utilizzati per misurare la durata degli impulsi laser ultracorti.
5.2 Frequency-Resolved Optical Gating
Il continuo sviluppo delle tecniche diagnostiche, sfruttando le caratteristiche di quelle precedentemente presentate, diede alla luce una tecnica molto efficace chiamata
Frequency-Resolved Optical Gating (FROG [14,15,16,19]).
FROG è una tecnica che opera in un dominio ibrido tempo-frequenza; quindi le misure richiedono simultaneamente due risoluzioni una temporale e una spettrale.
Vi è un’analogia con lo spartito musicale in cui in funzione del tempo sono indicate le varie note da eseguire con un’opportuna intensità (FIG.27).
FIG.27 Lo spartito musicale indica un’andamento temporale delle frequenze emesse con un’opportuna intensità.
Una versione rigorosa matematicamente, della rappresentazione nel dominio tempo- frequenza, è lo spettrogramma: 𝜺𝒈(𝝎, 𝝉) = |∫ 𝑬(𝒕)𝒈(𝒕 − 𝝉)𝒆−𝒊𝝎𝒕𝒅𝒕 ∞ −∞ | 𝟐 (14)
con 𝒈(𝒕 − 𝝉) funzione ritardata di un tempo 𝝉, che funziona come gate per l’impulso. Una rappresentazione grafica dell’integrando della TF per un impulso E(t) gaussiano
48 FIG.28 Spiegazione grafica dell’integrando della TF.
Lo spettrogramma mostra lo spettro di parti differenti dell’impulso al variare del valore 𝝉.
Lo spettrogramma intuitivamente mette in evidenza la 𝝎𝒊𝒏𝒔𝒕 vs 𝒕 come mostrato in
FIG.29.
FIG.29 Spettrogramma di impulsi Gaussiani linearly chirped usando un gate Gaussiano, simile a uno spartito musicale che mostra l’andamento della frequenza rispetto al tempo.
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FROG sembra che riesca a fornire tutte le informazioni sia spettrali che temporali necessarie per la caratterizzazione di un impulso.
A questo punto si ripropone il problema di quale sia l’impulso di gate più opportuno da utilizzare; in particolare se convenga utilizzare degli impulsi di gate particolarmente corti rispetto alla durata dell’impulso da analizzare.
In realtà si può vedere che utilizzando come gate 𝒈(𝒕 − 𝝉) una delta di Dirac (non disponibile in laboratorio), l’equazione (14) diventa:
𝜺𝒈(𝝎 , 𝝉) = |∫ 𝑬(𝒕)𝜹(𝒕 − 𝝉)𝒆−𝒊𝝎𝒕𝒅𝒕 ∞ −∞ | 𝟐 = |𝑬(𝝉)𝒆−𝒊𝝎𝝉|𝟐 |𝑬(𝝉)|𝟐 = 𝑰(𝝉) (15)
da cui si nota che nella traccia di FROG scompare la dipendenza da 𝝎 e così tutta l’informazione sulla fase. Alla fine ci si accorge che la cosa da fare è utilizzare l’impulso stesso come funzione di gate.
Un altro problema sta nel ricavare le informazioni sull’impulso a partire dallo spettrogramma, operazione che richiede la conoscenza della funzione di gate che è proprio il segnale che si vuole caratterizzare rendendo così tali algoritmi praticamente inutilizzabili.
La soluzione di questo problema consiste nel riscrivere l’integrando della TF del segnale FROG (eq. (16)) come riportato nell’eq. (17):
𝑰𝑭𝑹𝑶𝑮 = |∫ 𝑬𝒔𝒊𝒈(𝒕, 𝝉)𝒆−𝒊𝝎𝒕𝒅𝒕| 𝟐
(16) 𝑬𝒔𝒊𝒈(𝒕, 𝝉) = ∫ 𝑬̅𝒔𝒊𝒈(𝒕, 𝜴)𝒆−𝒊𝝎𝜴𝒅𝜴 (17)
Inserendo nell’equazione (16) l’espressione (17) si avrà: 𝑰𝑭𝑹𝑶𝑮 = |∫ ∫ 𝑬̅𝒔𝒊𝒈(𝒕, 𝜴)𝒆−𝒊𝝎𝜴𝒅𝜴 𝒆−𝒊𝝎𝒕𝒅𝒕|
𝟐
(18)
da cui ricavando 𝑬̅𝒔𝒊𝒈(𝒕, 𝜴), sostituendolo nell’equazione (17) e ponendo 𝝉 = 𝒕 si
riuscira a ricavare E(t).
Osservando l’equazione (18), la situazione sembra addirittura peggiorata rispetto all’ Eq. (16), essendo passati dalla risoluzione di un problema 1D Integral-Inversion a quella di uno 2D Integral-Inversion.
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In realtà il problema che si presenta è della tipolgia 2D Phase-Retrieval problem [11,12,17,20,21], per cui grazie alle caratteristiche proprie del segnale 𝑰𝑭𝑹𝑶𝑮 si può
ottenere l’andamento della sua fase e intensità in maniera quasi univoca.
Avere una misura dell’impulso tramite la traccia di FROG implica quindi risolvere il problema 2D Phase-Retrieval che, al contrario del 1D, è risolvibile poichè fallisce il teorema fondamentale dell’algebra in due dimensioni (la misura rappresentata da un polinomio a due variabili che non può essere fattorizzato completamente).
Il problema 2D Phase-Retrieval ha un’unica soluzione (FIG.30), grazie alle condizioni al contorno assegnate a 𝑬𝒔𝒊𝒈(𝒕), continuando però sempre ad avere alcune ambiguità
relative alla fase assoluta, alle traslazioni temporali e all’inversione temporale.
FIG.30 Tracce FROG di un impulso linearly chirped (sx) ed uno più complesso (dx) (Kohler, Ohio State University).
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Il set-up di FROG (FIG.31) che si basa sulla SHG è semplicemente un autocorrelatore risolto spettralmente,
FIG.31 Set-up FROG SHG.
per cui il segnale è come quello di un AC
𝑬𝒔𝒊𝒈𝑺𝑯𝑮 = 𝑬(𝒕)𝑬(𝒕 − 𝝉)
Risolvere spettralmente quest’emissione di Seconda Armonica equivale a farne la Trasformata di Fourier (TF).
Il segnale SHG FROG (FIG.32) è dunque:
𝑰𝑭𝑹𝑶𝑮𝑺𝑯𝑮 = |∫ 𝑬(𝒕)𝑬(𝒕 − 𝝉)𝒆−𝒊𝒘𝒕𝒅𝒕 ∞ −∞ | 𝟐 (19)
Come si può osservare l’equazione appena scritta rappresenta uno spettrogramma in cui la funzione di gate è proprio l’impulso stesso.
52 FIG.32 Tracce SHG FROG per impulsi molto comuni.
SHG FROG è un metodo molto accurato (FIG. 33).
Fig.33 Uno degli impulsi più corti determinato tramite SHG FROG (Baltuska, Pshenichnikov, and Weirsma,1999 [23]).
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Questa configurazione presenta i seguenti vantaggi:
- sensibilità nelle misure, che consente di ottenere un’accurata caratterizzazione dell’impulso ;
- sufficiente PMB (dipendente da L del cristallo), consente di non alterare l’effettiva larghezza temporale dell’impulso da caratterizzare;
- qualsiasi errore sistematico presente può essere modellato nell’algoritmo (anche se generalmente non necessario);
- determina le caratteristiche dell’impulso, adoperando il dominio temporale per la risoluzione su tempi più lunghi, quello spettrale su tempi più corti;
- presenta un feedback per verificare la convergenza dell’algoritmo utilizzato; - rivela la struttura spettrale fine di un impulso, cosa che non consente un
semplice spettrometro, come si può notare in figura 34
FIG.34 FROG (sx) rivela la struttura spettrale fine che non è evidenziata da uno spettrometro (dx).
Tuttavia FROG presenta anche alcuni limiti:
- SHG FROG presenta delle tracce simmetriche e di conseguenza ambiguità nella direzione temporale. Queste ambiguità potrebbero essere risolte inserendo un vetro prima del BS, in questa maniera si introduce un chirp noto che ha come effetto la produzione di una traccia asimmetrica;
- Non si può stimare la fase relativa se si hanno impulsi doppi;
- Non si riesce a fare una stima della fase assoluta 𝝋𝟎 (primo termine della serie di Taylor della fase spettrale), a causa della presenza del modulo quadro;
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- visto che FROG usa come gate se stesso, non si ha nessuna referenza temporale non misurato il tempo di arrivo, che corrisponde (nel dominio spettrale) a 𝝋𝟏 il
coefficiente al prim’ordine della serie di Taylor della fase spettrale.
Grazie a questa tecnica si arriva ad avere una completa conoscenza dell’impulso iniziale eccetto per alcune ambiguità non rilevanti.
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