tali che C = {d₁v₁, · · · , d_tv_t} `e una base di W .

Dimostrazione. Sia α : W → V l’inclusione w 7→ w. Per il Lemma 4.2 del Capitolo II, esistono una base C = {w₁, · · · , w_t} di W e una base B = {v₁, · · · , v_n} di V tali che la matrice di α rispetto C e B `e una forma normale

A⁰ =       d1 0 · · · 0 0 d2 · · · 0 · · · · · · · · · · · · 0 0 · · · dt · · · · · · · · · · · ·       , d₁|d₂| · · · |d_t.

Ne segue che w_i = α(w_i) = d_iv_i (1 ≤ i ≤ t) e si conclude che C = {d₁v₁, · · · , d_tv_t}.

2 Ideali annullatori

Sia M un D-modulo.

(2.1) Definizione Diciamo annullatore di un elemento m ∈ M , e lo indichiamo con Ann (m), l’insieme degli elementi d ∈ D tali che dm = 0_M.

(2.2) Lemma Ann (m) `e un ideale di D. Dimostrazione. 1) 0_D ∈ Ann (m) poich`e 0_Dm = 0_M. 2) x1, x2 ∈ Ann (m) ⇒ (x1+ x2) ∈ Ann (m). Infatti (x₁+ x₂)m = x₁m + x₂m = 0_M − 0_M = 0_M. 3) d ∈ D, x ∈ Ann (m) ⇒ (dx) ∈ Ann (m). Infatti (dx)m = d(xm) = d0_M = 0_M.

(2.3) Definizione Chiamiamo annullatore di M , e lo indichiamo con Ann (M ), l’insieme degli elementi d ∈ D tali che dm = 0_M per ogni m ∈ M .

Notando che Ann (M ) = T

m∈MAnn (m), si ha subito che `e un ideale di D, in quanto intersezione di ideali.

(2.4) Lemma Sia f : M → M⁰ un epimorfismo di D-moduli. Allora Ann (M ) ≤ Ann (M⁰).

2. IDEALI ANNULLATORI 33

Dimostrazione. Sia x ∈ Ann (M ). Per ogni m⁰ ∈ M0, detta m una sua preimmagine in M , si ha: xm⁰ = xf (m) = f (xm) = f (0_M) = 0_M0. Pertanto Ann (M ) ≤ Ann (M⁰). Infine, se f `e un isomorfismo, considerando l’isomorfismo f⁻¹ : M⁰ → M otteniamo Ann (M⁰) ≤ Ann (M ) e concludiamo Ann (M⁰) = Ann (M ) .

(2.5) Definizione Un elemento m ∈ M si dice di torsione se Ann (m) 6= {0_D}. (2.6) Lemma Per ogni n ≥ 0 l’unico elemento di torsione di (DD)ⁿ `e lo zero. Dimostrazione. Sia d   d₁ · · · dn  =   0_D · · · 0D 

. Ne segue ddi = 0D per ogni i ≤ n. Pertanto d 6= 0 implica di = 0 per i ≤ n, essendo D privo di divisori dello zero.

(2.7) Lemma L’insieme T degli elementi di torsione di M `e un sottomodulo. Dimostrazione.

1) 0_M ∈ T dato che Ann (0_M) = D. 2) t₁, t₂ ∈ T ⇒ (t₁+ t₂) ∈ T .

Siano x₁, x₂ elementi non nulli di D tali che x₁t₁ = x₂t₂ = 0_M. Si ha x₁x₂ 6= 0_D e x₁x₂(t₁+ t₂) = x₂(x₁t₁) + x₁(x₂t₂) = 0_M. Quindi (t₁+ t₂) ∈ T .

3) d ∈ D, t ∈ T ⇒ (dt) ∈ T .

Sia x un elemento non nullo di D tale che xt = 0M. Ne segue x(dt) = (xd)t = (dx)t = d(xt) = d0M = 0M e si conclude che dt ∈ T .

(2.8) Definizione

• T `e detto il sottomodulo di torsione di M . • Se M = T si dice che M `e di torsione.

(2.9) Lemma Sia f : M → M⁰ un D-omomorfismo. Detto T il sottomodulo di torsione di M e T⁰ quello di M⁰, si ha f (T ) ≤ T⁰. In particolare D-moduli isomorfi hanno sottomoduli di torsione isomorfi.

Dimostrazione. Sia t ∈ T . Esiste 0 6= x ∈ D tale che xt = 0_M. Ne segue xf (t) = f (xt) = f (0_M) = 0_M0. Pertanto f (t) ∈ T⁰. Abbiamo cos`ı dimostrato che f (T ) ≤ T⁰.

Ora, se f è un isomorfismo, anche f⁻¹ : M⁰ → M lo è . Per quanto appena dimostrato f⁻¹(T⁰) ≤ T . Applicando f si ha T⁰ ≤ f (T ). Si conclude che f (T ) = T0. Basta infine notare che la restrizione di f a T è un isomorfismo da T a T⁰.

(2.10) Lemma M1 e M2 siano sottomoduli di M . T e L siano D-moduli. 1) se M = M1+ M2, allora Ann (M ) = Ann (M1) ∩ Ann (M2).

2) Se M = T ⊕ L dove T è di torsione e L è libero, allora il sottomodulo di torsione T⁰ di M è isomorfo a T .

Dimostrazione.

1) Sia x ∈ Ann (M ). Poich`e x annulla tutti gli elementi di M , annulla anche quelli dei suoi sottoinsiemi M1 e M2. Quindi Ann (M ) ≤ Ann (M1) ∩ Ann (M2). Viceversa, sia y ∈ Ann (M₁) ∩ Ann (M₂). Ogni elemento m di M si scrive nella forma m = m₁+ m₂, per opportuni m₁ ∈ M₁, m₂ ∈ M₂. Ne segue ym = ym₁+ ym₂ = 0_M + 0_M = 0_M. Concludiamo Ann (M₁) ∩ Ann (M₂) ≤ Ann (M ).

2) L’applicazione f : T → M tale che t 7→ t 0L ` e un D-monomorfismo. Essendo T di torsione, per il Lemma 2.9 si ha f (T ) ≤ T⁰, dove:

f (T ) = t 0_L | t ∈ T .

D’altra parte T⁰ ≤ f (T ). Infatti sia m =

t l

un elemento di T⁰, dove t ∈ T, l ∈ L. Esiste d 6= 0 tale che dm = 0_M, ossia

dt dl = 0T 0_L . In particolare dl = 0_L. Ma L, essendo libero, `e privo di torsione per il Lemma 2.6: quindi l = 0_L. Si conclude che f (T ) = T⁰. Chiaramente la restrizione di f a T `e un D-isomorfismo da T a T⁰.

3 Teorema di Struttura

Un D-modulo M si dice finitamente generato (f.g.), se è generato da un sottoinsieme finito. In tal caso indichiamo con d(M ) il minimo numero di generatori di M . Nel seguito il D-modulo regolareDD verrà indicato, per brevità , semplicemente con D. (3.1) Lemma Siano I un ideale di D e ^D_I il modulo quoziente.

1) Ann ^D_I = I;

3. TEOREMA DI STRUTTURA 35

Dimostrazione.

1) Sia x ∈ Ann ^D_I. In particolare x(I + 1_D) = I + x = I + 0_D implica x ∈ I. Viceversa se i ∈ I, per ogni x ∈ D si ha ix ∈ I da cui i(I + x) = I + ix = I + 0_D.

2) ^D_I 6= 0 `e generato da I + 1D.

Come al solito, indichiamo con D^∗ l’insieme degli elementi unitari di D, ossia degli elementi u ∈ D che hanno inverso u⁻¹ in D.

(3.2) Teorema Sia M un D-modulo f.g., e sia d(M ) = n. Esiste una sequenza (3.3) d₁, · · · , d_n (sequenza dei fattori invarianti di M )

dove ogni di ∈ D, d₁∈ D/ ^∗ e di divide di+1 per i ≤ n − 1, tale che: (3.4) M ' ^D

hd₁i ^{⊕ · · · ⊕} D

hd_ni ^{(forma normale di M ).} Sia t ≥ 0 tale che di 6= 0_D per i ≤ t e dt+1= 0D. Allora, posto (3.5) T := {0} se t = 0, T := ^D

hd₁i ^{⊕ · · · ⊕} D

hd_ti ^{se t > 0,}

T `e isomorfo al sottomodulo di torsione di M . Per t > 0, risulta Ann (T ) = hdti. Quindi M ' T ⊕ D^n−t

dove T `e di torsione e D^n−t `e libero, di rango n − t.

Dimostrazione. Se d(M )=0, si ha M = {0M} = D0. Possiamo quindi supporre n > 0. Sia {m1, · · · , mn} un insieme di generatori per M . L’applicazione

Φ : Dⁿ→ M tale che   x1 · · · xn  7→ n X i=1 x_im_i `

e un epimorfismo di D-moduli. Per il Teorema 3.12 del Capitolo I si ha Dⁿ

Ker Φ ^{' M.}

Sia t il rango di Ker Φ. Per il Teorema 1.8 di questo Capitolo esistono una base B = {v₁, · · · , v_n} di Dn e una sequenza d₁, · · · , d_t di elementi non nulli di D, ciascuno dei quali divide il successivo, tali che C = {d₁v₁, · · · , d_tv_t} `e una base di Ker Φ. A meno di un isomorfismo di Dⁿ possiamo supporre che B = {v₁, · · · , v_n} sia la base canonica di

Dⁿ, quindi Ker Φ = *         d₁ · · · 0_D 0_D · · · 0_D         , · · · ,         0_D · · · d_t 0_D · · · 0_D         + =                        x₁d₁ · · · x_td_t 0_D · · · 0_D         | x_i∈ D                .

Si verifica facilmente che l’applicazione f : Dⁿ → ^D hd₁i ^{⊕ · · · ⊕} D hd_ti ^{⊕ D} n−t tale che         x1 · · · x_t xt+1 · · · x_n         7→         hd₁i + x₁ · · · hd_ti + x_t xt+1 · · · x_n         `

e un epimorfismo di moduli e che Ker f = Ker Φ. Si conclude M ' ^D n Ker Φ ⁼ Dⁿ Ker f ^' D hd₁i ^{⊕ · · · ⊕} D hd_ti ^{⊕ D} n−t. Supponiamo, per assurdo, hd1i = D. L’addendo D

hd₁i = ^D_D sarebbe nullo. Pertanto M sarebbe isomorfo a _hd^D

2i⊕· · ·⊕ D

hd_ti⊕Dn−te avremmo la contraddizione d(M ) ≤ n−1. Da Ann (_hd^D

ii) = hd_ii si ha Ann (T ) = hd₁i ∩ · · · ∩ hd_ti = hd_ti. Quindi T `e di torsione. Per il Lemma 2.10, con M₁ = T e M₂ = Dn−t si conclude che T `e isomorfo al sottomodulo di torsione di M .

Se K `e un campo, ogni K-modulo V `e libero: tale risultato, nel caso V finitamente generato, segue anche dal precedente Teorema. Vale infatti:

(3.6) Corollario Sia V uno spazio vettoriale su K e sia d(V ) = n. Allora V ' Kⁿ. Dimostrazione. Si ha necessariamente d₁ = 0_K, altrimenti d₁ sarebbe unitario.

(3.7) Corollario Sia M un gruppo abeliano finitamente generato, con d(M ) = n: • M ' Zn, oppure

• M ' Zd1 ⊕ · · · Zdt ⊕ Zn−t, t ≤ n,

4. FATTORI INVARIANTI E DIVISORI ELEMENTARI 37

Dimostrazione. Si considera M come Z-modulo, e si applica il Teorema 3.2 di questo Capitolo. Basta poi osservare che, per ogni intero positivo d, risulta Z

hdi = Zd.

In altre parole ogni gruppo abeliano finitamente generato `e somma diretta di n gruppi ciclici, essendo n il minimo numero di elementi che lo generano. Inoltre gli eventuali addendi finiti possono essere ordinati in modo che l’ordine di ciascuno divida quello del successivo.

4 Fattori invarianti e divisori elementari

Una propriet`a importante dei moduli finitamente generati, di torsione, `e quella di poter essere ”cancellati” in un isomorfismo fra somme dirette. Vale infatti:

(4.1) Teorema Siano M₁, M₂, T e T⁰ dei D-moduli. Si supponga che sia T ' T⁰, con T finitamente generato, di torsione. Allora:

M₁⊕ T ' M₂⊕ T⁰ ⇒ M₁ ' M₂. Una dimostrazione si trova in [4].

(4.2) Corollario Sia M un D-modulo f.g. La sua forma normale (3.4), `e unica. Dimostrazione. Supponiamo che M abbia due forme normali, necessariamente isomorfe: (4.3) ^D hd₁i^{⊕ · · · ⊕} D hd_ti ^{⊕ · · · ⊕} D hd_ni ^' D hc₁i ^{⊕ · · · ⊕} D hc_hi ^{⊕ · · · ⊕} D hc_ki dove d_i, c_i∈ D, d₁, c₁∈ D/ ∗, d_i|d_i+1(i ≤ n − 1), c_i|c_i+1 (i ≤ k − 1).

I sottomoduli di torsione T e T⁰ delle due forme normali sono isomorfi per il Lemma 2.9. Caso 1 T = {0}, ossia d1 = · · · = dn= 0D. Ne segue T⁰ = {0}, da cui c1= · · · = = c_k = 0_D. Infine Dⁿ' Dk implica n = k.

Caso 2 Possiamo supporre: (4.4) T = ^D hd₁i ^{⊕ · · · ⊕} D hd_ti^, ^T 0 = ^D hc₁i ^{⊕ · · · ⊕} D hc_hi^. Poich´e moduli isomorfi hanno lo stesso annullatore:

hd_ti = Ann (T ) = Ann (T⁰) = hchi. Semplificando _hd^D

ti = _hc^D

hi in (4.4) e applicando l’induzione si ha: t − 1 = h − 1, hd_ii = hc_ii, i = 1, · · · , t − 1.

In particolare t = h. Infine, semplificando T ' T⁰ in (4.3) si ha: D^n−t ' D^k−t.

si conclude n − t = k − t, da cui n = k.

Chiaramente la sequenza (3.3) dei fattori invarianti di M determina la sua forma normale (3.4). Viceversa la forma normale di M determina (a meno di fattori unitari) la sequenza dei suoi fattori invarianti.

Ogni dominio a ideali principali D `e fattoriale (si veda il Teorema 6.4.5 di [8]). Per comodit`a del lettore riportiamo il Teorema Cinese del Resto (Teorema 7.6.4 di [8]). (4.5) Teorema (Cinese del resto). Siano a, b ∈ D tali che M.C.D.(a, b) = 1. Allora, per ogni b₁, b₂ ∈ D, il sistema di congruenze lineari

(4.6)

x ≡ b₁ (mod a) x ≡ b2 (mod b) ha soluzioni in D.

Dimostrazione. Esistono y, z ∈ D tali che ay + bz = 1. Moltiplicando per b₁ e per b₂: ayb1+ bzb1= b1

ayb₂+ bzb₂= b₂ ^. Ne segue

bzb1≡ b₁ (mod a) ayb2 ≡ b₂ (mod b) ^. Si conclude che c = bzb1+ ayb2 `e soluzione del sistema (4.6).

(4.7) Teorema Dato d ∈ D, con d 6= 0D, d 6∈ D^∗, sia d = p^m1

1 . . . p^mk

k la sua fattoriz-zazione in irriducibili p_i ∈ D, dove p_i 6= p_j, per i 6= j. Allora:

(4.8) ^D hdi ^' D hp^m1 1 i ^{⊕ · · · ⊕} D hp^mk k i ^{(decomposizione primaria).} p^m1 1 , · · · , p^mk

k si dicono i divisori elementari di _hdi^D . Dimostrazione. Se k ≥ 2, poniamo a = p^m1

1 , b = p^m2

2 . . . p^mk

k . Sia ha d = ab con M.C.D.(a, b) = 1. Si vede facilmente che l’applicazione

f : D → ^D hai ^⊕

hbi ^{tale che} ^{x 7→}

hai + x hbi + x

4. FATTORI INVARIANTI E DIVISORI ELEMENTARI 39

e un D-omomorfismo. Inoltre f `e suriettiva. Sia infatti

hai + b₁ hbi + b₂

un generico ele-mento del codominio. Per il Teorema Cinese del resto esiste c ∈ D tale che

c ≡ b1 (mod a) c ≡ b₂ (mod b) ossia f (c) = hai + c hbi + c = hai + b₁ hbi + b₂ . Infine Ker f = hai ∩ hbi = hdi. Si conclude che

D hdi ^' D hai ^⊕ D hbi ⁼ D hp^m1 1 i ^⊕ D hp^m2 2 . . . p^mk k i e l’asserto segue per induzione su k.

(4.9) Definizione Sia T = _hd^D

1i ⊕ · · · ⊕ D hd_ti.

La somma delle decomposizioni primarie degli addendi _hd^D

ii, i ≤ t, si dice la decompo-sizione primaria di T . L’unione dei loro divisori elementari, considerati con le rispettive molteplicit`a, si dicono i divisori elementari di T .

(4.10) Esempio Sia T = _h6i^Z ⊕ _h12i^Z ⊕_h120i^Z . La decomposizione primaria di T `e Z h2i ^⊕ Z h3i^⊕ Z h4i ^⊕ Z h3i^⊕ Z h8i ^⊕ Z h3i^⊕ Z h5i^. I divisori elementari sono 2, 3, 4, 3, 8, 3, 5.

due D-moduli non nulli, finitamente generati e di torsione, sono isomorfi se e solo se hanno gli stessi divisori elementari.

Riassumendo quanto visto:

• Due D-moduli non nulli, finitamente generati, sono isomorfi se e solo se hanno la stessa forma normale o, equivalentemente, la stessa sequenza di fattori invarianti (a meno di elementi unitari).

• Due D-moduli non nulli, finitamente generati, di torsione sono isomorfi se e solo se hanno la stessa decomposizione primaria (a meno di permutazioni degli addendi) o, equivalentemente, gli stessi divisori elementari (a meno di elementi unitari), contati con le relative molteplicit`a .

5 Esercizi

(5.1) Esercizio Si dimostri che gli unici ideali di un campo K sono {0K} e K. (5.2) Esercizio Si dimostri che K[x] `e un dominio a ideali principali.

(5.3) Esercizio Nell’anello Z, si dimostri che

h3i = hzi ⇔ z = ±3.

(5.4) Esercizio Nell’anello Q[x], si dimostri che

hx²− 1i = hf (x)i ⇔ f (x) = q(x²− 1), 0 6= q ∈ Q.

(5.5) Esercizio Sia M = un D-modulo. Si dimostri che: 1) se N `e immagine epimorfa di M allora d(N ) ≤ d(M ); 2) se M = M1+ M2 allora d(M ) ≤ d(M1) + d(M2). (5.6) Esercizio Siano d₁, d₂ ∈ D. Si dimostri che

hd₁i ≥ hd₂i ⇔ d₁|d₂.

(5.7) Esercizio Si calcolino gli annullatori dei seguenti Z-moduli: Z, ^Z h2i^, Z h5i^, Z h2i^⊕ Z h5i^, Z h6i^⊕ Z h9i^.

(5.8) Esercizio Sia M = M1+ M2. Si dimostri che Ann (M ) = Ann (M1) ∩ Ann (M2). (5.9) Esercizio Si dimostri che l’applicazione f : Z → Z2⊕ Z5 tale che z 7→ ^[z]²

[z]₅ ! `

e un epimorfismo di Z-moduli. Per ciascun elemento del codominio, si indichi una preimmagine in Z. Si determini Ker f .

(5.10) Esercizio Si dica se l’applicazione f : Z → Z2⊕ Z4 tale che z 7→ ^[z]²

[z]₄ !

5. ESERCIZI 41

(5.11) Esercizio Si dimostri che l’applicazione f : Q[x] → _hx^Q[x]2+2i ⊕ Q[x]

hx3+1i tale che f (x) 7→ x2+ 2 + f (x) x3+ 1 + f (x) `

e un epimorfismo di Q[x]-moduli. Si indichi una preimmagine di x2+ 2 + x + 4

hx + 1i + x2

in Q[x]. Si determini Ker f .

(5.12) Esercizio Si dica se l’applicazione f : Q[x] → Q[x]

hx2−1i ⊕ Q[x]

hx−1i tale che f (x) 7→ x2− 1 + f (x) hx − 1i + f (x) `

e un epimorfismo di Q[x]-moduli e se `e suriettiva.

(5.13) Esercizio Per i seguenti Q[x]-moduli si dia un insieme di generatori minimale come Q[x]-modulo e un insieme di generatori minimale come Q-modulo:

M = ^Q[x]

hx + 4i ^, ^{N =}

Q[x] hx3+ 2x − 1i^. Si dimostri che M e N , come Q[x]-moduli, non hanno base.

(5.14) Esercizio Sia I l’deale di K[x] generato dal polinomio d(x), di grado n > 0. Si provi che ad ogni laterale di I appartiene un unico polinomio r(x) di grado ≤ n − 1. (5.15) Esercizio Si determini una base del Q-modulo:

Q[x] hx + 4i ^⊕

Q[x] hx3+ 2x − 1i^.

(5.16) Esercizio Si determinino l’ordine, i divisori elementari, la decomposizione pri-maria, la forma normale, i fattori invarianti, l’annullatore, il minimo numero di gener-atori dei seguenti gruppi abeliani:

Z20⊕ Z120⊕ Z50, _Z9⊕ Z3⊕ Z3⊕ Z27.

(5.17) Esercizio Si determinino i gruppi abeliani non isomorfi di ordine 5⁴. (5.18) Esercizio Si determini la decomposizione primaria del C[x]-modulo:

V = ^C[x] hx4+ 16i^.

Si calcoli una base di V come C-modulo.

(5.19) Esercizio Si determinino i divisori elementari, la decomposizione primaria, la forma normale, i fattori invarianti, l’annullatore, il minimo numero di generatori del seguente C[x]-modulo:

V = ^C[x] hx4− 16i^⊕

C[x] hx4+ 4x2i^. Si calcoli una base di V come C-modulo.

Capitolo IV

Nel documento UNIVERSIT `A CATTOLICA DEL SACRO CUORE Facolt`a di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali APPROFONDIMENTI DI ALGEBRA M. Chiara Tamburini Anno Accademico 2013/2014 (pagine 35-49)