Funzioni simmetriche nel superspazio

3.2 Funzioni simmetriche nel superspazio

Introduciamo ora l'argomento centrale di questo capitolo, ossia la generaliz- zazione delle funzioni simmetriche tramite l'aggiunta di variabili anticommutati- ve. Per farlo, lavoriamo inizialmente con un numero nito di variabili, denendo i superpolinomi, dopodichè tramite questi deniremo formalmente le funzioni simmetriche nel superspazio.

Denizione 3.2.1. Sia 𝑅 un anello commutativo unitario, sia 𝑥 = (𝑥1, 𝑥₂, . . . , 𝑥𝑁)

un insieme di 𝑁 variabili commutative, 𝜃 = (𝜃1, 𝜃₂, . . . , 𝜃𝑁) un insieme di 𝑁

variabili anticommutative, i.e. 𝜃𝑖𝜃𝑗 = −𝜃𝑗𝜃𝑖; diciamo superpolinomi su 𝑅 i poli-

nomi in queste 2𝑁 variabili (𝑥, 𝜃) e a coecienti in 𝑅 , e indichiamo con 𝑅[𝑥, 𝜃] l'anello dei superpolinomi.

Consideriamo il gruppo simmetrico 𝑆𝑁 agente in modo "diagonale" sui super-

polinomi, ovvero simultaneamente sui due insiemi di variabili: 𝜎∈ 𝑆𝑁 : 𝑥𝑖, 𝜃𝑖 → 𝑥𝜎(𝑖), 𝜃𝜎(𝑖) per 𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑁.

Diciamo superpolinomi simmetrici su 𝑅 quelli invarianti rispetto a tale azione di 𝑆𝑁, ovvero quelli costituenti il sottoanello di 𝑅[𝑥, 𝜃], che indichiamo con 𝐴𝑅 , 𝑁,

ssato da 𝑆𝑁: 𝐴𝑅 , 𝑁 = 𝑅 [𝑥, 𝜃] 𝑆𝑁.

Lo spazio dei superpolinomi simmetrici a coecienti in 𝑅 è, oltre che un anello, un 𝑅-modulo. In questo capitolo, 𝑅 sarà sempre un campo: in parti- colare, inizialmente considereremo 𝑅 = Q, poi 𝑅 = Q(𝛼); in entrambi i casi, comunque, lo spazio dei superpolinomi simmetrici sarà uno spazio vettoriale, e quindi un'algebra. Inoltre 𝐴𝐹 , 𝑁, con 𝐹 campo qualsiasi, è un'algebra graduata:

indicando con 𝐴𝐹 , 𝑁[𝑛|𝑚] il sottospazio dei superpolinomi simmetrici omogenei

di grado 𝑛 nelle variabili 𝑥, 𝑚 nelle variabili 𝜃, possiamo scrivere 𝐴𝐹 , 𝑁 =

Ê

𝑛, 𝑚≥0

𝐴𝐹 , 𝑁[𝑛|𝑚]

e se 𝑓 ∈ 𝐴𝐹 , 𝑁[𝑛1|𝑚1], 𝑔 ∈ 𝐴𝐹 , 𝑁[𝑛2|𝑚2], allora 𝑓 𝑔 ∈ 𝐴𝐹 , 𝑁[𝑛1+ 𝑛2|𝑚1+ 𝑚2].

Osserviamo che per la natura anticommutativa delle variabili 𝜃, si ha che (𝜃𝑖) 𝑘 = 0se 𝑘 ≥ 2 (perchè 𝜃2 𝑖 = −𝜃 2 𝑖, da cui 𝜃 2

𝑖 =0, dunque si annulla anche ogni potenza

di ordine superiore); quindi un superpolinomio simmetrico ha grado 𝑚 nelle variabili 𝜃 se e solo se in ogni suo termine compaiono esattamente 𝑚 variabili anticommutative distinte. Introduciamo ora una prima base dello spazio dei

superpolinomi simmetrici in 𝑁 variabili, che è la "versione super" della base monomiale.

Denizione 3.2.2. Sia Λ ∈ 𝑆𝑃𝑎𝑟(𝑛|𝑚) tale che 𝑙(Λ) ≤ 𝑁. Poniamo 𝑚_Λ= 𝑚_Λ(𝑥, 𝜃) = 1 |𝑆Λ𝑠 𝑁 | Õ 𝜎∈𝑆𝑁 𝜎(𝜃₁. . . 𝜃𝑚𝑥 Λ_), dove |𝑆Λ𝑠

𝑁 | è la cardinalità del sottogruppo di 𝑆𝑁 che ssa Λ

𝑠, mentre 𝑥Λ = 𝑥Λ1 1 𝑥 Λ2 2 . . . 𝑥 Λ𝑁

𝑁 (se 𝑙(Λ) < 𝑁 si può completare Λ

𝑠 con degi zeri in modo che Λ

abbia lunghezza 𝑁). Ad esempio:

sia 𝑁 = 3; come funzioni monomiali in 𝐴3[2|2] si hanno:

𝑚_(1,0;1)= 𝜃₁𝜃₂(𝑥₁𝑥₃− 𝑥₂𝑥₃) + 𝜃₁𝜃₃(𝑥₁𝑥₂− 𝑥₂𝑥₃) + 𝜃₂𝜃₃(𝑥₁𝑥₂− 𝑥₁𝑥₃), 𝑚_(2,0;)= 𝜃₁𝜃₂(𝑥2₁− 𝑥2₂) + 𝜃₁𝜃₃(𝑥₁2− 𝑥2₃) + 𝜃₂𝜃₃(𝑥2₃− 𝑥₂2).

Come nel caso classico, le funzioni monomiali {𝑚Λ; Λ ` (𝑛|𝑚))}sono una base

per 𝐴𝐹 , 𝑁[𝑛|𝑚], perchè se in 𝑓 ∈ 𝐴𝐹 , 𝑁[𝑛|𝑚] compare il monomio 𝜃𝑖₁. . . 𝜃𝑖𝑚𝑥

𝛼,

allora in 𝑓 compaiono (con stesso coeciente) tutti i monomi 𝜎(𝜃𝑖₁. . . 𝜃𝑖𝑚𝑥

𝛼

) con 𝜎 ∈ 𝑆𝑁; in particolare tutte le funzioni {𝑚Λ; Λ ∈ 𝑆𝑃𝑎𝑟 }costituiscono dun-

que una base per 𝐴𝐹 , 𝑁.

Consideriamo ora per ogni 𝑀 > 𝑁 l'omomorsmo 𝑟𝑀 , 𝑁 : 𝐴𝐹 , 𝑀 → 𝐴𝐹 , 𝑁 che agi-

sce come l'identità sugli elementi del campo e sulle variabil 𝑥1, 𝑥₂. . . 𝑥𝑁, 𝜃1, 𝜃2. . . 𝜃𝑁,

mentre annulla le variabili 𝑥𝑁+1, . . . , 𝑥𝑀, 𝜃𝑁+1, . . . , 𝜃𝑀; tramite tale omomor-

smo 𝑚Λ(𝑥1. . . 𝑥𝑀, 𝜃1. . . 𝜃𝑀)ha come immagine 𝑚Λ(𝑥1. . . 𝑥𝑁, 𝜃1. . . 𝜃𝑁)se 𝑙(Λ) ≤

𝑁, 0 altrimenti. La famiglia di algebre (𝐴𝐹 , 𝑁)𝑁∈N con tali morsmi 𝑟𝑀 , 𝑁 :

𝐴𝐹 , 𝑀 → 𝐴𝐹 , 𝑁 costituisce un sistema inverso, pertanto possiamo denire l'al-

gebra delle funzioni simmetriche nel superspazio come il limite inverso di tale sistema:

𝐴𝐹=lim

←−−𝐴𝐹 , 𝑁.

Equivalentemente, poichè gli omomorsmi 𝑟𝑀 , 𝑁 preservano il grado, ovvero è

ben posta la restrizione 𝑟𝑀 , 𝑁 : 𝐴𝐹 , 𝑀[𝑛|𝑚] → 𝐴𝐹 , 𝑁[𝑛|𝑚] per ogni 𝑛, 𝑚 ≥ 0,

possiamo denire lo spazio vettoriale delle funzioni simmetriche omogenee nel superspazio come limite inverso del sistema inverso (𝐴𝐹 , 𝑀[𝑛|𝑚]; 𝑟𝑀 , 𝑁):

𝐴𝐹[𝑛|𝑚] = lim

3.2 Funzioni simmetriche nel superspazio 81 ed 𝐴𝐹 è un'algebra graduata tramite la decomposizione

𝐴𝐹=

Ê

𝑛, 𝑚_≥0

𝐴𝐹[𝑛|𝑚].

Più intuitivamente, dal momento in cui un superpolinomio simmetrico 𝑓 ∈ 𝐴𝐹 . 𝑁

può essere scritto nella base monomiale, il numero di variabili può essere consi- deranto irrilevante in quanto (ammesso che il numero di variabili sia abbastanza grande) la scrittura nella base monomiale non varia rispetto all'incremento di variabili.

Nel seguito di questo paragrafo lavoreremo sul campo Q, e scriveremo 𝐴 in luogo di 𝐴Q, 𝐴[𝑛|𝑚] in luogo di 𝐴Q[𝑛|𝑚]. Presentiamo ora delle "versioni-super"

per le basi moltiplicative (elementare, completa, somma di potenze) presentate nel capitolo precedente. Una base moltiplicativa di 𝐴[𝑛|𝑚] è una base i cui elementi ammettono una scritture del tipo

𝑢_Λ=𝑢˜_Λ

1𝑢˜Λ2. . .𝑢˜Λ𝑚𝑢Λ𝑚+1. . . 𝑢Λ𝑙 con Λ ` (𝑛|𝑚)

dove ˜𝑢𝑖 denota un termine dispari (in cui compationo sia le variabili 𝑥 che

le variabili 𝜃), 𝑢𝑖 denota un termine pari (in cui compaiono solo le variabili

commutative 𝑥).

Denizione 3.2.3. Le generalizzazioni nel superspazio delle funzioni elemen- tari, complete omogenee, somme di potenze sono denite come segue.

ˆ Superfunzioni simmetriche elementari: sia Λ ` (𝑛|𝑚), deniamo la super- funzione simmetrica elementare indicizzata da Λ nel modo seguente:

˜

𝑒𝑛= 𝑚(0;1𝑛₎ 𝑒𝑛= 𝑚(1𝑛₎, 𝑒_Λ=𝑒˜_Λ

1𝑒˜Λ2. . .𝑒˜Λ𝑚𝑒Λ𝑚+1. . . 𝑒Λ𝑙.

ˆ Superfunzioni simmetriche complete omogenee: sia Λ ` (𝑛|𝑚), deniamo la superfunzione simmetrica completa omogenea indicizzata da Λ nel modo seguente; ˜ ℎ𝑛 = Õ Λ`(𝑛 |1) (Λ1+ 1)𝑚Λ ℎ𝑛= Õ 𝜆`(𝑛 |0) 𝑚𝜆, ℎ_Λ= ˜ℎ_Λ 1˜ℎΛ2. . . ˜ℎΛ𝑚ℎΛ𝑚+1. . . ℎΛ𝑙.

ˆ Superfunzioni simmetriche somme di potenze: sia Λ ` (𝑛|𝑚), deniamo la superfunzione simmetrica somma di potenze indicizzata da Λ nel modo seguente; ˜ 𝑝𝑛= Õ 𝑖 𝜃𝑖𝑥 𝑛 𝑖 𝑝𝑛 = Õ 𝑖 𝑥𝑛 𝑖, 𝑝_Λ=𝑝˜_Λ 1𝑝˜Λ2. . .𝑝˜Λ𝑚𝑝Λ𝑚+1. . . 𝑝Λ𝑙. Ad esempio:

sia 𝑁 = 3, consideriamo Λ = (2; 1). Nelle varie basi sopra denite, abbiamo i seguenti elementi indicizzati da tale superpartizione:

ˆ Superfunzione elementare associata a Λ: 𝑒_(2;1) =𝑒˜₂𝑒₁, ovvero, poichè

˜

𝑒₂= 𝑚_(0;1,1)= 𝜃₁𝑥₂𝑥₃+ 𝜃₂𝑥₁𝑥₃+ 𝜃₃𝑥₁𝑥₂ 𝑒₁= 𝑚₁= 𝑥₁+ 𝑥₂+ 𝑥₃,

scritta esplicitamente risulta essere

𝑒_(2,1) = (𝜃₁𝑥₂𝑥₃+ 𝜃₂𝑥₁𝑥₃+ 𝜃₃𝑥₁𝑥₂) (𝑥₁+ 𝑥₂+ 𝑥₃) = 𝜃1(𝑥1𝑥₂𝑥₃+ 𝑥2 2𝑥3+ 𝑥2𝑥2 3) + 𝜃2(𝑥1𝑥₂𝑥₃+ 𝑥2 1𝑥3+ 𝑥1𝑥2 3) + 𝜃3(𝑥1𝑥₂𝑥₃+ 𝑥2 1𝑥2+ 𝑥1𝑥2 2)

ˆ Superfunzione completa omogenea associata a Λ: ℎ_(2;1) = ˜ℎ₂ℎ₁, ovvero, poichè ˜ ℎ₂= 𝑚_0;2+ 𝑚_(0;1,1)+ 2𝑚_(1;1)+ 3𝑚_(2;) = 𝜃₁(𝑥2₂+ 𝑥₃2) + 𝜃₂(𝑥2₁+ 𝑥₃2) + 𝜃₃(𝑥2₁+ 𝑥2₂)+ + 𝜃1𝑥₂𝑥₃+ 𝜃₂𝑥₁𝑥₃+ 𝜃₃𝑥₁𝑥₂+ 2(𝜃₁(𝑥₁𝑥₂+ 𝑥₁𝑥₃) + 𝜃₂(𝑥₁𝑥₂+ 𝑥₂𝑥₃) + 𝜃₃(𝑥₁𝑥₃+ 𝑥₂𝑥₃)) + 3(𝜃₁𝑥2 1+ 𝜃2𝑥2 2+ 𝜃3𝑥2 3) ℎ₁= 𝑚₁= 𝑥₁+ 𝑥₂+ 𝑥₃,

scritta esplicitamente risulta essere

ℎ_(2;1) =𝜃₁(3𝑥2₁+ 𝑥₂2+ 𝑥₃2+ 5𝑥2₁𝑥₂+ 5𝑥₁2𝑥₃+ 3𝑥₁𝑥2₂+ 3𝑥₁𝑥2₃+ 2𝑥2₂𝑥₃+ 2𝑥₂𝑥2₃+ 5𝑥₁𝑥₂𝑥₃) 𝜃₂(𝑥2₁+ 3𝑥₂2+ 𝑥₃2+ 5𝑥₁𝑥2₂+ 5𝑥₂2𝑥₃+ 3𝑥2₁𝑥₂+ 3𝑥₂𝑥2₃+ 2𝑥2₁𝑥₃+ 2𝑥₁𝑥2₃+ 5𝑥₁𝑥₂𝑥₃) 𝜃₃(𝑥2₁+ 𝑥2₂+ 3𝑥₃2+ 5𝑥₂𝑥2₃+ 5𝑥₁𝑥2₃+ 3𝑥2₂𝑥₃+ 3𝑥2₁𝑥₃+ 2𝑥₁𝑥₂2+ 2𝑥2₁𝑥₂+ 5𝑥₁𝑥₂𝑥₃).

3.2 Funzioni simmetriche nel superspazio 83 ˆ Superfunzione somma di potenze associata a Λ:

𝑝_(2;1)= 𝑝˜₂𝑝₁, ovvero, poichè ˜ 𝑝₂= 𝜃₁𝑥2 1+ 𝜃2𝑥2 2+ 𝜃3𝑥2 3 𝑝₁= 𝑥₁+ 𝑥₂+ 𝑥₃, scritta esplicitamente risulta essere

𝑝_(2,1) = 𝜃₁(𝑥3₁+ 𝑥2₁𝑥₂+ 𝑥2₁𝑥₃) + 𝜃₂(𝑥₁𝑥2₂+ 𝑥3₂+ 𝑥2₂𝑥₃) + 𝜃₃(𝑥₁𝑥2₃+ 𝑥₂𝑥₃2+ 𝑥3₃). Deniamo ora un'estensione dell'endomorsmo 𝜔 e del prodotto scalare classico h·, ·i.

Denizione 3.2.4. Indichiamo con ˆ𝜔 l'endomorsmo dell'algebra delle funzio- ni simmetriche nel superspazio così denito:

ˆ

𝜔: 𝐴 → 𝐴 tale che ˆ

𝜔(𝑒𝑛) = ℎ𝑛, 𝜔ˆ( ˜𝑒𝑛) = ˜ℎ𝑛.

Si osservi che poichè ˆ𝜔 è un endomorsmo, quindi in particolare preserva il prodotto, si ha

ˆ

𝜔(𝑒_Λ) = ℎ_Λ per ogni Λ ∈ 𝑆𝑃𝑎𝑟.

Evidentemente ˆ𝜔ristretto alle funzioni simmetriche è l'endomorsmo 𝜔 denito nel caso classico; tale estensione mantiene molte delle proprietà di 𝜔.

Proposizione 3.2.1. L'endomorsmo ˆ𝜔 è un involuzione di 𝐴, i.e ˆ𝜔−1=𝜔ˆ. Proposizione 3.2.2. Le funzioni somme di potenze sono autovettori per l'en- domorsmo ˆ𝜔. In particolare, ˆ 𝜔( 𝑝𝑛) = (−1) 𝑛−1 𝑝𝑛 𝜔ˆ( ˜𝑝𝑛) = (−1) 𝑛 ˜ 𝑝𝑛, e quindi ˆ 𝜔( 𝑝_Λ) = (−1)|Λ |−𝑙 (Λ 𝑠₎ per ogni Λ ∈ 𝑆𝑃𝑎𝑟.

Denizione 3.2.5. Indichiamo con hh·, ·ii la forma bilineare hh·, ·ii : 𝐴 × 𝐴 → Q ; hh𝑚Λ, ℎ_Ωii = (−1) (

𝑚

2)𝛿_ΛΩ, dove m è il grado dispari di Λ.

La forma bilineare così denita è simmetrica ma non è denita positiva; tut- tavia si usa spesso l'espressione prodotto scalare per riferirsi ad essa, in analogia con il caso classico.

Analogamente a quanto accade nel caso classico, possiamo fornire un semplice criterio per vericare la dualità di due basi.

Lemma 3.2.1. Siano, per ogni 𝑛, 𝑚 ∈ N, {𝑢Λ}Λ∈𝑆 𝑃𝑎𝑟 [𝑛 |𝑚] e {𝑣Λ}Λ∈𝑆 𝑃𝑎𝑟 [𝑛 |𝑚]

due basi di 𝐴[𝑛|𝑚]. Si ha che {𝑢Λ}Λ∈𝑆 𝑃𝑎𝑟 e {𝑣Λ}Λ∈𝑆 𝑃𝑎𝑟 sono basi duali di 𝐴 se

e solo se Õ Λ∈𝑆 𝑃𝑎𝑟 𝑢_Λ(𝑥, 𝜃)𝑣_Λ(𝑦, Φ) = Ö 𝑖 , 𝑗≥1 (1 − 𝑥𝑖𝑦𝑗− 𝜃𝑖Φ𝑗) −1 ,

dove 𝑥 = (𝑥1, 𝑥₂, . . .), 𝑦 = (𝑦₁, 𝑦₂, . . .) sono insiemi di variabili commutative, 𝜃= (𝜃₁, 𝜃₂, . . .), Φ = (Φ₁,Φ₂, . . .) sono insiemi di variabili anticommutative.

Tramite tale lemma si arriva a provare il prossimo risultato; per enunciarlo, introduciamo la seguente notazione: sia Λ ∈ 𝑆𝑃𝑎𝑟; poniamo

𝑧_Λ= 𝑧_Λ𝑠 =

Ö

𝑖

𝑖𝑚𝑖_𝑚

𝑖!

dove 𝑚𝑖 indica il numero di componenti di Λ

𝑠 uguali ad 𝑖.

Proposizione 3.2.3. Le superfunzioni simmetriche somme di potenze sono ortogonali rispetto al prodotto scalare hh·, ·ii ; in particolare

hh𝑝Λ, 𝑝_Ωii = (−1) (

𝑚

2)𝑧_Λ𝛿_ΛΩ.

Combinando tale risultato e la proposizione 3.2.2, si ottengono le seguenti proprietà di ˆ𝜔, sfruttando per quanto riguarda il secondo risultato proposto anche il carattere involutivo di ˆ𝜔 (in modo analogo al caso classico).

Proposizione 3.2.4. L'endomorsmo ˆ𝜔è autoaggiunto, ovvero per ogni 𝑓 , 𝑔 ∈ 𝐴 si ha

hh ˆ𝜔( 𝑓 ), 𝑔ii = hh 𝑓 , ˆ𝜔(𝑔)ii.

Corollario 3.2.1. L'endomorsmo ˆ𝜔 è un'isometria, ovvero per ogni 𝑓 , 𝑔 ∈ 𝐴 si ha