Funzioni simmetriche di Jack: una generalizzazione nel superspazio

SCUOLA DI SCIENZE Corso di Laurea in Matematica

FUNZIONI SIMMETRICHE DI JACK:

UNA GENERALIZZAZIONE

NEL SUPERSPAZIO

Relatore:

Chiar.mo Prof.

FABRIZIO CASELLI

Presentata da:

ELENA COLLACCIANI

III Sessione

Anno Accademico 2019/20

Introduzione

L'algebra delle funzioni simmetriche a coecienti in un campo 𝐹 è costi-tuita dalle serie formali in innite (numerabili) variabili invarianti rispetto ad una qualsiasi permutazione delle variabili. In questa tesi presenteremo l'algebra delle funzioni simmetriche a coecienti razionali, in particolare studiando quat-tro basi e un'involuzione abbastanza naturali per tale spazio e inquat-troducendo un prodotto scalare. Ci concentreremo poi su una base meno ovvia dello spazio, la base di Schur, caratterizzata dalle proprietà di ortogonalità e unitriangolarità rispetto alla base monomiale con un particolare ordine e che gode di notevoli proprietà combinatorie. Il secondo capitolo sarà dedicato alla generalizzazione delle funzioni di Schur nell'ambiente delle funzioni simmetriche a coecienti in Q(𝛼) ( con 𝛼 indeterminata), le cosiddette funzioni di Jack, caratterizzate ancora dalle stesse proprietà delle funzioni di Schur; in particolare, il risultato principale proposto sarà proprio l'esistenza e unicità di tale base, dopodichè ver-ranno presentate alcune proprietà delle funzioni di Jack che possono essere viste come generalizzazioni di quelle esibite nel capitolo precedente per le funzioni di Schur. Nel terzo e ultimo capitolo si presenterà un'estensione delle funzioni simmetriche, ovvero le funzioni simmetriche nel superspazio (o superfunzioni simmetriche): serie formali in cui oltre ad innite variabili commutative com-paiono innite variabili anticommutative che siano invarianti rispetto ad una qualsiasi permutazione delle variabili che agisca simultaneamente sulle variabili commutative e su quelle anticommutative. In particolare, si proporrà prima una generalizzazione nel superspazio di quanto visto per l'algebra delle funzioni simmetriche a coecienti in Q, dopodiché si fornirà una prima introduzione alle superfunzioni di Jack.

Introduzione i 1 Funzioni simmetriche classiche 1

1.1 Partizioni e ordinamenti . . . 2

1.2 L'algebra delle funzioni simmetriche . . . 8

1.3 Funzioni simmetriche elementari . . . 12

1.4 Funzioni simmetriche omogenee complete . . . 16

1.5 L'automorsmo 𝜔 . . . 19

1.6 Funzioni simmetriche somme di potenze . . . 22

1.7 Prodotto scalare . . . 27

1.8 Funzioni di Schur . . . 30

2 Funzioni di Jack 53 2.1 Il parametro formale 𝛼 . . . 54

2.2 Funzioni di Jack . . . 60

2.3 Prime proprietà delle funzioni di Jack . . . 68

3 Funzioni simmetriche nel superspazio e superfunzioni di Jack 74 3.1 Superpartizioni . . . 75

3.2 Funzioni simmetriche nel superspazio . . . 79

3.3 Funzioni di Jack nel superspazio . . . 85

Bibliograa 93

Capitolo 1

Funzioni simmetriche

classiche

1.1 Partizioni e ordinamenti

Denizione 1.1.1. Si denisce partizione di un intero non negativo 𝑛 ∈ N una sequenza 𝜆= (𝜆₁, . . . , 𝜆𝑘) ∈ N 𝑘 tale che 1. 𝜆1 ≥ · · · ≥ 𝜆𝑘 2. Í𝑘 𝑖=0𝜆𝑖 = 𝑛 e si scrive 𝜆 ` n oppure |𝜆|=n.

Poichè qualsiasi 𝜆𝑖 =0 è irrilevante, possiamo identicare una partizione 𝜆 con

la sequenza (𝜆1, . . . , 𝜆𝑘,0, 0, . . .).

Si denota con Par(n) l'insieme di tutte le partizioni di 𝑛, dove 𝑃𝑎𝑟(0) con-tiene solo partizione vuota ∅ (ovvero la sequenza (0, 0, · · · ), e con 𝑃𝑎𝑟 l'insieme di tutte le partizioni, ovvero 𝑃𝑎𝑟 = Ð𝑛≥0𝑃𝑎𝑟(𝑛). Indichiamo con 𝑝(𝑛) il numero

di partizioni di 𝑛, ovvero 𝑝(𝑛) = |𝑃𝑎𝑟(𝑛)|, e in particolare 𝑝(0) = 1. Ad esempio:

Par(3)={(3), (2, 1), (1, 1, 1)} dove sono stati sottintesi gli zeri.

Altre notazioni che useremo sono:

ˆ l(𝜆) per indicare la lunghezza di una partizione 𝜆, cioè il numero di elementi di 𝜆 diversi da zero.

ˆ 𝑚𝑘(𝜆)per indicare il numero di elementi di 𝜆 uguali a k.

Osserviamo che una partizione 𝜆 può essere univocamente individuata tramite la scrittura 𝜆 = h1𝑚₁

,2𝑚2, . . .i, cioè esplicitando quante volte ogni naturale compare in tale sequenza.

Un modo utile di visualizzare le partizioni è tramite i cosiddetti diagrammi di Ferrers:

Denizione 1.1.2. Si denisce diagramma di Ferrers di una partizione 𝜆 ` 𝑛 la matrice di n celle giusticata a sinistra con 𝑙(𝜆) righe e avente sull'i-esima riga 𝜆𝑖 celle.

1.1 Partizioni e ordinamenti 3 Esempio:

Figura 1.1: diagramma di Ferrers della partizione 𝜆 = (5, 5, 3, 2, 1, 1) ` 17 Denizione 1.1.3. Sia 𝜆 ∈Par(n). Deniamo partizione coniugata di 𝜆 la partizione 𝜆0_{= (𝜆}0

1, 𝜆 0

2,0, 0, . . . ) in modo tale che il diagramma di Ferrers di 𝜆 0

sia il diagramma di 𝜆 trasposto. Equivalentemente, possiamo denire 𝜆0_tramite

la relazione 𝑚𝑖(𝜆 0_{) = 𝜆} 𝑖− 𝜆𝑖+1. Osserviamo che 𝑙(𝜆0_{) = 𝜆} 1 (e reciprocamente 𝑙(𝜆) = 𝜆₁0). Esempio: Se 𝜆=(5,5,3,2,1,1), allora 𝜆0_{=(6,4,3,2,2).}

Infatti questo si può vedere trasponendo il diagramma di Ferrers:

Figura 1.2: diagramma di Ferrers della partizione 𝜆 = (5, 5, 3, 2, 1, 1)

Figura 1.3: diagramma di Ferrers della partizione 𝜆0_{= (6, 4, 3, 2, 2)}

Altrimenti si può vericare considerando che 𝜆 = h12

,21,31,40,52,60, . . .i e ap-plicando la formula su data.

In seguito sarà utile considerare anche dei riempimenti numerici dei diagram-mi di Ferrers: le cosiddette tabelle di Young.

Denizione 1.1.4. Data 𝜆 partizione di n e 𝛼 composizione debole di n, con n intero positivo, una tabella di Young semistandard (SSYT) di forma 𝜆 e tipo 𝛼 è una matrice 𝑇 = (𝑇𝑖 , 𝑗), 𝑇𝑖 , 𝑗 ∈ N, con 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑙 (𝜆) e 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝜆(𝑖) che abbia

esattamente 𝛼(𝑘) componenti uguali a k, e tale che gli interi sulle righe siano ordinati in modo debolmente crescente e quelli sulle colonne in modo stretta-mente crescente.

Una tabella di questo genere avente tipo 𝛼 = h1𝑛

i prende il nome di tabella standard di Young (SYT).

Esempio:

1 1 2 2 3 5 6

Figura 1.4: Tabella di Young semistandard (SSYT) di forma 𝜆 = (3, 3, 1) e tipo 𝛼= (2, 2, 1, 0, 1, 1).

1 2 3

1 3 2

Figura 1.5: Tabelle di Young standard (SYT) di forma 𝜆 = (2, 1). Per sviluppare la teoria delle funzioni simmetriche, è utile avere delle re-lazioni d'ordine fra partizioni. In particolare rivestono un ruolo signicativo i seguenti ordinamenti:

ˆ Siano 𝜇, 𝜆 ∈ Par. Diciamo che 𝜇 ⊆ 𝜆 se 𝜇𝑖 ≤ 𝜆𝑖 per ogni 𝑖.

Equivalente-mente, 𝜇 ⊆ 𝜆 se il diagramma di Young di 𝜇 è contenuto in quello di 𝜆. Questo è un ordine parziale su tutto l'insieme 𝑃𝑎𝑟.

ˆ Siano 𝜇, 𝜆 ∈ 𝑃𝑎𝑟(𝑛). Diciamo che 𝜇 ≤ 𝜆 se Í𝑘 𝑖=1𝜇𝑖 ≤

Í𝑘

𝑖=1𝜆𝑖 per ogni

𝑘 ≥ 1. Gracamente, 𝜇 ≤ 𝜆 se il diagramma di Young di 𝜇 si ottiene da quello di 𝜆 spostando uno o più quadrati da una riga ad un'altra più in basso. Tale relazione prende il nome di ordine di dominanza (dominance order) ed è un ordine parziale defnito su 𝑃𝑎𝑟(𝑛) per ogni 𝑛 ∈ N.

1.1 Partizioni e ordinamenti 5 ˆ Siano 𝜇, 𝜆 ∈ 𝑃𝑎𝑟(𝑛). Diciamo che 𝜇 𝐿

≤ 𝜆 se 𝜇 = 𝜆 o se esiste un 𝑘 per cui 𝜇𝑖 = 𝜆𝑖 per ogn 𝑖 < 𝑘 e 𝜇𝑘 < 𝜆𝑘. Tale relazione si dice ordine lessicograco

ed è un ordine lineare su 𝑃𝑎𝑟(𝑛) che estende l'ordine di dominanza. Ad esempio:

Per Par(6), possiamo ragurare l'ordine di dominanza nel seguente modo (Fi-gura 1.6):

Figura 1.6: Diagaramma di Hasse rappresentante l'oridine di dominanza per Par(6) (in cui ogni partizione è identicata con il proprio diagramma di Young), dove le linee indicano che la partizione a sinistra è coperta da quella a destra mentre l'ordine lessicograco è dato da

(6) >𝐿 (5, 1) 𝐿 >(4, 2) 𝐿 >(4, 1, 1) 𝐿 >(3, 3 𝐿 >(3, 2, 1) 𝐿 >(3, 1, 1, 1) 𝐿 >(2, 2, 2) 𝐿 >(2, 2, 1, 1) 𝐿 >(2, 1, 1, 1, 1) 𝐿 >(1, 1, 1, 1, 1, 1)

che infatti è un ordine lineare che estende quello di dominanza (ad esempio (4,1,1) e (3,3) non sono confrontabili con l'ordine di dominanza)

Proposizione 1.1.1. Siano 𝜇,𝜆 ∈Par(n). Si ha 𝜇 ≤ 𝜆 se e solo se 𝜇0_{≥ 𝜆}0

Dimostrazione. Vista la simmetria dell'aermazione, è suciente provare un'im-plicazione. Proviamo la contronominale. Supponiamo che 𝜇0

che esiste un 𝑖 ≥ 1 tale che 𝑘 Õ 𝑗=1 𝜇0 𝑗 ≥ 𝑘 Õ 𝑗=1 𝜆0 𝑗 per ogni 1 ≤ 𝑘 ≤ (𝑖 − 1), 𝑖 Õ 𝑗=1 𝜇0 𝑗 < 𝑖 Õ 𝑗=1 𝜆0 𝑗.

Da quest'ultima disuguaglianza segue che 𝜇0 𝑖 < 𝜆 0 𝑖, e che Í 𝑙( 𝜇0) 𝑗=𝑖+1𝜇 0 𝑗 > Í𝑙(𝜆0) 𝑗=𝑖+1𝜆 0 𝑗.

Osserviamo che poichè 𝜇0

𝑗 è il numero di celle nella j-esima colonna del

diagram-ma di 𝜇, Í𝑙( 𝜇0) 𝑗=𝑖+1𝜇

0

𝑗 è il numero di celle nelle colonne più a destra della i-esima.

Poichè le partizioni sono decrescenti, 𝜇0 𝑖 ≥ 𝜇

0

𝑘 per ogni 𝑘 ≥ 𝑖 pertanto le celle

oltre l'i-esima colonna nel diagramma di 𝜇 si trovano tutte nelle prime 𝜇0 𝑖

ri-ghe, e in ognuna di esse ve ne sono esattamente 𝜇𝑗− 𝑖. Pertanto, contandole

rispettivamente per righe e per colonne, si ottiene

𝑙( 𝜇0) Õ 𝑗=𝑖+1 𝜇0 𝑗 = 𝜇0 𝑖 Õ 𝑗=1 𝜇𝑗− 𝑖 analogamente per 𝜆0_{si ha} 𝑙(𝜆0) Õ 𝑗=𝑖+1 𝜆0 𝑗 = 𝜆0 𝑖 Õ 𝑗=1 𝜆𝑗− 𝑖 e dunque si ha 𝜇0 𝑖 Õ 𝑗=1 𝜇𝑗 − 𝑖 > 𝜆0 𝑖 Õ 𝑗=1 𝜆𝑗 − 𝑖 da cui, poichè 𝜇0 𝑖 < 𝜆 0

𝑖 e 𝜆𝑗− 𝑖 ≥ 0(per monotonia decrescente delle partizioni,

in quanto 𝑗 ≤ 𝜆0 𝑖) si ha 𝜇0 𝑖 Õ 𝑗=1 𝜇𝑗− 𝑖 > 𝜇0 𝑖 Õ 𝑗=1 𝜆𝑗− 𝑖. Segue che 𝜇0 𝑖 Õ 𝑗=1 𝜇𝑗 > 𝜇0 𝑖 Õ 𝑗=1 𝜆𝑗 e quindi che 𝜇  𝜆.  Introduciamo inoltre una generalizzazione delle tabelle di Young che sarà utile in seguito:

1.1 Partizioni e ordinamenti 7 "storta" (skew) di forma 𝜆/𝜇 come una matrice T=(𝑇𝑖 , 𝑗), 𝑇𝑖 , 𝑗 ∈ N, , con 1 ≤

𝑖≤ 𝑙 (𝜆)e 𝜇(𝑖) ≤ 𝑗 ≤ 𝜆(𝑖), in cui le righe sono debolmente crescenti e le colonne strettamente crescenti. Esempio: 3 4 2 2 5 3 1 4

1.2 L'algebra delle funzioni simmetriche

Denizione 1.2.1. Sia 𝑥 = (𝑥1, 𝑥₂, . . .)un insieme di indeterminate, sia 𝑛 ∈ N. Una funzione simmetrica di grado 𝑛 su un anello commutativo unitario R è una serie formale di potenze

𝑓(𝑥) = Õ 𝛼 𝑐𝛼𝑥 𝛼 dove

ˆ 𝛼 = (𝛼1, 𝛼₂, . . .) è una composizone debole di 𝑛 (sequenza di interi non negativi la cui somma è 𝑛)

ˆ 𝑐𝛼 ∈ 𝑅

ˆ 𝑥𝛼 è il monomio 𝑥𝛼₁ 1 𝑥

𝛼₂ 2 · · ·

tale che per ogni 𝜎 permutazione degli interi positivi, si ha 𝑓(𝑥₁, 𝑥₂, . . .) = 𝑓 (𝑥𝜎(1), 𝑥𝜎(2), . . .)

Denotiamo con Λ𝑛

R l'insieme delle funzioni omogenee simmetriche di grado

𝑛 a coecienti in 𝑅. Una combinazione lineare a coecienti in 𝑅 di funzioni omogenee simmetriche di grado 𝑛 è ancora una funzione omogenea simmetrica di grado 𝑛, quindi Λ𝑛

𝑅è un 𝑅-modulo. In questo capitolo considereremo 𝑅 = Q,

e ci limiteremo a scrivere Λ𝑛 per Λ𝑛

Q ; in particolare poichè Q è un campo Λ 𝑛 è

un Q-spazio vettoriale. Deniamo inoltre

Λ = Λ0⊕ Λ1⊕ · · ·

i cui elementi sono dunque somme nite di funzioni simmetriche omogenee (quin-di in ognuno (quin-di essi compare solo un numero nito (quin-di gra(quin-di). Tale spazio è chiuso rispetto al prodotto di serie formali, poichè se 𝑓𝑛 ∈ Λ

𝑛 e 𝑓 𝑚∈ Λ

𝑚 allora

𝑓𝑛𝑓𝑚 ∈ Λ

𝑛+𝑚_{, pertanto Λ ha anche una struttura di Q-algebra. Notiamo che Λ}

è un'algebra commutativa e unitaria, oltre ad essere un'algebra graduata me-diante la sua decomposizione come somma diretta dei Λ𝑛.

Poichè Λ e Λ𝑛 hanno una struttura di spazio vettoriale, è naturale cercare

come prima cosa di identicare delle basi.

1.2 L'algebra delle funzioni simmetriche 9 Denizione 1.2.2. Deniamo la funzione simmetrica monomiale 𝑚𝜆(𝑥) ∈ Λ

𝑛,

con 𝜆 = (𝜆1, 𝜆₂, . . .) `n, nel modo seguente: 𝑚𝜆(𝑥) =

Õ

𝛼

𝑥𝛼

dove 𝛼 = (𝛼1, 𝛼₂, . . .) varia fra tutte le possibili permutazioni del vettore 𝜆 = (𝜆1, 𝜆₂, . . .).

Per esempio, come funzioni monomiali in Λ0_,Λ1_,Λ2 _abbiamo:

𝑚_∅ =1, 𝑚₁= Õ 𝑖 𝑥𝑖, 𝑚₂= Õ 𝑖 𝑥2 𝑖, 𝑚₁₁= Õ 𝑖 < 𝑗 𝑥𝑖𝑥𝑗.

Poichè se in 𝑓 ∈ Λ𝑛 appare un monomio 𝑥𝛼 allora devono comparire in

𝑓 anche tutte le sue permutazioni con stesso coeciente, risulta evidente che {𝑚𝜆|𝜆 ` 𝑛} è una base per Λ

𝑛. Da qui segue che

𝑑𝑖 𝑚Λ𝑛= 𝑝 (𝑛). Inoltre, l'insieme {𝑚𝜆|𝜆 ∈ 𝑃𝑎𝑟 } è una base per Λ.

Nelle prossime sezioni verranno presentate altre basi dello spazio delle fun-zioni simmetriche classiche. Vedremo che varie di queste basi {𝑢𝜆|𝜆 ∈ 𝑃𝑎𝑟 }

avranno elementi scriitti nella forma

𝑢𝜆= 𝑢𝜆₁𝑢𝜆₂. . . .

Ogni volta che una base ha una scrittura del genere, diremo che è una base moltiplicativa. Se {𝑢𝜆|𝜆 ∈ 𝑃𝑎𝑟 }è una base moltiplicativa, risultano equivalenti

i seguenti fatti:

ˆ {𝑢𝜆|𝜆 ∈ 𝑃𝑎𝑟 }è una base di Λ come spazio vettoriale

ˆ {𝑢𝑛|𝑛 ∈ N} è un insieme di generatori di Λ come Q-algebra algebricamente

Nello studio delle funzioni simmetriche, a volte è utile ridursi a un numero nito di variabili, o sostituire (quando ciò ha senso) alle indeterminate degli elementi di Q. Operazioni di questo tipo prendono il nome di specializzazioni. Piu precisamente,

Denizione 1.2.3. Una specializzazione è un omorsmo di anelli (unitario) dall'anello delle funzioni simmetriche Λ ad una Q-algebra commutativa e uni-taria.

Esempi importanti di specializzazione sono:

ˆ la riduzione del numero di variabili: Sia Λ𝑛 = (Q(𝑥1, 𝑥₂. . . 𝑥𝑛)

𝑆(𝑛), ovvero

l'algebra dei polinomi simmetrici a coecienti in Q in 𝑛 variabili (ovvero i polinomi in 𝑛 variabili invarianti rispetto a permutazioni di variabili: 𝑆𝑛

agisce sui polinomi in modo che 𝜎(𝑝(𝑥1, 𝑥₂. . . 𝑥𝑛)) = 𝑝 (𝑥𝜎(1), 𝑥𝜎(2). . . 𝑥𝜎(𝑛)).

Deniamo

𝑟𝑛: Λ → Λ𝑛 ; 𝑟𝑛( 𝑓 ) = 𝑓 (𝑥1, 𝑥₂. . . 𝑥𝑛,0, 0 . . . )

ovvero manda in 0 tutte le variabili 𝑥𝑖 con 𝑖 > 𝑛

Osservazione 1.2.1. Si ha che 𝑟𝑛(𝑚𝜆) ≠ 0se e solo se 𝑙(𝜆) ≤ 𝑛.

Inoltre {𝑚𝜆; 𝑙 (𝜆) ≤ 𝑛} è una base di Λ𝑛

Dimostrazione. Dalla denizione della base monomiale e di 𝑟𝑛 segue che

𝑟𝑛(𝑚𝜆) =

Í

𝛼𝑐𝛼𝑥

𝛼 dove 𝛼 = (𝛼

1, 𝛼₂, . . .) varia fra le permutazioni del vettore 𝜆 = (𝜆1, 𝜆₂, . . .) tali che 𝛼𝑖 = 0 se 𝑖 > 𝑛 (perchè in un

qualsia-si monomio di 𝑚𝜆 avente come esponente una permutazione 𝛼 che non

soddis tale proprietà compare almeno un 𝑥𝑖 con 𝑖 > 𝑛, e dunque tale

monomio scompare sotto l'azione di 𝑟𝑛), e una permutazione che soddisfa

tali proprietà esiste se e solo se 𝑙(𝜆) ≤ 𝑛, perchè permutare le componenti non cambia il numero di elementi non nulli di un vettore. Inoltre questa è ancora una base per Λ𝑛, perchè se 𝑓 ∈ Λ𝑛 per ogni monomio che

com-pare in f devono comparire anche tutte le sue permutazioni possibili in n

variabili. 

ˆ sostituzione: diciamo sostituzione di 𝑥𝑖 con 𝑎𝑖 la specializzazione

ottenu-ta sostituendo ad ogni indeterminaottenu-ta 𝑥𝑖 un elemento 𝑎𝑖 della Q-algebra

1.2 L'algebra delle funzioni simmetriche 11 formalmente ben denita: non ha senso, ad esempio, sostituire ogni inde-terminata con 1 in una funzione simmetrica monomiale).

Un esempio interessante è la specializzazione principale: 𝑝 𝑠𝑛: Λ → Q[𝑞]

tale che 𝑝𝑠𝑛( 𝑓 ) = 𝑓 (1, 𝑞, 𝑞 2_{. . . 𝑞}𝑛

,0, 0, . . . ).

In particolare, si può considerare una specializzazione ulteriore di tale omomorsmo ponendo q=1, ottenendo dunque

𝑝 𝑠1_𝑛: Λ → Q tale che 𝑝𝑠𝑛( 𝑓 ) = 𝑓 (1

𝑛

,0, 0, . . . ). A volte ci riferiremo a tale specializza-zione 𝑝𝑠1

1.3 Funzioni simmetriche elementari

Denizione 1.3.1. Deniamo la funzione simmetrica elementare 𝑒𝜆, 𝜆 = (𝜆1, 𝜆2, . . .) ∈

𝑃𝑎𝑟 nel modo seguente: 𝑒𝑛= 𝑚1𝑛 =

Õ

𝑖₁<···<𝑖𝑛

𝑥𝑖₁· · · 𝑥𝑖𝑛, 𝑛 ≥ 1 (con 𝑒0= 𝑚∅ =1) (1.1)

𝑒𝜆= 𝑒𝜆₁𝑒𝜆₂· · · (1.2)

Per esempio, come funzioni elementari in Λ0_,Λ1_,Λ2 _abbiamo:

𝑒₀= 𝑚_∅=1, 𝑒₁= 𝑚₁= Õ 𝑖 𝑥𝑖, 𝑒₂= 𝑚₁₁= Õ 𝑖 < 𝑗 𝑥𝑖𝑥𝑗, 𝑒₁₁= 𝑒₁𝑒₁= ( Õ 𝑖 𝑥𝑖) ( Õ 𝑗 𝑥𝑗) = Õ 𝑖 , 𝑗 𝑥𝑖𝑥𝑗 = Õ 𝑖 𝑥2 𝑖 + Õ 𝑖 < 𝑗 2𝑥𝑖𝑥𝑗 = 𝑚2+ 2𝑚11.

Introduciamo ora delle notazioni che risulteranno utili in seguito. Se 𝐴 = (𝑎𝑖 𝑗)𝑖 , 𝑗≥1 è una matrice di interi con un numero nito di elementi diversi da

zero,usiamo le seguenti notazloni per indicare la somma degli elementi rispetti-vamente sulla 𝑖-esima riga e sulla 𝑗-esima colonna

𝑟𝑖 = Õ 𝑗 𝑎𝑖 𝑗 𝑐𝑗 = Õ 𝑖 𝑎𝑖 𝑗.

Indichiamo con 𝑅𝑜𝑤(𝐴) il vettore avente come componenti le somme degli ele-menti su ogni riga, con 𝐶𝑜𝑙(𝐴) il vettore avente come componenti le somme degli elementi su ogni colonna:

𝑅𝑜𝑤( 𝐴) = (𝑟₁, 𝑟₂, . . .) 𝐶 𝑜𝑙( 𝐴) = (𝑐₁, 𝑐₂, . . .).

Se gli elementi della matrice sono tutti 0 o 1, diciamo che A è una (0,1)-matrice. Proposizione 1.3.1. Sia 𝜆 `n, e sia 𝛼 = (𝛼1, 𝛼₂, . . .) una composizione debole di 𝑛. Allora il coeciente 𝑀𝜆 𝛼 di 𝑥

𝛼 in 𝑒

1.3 Funzioni simmetriche elementari 13 𝛼 è permutazione, il coeciente di 𝑚𝜇 in 𝑒𝜆 = Õ 𝜇`𝑛 𝑀𝜆 𝜇𝑚𝜇

è uguale al numero di (0,1)-matrici 𝐴 = (𝑎𝑖 𝑗)𝑖 , 𝑗≥1 tali che 𝑅𝑜𝑤(𝐴) = 𝜆 e

𝐶 𝑜𝑙( 𝐴) = 𝜇.

Dimostrazione. Consideriamo la matrice

𝑋= © ­ ­ ­ « 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑥₃ . . . 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑥₃ . . . . . . . . . . . . ª ® ® ® ¬

Per ottenere un monomio di 𝑒𝜆 = 𝑒𝜆₁𝑒𝜆₂. . . si devono scegliere 𝜆1elementi dalla

prima riga (che corrispodono al termine di 𝑒𝜆₁ scelto), 𝜆2elementi dalla seconda

riga, ecc. In particolare, sia il prodotto degli elementi scelti 𝑥𝛼; questo vuol dire

che ogni 𝑥𝑖 è stato scelto 𝛼𝑖 volte. Dunque se si convertono in 1 gli elementi

di 𝑋 scelti e in 0 gli altri, si ottiene una (0,1)-matrice 𝐴 con 𝑅𝑜𝑤(𝐴) = 𝜆 e 𝐶 𝑜𝑙( 𝐴) = 𝛼. Vi è dunque una corrispondenza biunivoca fra prodotti di termini in 𝑒𝜆 che abbiano come risultato 𝑥

𝛼 e (0,1)-matrici 𝐴 tali che 𝑅𝑜𝑤(𝐴) = 𝜆 e

𝐶 𝑜𝑙( 𝐴) = 𝛼, da cui la tesi.  Corollario 1.3.1. Nelle notazioni della proposizione precedente, si ha 𝑀𝜆 𝜇 =

𝑀𝜇𝜆.

Dimostrazione. Dalla proposizione precedente, 𝑀𝜆 𝜇è uguale al numero di

(0,1)-matrici 𝐴 tali che 𝑅𝑜𝑤(𝐴) = 𝜆, 𝐶𝑜𝑙(𝐴) = 𝜇. Ma se 𝐴 soddisfa tali condizioni, allora 𝐴𝑡 soddisfa 𝑅𝑜𝑤(𝐴𝑡

) = 𝜇, 𝐶𝑜𝑙(𝐴𝑡

) = 𝜆, ovvero la trasposizione è una biezione tra un insieme di cardinalità 𝑀𝜆 𝜇 e uno di cardinalità 𝑀𝜇𝜆. 

Diamo ora una riformulazione della Proposizione 1.3.1 in termini di funzioni generatrici. Si ha il seguente risultato:

Proposizione 1.3.2. Si ha Ö 𝑖 , 𝑗 (1 + 𝑥𝑖𝑦𝑗) = Õ 𝜆, 𝜇 𝑀𝜆 𝜇𝑚𝜆(𝑥)𝑚𝜇(𝑦) = Õ 𝜆 𝑚𝜆(𝑥)𝑒𝜆(𝑦) Dimostrazione. Un monomio 𝑥𝛼 𝑦𝛽 = 𝑥𝛼1 1 𝑥 𝛼₂ 2 . . . 𝑦 𝛽₁ 1 𝑦 𝛽₂

2 nell'espansione del

Î

𝑖 , 𝑗(𝑥𝑖𝑦𝑗)

𝑎𝑖 , 𝑗 = 𝑥𝛼_𝑦𝛽 , dove dunque le entrate 𝑎

𝑖 , 𝑗 = 1 di 𝐴 corrispondono

ai fattori in cui si è scelto 𝑥𝑖𝑦𝑗, le altre (quelle uguali a 0) corrispondono ai

fattori in cui si è scelto 1. Tuttavia si ha Î𝑖 , 𝑗(𝑥 𝑖

𝑦𝑗)𝑎𝑖 , 𝑗=𝑥𝑅𝑜 𝑤( 𝐴)

𝑦𝐶 𝑜𝑙( 𝐴), dunque il coeciente di 𝑥𝛼

𝑦𝛽in Î_{𝑖 , 𝑗}(1 + 𝑥𝑖𝑦𝑗)è uguale al numero di (0,1)-matrici 𝐴 che

soddisno 𝑅𝑜𝑤(𝐴) = 𝛼 e 𝐶𝑜𝑙(𝐴) = 𝛽. Dunque poichè 𝑀𝜆 𝜇 è proprio il il numero

di (0,1)-matrici 𝐴 che soddisno 𝑅𝑜𝑤(𝐴) = 𝜆 e 𝐶𝑜𝑙(𝐴) = 𝜇, la prima uguaglian-za è provata. La seconda uguaglianuguaglian-za è una conseguenuguaglian-za della Proposizione

1.3.1. 

Il particolare interesse che stiamo dedicando alle funzioni simmetriche ele-mentari è dovuto al fatto che {𝑒𝜆; 𝜆 ` 𝑛} costituisce una base di Λ

𝑛, come

mostrato nel prossimo teorema, che è conosciuto come "Teorema fondamentale delle funzioni simmetriche".

Teorema 1.3.2. Siano 𝜆, 𝜇 ` 𝑛. Se 𝑀𝜆 𝜇≠0, allora 𝜇 ≤ 𝜆

0_{, e si ha 𝑀} 𝜆𝜆0=1.

Da ciò segue che {𝑒𝜆|𝜆 ` 𝑛} è una base di Λ

𝑛 e quindi {𝑒

𝜆|𝜆 ∈ 𝑃𝑎𝑟 } è una base

di Λ. Equivalentemente, {𝑒𝑛|𝑛 ∈ N} è un insieme di generatori di Λ (come

Q-algebra) algebricamente indipendenti.

Dimostrazione. Sia 𝑀𝜆 𝜇≠0. Allora esiste una (0, 1)-matrice 𝐴 con 𝑅𝑜𝑤(𝐴) = 𝜆

e 𝐶𝑜𝑙(𝐴) = 𝜇. Si consideri ora 𝐴0 _{= (𝑎}0

𝑖 𝑗)1 ≤𝑖, 𝑗 la matrice con Row(A')=𝜆 e

gli 1 giusticati a sinistra, ovvero 𝑎0

𝑖 𝑗 = 1 se e solo se 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝜆𝑖.

Conside-rando gli (𝑎0

𝑖 𝑗) uguali ad 1, si ottiene il diagramma di Ferrers di 𝜆 , per cui si

ha che 𝐶𝑜𝑙(𝐴0_{) = 𝜆}0_{. Inoltre dalla costruzione di 𝐴}0 _{si ha che Í}𝑘

𝑖=1𝐶 𝑜𝑙( 𝐴)𝑖 ≤

Í𝑘

𝑖=1𝐶 𝑜𝑙( 𝐴 0₎

𝑖, ovvero (per la denizione di ordine di dominanza) 𝜇 = 𝐶𝑜𝑙(𝐴) ≤

𝐶 𝑜𝑙( 𝐴0) = 𝜆0. Abbiamo dunque provato che se 𝑀𝜆 𝜇 ≠ 0, allora 𝜇 ≤ 𝜆 0_{, che è}

equivalente a quanto enunciato nel teorema. Inoltre 𝐴0 _{è l'unica (0,1) matrice}

tale che 𝑅𝑜𝑤(𝐴0_{) = 𝜆e 𝐶𝑜𝑙(𝐴}0_{) = 𝜆}0_{, pertanto 𝑀} 𝜆𝜆0=1.

Da questo risultato possiamo provare che {𝑒𝜆|𝜆 ` 𝑛}è una base di Λ

𝑛.

Conside-riamo 𝑃𝑎𝑟(𝑛) = 𝜆1

, 𝜆2, . . . , 𝜆𝑝(𝑛) ordinato secondo una relazione che sia compa-tibile con l'ordine di dominanza (ovvero tale che 𝜆𝑖

≤ 𝜆𝑗, dove ≤ indica l'ordine

di dominanza, se 𝑖 ≤ 𝑗), ad esempio l'ordine lessicograco; per la Proposizione 1.1.1, si ha che considerando l'ordine inverso sulle partizioni coniugate anch'es-so risulta compatibile con l'ordine di dominanza ( ovvero (𝜆𝑖

)0≤ (𝜆𝑗

)0, dove ≤ indica l'ordine di dominanza, se 𝑗 ≤ 𝑖) . Allora la matrice 𝑀 = (𝑀𝜆 𝜇), con gli

elementi ordinati in modo che 𝑀𝑖 𝑗 = 𝑀𝜆𝑖_(𝜆𝑗₎0(ovvero con ordine 𝜆1, 𝜆2, . . . , 𝜆𝑝(𝑛) sulle righe, ordine (𝜆1₎0

1.3 Funzioni simmetriche elementari 15 sulla diagonale principale, pertanto è invertibile. Poichè questa è la matrice di cambiamento di base dalle funzioni elementari a quelle monomiali, segue la

tesi. 

Osservazione 1.3.1. Si ha che 𝑟𝑛(𝑒𝜆) ≠ 0 se e solo se 𝑙(𝜆 0_{) ≤ 𝑛.}

Inoltre {𝑟𝑛(𝑒𝜆); 𝑙 (𝜆

0_{) ≤ 𝑛}è una base di Λ} 𝑛.

Dimostrazione. Conseguenza diretta delle proprietà triangolari della matrice di cambiamento di base , ricordando {𝑟𝑛(𝑚𝜆); 𝑙 (𝜆) ≤ 𝑛} è una base di Λ𝑛

1.4 Funzioni simmetriche omogenee complete

Denizione 1.4.1. Deniamo la funzione omogenea completa ℎ𝜆, 𝜆 = (𝜆1, 𝜆2, . . .) ∈

𝑃𝑎𝑟 nel modo seguente: ℎ𝑛= Õ 𝜆`𝑛 𝑚𝜆= Õ 𝑖₁≤ ··· ≤𝑖𝑛 𝑥𝑖₁· · · 𝑥𝑖𝑛, 𝑛 ≥ 1 (con ℎ0= 𝑚∅=1) (1.3) ℎ𝜆= ℎ𝜆₁ℎ𝜆₂· · · (1.4)

Per esempio, come funzioni complete in Λ0_,Λ1_,Λ2_{rispettivamente abbiamo:}

ℎ₀= 𝑚_∅ =1, ℎ₁= 𝑚₁= Õ 𝑖 𝑥𝑖, ℎ₂= 𝑚₂+ 𝑚₁₁= Õ 𝑖 𝑥2 𝑖 + Õ 𝑖 < 𝑗 𝑥𝑖𝑥𝑗, ℎ₁₁= ℎ₁ℎ₁= ( Õ 𝑖 𝑥𝑖) ( Õ 𝑗 𝑥𝑗) = Õ 𝑖 , 𝑗 𝑥𝑖𝑥𝑗 = Õ 𝑖 𝑥2 𝑖 + Õ 𝑖 < 𝑗 2𝑥𝑖𝑥𝑗 = 𝑚2+ 2𝑚11.

Proposizione 1.4.1. Sia 𝜆 ` 𝑛, e sia 𝛼 = (𝛼1, 𝛼₂, . . .) una composizione debole di n. Allora il coeciente 𝑁𝜆 𝛼 di 𝑥

𝛼 in ℎ

𝜆, ovvero, detta 𝜇 la partizione di cui

𝛼 è permutazione, il coeciente di 𝑚𝜇 in

ℎ𝜆=

Õ

𝜇`𝑛

𝑁𝜆 𝜇𝑚𝜇

è uguale al numero di N-matrici innite 𝐴 = (𝑎𝑖 𝑗)𝑖 , 𝑗≥1 tali che 𝑅𝑜𝑤(𝐴) = 𝜆 e

𝐶 𝑜𝑙( 𝐴) = 𝜇.

Dimostrazione. La prova è molto simile a quella della Proposizione 1.3.1. Con-sideriamo la matrice 𝑋= © ­ ­ ­ « 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑥₃ . . . 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑥₃ . . . . . . . . . . . . ª ® ® ® ¬

Ottenere un monomio di ℎ𝜆 = ℎ𝜆₁ℎ𝜆₂. . . equivale a scegliere un esponente per

ogni elemento dalla prima riga in modo che la somma di questi sia 𝜆1 (il che

corrisponde a scegliere un monomio in ℎ𝜆₁,), un esponente per ogni elemento

1.4 Funzioni simmetriche omogenee complete 17 se il prodotto dei monomi corrispondenti agli elementi scelti è 𝑥𝛼, questo vuol

dire che per ogni 𝑥𝑖 la somma degli esponenti scelti è 𝛼𝑖 . Dunque sostituendo

in 𝑋 ad ogni 𝑥𝑖 l'esponente corrispondente scelto, si ottiene una N-matrice 𝐴

con 𝑅𝑜𝑤(𝐴) = 𝜆 e 𝐶𝑜𝑙(𝐴) = 𝛼. Vi è dunque una corrispondenza biunivoca fra le possibili scelte di monomi nei fattori di ℎ𝜆che abbiano come risultato 𝑥

𝛼e le

N-matrici 𝐴 tali che 𝑅𝑜𝑤 ( 𝐴) = 𝜆 e 𝐶𝑜𝑙 ( 𝐴) = 𝛼, da cui la tesi.  Corollario 1.4.1. Nelle notazioni della proposizione precedente, si ha 𝑁𝜆 𝜇 =

𝑁𝜇𝜆.

Dimostrazione. Dalla proposizione precedente, 𝑁𝜆 𝜇 è uguale al numero di

N-matrici 𝐴 tali che 𝑅𝑜𝑤(𝐴) = 𝜆, 𝐶𝑜𝑙(𝐴) = 𝜇. Ma se 𝐴 soddisfa tali condizioni, allora 𝐴𝑡 soddisfa 𝑅𝑜𝑤(𝐴𝑡

) = 𝜇, 𝐶𝑜𝑙(𝐴𝑡

) = 𝜆, ovvero la trasposizione è una biezione tra un insieme di cardinalità 𝑁𝜆 𝜇 e uno di cardinalità 𝑁𝜇𝜆. 

Come per le funzioni elementari, diamo ora una riformulzione della Propo-sizione 1.4.1 in termini di funzioni generatrici. Si ha il seguente risultato: Proposizione 1.4.2. Si ha Ö 𝑖 , 𝑗 (1 − 𝑥𝑖𝑦𝑗) −1₌Õ 𝜆, 𝜇 𝑁𝜆 𝜇𝑚𝜆(𝑥)𝑚𝜇(𝑦) = Õ 𝜆 ℎ𝜆(𝑥)𝑚𝜆(𝑦)

Dimostrazione. Si ha la seguente identità per il prodotto più a sinistra nell'u-guaglianza; Ö 𝑖 , 𝑗 (1 − 𝑥𝑖𝑦𝑗) −1₌Ö 𝑖 , 𝑗 Õ 𝑘 (𝑥𝑖𝑦𝑗) 𝑘 Allora un monomio 𝑥𝛼 𝑦𝛽 = 𝑥𝛼1 1 𝑥 𝛼₂ 2 . . . 𝑦 𝛽₁ 1 𝑦 𝛽₂

2 nell'espansione di tale prodotto

è ottenuto scegliendo una N-matrice 𝐴 che soddis Î𝑖 , 𝑗(𝑥𝑖𝑦𝑗)

𝑎𝑖 𝑗 = 𝑥𝛼_𝑦𝛽,

do-ve dunque la componente 𝑎𝑖 𝑗 di 𝐴 corrisponde all'esponente scelto per 𝑥𝑖𝑦𝑗 .

Inoltre si ha Î𝑖 , 𝑗(𝑥 𝑖 𝑦𝑗)𝑎𝑖 𝑗 _{= 𝑥}𝑅𝑜 𝑤( 𝐴) 𝑦𝐶 𝑜𝑙( 𝐴), dunque il coeciente di 𝑥𝛼𝑦𝛽 in Î 𝑖 , 𝑗(1 + 𝑥 𝑖

𝑦𝑗) è uguale al numero di N-matrici 𝐴 che soddisno 𝑅𝑜𝑤(𝐴) = 𝛼 e 𝐶 𝑜𝑙( 𝐴) = 𝛽. Dunque poichè 𝑁𝜆 𝜇 è proprio il il numero d N-matrici 𝐴 che

sod-disno 𝑅𝑜𝑤(𝐴) = 𝜆 e 𝐶𝑜𝑙(𝐴) = 𝜇, la prima uguaglianza è provata. La seconda uguaglianza è una conseguenza della Proposizione 1.4.1.  Le funzioni simmetriche omogenee complete sono una base di Λ, tuttavia poichè la matrice di cambiamento di base con la monomiale non gode di par-ticolari proprietà simmetriche non è facile fornire una prova combinatoria di

questo fatto. Risulta invece molto più semplice dimostrarlo sfruttando il fatto che tali funzioni sono l'immagine della base delle funzioni elementari tramite l'automorsmo di Λ che sarà l'argomento del prossimo paragrafo.

1.5 L'automorsmo 𝜔 19

1.5 L'automorsmo 𝜔

Denizione 1.5.1. Indichiamo con 𝜔 il seguente endomorsmo dell'algebra delle funzioni simmetriche:

𝜔: Λ → Λ tale che 𝜔(𝑒𝑛) = ℎ𝑛 per ogni 𝑛 ≥ 1.

Tale denizione è ben posta perchè {𝑒𝑛, 𝑛 ∈ N} sono generatori

algebrica-mente indipendenti di Λ.

Inoltre, poichè 𝜔 è un endomorsmo di algebre, quindi in particolare rispetta il prodotto, si ha

𝜔(𝑒𝜆) = 𝜔(𝑒𝜆₁)𝜔(𝑒𝜆₂) . . . 𝜔(𝑒𝜆_𝑙(𝜆)) = ℎ𝜆₁ℎ𝜆₂. . . ℎ𝜆_𝑙(𝜆) = ℎ𝜆.

Si noti inoltre che 𝜔 preserva il grado delle funzioni simmetriche, ovvero la restrizione di 𝜔 a Λ𝑛 ha immagine in Λ𝑛.

Teorema 1.5.1. L'endomorsmo 𝜔 è un'involuzione, ovvero 𝜔2_{= 𝐼.}

Segue in particolare che 𝜔 è invertibile, in quanto 𝜔−1_{= 𝜔.}

Dimostrazione. Siano 𝐻(𝑡) = Õ 𝑛≥0 ℎ𝑛𝑡 𝑛 𝐸(𝑡) = Õ 𝑛≥0 𝑒𝑛𝑡 𝑛 (1.5)

serie di potenze formali a coecienti in Λ.

Considerando la sostituzione di (𝑦1, 𝑦₂, . . .) con (𝑡, 0, 0 . . . ) in ambo i membri delle uguaglianze nelle Proposizioni 1.3.2 e 1.4.2, si ottengono rispettivamente le identità: 𝐻(𝑡) = Ö 𝑖 (1 − 𝑥𝑖𝑡) −1 _{𝐸(𝑡) =}Ö 𝑖 (1 + 𝑥𝑖𝑡). (1.6)

Infatti basta osservare che la sostituzione fatta corrisponde di fatto alla riduzione ad una sola variabile, e l'immagine tramite tale specializzazione di qualsiasi funzione monomiale indiciazzata da una partizione 𝜆 con 𝑙(𝜆) > 1 è 0. Pertanto gli unici elemente della sommatoria che non si annullano sono quelli della forma 𝑚𝑛(𝑡, 0 . . . )ℎ𝑛(𝑥) = 𝑡

𝑛

ℎ𝑛(𝑥).

Segue dunque che

1 = 𝐻 (𝑡)𝐸 (−𝑡) =Õ 𝑛≥0 ℎ𝑛𝑡 𝑛Õ 𝑛≥0 𝑒𝑛(−𝑡) 𝑛 =Õ 𝑛≥0 𝑛 Õ 𝑘=0 (−1)𝑘 𝑒𝑘ℎ𝑛−𝑘𝑡 𝑛

Ovvero, dall'eguaglianza dei coecienti di 𝑡𝑛 nei due membri, 𝑛 Õ 𝑘=0 (−1)𝑘 𝑒𝑘ℎ𝑛−𝑘 =0 (1.7) per ogni 𝑛 ≥ 1.

In particolare, se per degli 𝑓𝑖 ∈ Λ, 𝑖 ∈ N con 𝑓0=1 si ha 𝑛

Õ

𝑘=0

(−1)𝑘

𝑓𝑘ℎ𝑛−𝑘 =0, (1.8)

allora 𝑓𝑖 = 𝑒𝑖 per ogni 𝑖 ∈ N. Questa aermazione si può vericare per induzione,

infatti 𝑓0=1 = 𝑒0, e se 𝑓𝑘 = 𝑒𝑘 per ogni 𝑘 < 𝑛, si ha

(−1)𝑛 𝑓𝑛ℎ0= − 𝑛−1 Õ 𝑘=0 (−1)𝑘 𝑓𝑘ℎ𝑛−𝑘 = − 𝑛−1 Õ 𝑘=0 (−1)𝑘 𝑒𝑘ℎ𝑛−𝑘 = (−1) 𝑛 𝑒𝑛ℎ0

in cui l'ultima uguaglianza è vera per (1.7); quindi si ha, ricordando che ℎ0=1,

𝑓𝑛= 𝑒𝑛 Dunque applicando 𝜔 a (1.8) si ha 0 = 𝑛 Õ 𝑘=0 (−1)𝑘 𝜔(𝑒𝑘)𝜔(ℎ𝑛−𝑘) = 𝑛 Õ 𝑘=0 (−1)𝑘 ℎ𝑘𝜔(ℎ𝑛−𝑘) = (−1) 𝑛 𝑛 Õ 𝑘=0 (−1)𝑘 𝜔(ℎ𝑘) ℎ𝑛−𝑘

ovvero 𝜔(ℎ𝑖) soddisfano (1.8), e quindi 𝜔(ℎ𝑖) = 𝑒𝑖 . 

Si è dunque mostrato, come era stato anticipato, che tale applicazione è un automorsmo che preserva il grado e manda le funzioni simmetriche elementari in quelle complete omogenee. Segue immediatamente il seguente risultato: Teorema 1.5.2. Le funzioni simmetriche omogenee di grado n {ℎ𝜆; 𝜆 ` 𝑛} sono

una base di Λ𝑛, e quindi {ℎ

𝜆; 𝜆 ∈ 𝑃𝑎𝑟 } sono una base di Λ. Equivalentemente,

{ℎ𝑛; 𝑛 ∈ N} sono generatori di Λ algebricamente indipendenti.

Si può considerare una variante di tale endomorsmo denita sui polinomi simmetrici in 𝑛 variabili:

Denizione 1.5.2. Indichiamo con 𝜔𝑛 l'endomorsmo dell'algebra dei

polino-mi simmetrici in n variabili

𝜔𝑛: Λ𝑛→ Λ𝑛 tale che 𝜔(𝑟𝑛(𝑒𝑚)) = 𝑟𝑛(ℎ𝑚) per ogni 1 ≤ 𝑚 ≤ 𝑛.

In particolare 𝜔(𝑟𝑛(𝑒𝜆)) = 𝑟𝑛(ℎ𝜆) per ogni 𝜆 tale che 𝑙(𝜆 0_{) ≤ 𝑛.}

1.5 L'automorsmo 𝜔 21 Si osservi che il numero di variabili non riveste un ruolo fondamentale nel Teorema 1.5.1. Pertanto, sostituendo alle funzioni simmetriche che compaiono la loro immagine tramite 𝑟𝑛, si può riprodurre il Teorema 1.5.1 per 𝜔𝑛. Quindi

𝜔𝑛è un involuzione di Λ𝑛, e in particolare segue che {ℎ𝜆; 𝜆

0_{≤ 𝑛}è una base per}

Λ𝑛(perchè immagine tramite automorsmo della base {𝑒𝜆; 𝜆

0_{≤ 𝑛}) ; osserviamo}

però che, contrariamente a quanto accade per la base delle funzioni elementari, si può avere 𝑟𝑛(ℎ𝜆) ≠ 0anche se 𝑙(𝜆

1.6 Funzioni simmetriche somme di potenze

Denizione 1.6.1. Deniamo la funzione somma di potenze 𝑝𝜆, 𝜆 = (𝜆1, 𝜆2, . . .) ∈Par

nel modo seguente:

𝑝𝑛= 𝑚𝑛= Õ 𝑖 𝑥𝑛 𝑖 𝑛≥ 1 (con 𝑝0= 𝑚∅ =1), (1.9) 𝑝𝜆= 𝑝𝜆₁𝑝𝜆₂· · · . (1.10)

Per esempio, come funzioni somme di potenze in Λ0_,Λ1_,Λ2_{rispettivamente}

abbiamo: 𝑝₀= 𝑚_∅=1, 𝑝₁= 𝑚₁= Õ 𝑖 𝑥𝑖, 𝑝₂= 𝑚₂= Õ 𝑖 𝑥2 𝑖, 𝑝₁₁= 𝑝₁𝑝₁= ( Õ 𝑖 𝑥𝑖) ( Õ 𝑗 𝑥𝑗) = Õ 𝑖 , 𝑗 𝑥𝑖𝑥𝑗 = Õ 𝑖 𝑥_𝑖2+ Õ 𝑖 < 𝑗 2𝑥𝑖𝑥𝑗 = 𝑚2+ 2𝑚11.

Proposizione 1.6.1. Sia 𝜆 `n, e sia 𝛼 = (𝛼1, 𝛼₂, . . .) una composizione debole di n. Indichiamo con 𝑅𝜆 𝛼il coeciente di 𝑥

𝛼 in 𝑝

𝜆, ovvero, detta 𝜇 la partizione

di cui 𝛼 è permutazione, il coeciente di 𝑚𝜇 in

𝑝𝜆=

Õ

𝜇`𝑛

𝑅𝜆 𝜇𝑚𝜇.

Detto k= 𝑙(𝜇) , l=𝑙(𝜆), 𝑅𝜆 𝜇 è uguale al numero di partizioni ordinate in k parti

(𝐵1. . . 𝐵𝑘) dell'insieme {1, 2, . . . , 𝑙} che soddisno

𝜇𝑗 =

Õ

𝑖∈𝐵𝑗

𝜆𝑖 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑘

Dimostrazione. Per ottenere un monomio 𝑥𝜇

= 𝑥𝜇₁

𝑥𝜇2. . . 𝑥𝜇𝑘 basta scegliere un

termine 𝑥𝜆𝑗

𝑖𝑗 in ogni fattore di 𝑝𝜆= 𝑝𝜆1

𝑝𝜆₂. . . 𝑝𝜆𝑙 in modo tale che Î𝑗𝑥 𝜆𝑗

𝑖𝑗 = 𝑥

𝜇.

Questo, ponendo 𝐵𝑟 = { 𝑗; 𝑖𝑗 = 𝑟 } corrisponde a scegliere una partizione di

{1, 2, . . . 𝑙} che soddis la tesi. _ Teorema 1.6.1. Siano 𝜆, 𝜇 ` 𝑛. Si ha che se 𝑅𝜆 𝜇 ≠0, allora 𝜆 ≤ 𝜇, e si ha

𝑅𝜆𝜆=

Î

1.6 Funzioni simmetriche somme di potenze 23 Da ciò segue che {𝑝𝜆|𝜆 ` 𝑛} è una base di Λ

𝑛 e quindi {𝑝

𝜆|𝜆 ∈ 𝑃𝑎𝑟 } è una

base di Λ. Equivalentemente, {𝑝𝑛|𝑛 ∈ N} è un insieme di generatori di Λ (come

Q-algebra) algebricamente indipendenti.

Dimostrazione. Dalla Proposizione 1.6.1 si ha che se 𝑅𝜆 𝜇 ≠ 0 esiste almeno

una partizione (𝐵1. . . 𝐵𝑘) dell'insieme {1, 2, . . . , 𝑙} (con 𝑘 = 𝑙(𝜇) ,𝑙 = 𝑙(𝜆)).

Allora per ogni 1 ≤ 𝑛 ≤ 𝑙 si considerino i blocchi distinti (𝐵𝑖₁. . . 𝐵𝑖𝑟) tali che

𝐵𝑖𝑗 ∩ {1, 2 . . . , 𝑛} ≠ ∅ per ogni 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑟; dunque si ha 𝑟 ≤ 𝑛 e {𝜆1. . . 𝜆𝑟} ⊂

{𝜆𝑖; 𝑖 ∈

Ð𝑟

ℎ₁𝐵𝑖ℎ}. Inoltre per costruzione della partizione considerata, si ha

𝜇𝑗 =

Í

𝑖∈𝐵𝑗

𝜆𝑖 per 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑘, quindi valgono le seguenti disuguaglianze: 𝑛 Õ 𝑗=1 𝜇𝑗 ≥ 𝑟 Õ 𝑗=1 𝑚𝑖𝑗 = 𝑟 Õ 𝑗=1 Õ ℎ∈𝐵𝑖𝑗 𝜆ℎ ≥ 𝑛 Õ 𝑗=1 𝜆𝑗, ovvero 𝜇 ≥ 𝜆.

Inoltre se 𝜇 = 𝜆, le uniche partizioni che soddisfano 𝜇𝑗 =

Í

𝑖∈𝐵𝑗

𝜆𝑖 sono quelle

costruite in modo che 𝐵𝑖 = 𝑗 con 𝜆𝑗 = 𝜇𝑖, pertanto per ogni 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘 ci sono

𝑚𝜇𝑖 modi per scegliere ogni 𝐵𝑖, e quindi possiamo scrivere (ricordando che 0!=1)

𝑅𝜆𝜆=

Î

𝑖𝑚𝑖! 

Presentiamo ora alcune identità di serie generatrici che stabiliscono delle relazioni fra le basi {𝑝𝜆},{𝑒𝜆}.{ℎ𝜆}. A tal ne introduciamo la notazione

𝑧𝜆=

Ö

𝑖

𝑖𝑚𝑖

𝑚𝑖!

Detta 𝐾𝜆 la classe di coniugio in 𝑆𝑛 (𝑛 = |𝜆|) costituita dalle permutazioni che

si fattorizzano in cicli disgiunti di lunghezza 𝑚1, 𝑚₂. . ., 𝑧𝜆 è la cardinalià del

centralizzatore di una delle permutazioni appartenenti a 𝐾𝜆 .

Proposizione 1.6.2. Valgono le seguenti uguaglianze: Ö 𝑖 , 𝑗 (1 − 𝑥𝑖𝑦𝑗) −1_{= 𝑒𝑥 𝑝}Õ 𝑛≥1 1 𝑛 𝑝𝑛(𝑥) 𝑝𝑛(𝑦) = Õ 𝜆∈𝑃𝑎𝑟 𝑧−1 𝜆 𝑝𝜆(𝑥) 𝑝𝜆(𝑦), (1.11) Ö 𝑖 , 𝑗 (1 + 𝑥𝑖𝑦𝑗) = 𝑒𝑥 𝑝 Õ 𝑛≥1 (−1)𝑛−11 𝑛 𝑝𝑛(𝑥) 𝑝𝑛(𝑦) = Õ 𝜆∈𝑃𝑎𝑟 (−1)|𝜆 |−𝑙 (𝜆)𝑧−1 𝜆 𝑝𝜆(𝑥) 𝑝𝜆(𝑦). (1.12)

Dimostrazione. Proviamo (1.11) 𝑙 𝑜𝑔( Ö 𝑖 , 𝑗 (1 − 𝑥𝑖𝑦𝑗) −1_{) =}Õ 𝑖 , 𝑗 −𝑙𝑜𝑔(1 − 𝑥𝑖𝑦𝑗) = Õ 𝑖 , 𝑗 Õ 𝑛≥1 1 𝑛 𝑥𝑛 𝑖𝑦 𝑛 𝑗 =Õ 𝑛≥1 1 𝑛 Õ 𝑖 𝑥𝑛_𝑖 Õ 𝑗 𝑦𝑛_𝑗 = Õ 𝑛≥1 1 𝑛 𝑝𝑛(𝑥) 𝑝𝑛(𝑦) dunque Ö 𝑖 , 𝑗 (1 − 𝑥𝑖𝑦𝑗) −1_{= 𝑒𝑥 𝑝}Õ 𝑛_≥1 1 𝑛 𝑝𝑛(𝑥) 𝑝𝑛(𝑦)

da cui segue che 𝑒𝑥 𝑝 Õ 𝑛≥1 1 𝑛 𝑝𝑛(𝑥) 𝑝𝑛(𝑦) = Ö 𝑛≥0 𝑒𝑥 𝑝( 1 𝑛 𝑝𝑛(𝑥) 𝑝𝑛(𝑦)) = Ö 𝑛≥1 Õ 𝑚𝑛≥1 1 𝑚𝑛!𝑛 𝑚𝑛 𝑝𝑚𝑛 𝑛 (𝑥) 𝑝 𝑚𝑛 𝑛 (𝑦) = Õ 𝜆∈𝑃𝑎𝑟 𝑧−1 𝜆 𝑝𝜆(𝑥) 𝑝𝜆(𝑦),

dove l'ultima uguaglianza vale perchè 𝑝𝜆 è una base moltiplicativa, e la scelta

dei fattori per ogni addendo nell'espressione più a sinistra equivale alla scelta di una partizione 𝜆 = h1𝑚₁

,2𝑚2, . . .i.

La prova di (1.12) è sostanzialmente analoga alla precedente: 𝑙 𝑜𝑔 Ö 𝑖 , 𝑗 (1 + 𝑥𝑖𝑦𝑗) = Õ 𝑖 , 𝑗 𝑙 𝑜𝑔(1 + 𝑥𝑖𝑦𝑗) = Õ 𝑖 , 𝑗 Õ 𝑛≥1 (−1)𝑛−11 𝑛 𝑥𝑛 𝑖𝑦 𝑛 𝑗 = Õ 𝑛≥1 (−1)𝑛−11 𝑛 𝑝𝑛(𝑥) 𝑝𝑛(𝑦) da cui Ö 𝑖 , 𝑗 (1 + 𝑥𝑖𝑦𝑗) = 𝑒𝑥 𝑝 Õ 𝑛≥1 (−1)𝑛−11 𝑛 𝑝𝑛(𝑥) 𝑝𝑛(𝑦)

e, come nel caso precedente, 𝑒𝑥 𝑝 Õ 𝑛≥1 (−1)𝑛−11 𝑛 𝑝𝑛(𝑥) 𝑝𝑛(𝑦) = Õ 𝑛≥1 Õ 𝑚𝑛≥1 (−1)(𝑛−1) 𝑚𝑛 1 𝑚𝑛!𝑛 𝑚𝑛 𝑝𝑚𝑛 𝑛 (𝑥) 𝑝 𝑚𝑛 𝑛 (𝑦) = Õ 𝜆∈𝑃𝑎𝑟 (−1)|𝜆 |−𝑙 (𝜆)𝑧−1 𝜆 𝑝𝜆(𝑥) 𝑝𝜆(𝑦),

dove nell'ultima uguaglianza si è usato che Í 𝑖(𝑖 − 1)𝑚𝑖= Í 𝑖(𝑚𝑖𝑖) − Í 𝑖𝑚𝑖 =| 𝜆 | −𝑙 (𝜆).  Corollario 1.6.2. Si ha ℎ𝑛 = Õ 𝜆`𝑛 𝑧−1 𝜆 𝑝𝜆, (1.13) 𝑒𝑛= Õ 𝜆`𝑛 (−1)|𝜆 |−𝑙 (𝜆)𝑧−1 𝜆 𝑝𝜆. (1.14)

1.6 Funzioni simmetriche somme di potenze 25 Dimostrazione. Dalla proposizione precedente e dalla proposizione 1.4.2, si ha

Õ 𝜆∈𝑃𝑎𝑟 ℎ𝜆(𝑥)𝑚𝜆(𝑦) = Õ 𝜆∈𝑃𝑎𝑟 𝑧−1 𝜆 𝑝𝜆(𝑥) 𝑝𝜆(𝑦).

Specializzando tale uguaglianza per 𝑦 = (𝑡, 0, 0 . . . ) si ottiene Õ 𝑛≥0 ℎ𝑛𝑡 𝑛 = Õ 𝜆∈𝑃𝑎𝑟 𝑧−1 𝜆 𝑝𝜆(𝑥)𝑡 |𝜆 |₌Õ 𝑛≥0 Õ 𝜆`𝑛 𝑧−1 𝜆 𝑝𝜆𝑡 𝑛 . Eguagliando i coecienti di 𝑡𝑛 nei due membri risulta 1.13.

L'equazione (1.14) si dimostra in modo analogo considerando la Proposizione

1.3.2. 

Da tali identità possiamo dedurre il comportamento della base {𝑝𝜆}quando

si riducono le variabili:

Proposizione 1.6.3. Si ha che {𝑟𝑛( 𝑝𝜆); 𝑙 (𝜆

0_{) ≤ 𝑛} è una base di Λ} 𝑛.

Dimostrazione. Basta mostrare che {𝑟𝑛( 𝑝𝜆); 𝑙 (𝜆

0_{) ≤ 𝑛} è un insieme di}

genera-tori per Λ𝑛(la lineare indipendenza segue osservando la dimensione dello spazio,

indicata ad esempio nell'osservazione 1.2.1) , ovvero, per moltiplicatività del-la base, che {𝑟𝑛( 𝑝𝑠); 1 ≤ 𝑠 ≤ 𝑛} sono generatori algebrici. Infatti 𝑙(𝜆

0_{) ≤ 𝑛}

se e solo se 𝜆1 ≤ 𝑛, quindi se e solo 𝜆𝑖 ≤ 𝑛 per ogni i, per monotonia delle

partizioni. Poichè sappiamo che {𝑟𝑛(𝑒𝜆); 𝑙 (𝜆

0_{) ≤ 𝑛} è una base di Λ}

𝑛, e quindi

Λ𝑛= Q[𝑒1. . . 𝑒𝑛], basta mostrare che 𝑒𝑖 ∈ Q[𝑝1. . . 𝑝𝑛] per ogni 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛. Ma

questo è vero per (1.14), in quanto se 𝜆 ` 𝑛 allora 𝜆𝑖 ≤ 𝑛 per ogni 𝑖, il che vuol

dire che nell'espressione di ogni 𝑒𝑠 compaiono solo 𝑝𝑗 con 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑠. 

Le serie generatrici esposte nella Proposizione 1.6.2 ci permettono anche di comprendere come agisce l'automorsmo 𝜔 sulle somme di potenze.

Proposizione 1.6.4. Gli elementi di {𝑝𝜆, 𝜆∈ 𝑃𝑎𝑟 }sono autovettori per 𝜔. In

particolare,

𝜔( 𝑝𝜆) = (−1) |𝜆 |−𝑙 (𝜆)

𝑝𝜆 (1.15)

Dimostrazione. Si consideri 𝜔 come agente sull'insieme di variabili 𝑦 = (𝑦1, 𝑦₂. . .) (rispetto a tale azione, le variabili 𝑥 = (𝑥1, 𝑥₂. . .) si comportano come scalari). Allora dalle proposizioni 1.4.2, 1.3.2 e dal Teorema 1.5.1 seguono le seguenti

identità: 𝜔 Õ 𝜆∈𝑃𝑎𝑟 𝑧−1 𝜆 𝑝𝜆(𝑥) 𝑝𝜆(𝑦) = Õ 𝜆∈𝑃𝑎𝑟 𝜔(ℎ𝜆(𝑦))𝑚𝜆(𝑥) = Õ 𝜆∈𝑃𝑎𝑟 𝑒𝜆(𝑦)𝑚𝜆(𝑥) = Õ 𝜆∈𝑃𝑎𝑟 (−1)|𝜆 |−𝑙 (𝜆)𝑧−1 𝜆 𝑝𝜆(𝑥) 𝑝𝜆(𝑦).

Dalla lineare indipendenza dei 𝑝𝜆(𝑥), eguagliando i coecienti risulta dunque

𝜔( 𝑝𝜆) = (−1)

|𝜆 |−𝑙 (𝜆)_𝑝

𝜆. 

Si osservi che tale risultato resta vero per 𝜔𝑛 e {𝑟𝑛( 𝑝𝜆); 𝑙 (𝜆

0_{) ≤ 𝑛}; infatti}

l'espressione di 𝑟𝑛( 𝑝𝜆) rispetto alla base {𝑟𝑛(𝑒𝜆); 𝑙 (𝜆

0_{) ≤ 𝑛} in Λ}

𝑛 è la stessa di

𝑝𝜆 rispetto ad {𝑒𝜆} in Λ, e si ha che 𝑟𝑛(𝜔(𝑒𝜆)) = 𝑟𝑛(ℎ𝜆) = 𝜔𝑛(𝑟𝑛(𝑒𝜆)). Questo

non è più vero nel caso di 𝑟𝑛( 𝑝𝜆) con 𝑙(𝜆

0_{) ≥ 𝑛: il discorso non è più valido}

perchè alcuni degli 𝑒𝜆 che compaiono nell'espressione di 𝑝𝜆 si azzerano sotto

l'azione di 𝑟𝑛 , cosa che può non accadere per gli ℎ𝜆 corrispondenti, pertanto

1.7 Prodotto scalare 27

1.7 Prodotto scalare

Si può aggiungere un ulteriore struttura sull'algebra delle funzioni simme-triche introducendo un prodotto scalare (i.e. una forma bilineare simmetrica denita positiva), denita come segue

Denizione 1.7.1. Indichiamo con h·, ·i la forma bilineare h·, ·i : Λ × Λ → Q ; h𝑚𝜆, ℎ𝜇i = 𝛿𝜆 𝜇

(dove 𝛿𝜆 𝜇 è il delta di Kroneker, cioè 𝛿𝜆 𝜇=1 se 𝜆 = 𝜇, 0 altrimenti).

In altre parole,indichiamo con h·, ·i la forma bilineare rispetto alla quale base monomiale e completa sono basi duali.

Tale denizione è ben posta in quanto {𝑚𝜆}, {ℎ𝜆} sono basi di Λ, quindi è

univocamente determinata l'estensione per linearità:

se 𝑓 = Í𝜆𝑎𝜆𝑚𝜆 e 𝑔 = Í𝜇𝑏𝜇ℎ𝜇, si ha h 𝑓 , 𝑔i = Í𝜆, 𝜇𝑎𝜆𝑏𝜇h𝑚𝜆, ℎ𝜇i =

Í

𝜆𝑎𝜆𝑏𝜆.

Proposizione 1.7.1. La forma bilineare h·, ·i è simmetrica, cioè. h 𝑓 , 𝑔i = h𝑔, 𝑓 i.

Dimostrazione. Per bilinearità della forma basta provare la simmetria su una base di Λ; si consideri la base {ℎ𝜆}. Ricordando dalla proposizione 1.4.1 che

ℎ𝜆= Í 𝜇𝑁𝜆 𝜇𝑚𝜇, si ottiene hℎ𝜆, ℎ𝜇i = Õ 𝜂 𝑁𝜆 𝜂h𝑚𝜂, ℎ𝜇i = 𝑁𝜆 𝜇.

Allora poichè si ha 𝑁𝜆 𝜇= 𝑁𝜇𝜆, segue la simmetria di h·, ·i. 

Forniamo ora un criterio per vericare la dualità di due basi, che in particola-re varie volte si rivela utile per provaparticola-re l'ortogonalità di una base; pparticola-resenteparticola-remo un'applicazione di questo tipo appena dopo il lemma.

Lemma 1.7.1. Siano, per ogni 𝑛 ∈ N, {𝑢𝜆}𝜆∈𝑃𝑎𝑟 (𝑛) e {𝑣𝜆}𝜆∈𝑃𝑎𝑟 (𝑛) due basi di

Λ𝑛. Si ha che {𝑢

𝜆}𝜆∈𝑃𝑎𝑟 e {𝑣𝜆}𝜆∈𝑃𝑎𝑟 sono basi duali di Λ se e solo se

Õ 𝜆 𝑢𝜆(𝑥)𝑣𝜆(𝑦) = Ö 𝑖 , 𝑗 (1 − 𝑥𝑖𝑦𝑗) −1 .

Dimostrazione. Siano 𝑢𝜆 = Õ 𝜌 𝑎𝜆𝜌𝑚𝜌 𝑣𝜇 = Õ 𝜌 𝑏𝜇𝜌ℎ𝜌. (1.16)

Si ha che {𝑢𝜆}e {𝑣𝜆}sono basi duali se e solo se

Õ

𝜌

𝑎𝜆𝜌𝑏𝜇𝜌 = 𝛿𝜆 𝜇. (1.17)

Inoltre da 1.4.2 si ha che la condizione Õ 𝜆 𝑢𝜆(𝑥)𝑣𝜆(𝑦) = Ö 𝑖 , 𝑗 (1 − 𝑥𝑖𝑦𝑗) −1 è equivalente a Õ 𝜆 𝑢𝜆(𝑥)𝑣𝜆(𝑦) = Õ 𝜆 𝑚𝜆(𝑥) ℎ𝜆(𝑦);

espandendo nella scrittura di {𝑢𝜆}e {𝑣𝜆}rispetto alle basi monomiale e completa

rispettivamente si ha quindi Õ 𝜌 𝜇 (Õ 𝜆 𝑎𝜆𝜌𝑏𝜆 𝜇)𝑚𝜌(𝑥) ℎ𝜇(𝑦) = Õ 𝜆 (Õ 𝜌 𝑎𝜆𝜌𝑚𝜌(𝑥)) ( Õ 𝜇 𝑏𝜆 𝜇ℎ𝜇(𝑦)) = Õ 𝜆 ℎ𝜆(𝑥)𝑚𝜆(𝑦)

per indipendenza lineare delle basi la tale scrittura equivale a Õ

𝜆

𝑎𝜆𝜌𝑏𝜆 𝜇= 𝛿𝜌 𝜇

il che, come espresso in (2.2), vuol dire che {𝑢𝜆}e {𝑣𝜆}sono basi duali. 

Proposizione 1.7.2. La base {𝑝𝜆} è una base ortogonale di Λ. In particolare,

h𝑝𝜆, 𝑝𝜇i = 𝑧𝜆𝛿𝜆 𝜇

Dimostrazione. dalla Proposizione 1.6.2 e dal Lemma 1.7.1 segue immediata-mente che {𝑝𝜆} e {

𝑝𝜆

𝑧𝜆

} sono basi duali, il che è equivalente alla tesi.  Dato che ora abbiamo trovato una base ortogonale, risulta facile mostra-re varie proprietà della forma bilineamostra-re h·, ·i: per prima cosa dimostriamo che questa è eettivamente un prodotto scalare, ovvero che è denita positiva. Proposizione 1.7.3. Si ha che h 𝑓 , 𝑓 i > 0 per ogni 𝑓 ∈ Λ.

1.7 Prodotto scalare 29 Dimostrazione. Dalla proposizione precedente si ha che h𝑝𝜆, 𝑝𝜆i = 𝑧𝜆>0, e che

le funzioni 𝑝𝜆costituiscono una base ortogonale di Λ. Allora se 𝑓 ∈ Λ, scrivendo

𝑓 =Í_𝜆𝑎𝜆𝑝𝜆 si ha h 𝑓 , 𝑓 i =Õ 𝜆 𝑎2 𝜆𝑝𝜆>0  Notiamo inoltre che l'endomorsmo 𝜔, denito nella denizione 1.5.1, gode di notevoli proprietà rispetto al prodotto scalare.

Proposizione 1.7.4. L'endomorsmo 𝜔 è autoaggiunto rispetto al prodotto scalare, i.e. h𝜔 𝑓 , 𝑔i = h 𝑓 , 𝜔𝑔i. Inoltre è isometria, ovvero h𝜔 𝑓 , 𝜔𝑔i = h 𝑓 , 𝑔i. Dimostrazione. Per bilinearità della forma e linearità di 𝜔 è suciente lavorare con una base. Ricordiamo dalla proposizione 1.15 che le funzioni simmetriche somme di potenze sono autovettori per 𝜔, e in particolare 𝜔(𝑝𝜆) = (−1)

|𝜆 |−𝑙 (𝜆) 𝑝𝜆. Si ha dunque h𝜔 𝑝𝜆, 𝑝𝜇i = (−1) |𝜆 |−𝑙 (𝜆)_h𝑝 𝜆, 𝑝𝜇i = (−1) |𝜆 |−𝑙 (𝜆) 𝑧𝜆𝛿𝜆 𝜇= (−1) | 𝜇 |−𝑙 ( 𝜇) 𝑧𝜇𝛿𝜆 𝜇 = (−1)| 𝜇 |−𝑙 ( 𝜇)h𝑝𝜆, 𝑝𝜇i = h𝑝𝜆, 𝜔 𝑝𝜇i.

Sfruttando tale risultato e il fatto che 𝜔 è un'involuzione (dal Teorema 1.5.1), si ottiene

h 𝑓 , 𝑔i = h𝜔𝜔 𝑓 , 𝑔i = h𝜔 𝑓 , 𝜔𝑔i

1.8 Funzioni di Schur

La base presentata in questa sezione, la base delle "funzioni di Schur", è una base che gode di notevoli proprietà algebriche e combinatorie. Esistono varie denizioni equivalenti per questa base, qui se ne presenteranno due: prima una denizione "combinatoria" in termini della base monomiale e in seguito, dopo aver sviluppato parte della teoria, una "classica" come quoziente di determinan-ti. Inoltre l'argomento principale del prossimo capitolo sarà una generalizzazione di questa base in un ambiente più ampio (il signicato di questa frase verrà chia-ricato in seguito), le cosiddette funzioni di Jack.

Per denire le funzioni di Schur, ricordiamo che data una 𝑆𝑆𝑌𝑇 ( Denizione 1.1.4) di una certa forma 𝜆 ∈ 𝑃𝑎𝑟 (oppure di forma "storta" 𝜆/𝜇, con 𝜇 ⊂ 𝜆 en-trambe partizioni) , con 𝑡𝑖𝑝𝑜(𝑇) = (𝛼1, 𝛼₂, . . .) si intende il vettore avente come componente 𝑖-esima 𝛼𝑖 il numero di celle di 𝑇 che sono riempite dal numero 𝑖.

Data 𝑇 una 𝑆𝑆𝑌𝑇 di tipo 𝛼, scriviamo 𝑥𝑇 per indicare il monomio 𝑥𝑡 𝑖 𝑝 𝑜(𝑇 )

= 𝑥𝛼1

1 𝑥 𝛼₂ 2 . . ..

Denizione 1.8.1. Per ogni 𝜇 ⊂ 𝜆 partizioni, deniamo la funzione di Schur storta 𝑠𝜆/𝜇 nelle variabili 𝑥 = (𝑥1, 𝑥₂, . . .) come la serie formale

𝑠_𝜆/𝜇= Õ

𝑇

𝑥𝑇 in cui la somma è in 𝑇 ∈ {𝑆𝑆𝑌𝑇 di forma 𝜆/𝜇}.

Se 𝜇 = ∅, si ha 𝜆/𝜇 = 𝜆, e diciamo 𝑠𝜆 la funzione di Schur di forma 𝜆.

Ad esempio: scriviamo le funzioni di Schur in 3 variabili (quindi il numero più grande che compare nelle 𝑆𝑆𝑌𝑇 considerate è al massimo 3) associate a 𝜆∈ 𝑃𝑎𝑟 (3):

ˆ per 𝜆 = (1, 1, 1) si ha che l'unica 𝑆𝑆𝑌𝑇 di forma 𝜆 è:

1 2 3

che ha tipo (1,1,1), quindi

𝑠_(1,1,1) = 𝑥₁𝑥₂𝑥₃= 𝑚_(1,1,1); ˆ per 𝜆 = (2, 1) si ha che le 𝑆𝑆𝑌𝑇 di forma 𝜆 sono:

1.8 Funzioni di Schur 31 1 1 2 1 1 3 1 2 2 1 2 3 1 3 2 1 3 3 2 2 3 2 3 3

che hanno tipo rispettivamente

(2,1,0), (2,0,1), (1,2,0), (1,1,1), (1,1,1), (1,0,2), (0,2,1) ,(0,1,2), quindi 𝑠_(2,1) = 𝑥2₁𝑥₂+ 𝑥2₁𝑥₃+ 𝑥₁𝑥2₂+ 2𝑥₁𝑥₂𝑥₃+ 𝑥₁𝑥2₃+ 𝑥2₂𝑥₃+ 𝑥₂𝑥2₃=2𝑚_(1,1,1)+ 𝑚_(2,1); ˆ per 𝜆 = (3) si ha che l3 SSYT di forma 𝜆 sono:

1 1 1 1 1 2 1 1 3 1 2 2 1 2 3 1 3 3 2 2 2 2 2 3 2 3 3 3 3 3

che hanno tipo rispettivamente

(3,0,0), (2,1,0), (2,0,1), (1,2,0), (1,1,1), (1,0,2), (0,3,0), (0,2,1), (0,1,2), (0,0,3), quindi

𝑠₃= 𝑥3₁+𝑥2₁𝑥₂+𝑥₁2𝑥₃+𝑥₁𝑥₂2+𝑥₁𝑥₂𝑥₃+𝑥₁𝑥2₃+𝑥3₂+𝑥2₂𝑥₃+𝑥₂𝑥2₃+𝑥3₃= 𝑚₍₃₎+𝑚_(2,1)+𝑚_(1,1,1). In questi esempi possiamo osservare che le funzioni di Schur descritte sono eettivamente funzioni simmetriche, ma in generale tale proprietà non è evidente dalla denizione precedente: questo è il contenuto del prossimo teorema. Teorema 1.8.1. Per ogni 𝜇 ⊂ 𝜆 partizioni, la funzione di Schur (storta) 𝑠𝜆/𝜇

è una funzione simmetrica.

Dimostrazione. Poichè ogni permutazione si scrive come composizione di tra-sposizioni del tipo (𝑖, 𝑖 + 1), basta mostrare che 𝑠𝜆/𝜇 è invariante scambiando

𝑥𝑖 e 𝑥𝑖+1: vogliamo provare quindi che esiste una biezione fra le 𝑆𝑆𝑌𝑇 di

for-ma 𝜆/𝜇 e tipo 𝛼 = (𝛼1, 𝛼₂, . . . 𝛼𝑖−1, 𝛼𝑖, 𝛼𝑖+1, . . .) e quelle di stessa forma e tipo

𝛽= (𝛼₁, 𝛼₂, . . . 𝛼𝑖−1, 𝛼𝑖+1, 𝛼𝑖, . . .).

Per costruire tale biezione, data 𝑇 𝑆𝑆𝑌𝑇 di forma 𝜆/𝜇 e tipo

𝛼 = (𝛼₁, 𝛼₂, . . . 𝛼𝑖−1, 𝛼𝑖, 𝛼𝑖+1, . . .), consideriamo soltanto le colonne in cui

com-pare 𝑖 oppure 𝑖 + 1, ma non entrambi. In ogni riga di tale porzione della 𝑆𝑆𝑌𝑇, vi saranno 𝑟 celle riempite con 𝑖 ed 𝑠 celle riempite con 𝑖 + 1. Se 𝑠 > 𝑟, si sosti-tuiscono i primi (𝑠 − 𝑟) 𝑖 + 1 con (𝑠 − 𝑟) 𝑖, al contrario se 𝑠 < 𝑟 si sostisosti-tuiscono gli ultimi (𝑟 − 𝑠) 𝑖 con (𝑟 − 𝑠) 𝑖 + 1 (se 𝑟 = 𝑠 non si compie alcuna operazione). Quest'operazione genera ancora una 𝑆𝑆𝑌𝑇, perchè avendo isolato colonne in cui

non compaiono sia 𝑖 che 𝑖 + 1 non viene violata la monotonia stretta delle colon-ne, e la 𝑆𝑆𝑌𝑇 che viene così generata è di tipo 𝛽 = (𝛼1, 𝛼₂, . . . 𝛼𝑖−1, 𝛼𝑖+1, 𝛼𝑖, . . .).

L'operazione descritta è involutiva, e pertanto è una biezione.  Dunque, poichè 𝑠𝜆/𝜇∈ Λ, questa si espande nella base monomiale.

Proposizione 1.8.1. Siano 𝜌 ⊂ 𝜆 partizioni tali che |𝜆/𝜌| = |𝜆| − |𝜌| = 𝑛 e sia 𝛼 = (𝛼1, 𝛼₂, . . .) una composizione debole di 𝑛. Indichiamo con 𝐾_{𝜆/𝜌, 𝛼} il coeciente di 𝑥𝛼 in 𝑠

𝜆, ovvero, detta 𝜇 la partizione di cui 𝛼 è permutazione,

il coeciente di 𝑚𝜇 in

𝑠_𝜆/𝜌 = Õ

𝜇`𝑛

𝐾_{𝜆/𝜌, 𝜇}𝑚𝜇

𝐾_{𝜆/𝜌, 𝜇} si dice numero di Kostka storto (semplicemente numero di Kostka se 𝜌= ∅) ed è il numero di 𝑆𝑆𝑌𝑇 di forma 𝜆/𝜌 e tipo 𝜇.

Dimostrazione. Segue immediatamente dalla denizione data di funzioni di Schur e dalla simmetria di queste. 

Osserviamo che in particolare 𝐾𝜆,(1𝑛₎, con 𝜆 ` 𝑛 è il numero di 𝑆𝑌𝑇 di forma 𝜆.

Proposizione 1.8.2. Siano 𝜆, 𝜇 ` 𝑛. Si ha che se 𝐾𝜆, 𝜇 ≠ 0 allora 𝜇 ≤ 𝜆,

e inoltre 𝐾𝜆𝜆 = 1. Da ciò segue che {𝑠𝜆; 𝜆 ` 𝑛} è base per Λ

𝑛, e quindi che

{𝑠𝜆; 𝜆 ∈ 𝑃𝑎𝑟 } è base per Λ.

Dimostrazione. Dalla Proposizione 1.8.1, si ha che se 𝐾𝜆, 𝜇 ≠ 0 deve esistere

almeno una 𝑆𝑆𝑌𝑇𝑇 di forma 𝜆 e tipo 𝜇. Osserviamo che le celle in 𝑇 in cui compare un numero 𝑗 si trovano tutte nelle prime 𝑗 righe, perchè le colonne di 𝑇 sono strettamente crescenti (ed è impossibile costruire una catena di interi positivi 1 ≤ 𝑖1< 𝑖₂<· · · < 𝑖𝑘 = 𝑗 di lunghezza maggiore di 𝑗). Quindi il numero

di elementi uguali a 1, 2, . . . 𝑗 che compaiono in 𝑇 è minore o uguale del numero di celle che si trovano nelle prime 𝑗 righe, ovvero 𝜇1+𝜇2+· · ·+𝜇𝑗 ≤ 𝜆1+𝜆2+· · ·+𝜆𝑗,

e quindi 𝜇 ≤ 𝜆. Inoltre se 𝜇 = 𝜆 l'unica 𝑆𝑆𝑌𝑇 possibile è quella che ha tutte le celle della riga 𝑗-esima riempite con 𝑗, da cui 𝐾𝜆𝜆=1. 

La proposizione precedente dunque prova che le funzioni di Schur indicizzate da partizioni di 𝑛 formano una base per Λ𝑛: in particolare, aerma che la

1.8 Funzioni di Schur 33 è unitriangolare superiore, ovvero che le funzioni di Schur hanno un'espressione nella base monomiale del tipo

𝑠𝜆 = 𝑚𝜆+

Õ

𝜇 <𝜆

𝐾𝜆 𝜇𝑚𝜇.

In particolare, osservando che le partizioni di n rispetto all'ordine di dominanza hanno un minimo, ovvero la partizone (1𝑛₎, si deduce il caso particolare

𝑠₁𝑛 = 𝑚₁ 𝑛 = 𝑒𝑛.

Inoltre da tale struttura unitriangolare segue che le funzioni di Schur hanno un comportamento particolarmente intuitivo, simile a quello delle monomiali, quan-do si lavora con un numero di variabili riquan-dotte, come esplicitato nella seguente osservazione.

Osservazione 1.8.1. Si ha che 𝑟𝑛(𝑠𝜆) ≠ 0 se e solo se 𝑙(𝜆) ≤ 𝑛. Inoltre

{𝑟𝑛(𝑠𝜆), 𝑙 (𝜆) ≤ 𝑛} è base per Λ𝑛.

Dimostrazione. Tali proprietà sono conseguenze dirette della struttura triango-lare della matrice di cambiamento di base.  Vogliamo ora studiare alcune proprietà delle funzioni di Schur, quali le espressioni rispetto alle altre basi nora introdotte e il comportamento rispetto al prodotto scalare e all'endomorsmo 𝜔. Per farlo introduciamo il seguente risultato, che ha conseguenze fondamentali in tale ambito.

Teorema 1.8.2. Esiste una biezione fra le N-matrici innte con un numero nito di elementi non nulli e le coppie ordinate di 𝑆𝑆𝑌𝑇 di stessa forma. In particolare se la N-matrice 𝐴 è posta in corrispondenza con la coppia di 𝑆𝑆𝑌𝑇 di stessa forma (𝑃, 𝑄), si ha 𝑡𝑖𝑝𝑜(𝑃) = 𝐶𝑜𝑙(𝐴) e 𝑡𝑖𝑝𝑜(𝑄) = 𝑅𝑜𝑤(𝐴).

Dimostrazione. Diamo soltanto una traccia.

Si può procedere a una dimostrazione di tipo algoritmico di tale risultato. Per descrivere l'algoritmo che costituisce la biezione, che prende il nome di algoritmo RSK, deniamo l'operazione di inserimento di un numero 𝑘 in una 𝑆𝑆𝑌𝑇 𝑇 nel modo seguente: il numero 𝑘 viene inserito nella prima riga di 𝑇 al posto del "primo" elemento maggiore di 𝑘 (ovvero l'elemento più a sinistra nella prima riga che sia maggiore di 𝑘), il quale viene "sbalzato via"; se un tale elemento non esiste, ovvero nella prima riga compaiono solo numeri minori o uguali di 𝑘,

si appone semplicente 𝑘 alla ne della prima riga (aggiungendo quindi una cella) e l'algoritmo termina, altrimenti si prosegue "inserendo", con le stesse regole, il numero che era stato sbalzato via da 𝑘 nella riga successiva. Si dimostra che comunque siano dati 𝑘 e 𝑇, il risultato dell'inserimento di 𝑘 in 𝑇 è ancora una 𝑆 𝑆𝑌 𝑇; si prova inoltre che tale operazione si può invertire, ovvero conoscendo la 𝑆 𝑆𝑌 𝑇 nale e qual è l'ultimo numero (quello sulla riga di indice maggiore) ad essere stato modiicato dall'operazione di inserimento, si può risalire alla SSYT originale e al numero inserito.

Descriviamo ora l'algoritmo che permentte di costruire a partire da una N-matrice 𝐴 la coppia di 𝑆𝑆𝑌𝑇 (𝑃, 𝑄) di stessa forma.

Sia 𝐴 = (𝑎𝑖 𝑗) una N-matrice innita con niti elementi non nulli; esisteranno

dunque un n e un m tali che 𝑎𝑖 𝑗 = 0 per 𝑖 > 𝑛 e 𝑗 > 𝑚, e possiamo pensare

quindi 𝐴 come una matrice 𝑛 × 𝑚. Alla matrice 𝐴 si può associare univocamente una matrice di 2 righe

𝜔𝐴=

𝑖₁ 𝑖₂. . . 𝑖𝑘

𝑗₁ 𝑗₂. . . 𝑗𝑘

!

nel modo seguente: per ogni elemeto (𝑎𝑖 𝑗) in 𝐴, la colonna (𝑖, 𝑗) compare in 𝜔𝐴

esattamente (𝑎𝑖 𝑗) volte, e gli elemti di 𝜔𝐴 sono ordinati in modo che 𝑖ℎ ≤ 𝑖ℎ+1

e se 𝑖ℎ = 𝑖ℎ+1 allora 𝑗ℎ ≤ 𝑗ℎ+1 (ovvero si può pensare di scorrere 𝐴 per righe da

sinistra verso destra). A questo punto da 𝜔𝐴 si costruisce una coppia di 𝑆𝑆𝑌𝑇

(𝑃, 𝑄)con il seguente metodo; iniziando da (𝑃(0), 𝑄(0)) = (∅, ∅) si costruiscono ricorsivamente:

ˆ 𝑃(ℎ + 1), che si ottiene inserendo 𝑗ℎ+1 in 𝑃(ℎ),

ˆ 𝑄(ℎ+1), che si ottiene da 𝑄(ℎ) aggiungendo una cella in modo che 𝑄(ℎ+1) abbia la stessa forma di 𝑃(ℎ + 1), in particolare tale cella viene posta alla ne della riga a cui deve essere aggiunta, e riempendo tale cella con 𝑖ℎ₊₁,

dopodichè si denisce (𝑃, 𝑄) = (𝑃(𝑘), 𝑄(𝑘)). Si dimostra che eettivamente 𝑃 e 𝑄 sono 𝑆𝑆𝑌𝑇, e si ha 𝑡𝑖𝑝𝑜(𝑃) = 𝐶𝑜𝑙(𝐴), 𝑡𝑖𝑝𝑜(𝑄) = 𝑅𝑜𝑤(𝐴) per come si è costruito 𝜔𝐴. Inoltre poichè 𝑄 "registra" l'ordine degli inserimenti in 𝑃, tale

algoritmo è invertibile, ovvero è possibile risalire a 𝜔𝐴, e conseguentemente ad

𝐴, a partire dalla coppia si 𝑆𝑆𝑌𝑇 (𝑃, 𝑄).  Prima di analizzare le conseguenze del teorema precedente per le funzioni di Schur, presentiamo un esempio per rendere più chiaro l'eettivo comportamento

1.8 Funzioni di Schur 35 dell'algoritmo RSK. Esempio: Sia 𝐴= © ­ ­ ­ « 0 1 0 2 0 1 0 2 0 ª ® ® ® ¬ Allora si ha 𝜔𝐴= 1 2 2 2 3 3 2 1 1 3 2 2 !

e la costruzione iterativa di 𝑃(𝑖), 𝑄(𝑖) è la seguente (a sinistra sulla riga 𝑖-esima si ha 𝑃(𝑖), a destra 𝑄(𝑖)): 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 1 3 2 1 2 2 2 1 1 2 2 3 1 2 2 2 3 1 1 2 2 2 3 1 2 2 3 2 3

Dove l'ultima coppia di SSYT rappresenta il risultato nale dell'algoritmo RSK. Osserviamo inoltre che 𝐶𝑜𝑙(𝐴) = (2, 3, 1) = 𝑡𝑖𝑝𝑜(𝑃), 𝑅𝑜𝑤(𝐴) = (1, 3, 2) = 𝑡𝑖 𝑝 𝑜(𝑄).

Dall'esistenza di questo algortimo segue direttamente il prossimo risultato per le funzioni di Schur.

Teorema 1.8.3. Vale la seguente identità, nota come identità di Cauchy: Ö 𝑖 , 𝑗 (1 − 𝑥𝑖𝑦𝑗) −1₌ Õ 𝜆∈𝑃𝑎𝑟 𝑠𝜆(𝑥)𝑠𝜆(𝑦).

Dimostrazione. Il coeciente del termine 𝑥𝛼

𝑦𝛽 nell'espansione del prodotto a sinistra è dato dal numero delle N-matrici 𝐴 che soddisfano 𝑅𝑜𝑤(𝐴) = 𝛼, 𝐶 𝑜𝑙( 𝐴) = 𝛽 (come visto nella Proposizione 1.4.2), mentre il coeciente di 𝑥𝛼𝑦𝛽

nella sommatoria a destra è dato dal numero di coppie di 𝑆𝑆𝑌𝑇 (𝑃, 𝑄) che sod-disno 𝑡𝑖𝑝𝑜(𝑃) = 𝛼, 𝑡𝑖𝑝𝑜(𝑄) = 𝛽. La trasposizione fornisce una biezione fra le N-matrici 𝐴 che vericano 𝑅𝑜𝑤(𝐴) = 𝛼, 𝐶𝑜𝑙(𝐴) = 𝛽 e quelle che vericano 𝐶 𝑜𝑙( 𝐴) = 𝛼, 𝑅𝑜𝑤(𝐴) = 𝛽, e queste sono in corrispondenza biunivoca con le coppie di 𝑆𝑆𝑌𝑇 (𝑃, 𝑄) che soddisfano 𝑡𝑖𝑝𝑜(𝑃) = 𝛼, 𝑡𝑖𝑝𝑜(𝑄) = 𝛽 tramite l'algo-ritmo RSK. Pertanto il coeciente di ogni monomio 𝑥𝛼

𝑦𝛽 è uguale nelle due

espressioni. 

Corollario 1.8.4. Le funzioni di Schur formano una base di Λ ortonormale. Dimostrazione. Dal teorema precedente e dal Lemma 1.7.1 segue che la base di Schur è la base duale di se stessa, ovvero h𝑠𝜆, 𝑠𝜇i = 𝛿𝜆 𝜇. 

Dunque le funzioni di Schur sono una base ortonormale dello spazio delle funzioni simmetriche. Inoltre tale base è unitriangolare rispetto alla base mono-miale, e da ciò segue che le funzioni di Schur in cui compaiono soltanto monomi di lunghezza ≤ n (i.e. le funzioni 𝑠𝜆 con 𝑙(𝜆) ≤ 𝑛) ridotte ad 𝑛 variabili

costi-tuiscono ancora una base per lo spazio dei polinomi simmetrici in 𝑛 variabili (osservazione 1.8.1). Possiamo dunque denire un prodotto scalare h·, ·i𝑛 in Λ𝑛

richiedendo che {𝑠𝜆; 𝑙 (𝜆) ≤ 𝑛}sia ancora una base ortonormale di Λ𝑛, ovvero

h𝑟𝑛(𝑠𝜆), 𝑟𝑛(𝑠𝜇)i = 𝛿𝜆 𝜇 per 𝑙(𝜆), 𝑙(𝜇) ≤ 𝑛.

Dalle proprietà ortonormali della base di Schur segue inoltre il seguente risul-tato, che identica la matrice di cambiamento di base dalla base delle funzioni omogenee complete a quella di Schur.

Proposizione 1.8.3. Si ha ℎ𝜇 = Õ 𝜆 𝐾𝜆 𝜇𝑠𝜆. Dimostrazione. Sia ℎ𝜇 = Í 𝜆𝑎𝜆 𝜇𝑠𝜆; allora hℎ𝜇, 𝑠𝜆i = h Õ 𝜆 𝑎𝜆 𝜇𝑠𝜆, 𝑠𝜆i = 𝑎𝜆 𝜇

per linearità del prodotto scalare e ortonormalità della base di Schur. D'altron-de,

hℎ𝜇, 𝑠𝜆i = hℎ𝜇,

Õ

𝜌

1.8 Funzioni di Schur 37 dalla espressione di 𝑠𝜆 rispetto alla base monomiale e dalla dualità delle basi

monomiale e completa. Segue dunque che 𝑎𝜆 𝜇= 𝐾𝜆 𝜇. 

Modicando leggermente l'algoritmo RSK, si riesce ad ottenere un altro risultato utile per lo studio del comportamento delle funzioni di Schur.

Teorema 1.8.5. Esiste una biezione fra le (0, 1)-matrici con un numero nito di elementi non nulli e le coppie (𝑃, 𝑄) tali che (𝑃𝑡

, 𝑄) è una coppia di 𝑆𝑆𝑌𝑇 e 𝑃 e 𝑄 hanno la stessa forma. In particolare se la (0, 1)-matrice 𝐴 è posta in corrispondenza con la coppia (𝑃, 𝑄), si ha 𝑡𝑖𝑝𝑜(𝑃) = 𝐶𝑜𝑙(𝐴) e 𝑡𝑖𝑝𝑜(𝑄) = 𝑅 𝑜𝑤( 𝐴).

Dimostrazione. La prova è simile a quella del Teorema 1.8.2. L'algoritmo che si considera procede in modo analogo all'algoritmo RSK, ma l'operazione di inserimento di un numero 𝑘 in una tabella viene denita in modo che 𝑘 si sostituisca al numero più a sinistra che sia maggiore o uguale di 𝑘 (invece che maggiore stretto come nell'algoritmo RSK "classico"). Ci si riferisce a tale variazione dell'algoritmo RSK con il termine "algoritmo RSK duale".  Anche qui vediamo un esempio per chiarire come proceda l'algoritmo RSK duale. Esempio: Sia 𝐴= © ­ ­ ­ ­ ­ « 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 ª ® ® ® ® ® ¬ Allora si ha 𝜔𝐴= 1 2 2 3 3 4 4 2 1 3 1 2 2 3 !

e la costruzione iterativa di 𝑃(𝑖), 𝑄(𝑖) è la seguente (a sinistra sulla riga i-esima si ha 𝑃(𝑖), a destra 𝑄(𝑖)): 2 1 1 2 1 2 1 3 2 1 2 2

1 3 1 2 1 2 2 3 1 2 1 3 2 1 2 2 3 3 1 2 1 2 2 3 1 2 2 3 3 4 1 2 3 1 2 2 3 1 2 4 2 3 3 4

Dove l'ultima coppia di tabelle rappresenta il risultato nale dell'algoritmo RSK. Osserviamo inoltre che 𝐶𝑜𝑙(𝐴) = (2, 3, 1) = 𝑡𝑖𝑝𝑜(𝑃), 𝑅𝑜𝑤(𝐴) = (1, 3, 2) = 𝑡𝑖 𝑝 𝑜(𝑄).

Analogamente a come si è ricavata l'identità di Cauchy quindi, si ottiene il sguente risultato.

Teorema 1.8.6. Vale la seguente identità, nota come identità di Cauchy duale: Ö 𝑖 , 𝑗 (1 + 𝑥𝑖𝑦𝑗) = Õ 𝜆∈𝑃𝑎𝑟 𝑠𝜆(𝑥)𝑠𝜆0(𝑦).

Dimostrazione. Il coeciente del termine 𝑥𝛼

𝑦𝛽 nell'espansione del prodotto a sinistra è dato dal numero delle (0, 1)-matrici 𝐴 che soddisfano 𝑅𝑜𝑤(𝐴) = 𝛼, 𝐶 𝑜𝑙( 𝐴) = 𝛽 (come visto nella Proposizione 1.3.2), mentre il coeciente di 𝑥𝛼𝑦𝛽 nella sommatoria a destra è dato dal numero di coppie (𝑃, 𝑄) di tabelle di stessa forma, con (𝑃𝑡

, 𝑄)coppia di 𝑆𝑆𝑌𝑇, che soddisno 𝑡𝑖𝑝𝑜(𝑃) = 𝛼, 𝑡𝑖𝑝𝑜(𝑄) = 𝛽. La trasposizione fornisce una biezione fra le (0, 1)-matrici 𝐴 che vericano 𝑅 𝑜𝑤( 𝐴) = 𝛼, 𝐶𝑜𝑙(𝐴) = 𝛽 e quelle che vericano 𝐶𝑜𝑙(𝐴) = 𝛼, 𝑅𝑜𝑤(𝐴) = 𝛽, e queste tramite l'algoritmo RSK duale sono in corrispondenza biunivoca con le i coppie (𝑃, 𝑄) come sopra che soddisfano 𝑡𝑖𝑝𝑜(𝑃) = 𝛼, 𝑡𝑖𝑝𝑜(𝑄) = 𝛽 . Pertanto il coeciente di ogni monomio 𝑥𝛼

𝑦𝛽 è uguale nelle due espressioni.  Da questi risultati possiamo dedurre come agisce l'endomorsmo 𝜔 sulle funzioni di Schur.

Teorema 1.8.7. Per ogni 𝜆 ∈ 𝑃𝑎𝑟 si ha 𝜔(𝑠𝜆) = 𝑠𝜆0.