La geometria dei gruppi classici - UNIVERSIT `A CATTOLICA DEL SACRO CUORE Facolt`a di Scienze M

1 Forme bilineari e forme Hermitiane

In questo Capitolo σ indica un automorfismo di un campo K tale che σ² = Id_K.

Quindi σ pu`o essere l’applicazione identica Id_K, oppure avere periodo 2. Per esempio, σ pu`o essere l’automorfismo coniugio del campo complesso C:

a + ib 7→ a − ib, ∀ a + ib ∈ C. Per ogni α ∈ K conviene porre σ(α) := α^σ.

(1.1) Definizione Sia V uno spazio vettoriale su K. Una applicazione ( , ) : V × V → K

tale che, per ogni λ1, λ2, µ1, µ2∈ K e per ogni v1, v2, w1, w2 ∈ V : (1.2) (λ1v1+ λ2v2, µ1w1+ µ2w2) = 2 X i,j=1 λiµj^σ(vi, wj) si dice:

• una forma bilineare su V se σ = Id_K;

• una forma hermitiana su V se σ 6= Id_K e (v, w) = (w, v)^σ, per ogni v, w ∈ V . Diciamo inoltre che la forma `e :

• non singolare se, per ogni vettore non nullo v di V , esiste u ∈ V tale che (u, v) 6= 0_K. • bilineare simmetrica se σ = Id_K e, per ogni v, w ∈ V , si ha (v, w) = (w, v);

• bilineare antisimmetrica se σ = Id_K e, per ogni v, w ∈ V , si ha (v, w) = −(w, v). 61

Chiaramente, per ogni v ∈ V : ((0_V, v)) = ((0_K0_V, v)) = 0_K(0_V, v) = 0_K= (v, 0_V) . (1.3) Esempi 1) Posto V = Rⁿ, l’applicazione (v, w) := v^Tw, ∀ v, w ∈ V `

e una forma bilineare simmetrica, non singolare su V . Per n = 2 si ha: x1 x₂ , y1 y₂ := (x1, x2) y1 y₂ = x1y1+ x2y2. Nel caso n = 3 tale forma induce la metrica usuale nello spazio R3.

2) Posto V = Kn e fissata una qualunque matrice J ∈ Mat_n(K), l’applicazione (v, w) := v^TAw, ∀ v, w ∈ V

e una forma bilineare su V . Per K = R, A = I si ha l’esempio 1).

Date una forma bilineare o hermitiana ( , ) : V × V → K e fissata una base B = {v₁, . . . , v_n} di V , per ogni v = n X i=1 kivi, w = n X i=1 hivi, ki, hi ∈ K si ha, in virt`u degli assiomi (1.2) della definizione 1.1:

(1.4) (v, w) = n X i,j=1 k_ih^σ_j(v_i, v_j). Introducendo la matrice (1.5) J := ((v_i, v_j)) ∈ Mat_n(K). e passando ai vettori coordinate, la (1.4) si scrive nella forma: (1.6) (v, w) = v_B^TJ w^σ_B, ∀ v, w ∈ V. J `e l’unica matrice di Mat_n(K) che soddisfa (1.6).

1. FORME BILINEARI E FORME HERMITIANE 63

Infatti se A = (a_ij) soddisfa (1.6), da v_iB = e_i per 1 ≤ i ≤ n, segue:

(v_i, v_j) = v_iB^TAv_{j B} = e_i^TAe_j = a_ij, ∀ i, j ≤ n. Si conclude A = J . `E cos`ı giustificata la seguente:

(1.7) Definizione J = ((v_i, v_j)) si dice la matrice della forma ( , ) rispetto a B. In virtù di (1.6), ogni forma bilineare di Kⁿè del tipo descritto nell’esempio 2). In tale esempio A è la matrice della forma rispetto alla base canonica.

(1.8) Lemma Sia J = ((vi, vj)) la matrice di una forma bilineare o hermitiana su V , rispetto a una base B = {v1, . . . , vn}.

1) La forma è non singolare se e solo se det J 6= 0_K; 2) se σ = Id_K, la forma è simmetrica se e solo se J^T = J ; 3) se σ = Id_K, la forma è antisimmetrica se e solo se J^T = −J ; 4) se σ 6= Id_K, la forma è hermitiana se e solo se J^T = J^σ. Dimostrazione.

1) Fissato v ∈ V , per ogni v_i ∈ B si ha (v_i, v) = e_i^TJ v^σ_B.

Sia det J 6= 0_K. Consideriamo v ∈ V non nullo. Se fosse ei^TJ v^σ_B = 0_K per ogni i, si avrebbe J v_B^σ = 0_Kn da cui, moltiplicando per J⁻¹, la contraddizione v_B^σ = 0_Kn. Pertanto (vi, v) 6= 0_K per almeno un indice i. Concludiamo che la forma `e non degenere.

Viceversa la forma sia non degenere. Se fosse det J = 0_K, esisterebbe w ∈ V non nullo tale che J w^σ_B = 0_Kn. Ne seguirebbe (v, w) = v^T_BJ w_B^σ = 0_K per ogni v ∈ V , contraddizione. Si conclude det J 6= 0_K.

2) e 4). Se la forma `e simmetrica o hermitiana si ha, in particolare, (v_j, v_i) = (v_i, v_j)^σ, 1 ≤ i, j ≤ n

da cui J^T = J^σ.

Viceversa, sia JT = Jσ. Notando che (v, w) = (v, w)T per ogni v, w ∈ V : (v, w) = v^T_BJ w_B^σ = v_B^TJ w^σ_B^T = (w^σ_B)^T J^σ(v_B^σ)^σ = w_B^TJ vB

= (w, v)^σ. Si conclude che la forma è simmetrica se σ = Id_K, è hermitiana se σ 6= Id_K. 3) Se la forma è antisimmetrica, da

segue J^T = −J . Viceversa, se J^T = −J , per ogni v, w ∈ V : (v, w) = v_B^TJ wB = v_B^TJ wB

= −w_B^TJ vB = −(w, v). Si conclude che la forma `e antisimmetrica.

(1.9) Lemma Sia J ∈ Mat_n(K) la matrice di una forma bilineare o hermitiana su V , rispetto a una sua base B. Una matrice J⁰ ∈ Mat_n(K) `e la matrice della stessa forma rispetto una conveniente base B⁰ se e solo se esiste P ∈ GL_n(K) tale che:

(1.10) J⁰ = P^TJ P^σ. Dimostrazione.

Supponiamo che J⁰ sia la matrice della forma rispetto un’altra base B⁰ e sia P := (v⁰₁)_B . . . (v⁰_n)_B

la matrice di passaggio da B a B⁰. Per ogni v ∈ V si ha: vB= P vB0. Ne segue: (v, w) = v^T_BJ w^σ_B= v_B^T0P^T J (Pσw_B^σ0) = v^T_B0 P^TJ P^σ wσ

B0. Pertanto PTJ Pσ soddisfa (1.6), da cui J⁰ = PTJ Pσ.

Viceversa, sia J⁰ = P^TJ P^σ, con P ∈ GLn(K). Essendo P invertibile esiste una base B⁰ di V tale che P `e la matrice di passaggio da B a B⁰. Per il punto precedente J⁰ `e la matrice della forma rispetto B⁰.

(1.11) Definizione Diremo che due matrici J, J⁰ ∈ Mat_n(K) sono congruenti se esiste P ∈ GL_n(K) tale che P^tJ P^σ = J⁰.

E facile verificare che la congruenza `e una relazione di equivalenza.

Per il precedente lemma, se J è la matrice di una forma bilineare o hermitiana rispetto una data base di V , allora J⁰ è congruente a J se e solo se è la matrice della stessa forma rispetto una conveniente base B⁰.

2 Ortogonalit`a

In questo paragrafo consideriamo una forma ( , ) : V × V → K che sia bilineare simmet-rica o antisimmetsimmet-rica, oppure hermitiana.

2. ORTOGONALIT `A 65

(2.1) Definizione Due vettori u, w ∈ V si dicono ortogonali se (u, w) = 0_K. In virtù dell’assioma (w, u) = ±(u, w)^σ l’ortogonalità fra vettori è simmetrica.

(2.2) Lemma Per ogni sottoinsieme W di V il sottoinsieme W^⊥ dei vettori di V ortogonali a tutti i vettori di W `e un sottospazio. Pertanto

W^⊥:= {v ∈ V | (v, w) = 0, ∀ w ∈ W } `

e detto il sottospazio ortogonale a W . Dimostrazione.

• 0_V ∈ W⊥ poich`e (0_V, w) = 0 per ogni w ∈ W . • Siano v₁, v2 ∈ W^⊥ e λ1, λ2∈ K. Ne segue

(λ₁v₁+ λ₂v₂, w) = λ₁(v₁, w) + λ₂(v₂, w) = 0_K+ 0_K= 0_K, ∀ w ∈ W. Si conclude che λ₁v₁+ λ₂v₂ ∈ W⊥, che `e pertanto un sottospazio.

(2.3) Definizione Siano U, W due sottospazi di V . Scriviamo V = U ⊥ W e diciamo che V `e somma ortogonale di U e W se

1) V = U ˙+W `e somma diretta di U e W ;

2) U ≤ W^⊥, ossia (u, w) = 0_K per ogni u ∈ U , w ∈ W . Un sottospazio W si dice totalmente isotropo se W ≤ W^⊥. (2.4) Lemma Supponiamo che la forma sia non degenere. Per ogni sottospazio W di V si ha:

dim(W^⊥) = dim(V ) − dim(W ). In particolare:

i) la dimensione di un sottospazio totalmente isotropo `e ≤ ¹₂dim V ;

ii) se la restrizione della forma a W `e non degenere, si ha V = W ⊥ W^⊥. Inoltre la restrizione della forma a W^⊥ `e non degenere.

Dimostrazione. Sia {w1, . . . , wm} una base di W . Per ogni v ∈ V si ha: (2.5) v ∈ W^⊥ ⇐⇒ (w_i, v) = 0_K, 1 ≤ i ≤ m.

Detta B = {w₁, . . . , w_m, w_m+1, . . . , w_n} una base di V che estende quella scelta per W , sia J la matrice della forma rispetto B. Si ha allora:

(2.6) v ∈ W^⊥ ⇐⇒ e_i^TJ v_B^σ = 0_K, 1 ≤ i ≤ m. Ossia i vettori v ∈ W^⊥ sono quelli per cui v_B^σ `e soluzione del sistema

   e1^TJ X = 0_K . . . e_m^TJ X = 0_K, X := (x1, . . . xn)^T.

Si tratta di un sistema lineare omogeneo in m equazioni e n = dim V indeterminate. Essendo J non degenere, le sue righe (in particolare le prime m righe) sono indipendenti. Ne segue che le equazioni del sistema sono indipendenti. Quindi le sue soluzioni formano un sottospazio di dimensione n − m = dim V − dim W .

i) Sia W totalmente isotropo. Da W ≤ W^⊥ segue dim W^⊥≥ dim W . Quindi dim V − dim W ≥ dim W , da cui dim W ≤ ¹₂dim V .

ii) Se la restrizione della forma a W `e non degenere, allora W ∩ W^⊥= {0V}. Ne segue dim(W + W^⊥) = dim W + dim W^⊥ = dim V , da cui V = W ⊥ W^⊥.

Infine sia u un vettore di W^⊥, ortogonale a tutti i vettori di W^⊥. Da V = W ⊥ W^⊥ segue che u `e ortogonale a tutti i vettori di V . Quindi u = 0_V perch`e la forma considerata `

e non degenere.

3 Lemma di Witt

Sia data una forma bilineare o hermitiana non singolare ( , ) : V × V → K.

(3.1) Definizione Un’ isometria `e un’applicazione lineare iniettiva f : V → V tale che (f (v), f (w)) = (v, w), ∀ v, w ∈ V.

(3.2) Lemma (di Witt) Siano U un sottospazio di V e f : U → V una applicazione lineare iniettiva tale che (f (u1), f (u2)) = (u1, u2) per ogni u1, u2 ∈ U . Allora f si estende a una isometria bf : V → V .

Per una dimostrazione si veda [1, 20, pag. 81], o anche [6, Capitolo 6, pag. 369]. (3.3) Corollario Ogni sottospazio totalmente isotropo di V `e contenuto in sottospazio totalmente isotropo massimale.

4. SPAZI SIMPLETTICI 67

Dimostrazione. Siano U, W sottospazi totalmente isotropi di V , con W di dimensione massima fra quelle dei sottospazi totalmente isotropi. Ogni applicazione lineare iniettiva f : U → W soddisfa l’ipotesi del Lemma di Witt, e pu`o quindi essere estesa a un isometria

f : V → V . Ne segue U ≤ bf⁻¹(W ), con bf⁻¹(W ) totalmente isotropo massimale.

4 Spazi simplettici

(4.1) Definizione Uno spazio vettoriale V su K si dice simplettico se su di esso `e definita una forma bilineare, non degenere, tale che ogni vettore v ∈ V `e isotropo, ossia

(v, v) = 0_K.

Scopo di questo paragrafo `e dimostrare che esiste essenzialmente un unico spazio sim-plettico su K per ogni n pari.

Per la bilinearit`a, un prodotto simplettico `e antisimmetrico. Infatti, per ogni v, w ∈ Kⁿ: 0 = (v + w, v + w) = (v, v) + (v, w) + (w, v) + (w, w) = (v, w) + (w, v).

Ne segue (w, v) = −(v, w).

(4.2) Teorema Sia V uno spazio simplettico su K, di dimensione n. 1) n = 2m `e pari;

2) esiste una base B di V rispetto alla quale la forma ha matrice:

(4.3) J = 0 Im −I_m 0 . Dimostrazione. Induzione su n.

Se fosse n = 1, per qualunque base {v} di V si avrebbe (v, v) = 0_K, in contrasto con l’ipotesi che V `e non degenere. Quindi n ≥ 2.

Per la non-degenericit`a della forma, esistono v1, w ∈ V tali che λ := (v1, w) 6= 0_K. In particolare v1 e w sono linearmente indipendenti. Posto w1 := λ⁻¹w, si ha:

Se n = 2 abbiamo l’asserto. Infatti la matrice della forma rispetto B = {v₁, w₁} `e J = 0 1 −1 0 .

Per n > 2, il sottospazio W := hv₁, w₁i `e non singolare. Ne segue V = W ⊥ W^⊥.

W^⊥è non degenere, quindi è uno spazio simplettico di dimensione n−2. Per induzione su n si ha n−2 = 2(m−1) pari. Inoltre W^⊥ammette una base {v₂, . . . , v_m, w₂, . . . , w_m} rispetto alla quale la matrice della forma è del tipo di (4.3). Scegliendo

B = {v₁, . . . , vm, w1, . . . , wm} si ha la tesi.

5 Spazi ortogonali e spazi unitari

Su un campo K di caratteristica 2, le forme bilineari simmetriche sono antisimmetriche. Per tale ragione, per studiare gli spazi ortogonali in caratteristica 2, `e necessario intro-durre e classificare le forme quadratiche. Siccome qui non le trattiamo, per gli spazi ortogonali ci limitiamo al caso di caratteristica 6= 2.

(5.1) Definizione Sia V uno spazio vettoriale su un campo K.

• V si dice uno spazio ortogonale se K ha caratteristica 6= 2 ed `e definita una forma bilineare simmetrica, non degenere ( , ) : V × V → K.

• V si dice uno spazio unitario se K che ha un automorfismo di periodo 2 ed `e definita una forma hermitiana, non degenere ( , ) : V × V → K.

(5.2) Definizione Sia V uno spazio ortogonale o hermitiano e sia B = {v₁, . . . , v_n} una sua base.

• B si dice ortogonale se (v_i, v_j) = 0 per ogni i 6= j.

• B si dice ortonormale se `e ortogonale e (v_i, v_i) = 1 per ogni i.

Equivalentemente B è una base ortogonale se la matrice della forma rispetto B è diago-nale. B è una base ortonormale se la matrice della forma rispetto B è quella identica.

5. SPAZI ORTOGONALI E SPAZI UNITARI 69

(5.3) Teorema Sia V uno spazio ortogonale o Hermitiano su K. Nel caso in cui V `e ortogonale si supponga char K 6= 2. Allora V ha una base ortogonale.

Dimostrazione. Basta dimostrare che esiste v ∈ V tale che (v, v) 6= 0_K. Infatti, in tal caso, il sottospazio hvi `e non-degenere. Ne segue

V = hvi ⊥ hvi^⊥.

Poichh`e hvi^⊥ha dimensione n − 1 possiamo supporre, per induzione su n, che abbia una base ortogonale B. Pertanto {v} ∪ B `e una base ortogonale di V .

Resta da dimostrare l’esistenza di v ∈ V tale che (v, v) 6= 0_K.

Per la non-degenericit`a della forma, esistono u, w ∈ V tali che λ := (u, w) 6= 0_K. Se (u, u) 6= 0_K oppure (w, w) 6= 0_K siamo a posto. Quindi possiamo supporre

(u, u) = (w, w) = 0. Se car K 6= 2, ponendo v = λ⁻¹u + w si ha:

(v, v) = λ⁻¹(u, w) + λ⁻¹^σ(w, u) = λ⁻¹λ + (λ^σ)⁻¹λ^σ = 21_K 6= 0_K.

Se car K = 2, allora V è unitario. Poichè l’automorfismo σ di K che definisce la forma hermitiana non è Id_K, esiste α ∈ K tale che ασ 6= α. Scegliendo v = λα⁻¹u + w si ha

(v, v) = α + α^σ = α − α^σ 6= 0_K.

(5.4) Osservazione Se K ha caratteristica 2, una forma bilineare simmetrica pu`o non ammettere basi ortogonali. Ad esempio, per K = Z2, n = 2, consideriamo la forma bilineare indotta dalla matrice 0 1

1 0

rispetto alla base canonica di Z2². Tale forma `e non degenere, ma non ammette basi ortogonali dato che tutti i vettori sono isotropi. (5.5) Corollario

1) Uno spazio ortogonale V su C ha una base ortonormale;

2) uno spazio hermitiano V su C, tale che (v, v) > 0 per ogni v 6= 0V in V , ha una base ortonormale;

3) uno spazio ortogonale V su R, tale che (v, v) > 0 per ogni v 6= 0V in V , ha una base ortonormale.

Dimostrazione.

Per il Teorema 5.3 esiste una base ortogonale B = {v₁, . . . , v_n} di V . Poniamo (vi, vi) := λi, 1 ≤ i ≤ n.

1) Per ogni i ≤ n esiste µi∈ C tale che µ2

i = λ⁻¹_i . Una base ortonormale `e quindi: B⁰ =µ−1

1 v₁, . . . , µ⁻¹_n v_n .

2) e 3) Notiamo che, anche nel caso hermitiano, (v, v) = (v, v)^σ ∈ R. La condizione (v, v) ≥ 0 implica λi > 0. Esiste quindi µi ∈ R tale che µ2

i = λ⁻¹_i per ogni i ≤ n. Definendo B⁰ come nel caso precedente si ottiene una base ortonormale.

(5.6) Osservazione Dal Teorema 5.3 segue facilmente che uno spazio ortogonale V , di dimensione n su R, ha una base ortogonale rispetto alla quale la forma ha matrice

D = diag  1, . . . , 1 | {z } h , −1, . . . , −1 | {z } n−h  

per qualche h tale che 0 ≤ h ≤ n. Per il Teorema di Sylvester [7, Cap. VIII, pag 165] due matrici D e D⁰ di questo tipo sono congruenti solo se hanno lo stesso numero di componenti uguali a 1.

Come si intuisce dai casi fin qui considerati, la classificazione delle forme bilineari sim-metriche e hermitiane dipende in modo essenziale dal campo K.

6 I gruppi classici

Siano K un campo e n un numero naturale ≥ 1.

(6.1) Definizione Il gruppo delle matrici n × n, a elementi in K, con determinante 6= 0, si dice gruppo generale lineare di rango n su K, e si indica con GLn(K).

Per il Teorema di Binet, l’applicazione

6. I GRUPPI CLASSICI 71

tale che A 7→ det A, è un epimorfismo di gruppi moltiplicativi. Il nucleo di δ è costituito dal gruppo speciale lineare SL_n(K) delle matrici di determinante 1. SLn(K) è quindi un sottogruppo normale di GL_n(K). Inoltre, dal teorema degli omomorfismi segue che

GLn(K)

SL_n(K) ∼ K^∗.

Indichiamo con Z il centro di GLn(K), cio`e l’insieme degli elementi che commutano con tutti gli altri. Esso risulta essere l’insieme delle matrici scalari λI con λ ∈ K^∗.

(6.2) Definizione

• Si dice gruppo proiettivo generale lineare il quoziente GL_n(K)

Z ^{:= PGL}ⁿ(K). • Si dice gruppo proiettivo speciale lineare il quoziente

SL_n(K)

Z ∩ SL_n(K) ^{:= PSL}ⁿ^(K).

Vediamo ora come i gruppi classici possono essere definiti come opportuni sottogruppi di GLn(K)), in relazione a geometrie rispettivamente simplettiche, ortogonali e unitarie. (6.3) Definizione Assegnata una forma bilineare o Hermitiana

(6.4) ( , ) : Kⁿ× Kⁿ→ K, un’ isometria di (6.4) `e un elemento g ∈ GLn(K) tale che

(gv, gw) = (v, w), ∀ v, w ∈ Kⁿ.

(6.5) Lemma L’insieme H delle isometrie della forma (6.4) `e un sottogruppo di GLn(K). Dimostrazione. Da (Iv, Iw) = (v, w) per ogni v, w segue I ∈ H. Se x, y ∈ H allora

((xy)v, (xy)w) = (x(yv), x(yw)) = (xv, xw) = (v, w) , ∀ v, w. Pertanto xy ∈ H. Infine, se x ∈ H, per ogni v, w si ha

(v, w) xx⁻¹v, xx⁻¹w = x−1v, x⁻¹w , ∀ v, w. Pertanto x⁻¹∈ H.

Vediamo ora come si puó caratterizzare H in modo piú esplicito. A tale scopo sia J la matrice di (6.4) rispetto alla base canonica B di Kⁿ. Poichè ogni vettore v ∈ Kⁿcoincide con il proprio vettore coordinate vB, per ogni v, w ∈ Kn si ha:

(v, w) = v^TJ w^σ

dove σ ´e l’automorfismo di K relativo a (6.4). Ne segue che un elemento g di GLn(K) `e una isometria se e solo se

v^TJ w^σ = (gv)^TJ (gw)^σ = v^T(g^TJ g^σ)w^σ, ∀ v, w ∈ Kⁿ

se e solo se (applicando la precedente condizione ai vettori della base canonica): g^TJ g^σ = J.

Pertanto

H :=g ∈ GL_n_{(K) | g}TJ g^σ = J .

(6.6) Lemma Per ogni matrice invertibile P , il coniugato P⁻¹HP `e il gruppo delle isometrie della forma la cui matrice, rispetto alla base canonica, `e

J⁰ = P^TJ P^σ.

Dimostrazione. Per ogni h ∈ H: (P⁻¹hP )TJ⁰(P⁻hP )^σ = J⁰ se e solo se hTJ hσ = J .

(6.7) Osservazione E importante osservare che due gruppi coniugati H e P^` ⁻¹HP sono isomorfi, tramite l’isomorfismo h 7→ P⁻¹hP . Pertanto, se B e B⁰ sono due basi di Kⁿ, e J, J⁰ le corrispondenti matrici di una stessa forma, i relativi gruppi di isometrie sono in generale diversi, ma hanno la stessa struttura, essendo isomorfi.

(6.8) Definizione Il gruppo delle isometrie di uno spazio simplettico si dice gruppo simplettico e si indica con Sp_n(K).

Per quanto visto, uno spazio simplettico ha dimensione pari n = 2` e ammette una base rispetto alla quale il prodotto ha matrice

J = 0 I` −I_` 0 . Pertanto, a meno di coniugio, si pu`o supporre

6. I GRUPPI CLASSICI 73

(6.9) Definizione Supponiamo che K abbia caratteristica diversa da 2. Il gruppo delle isometrie di uno spazio ortogonale su K si dice gruppo ortogonale

In generale, essendoci spazi ortogonali non isometrici, vi sono pi`u gruppi ortogonali. (6.10) Definizione Supponiamo che K abbia un automorfismo σ di periodo 2. Il gruppo delle isometrie di uno spazio hermitiano V , di dimensione n su K, si dice gruppo unitario e si indica con Un(K).

Se V ha una base ortonormale (ad esempio nel caso K = Fq2), a meno di coniugio, si pu`o supporre

Un(K) =g ∈ GL_2`_{(K) | g}Tg^σ = I

Nel documento UNIVERSIT `A CATTOLICA DEL SACRO CUORE Facolt`a di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali APPROFONDIMENTI DI ALGEBRA M. Chiara Tamburini Anno Accademico 2013/2014 (pagine 67-81)