Funzioni di Jack nel superspazio

3.3 Funzioni di Jack nel superspazio

In questo paragrafo presentiamo una generalizzazione nel superspazio delle funzioni di Jack: come nel caso classico, si estende il campo dei coecienti Q con un parametro formale 𝛼 e (dopo aver denito una generalizzazione del prodotto scalare denito nel paragrafo precedente) si cerca una base ortogonale che sia unitriangolare rispetto alla base monomiale ordinata con l'ordine di dominanza per le superpartizioni.

Sia dunque 𝐹 = Q(𝛼), con 𝛼 indeterminata, e denotiamo con 𝐴𝐹 l'algebra delle

funzioni simmetriche nel superspazio a coecienti in tale campo, con 𝐴𝐹[𝑛|𝑚]

il sottospazio di quelle omogenee di grado dispari 𝑚 e pari 𝑛. Deniamo ora un prodotto scalare in modo che le superfunzioni simmetriche somme di potenze siano ancora ortogonali fra loro.

Denizione 3.3.1. Indichiamo con hh·, ·ii𝛼 la forma bilineare su 𝐴𝐹 determi-

nata da

hh·, ·ii𝛼 : 𝐴𝐹× 𝐴𝐹→ 𝐹 ; hh𝑝Λ, 𝑝Ωii𝛼 = (−1) (

𝑚

2)𝑧_Λ(𝛼)𝛿_ΛΩ, dove 𝑧Λ(𝛼) = 𝑧Λ𝑠𝛼𝑙(Λ).

Anche in questo caso abbiamo una generalizzazione del criterio per vericare la dualità di due basi.

Lemma 3.3.1. Siano, per ogni 𝑛, 𝑚 ∈ N, {𝑢Λ}Λ∈𝑆 𝑃𝑎𝑟 [𝑛 |𝑚] e {𝑣Λ}Λ∈𝑆 𝑃𝑎𝑟 [𝑛 |𝑚]

due basi di 𝐴[𝑛|𝑚]. Si ha che {𝑢Λ}Λ∈𝑆 𝑃𝑎𝑟 e {𝑣Λ}Λ∈𝑆 𝑃𝑎𝑟 sono basi duali di A se

e solo se Õ Λ∈𝑆 𝑃𝑎𝑟 𝑢_Λ(𝑥, 𝜃)𝑣_Λ(𝑦, Φ) = Ö 𝑖 , 𝑗≥1 (1 − 𝑥𝑖𝑦𝑗− 𝜃𝑖Φ𝑗) −1 𝛼,

dove 𝑥 = (𝑥1, 𝑥₂, . . .), 𝑦 = (𝑦₁, 𝑦₂, . . .) sono insiemi di variabili commutative, 𝜃= (𝜃₁, 𝜃₂, . . .), Φ = (Φ₁,Φ₂, . . .) sono insiemi di variabili anticommutative.

Come nel caso classico, base monomiale e completa non sono più duali ri- spetto a tale prodotto scalare; introduciamo pertanto la "versione super" delle funzioni 𝑔𝛼

𝜆 denite nel capitolo 2.

Denizione 3.3.2. Deniamo le funzioni ˜𝑔𝛼 𝑛, 𝑔

𝛼

𝑛 con 𝑛 ∈ N tramite la funzione

generatrice Õ 𝑛≥0 𝑡𝑛(𝑔𝛼 𝑛(𝑥) + 𝜏 ˜𝑔 𝛼 𝑛(𝑥, 𝜃)) = Ö 𝑖 (1 − 𝑡𝑥𝑖+ 𝜏𝜃𝑖) −1 𝛼,

dove 𝑡 è una variabile commutativa, 𝜏 una variabile anticommutativa. Denia- mo poi {𝑔𝛼

Λ} come la base moltiplicativa denita da tali elementi, cioè poniamo

per ogni superpartizione Λ ∈ 𝑆𝑃𝑎𝑟 [𝑛|𝑚], con 𝑛, 𝑚 interi positivi, 𝑔𝛼 Λ = 𝑚 Ö 𝑖=1 ˜ 𝑔𝛼 Λ𝑖 𝑙(Λ) Ö 𝑖=𝑚+1 𝑔𝛼 Λ𝑖 .

Tali superfunzioni sono a meno di segno le duali di quelle monomiali, come più precisamente enunciato nella proposizione seguente.

Proposizione 3.3.1. Risulta valida la seguente identità: Õ Λ∈𝑆 𝑃𝑎𝑟 (−1) (𝑚2)𝑚_Λ(𝑥, 𝜃)𝑔𝛼 Λ(𝑦, Φ) = Ö 𝑖 , 𝑗≥1 (1 − 𝑥𝑖𝑦𝑗− 𝜃𝑖Φ𝑗) −1 𝛼, pertanto hh𝑚Λ, 𝑔𝛼 Ωii𝛼= (−1) ( 𝑚 2)𝛿_ΛΩ dove, in entrambe le espressioni, m è il grado dispari di Λ.

Deniamo ora una "versione super" dell'endomorsmo 𝜔𝛼di Λ𝐹denito nel

capitolo 2, o equivalentemente una generalizzazione in 𝐴𝐹 dell'endomorsmo ˆ𝜔

di 𝐴 denito nel paragrafo precedente.

Denizione 3.3.3. Per ogni 𝛽 ∈ 𝐹 indichiamo con ˆ𝜔𝛽 l'endomorsmo dell'al-

gebra delle funzioni simmetriche nel superspazio a coecienti in F così denito: ˆ 𝜔𝛽: 𝐴𝐹 → 𝐴𝐹 tale che ˆ 𝜔𝛽( 𝑝𝑛) = (−1) 𝑛−1 𝛽 𝑝𝑛 𝜔ˆ𝛽( ˜𝑝𝑛) = (−1) 𝑛 𝛽𝑝˜𝑛.

In particolare siamo interessati all'endomorsmo ˆ𝜔𝛼, che quindi è denito

da ˆ 𝜔𝛼( 𝑝𝑛) = (−1) 𝑛−1 𝛼 𝑝𝑛 𝜔ˆ𝛼( ˜𝑝𝑛) = (−1) 𝑛 𝛼𝑝˜𝑛.

Poichè ˆ𝜔𝛼 è un endomorsmo di algebre si ha, data Λ ` (𝑛|𝑚),

ˆ

𝜔𝛼( 𝑝Λ) = (−1) 𝑛+𝑚−𝑙 (Λ)

𝛼𝑙(Λ)𝑝_Λ,

ovvero ˆ𝜔𝛼 ammette una base ortogonale di 𝐴𝐹 come autovettori. Come nel

caso classico per 𝜔𝛼, dunque, si ha che ˆ𝜔𝛼 è autoaggiunto rispetto al prodotto

scalare, ovvero

3.3 Funzioni di Jack nel superspazio 87 Analogamente al caso classico, ˆ𝜔𝛼, in generale, non è più un'involuzione (nè

un'isometria) di 𝐴𝐹; in particolare ˆ𝜔 −1

𝛼 =𝜔ˆ𝛼−1. Inoltre l'azione di ˆ𝜔𝛼 sulla base

{𝑔𝛼

Λ}è un'estensione molto naturale di quella di 𝜔𝛼sulle funzioni 𝑔 𝛼 𝜆, in quanto si ha ˆ 𝜔𝛼(𝑔 𝛼 Λ) = 𝑒Λ.

Possiamo ora introdurre l'argomento fondamentale di questo paragrafo, ov- vero le funzioni di Jack nel superspazio, o superfunzioni di Jack (o, per brevità, super-Jack).

Denizione 3.3.4. Le superfunzioni di Jack 𝑃𝛼

Λ sono funzioni simmetriche nel

superspazio denite dalle seguenti proprieta: ˆ 𝑃𝛼

Λ= 𝑚Λ+

Í

Ω<Λ𝑢_ΛΩ𝑚_Ω

dove 𝑢ΛΩ∈ 𝐹 e < indica l'ordine di dominanza sulle superpartizioni,

ˆ hh𝑃𝛼 Λ, 𝑃

𝛼

Ωii𝛼=0 se Λ ≠ Ω.

Ovvero sono superfunzioni unitriangolari rispetto alla base monomiale con l'or- dine di dominanza e ortogonali.

Come nel caso classico, l'esistenza di funzioni che soddisno tali proprietà non è ovvia, perchè l'ordine di dominanza nelle superpartizioni non è lineare. Un modo per provare che le superfunzioni di Jack sono denite per ogni super- partizione è lavorare, similmente a quanto fatto nel caso classico, con 𝑁 variabili e mostrare che i superpolinomi di Jack sono gli autovettori comuni di due ope- ratori di 𝐴𝑁 , 𝐹 e considerare poi il limite in innite variabili; in particolare, si

considerano i seguenti endomorsmi: 𝐷= 𝛼 2 𝑁 Õ 𝑖=1 𝑥2 𝑖 𝜕2 𝜕 𝑥2 𝑖 + Õ 1<𝑖≠ 𝑗 < 𝑁 𝑥𝑖𝑥𝑗 𝑥𝑖− 𝑥𝑗 ( 𝜕 𝜕 𝑥𝑖 −𝜃𝑖− 𝜃𝑗 𝑥𝑖− 𝑥𝑗 𝜕 𝜕 𝜃𝑖 ) Δ = 𝛼 𝑁 Õ 𝑖=1 𝑥𝑖𝜃𝑖 𝜕 𝜕 𝑥𝑖 𝜕 𝜕 𝜃𝑖 + Õ 1<𝑖≠ 𝑗 < 𝑁 𝑥𝑖𝜃𝑗− 𝑥𝑗𝜃𝑖 𝑥𝑖− 𝑥𝑗 𝜕 𝜕 𝜃𝑖 .

I superpolinomi di Jack possono dunque essere caratterizzati nel modo seguente: 𝑃𝛼 Λ= 𝑚Λ+ Õ Ω<Λ 𝑢_ΛΩ𝑚_Ω 𝐷 𝑃𝛼 Λ= 𝜖Λ(𝛼)𝑃 𝛼 Λ e Δ𝑃 𝛼 Λ =𝜖˜Λ(𝛼)𝑃 𝛼 Λ.

Si osservi che, a dierenza del caso classico, tali operatori non hanno tut- ti gli autovalori distinti: può accadere che per due partizioni Ω, Λ si abbia 𝜖_Λ(𝛼) = 𝜖_Ω(𝛼), ˜𝜖_Λ(𝛼) = ˜𝜖_Ω(𝛼); tuttavia si dimostra che in tali casi Λ e Ω non sono confrontabili per l'ordine di dominanza, pertanto il sistema resta univo- camente determinato grazie alla richiesta di unitriangolarità rispetto alla base monomiale con l'ordine di dominanza. Osserviamo che se Λ ∈ 𝑆𝑃𝑎𝑟(0|𝑛), ovvero è una partizione classica, la superfunzione di Jack indicizzata da questa coincide con la funzione di Jack classica.

Presentiamo ora alcune proprietà delle Super-Jack; in particolare, ci soerme- remo su quelle che possono essere considerate le generalizzazioni di quelle enun- ciate nel caso classico.

Osservando che 𝑆𝑃𝑎𝑟(𝑚|𝑛) ammette un minimo, ovvero la partizione Λ𝑚𝑖 𝑛 =

(𝑚 − 1, 𝑚 − 2 . . . , 1, 0; 1𝑛−𝑚(𝑚−₂ 1)_{), possiamo dedurre dall'unitriangolarità delle}

Super-Jack il caso particolare 𝑃_Λ𝛼

𝑚𝑖 𝑛= 𝑚

𝛼 Λ𝑚𝑖 𝑛

e quindi nei casi specici di 𝑆𝑃𝑎𝑟(0|𝑛), 𝑆𝑃𝑎𝑟(1|𝑛) si ha 𝑃_(;1𝑛₎= 𝑚_(;1𝑛₎= 𝑒_𝑛, 𝑃_(0;1𝑛₎= 𝑚_(0;1𝑛₎=𝑒˜𝑛.

Per descrivere la forma quadratica delle superfunzioni di Jack, introduciamo una notazione che generalizza la nozione di "uncini" alle superpartizioni. Denizione 3.3.5. Sia Λ ∈ 𝑆𝑃𝑎𝑟, e consideriamo la sua rappresentazione nella forma (Λ∗_,Λ). Sia 𝑠 una cella quadrata del superdiagramma di Λ; usando le

notazioni della denizione 1.8.2, poniamo ℎ

𝑢 𝑝

Λ (𝛼; 𝑠) = 𝛼(𝑎Λ∗(𝑠) + 1) + 𝑙Λ(𝑠), (3.1)

ℎ𝑙 𝑜 𝑤_Λ (𝛼; 𝑠) = 𝛼𝑎𝜆(𝑠) + 𝑙Λ∗(𝑠) + 1. (3.2)

Ad esempio:

Sia 𝑠 la cella di posto (2, 1) nella superpartizione Λ = (5, 3, 0; 4, 3, 1, 1). Allora gli uncini di 𝑠 relativi alla superpartizione Λ sono:

ℎ

𝑢 𝑝

Λ (𝛼; 𝑠) = 4𝛼 + 5, ℎ 𝑙 𝑜 𝑤

3.3 Funzioni di Jack nel superspazio 89

s

Figura 3.3: Superdiagramma relativo alla superpartizione Λ = (5, 3, 0; 4, 3, 1, 1) con la cella di posto (2, 1) evidenziata da una 𝑠

Introduciamo inoltre la seguente notazione: se Λ ∈ 𝑆𝑃𝑎𝑟, indichiamo con 𝐵Λ è

l'insieme delle celle quadrate del superdiagramma di Λ che non appartengono sia a una riga che a una colonna terminanti con un cerchio.

s s s s s s s

s s s

Figura 3.4: Supedriagramma relativo alla superpartizione Λ = (5, 3, 0; 4, 1) con la celle appartenenti a 𝐵(5,3,0;4,1) evidenziate da una 𝑠

Si ha il seguente risultato:

Proposizione 3.3.2. Indichiamo con 𝑏𝛼

Λ l'inverso della forma quadratica di

𝑃𝛼

Λ a meno di segno, ossia

𝑏𝛼 Λ= (−1) ( 𝑚 2) hh𝑃𝛼 Λ, 𝑃 𝛼 Λii −1 𝛼 ,

dove m è il grado dispari di Λ. Allora si ha 𝑏𝛼 Λ= 𝛼 −𝑚 Ö 𝑠∈𝐵Λ ℎ𝑙 𝑜 𝑤 Λ (𝛼; 𝑠) ℎ 𝑢 𝑝 Λ (𝛼; 𝑠) . Possiamo ora denire la "versione super" della base {𝑄𝛼

𝜆; 𝜆 ∈ 𝑃𝑎𝑟 }esplicita-

mente: per ogni Λ ∈ 𝑆𝑃𝑎𝑟, si pone

che, data l'ortogonalità delle superfunzioni di Jack e la denizione di 𝑏𝛼 Λ, soddisfa hh𝑃𝛼 Λ, 𝑄 𝛼 Ωii𝛼= (−1) ( 𝑚 2)𝛿_ΛΩ.

Vediamo ora come agisce l'endomorsmo ˆ𝜔𝛼 sulle superfunzioni 𝑃 𝛼 Λ.

Proposizione 3.3.3. Sia Λ ∈ 𝑆𝑝𝑎𝑟(𝑛|𝑚). L'endomorsmo ˆ𝜔𝛼 agisce sulla

superfunzione di Jack 𝑃𝛼

Λ nel modo seguente:

ˆ 𝜔𝛼𝑃 𝛼 𝜆 = (−1) ( 𝑚 2)𝑄𝛼 −1 𝜆0 .

Da tale risultato possiamo anche dedurre che 𝑄𝛼 (;𝑟 ) = 𝑔 𝛼 𝑟, 𝑄 𝛼 (𝑟 ;)=𝑔˜ 𝛼 𝑟. Infatti 𝑄𝛼 (;𝑟 ) = 𝜔𝛼−1𝑃 𝛼−1 (;1𝑟₎ = 𝜔𝛼−1𝑒𝑟= 𝑔 𝛼 𝑟, 𝑄𝛼 (𝑟 ;) = 𝜔𝛼−1𝑃 𝛼−1 (0;1𝑟₎= 𝜔𝛼−1𝑒˜𝑟 =𝑔˜ 𝛼 𝑟.

Anche in questo caso, è possibile fornire delle espressioni per il prodotto delle su- perfunzioni di Jack e le funzioni elementari o omogenee della forma ˜𝑒𝑛, 𝑒𝑛, ˜ℎ𝑛, ℎ𝑛,

ovvero delle formule di Pieri per le super-Jack nel caso supersimmetrico; queste tuttavia risultano notevolmente più complesse rispetto al caso classico, in quan- to nei coecienti di tali formule accanto a un fattore lineare, simile a quelli che compaiono nel caso classico, ne occorre uno non lineare, che può essere calcolato come determinante di apposite matrici. Data la complessità di tali espressioni, ci limiteremo a una formulazione elementare delle formule di Pieri, senza calco- lare esplicitamente i coecienti che occorrono. Preliminarmente introduciamo una notazione utile: date Λ, Ω superpartizioni, diciamo che Ω/Λ è un 𝑛-stricia verticale (rispettivamente orizzontale) se sia Ω∗_/Λ∗ _{che Ω/Λ sono 𝑛-stricie}

vertical (rispettivamente orizzontali)i, è un ˜𝑛-stricia verticale (rispettivamen- te orizzontale) se Ω∗_/Λ∗ _{è un 𝑛-stricia verticale (rispettivamente orizzontale)}

mentre Ω/Λ è un (𝑛 + 1)-striscia orizzontale.

Proposizione 3.3.4. Si hanno le seguenti espressioni, note come formule di Pieri per le funzioni di Jack nel superspazio:

𝑒𝑛𝑃 𝛼 Λ= Õ Ω 𝑑_ΛΩ𝛼 𝑃_Ω𝛼, 𝑒˜𝑛𝑃 𝛼 Λ= Õ Ω ˜ 𝑑_ΛΩ𝛼 𝑃_Ω𝛼,

3.3 Funzioni di Jack nel superspazio 91 con 𝑑𝛼

ΛΩ, ˜𝑑 𝛼

ΛΩ∈ 𝐹. In tali formule gli unici coecienti non nulli sono, rispetti-

vamente, i 𝑑𝛼

ΛΩ tali che Λ/Ω è una n-striscia verticale è i ˜𝑑 𝛼

ΛΩ tali che Λ/Ω è

una ˜𝑛-striscia verticale .

Vorremmo ora studiare il comportamento delle superfunzioni di Jack rispet- to alla valutazione costante, che indichiamo con 𝑃𝛼

Λ(1 𝑁

). Tuttavia dobbiamo prima specicare cosa si intende con "valutazione costante" nell'ambiente delle superfunzioni simmetriche; infatti quella che a prima vista può sembrare la de- nizione più naturale, ovvero porre 𝑥1= 𝑥2= · · · = 𝑥𝑁 =1, 𝑥𝑁+1= 𝑥𝑁+2= · · · =0

non darebbe risultati particolarmente interessanti, in quanto nella maggior par- te dei casi il risultato di questa operazione sarebbe banalmente 0 a causa della presenza delle variabili anticommutative. Pertanto per denire l'azione della va- lutazione costante abbiamo bisogno di introdurre alcune notazioni. Sia 𝑓 ∈ 𝐴𝐹,

di grado dispari 𝑚; consideriamo la riduzione ad 𝑁 variabili (ottenuta ponendo 𝑥𝑁+1= 𝜃𝑁+1= 𝑥𝑁+2= 𝜃𝑁+2= · · · =0ed è dunque un superpolinomio simmetrico

in 𝐴𝐹 , 𝑁) che per semplicità indichiamo ancora con 𝑓 . Indichiamo con 𝜌(1...𝑚)

l'operatore che seleziona il coeciente di 𝜃1, . . . , 𝜃𝑚in una superfunzione, ovvero

l'applicazione denita come segue 𝜌_(1...𝑚)(𝜃𝑖₁𝜃𝑖𝑘) =        1 𝑠𝑒 𝑘= 𝑚 ed 𝑖𝑗 = 𝑗 per ogni 𝑗 = 1, . . . , 𝑚, 0 𝑎𝑙 𝑡𝑟 𝑖 𝑚 𝑒𝑛𝑡𝑖 .

Consideriamo ora l'operatore la cui azione si ottiene dividendo il risultato di 𝜌_(1...𝑚) per il determinante di Vandermonde nelle prime 𝑚 variabili, in modo da rimuovere la parte antisimmetrica:

ˆ 𝜌𝑚= 𝜌_(1,...,𝑚) Î 1 ≤𝑖< 𝑗 ≤𝑚(𝑥𝑖− 𝑥𝑗) .

Deniamo dunque la valutazione costante nel modo seguente. Denizione 3.3.6. Sia 𝑓 ∈ 𝐴𝑁 di grado dispari 𝑚. Poniamo

𝑓(1𝑁) = ( ˆ𝜌𝑚𝑓) |𝑥₁=...𝑥𝑁=1.

Ad esempio:

Si vuole calcolare la specializzazione costante di 𝑓 = 𝑚(1,0;1) ∈ 𝐴3[2|2]. Si ha

dunque ˆ 𝜌₂𝑚_(1,0;1)= 𝑥₁𝑥₃− 𝑥₂𝑥₃ 𝑥₁− 𝑥₂ = 𝑥3. In conclusione quindi 𝑚_(1,0;1)(1, 1, 1) = 1.

Introduciamo inoltre la seguente notazione: per Λ superpartizione di grado di- spari 𝑚, indichiamo con 𝑆Λil diagramma di Ferrers "storto" Λ/(𝑚, 𝑚−1, . . . , 1).

Figura 3.5: diagramma relativo ad 𝑆(5,3,0;4,1)

Possiamo nalmente applicare la valutazione costante alle superfunzioni di Jack.

Proposizione 3.3.5. Sia 𝑁 ∈ N, Λ ∈ 𝑆𝑃𝑎𝑟; allora si ha 𝑃𝛼 Λ(1 𝑁 ) = Î 𝑠∈𝑆Λ𝑁+ 𝛼𝑎 0 𝑆Λ(𝑠) − 𝑙 0 𝑆Λ(𝑠) Î 𝑠∈𝐵Λℎ 𝑙 𝑜 𝑤 Λ (𝑠; 𝛼) .

In ultimo, notiamo che si può considerare l'equivalente nel superspazio delle funzioni 𝐽𝛼

𝜆, ottenute dalle funzioni di Jack tramite una moltiplicazione per

scalare. Per ogni Λ ∈ 𝑆𝑃𝑎𝑟 si denisce 𝜈𝛼 Λ = Ö 𝑠∈𝐵Λ ℎ𝑙 𝑜 𝑤 Λ (𝑠; 𝛼) e si pone 𝐽𝛼 Λ = 𝜈 𝛼 Λ𝑃Λ.

Bibliograa

[1] Richard P. Stanley. Enumerative Combinatorics: Volume 2, Cambridge University Press (1999)

[2] Ian G. Macdonald. Symmetric Functions and Hall Polynomials, Oxford University Press (1995)

[3] Ludovic Alarie-Vezina, Olivier Blondeau-Fournier, Patrick Desrosiers, Luc Lapointe, Pierre Mathieu. Symmetric functions in superspace: a compendium of results and open problems (2019)

Un grazie sentito al Professor Caselli non solo per la disponibilità e la gentilezza con cui mi ha seguito nello svolgere questo lavoro, ma anche per l'incoraggiamento e i validi consigli con cui mi ha supportato.

Nel documento Funzioni simmetriche di Jack: una generalizzazione nel superspazio (pagine 88-97)