In questa sezione enunciamo alcune proprietà, spesso combinatorie, delle funzione di Jack; in particolare, ci soermeremo sulla generalizzazione in questo caso più ampio di molte delle proprietà delle funzioni di Schur studiate nel capitolo precedente.
Osserviamo in primo luogo alcuni casi particolari. Proposizione 2.3.1. Si hanno le seguenti identità:
𝑃1𝛼𝑟 = 𝑚1𝑟 = 𝑒𝑟
𝑃1
𝜆 = 𝑠𝜆.
Dimostrazione. La prima identità è vera per struttura unitriangolare delle fun- zioi di Jack rispetto alla base monomiale, considerando che 1𝑟 è il minimo delle
partizioni di 𝑟 secondo l'ordine di dominanza. La seconda identità segue dall'u- nicità della base di Jack, che è caratterizzata dall'essere unitriangolare rispetto alla monomiale con ordine di dominanza e ortogonale, in quanto le funzioni di Schur soddisfano tali proprietà (osservando che il prodotto scalare h·, ·i1coincide
con quello de nito nel capitolo 1). Dalla de nizione delle funzioni di Jack, inoltre, risulta immediato il seguente risultato.
Proposizione 2.3.2. Si ha che 𝑟𝑛(𝑃 𝛼
𝜆) ≠ 0se e solo se 𝑙(𝜆) ≤ 𝑛.
Dimostrazione. Segue direttamente dal fatto che la matrice di cambiamento di base fra funzioni di Jack e base monomiale è unitriangolare. Le funzioni di Jack sono inoltre ortogonali per costruzione; tuttavia, mentre le funzioni di Schur costituivano una base ortonormale, non c'è alcuna ragione per cui in generale la forma quadratica calcolata nelle funzioni di Jack debba essere 1. Tuttavia quest'ultima è calcolabile esplicitamente e per scriverla in forma compatta introduciamo le seguenti notazioni, che generalizzano quella di "uncino" data nel capitolo precedente.
De nizione 2.3.1. Sia 𝜆 ∈ 𝑃𝑎𝑟, e sia 𝑠 la cella di posto (𝑖, 𝑗) nel diagramma di Ferrers di 𝜆. Allora, usando le notazioni della de nizione 1.8.2, poniamo
ℎ
𝑢 𝑝
𝜆 (𝛼; 𝑠) = 𝛼(𝑎𝜆(𝑠) + 1) + 𝑙𝜆(𝑠),
ℎ𝑙 𝑜 𝑤
2.3 Prime proprietà delle funzioni di Jack 69 tali elementi di 𝐹 vengono talvolta indicati rispettivamente come "uncino supe- riore" ed "uncino inferiore" relativo ad 𝑠 in 𝜆.
Si ha il seguente risultato.
Proposizione 2.3.3. Indichiamo con 𝑏𝛼
𝜆 l'inverso della forma quadratica cal-
colata in 𝑃𝛼 𝜆, ossia 𝑏𝛼 𝜆 = h𝑃 𝛼 𝜆, 𝑃 𝛼 𝜆i −1 𝛼 . Allora si ha 𝑏𝛼 𝜆 = Ö 𝑠∈𝜆 ℎ𝑙 𝑜 𝑤 𝜆 (𝛼; 𝑠) ℎ 𝑢 𝑝 𝜆 (𝛼; 𝑠) .
Con questa notazione de niamo la base duale della base di Jack, che indi- chiamo come 𝑄𝛼 𝜆 = 𝑏 𝛼 𝜆𝑃 𝛼 𝜆
che per de nizione di 𝑏𝛼
𝜆, data l'ortogonalità della base di Jack, soddisfa
h𝑃𝛼 𝜆, 𝑄
𝛼
𝜇i𝛼= 𝛿𝜆 𝜇.
Osserviamo che nel caso 𝛼 = 1 sia l'uncino superiore che quello inferiore coinci- dono con l'uncino de nito nel capitolo 1, pertanto si ha 𝑏1
𝜆 =1, coerentemente
con il fatto che h𝑃1 𝜆, 𝑃 1 𝜆i1= h𝑠 1 𝜆, 𝑠 1 𝜆i1=1, e in particolare 𝑄 1 𝜆 = 𝑃 1 𝜆 = 𝑠𝜆.
Possiamo inoltre chiederci come agisca l'endomor smo 𝜔𝛼 sulle funzioni 𝑃 𝛼 𝜆,
ricordando che nel caso 𝛼 = 1 si ha 𝜔𝑠𝜆= 𝑠𝜆0.
Proposizione 2.3.4. L'endomor smo 𝜔𝛼 agisce sulla base di Jack nel modo
seguente: 𝜔𝛼𝑃 𝛼 𝜆 = 𝑄 𝛼−1 𝜆0 .
Da tale risultato possiamo anche dedurre che 𝑄𝛼 𝑟 = 𝑔 𝛼 𝑟. Infatti 𝑄𝑟𝛼 = 𝜔𝛼−1𝑃 𝛼−1 1𝑟 = 𝜔𝛼−1𝑒𝑟 = 𝑔 𝛼 𝑟.
Le formule di Pieri, che esprimono il il prodotto di funzioni di Schur con funzioni elementari e complete del tipo 𝑒𝑛, ℎ𝑛, hanno un'elegante generalizazione
Proposizione 2.3.5. Valgono le seguenti identità, note come Formule di Pieri per le funzioni di Jack:
𝑃𝛼 𝜇𝑔 𝛼 𝑟 = Õ 𝜆 𝜙𝜆/𝜇𝑃𝛼
𝜆, dove 𝜆 ∈ 𝑃𝑎𝑟 tale che 𝜆/𝜇 è r-striscia orizzontale,
𝑄𝛼 𝜇𝑔 𝛼 𝑟 = Õ 𝜆 𝜓𝜆/𝜇𝑄𝛼
𝜆, dove 𝜆 ∈ 𝑃𝑎𝑟 tale che 𝜆/𝜇 è r-striscia orizzontale,
𝑄𝛼 𝜇𝑒𝑟= Õ 𝜆 𝜙0 𝜆/𝜇𝑄 𝛼
𝜆, dove 𝜆 ∈ 𝑃𝑎𝑟 tale che 𝜆/𝜇 è r-striscia verticale,
𝑃𝛼 𝜇𝑒𝑟 = Õ 𝜆 𝜓0 𝜆/𝜇𝑃 𝛼
𝜆, dove 𝜆 ∈ 𝑃𝑎𝑟 tale che 𝜆/𝜇 è r-striscia verticale.
I coe cienti sono de niti nel modo seguente: 𝜙𝜆/𝜇= Ö 𝑠∈𝐶𝜆/𝜇 ℎ𝑙 𝑜 𝑤 𝜆 (𝑠; 𝛼) ℎ 𝑢 𝑝 𝜆 (𝑠; 𝛼) ℎ 𝑢 𝑝 𝜇 (𝑠; 𝛼) ℎ𝑙 𝑜 𝑤𝜇 (𝑠; 𝛼) , 𝜓𝜆/𝜇= Ö 𝑠∈𝑅𝜆/𝜇−𝐶𝜆/𝜇 ℎ𝑙 𝑜 𝑤 𝜇 (𝑠; 𝛼) ℎ𝑢 𝑝𝜇 (𝑠; 𝛼) ℎ 𝑢 𝑝 𝜆 (𝑠; 𝛼) ℎ𝑙 𝑜 𝑤 𝜆 (𝑠; 𝛼) . 𝜙0 𝜆/𝜇= Ö 𝑠∈𝑅𝜆/𝜇 ℎ𝑙 𝑜 𝑤𝜇 (𝑠; 𝛼) ℎ 𝑢 𝑝 𝜇 (𝑠; 𝛼) ℎ𝑢 𝑝 𝜆 (𝑠; 𝛼) ℎ𝑙 𝑜 𝑤 𝜆 (𝑠; 𝛼) , 𝜓𝜆/𝜇0 = Ö 𝑠∈𝐶𝜆/𝜇−𝑅𝜆/𝜇 ℎ𝑙 𝑜 𝑤 𝜆 (𝑠; 𝛼) ℎ 𝑢 𝑝 𝜆 (𝑠; 𝛼) ℎ 𝑢 𝑝 𝜇 (𝑠; 𝛼) ℎ𝑙 𝑜 𝑤𝜇 (𝑠; 𝛼) .
Dove 𝐶𝜆/𝜇 (rispettivamente 𝑅𝜆/𝜇) denota l'unione delle colonne (rispettivamen-
te righe) di 𝜇 che intersecano 𝜆/𝜇. 𝑠 𝑠
𝑠 𝑠
Figura 2.1: Le celle di 𝐶𝜆/𝜇 con 𝜆 = (5, 4, 2, 2) e 𝜇 = (5, 3, 2, 1) sono quelle
evidenziate in gura con delle 𝑠.
Si osservi che tali formule sono in realtà tutte equivalenti: se ad esempio si assume la prima, la seconda è semplicemente una sua riformulazione ricordando
2.3 Prime proprietà delle funzioni di Jack 71 che 𝑄𝛼 𝜆 = 𝑏 𝛼 𝜆𝑃 𝛼 𝜆 e l'espressione di 𝑏 𝛼
𝜆 data nella Proposizione 2.3.3, mentre la
terza e la quarta si ottengono applicando l'endomor smo 𝜔𝛼 rispettivamente
alla prima e alla seconda equazione.
Con opportune manipolazioni, da tali formule si ottiene un'interpretazione com- binatoria per i coe cienti 𝑢𝜆 𝜇 dell'espansione di 𝑃
𝛼
𝜆 nella base monomiale,
ovvero per la generalizzazione dei numeri di Kostka.
Proposizione 2.3.6. Sia 𝑢𝜆 𝜇 il coe ciente relativo a 𝑚𝜇 nell'espansione di 𝑃 𝛼 𝜆
nella base monomiale, i.e 𝑃𝛼 𝜆 = Í 𝜇≤𝜆𝑢𝜆 𝜇𝑚𝜇. Allora si ha 𝑢𝜆 𝜇= Õ 𝑇
𝜓𝑇, dove T varia nelle SSYT di forma 𝜆 e tipo 𝜇,
dove de niamo 𝜓𝑇 con 𝑇 𝑆𝑆𝑌𝑇 di forma 𝜆 e tipo 𝜇 nel modo seguente:
si consideri la sequenza di partizioni ∅ = 𝜆0 ⊂ 𝜆1⊂ · · · ⊂ 𝜆𝑙( 𝜇) = 𝜆 determinata
da 𝑇 in modo che 𝜆𝑖 sia la partizione relativa al diagramma di Ferrers costituito
dalle celle di 𝑇 aventi come riempimento un numero in {1, 2, . . . , 𝑖}; si ha 𝜓𝑇 =
𝑙( 𝜇)
Ö
𝑖=1
𝜓𝜆𝑖/𝜆𝑖−1,
dove 𝜓𝜌/𝜂, con 𝜂 ⊂ 𝜌 ∈ 𝑃𝑎𝑟, è de nito come nella proposizione precedente.
Illustriamo il contenuto della proposizione precedente tramite un esempio: 𝑃𝛼
(2,1) = 𝑚(2,1) + 𝑢(2,1) , (1,1,1)𝑚(1,1,1).
Calcoliamo 𝑢(2,1) , (1,1,1) tramite la proposizione precedente; le 𝑆𝑆𝑌𝑇 di forma
(2, 1)e tipo (1, 1, 1) sono le seguenti:
1 2 3 1 3 2 consideriamo 𝑇1= 1 2 3 ;
la sequenza di partizioni ad essa associata è ∅ ⊂ (1) ⊂ (2) ⊂ (2, 1). Si ha 𝜓(1)/∅=1, perchè la produttoria è vuota,
𝜓(2)/(1) = ℎ𝑙 𝑜 𝑤 (1) ( (1, 1); 𝛼) ℎ 𝑢 𝑝 1 ( (1, 1); 𝛼) ℎ 𝑢 𝑝 (2)( (1, 1); 𝛼) ℎ𝑙 𝑜 𝑤 (2) ( (1, 1); 𝛼) = 1 𝛼 2𝛼 𝛼+ 1 , 𝜓(2,1)/(2) =1, perchè la produttoria è vuota.
Pertanto 𝜓𝑇1 = 1 𝛼 2𝛼 𝛼+ 1 . Consideriamo ora 𝑇2= 1 3 2 ;
la sequenza di partizioni ad essa associata è ∅ ⊂ (1) ⊂ (1, 1) ⊂ (2, 1). Si ha 𝜓(1)/∅=1, perchè la produttoria è vuota,
𝜓(1,1)/(1)=1, perchè la produttoria è vuota, 𝜓(2,1)/(1,1)= ℎ𝑙 𝑜 𝑤 (1,1)( (1, 1); 𝛼) ℎ 𝑢 𝑝 1,1( (1, 1); 𝛼) ℎ 𝑢 𝑝 (2,1)( (1, 1); 𝛼) ℎ𝑙 𝑜 𝑤 (2,1)( (1, 1); 𝛼) = 2 𝛼+ 1 1 + 2𝛼 𝛼+ 2 . Pertanto 𝜓𝑇2 = 2 𝛼+ 1 1 + 2𝛼 𝛼+ 2 . Si ha quindi 𝑢𝜆 𝜇= 𝜓𝑇1+ 𝜓𝑇2 = 2 𝛼+ 1 1 + 2𝛼 𝛼+ 2 + 2 𝛼+ 1 1 + 2𝛼 𝛼+ 2 = 6 𝛼+ 2 , ovvero 𝑃𝛼 (2,1) = 𝑚(2,1)+ 6 𝛼+ 2 𝑚(1,1,1).
Osserviamo ora il comportamento delle funzioni di Jack sotto l'azione della valutazione costante.
Proposizione 2.3.7. Sia 𝑛 ∈ N, 𝜆 ∈ 𝑃𝑎𝑟; allora si ha 𝑃𝜆(1 𝑛 ) =Ö 𝑠∈𝜆 𝑛+ 𝛼𝑎0 𝜆(𝑠) − 𝑙 0 𝜆(𝑠) ℎ𝑙 𝑜 𝑤 𝜆 (𝑠; 𝛼) .
In ultimo, segnaliamo che spesso si considera una modi ca delle funzioni di Jack ottenuta tramite una moltiplicazione per scalare: si de nisce
𝑐𝛼 𝜆 = Ö 𝑠∈𝜆 ℎ𝑙 𝑜 𝑤 𝜆 (𝑠; 𝛼) e si pone 𝐽𝛼 𝜆 = 𝑐 𝛼 𝜆𝑃 𝛼 𝜆.
L'interesse nel considerare queste funzioni invece delle funzioni di Jack 𝑃𝛼 𝜆 risiede
nel fatto che i coe cienti di tali funzione rispetto alla base monomiale sono polinomi in 𝛼 a coe cienti interi e positivi (ovvero sono elementi di N[𝛼]).
2.3 Prime proprietà delle funzioni di Jack 73 Ad esempio, per quanto riguarda 𝑃𝛼
(2,1), di cui abbiamo calcolato i coe cienti
precedentemente, si ha 𝑐𝛼
𝜆 = (𝛼 +2), pertanto
Funzioni simmetriche nel
superspazio e superfunzioni di
Jack
3.1 Superpartizioni 75
3.1 Superpartizioni
L'argomento di questo capitolo sono le funzioni supersimmetriche, ovvero funzioni simmetriche in cui accanto alle variabili classiche commutative com- paiono anche delle nuove variabili anticommutative. Come per indicizzare gli elementi di una base dello spazio delle funzioni simmetriche abbiamo avuto bi- sogno della nozione di partizione, così per le basi dello spazio delle funzioni supersimmetriche dobbiamo de nire le "superpartizioni". Per tali oggetti pre- senteremo ora due rappresentazioni equivalenti, poichè a seconda dell'utilizzo l'una può risultare più comoda dell'altra.
De nizione 3.1.1. Una superpartizione Λ di grado (𝑛|𝑚), in cui 𝑛 si dice "grado pari" ed 𝑚 "grado dispari" della partizione, è una coppia di partizioni
Λ = (Λ𝑎 ; Λ𝑠 ) = (Λ1, . . . ,Λ𝑚; Λ𝑚+1, . . . ,Λ𝑙) che soddisfa Λ1>Λ2>· · · > Λ𝑚≥ 0, Λ𝑚+1 ≥ Λ𝑚+2 ≥ · · · ≥ Λ𝑙 >0 e tale che 𝑚= 𝑙 (Λ𝑎), 𝑛= |Λ| = 𝑙 Õ 𝑖=1 Λ𝑖.
Diciamo che il numero di interi non negativi che compaiono in Λ in tale rap- presentazione è la lunghezza di Λ, e scriviamo 𝑙(Λ) = 𝑙.
L'insieme delle superpartizioni di grado (𝑛|𝑚) si indica con SPar(n|m); se Λ ∈ 𝑆𝑃𝑎𝑟 (𝑛|𝑚) scriviamo Λ ` (𝑛|𝑚).
Alternativamente, possiamo descrivere una superpartizione nel modo seguente. De nizione 3.1.2. Una superpartizione Λ di grado (𝑛|𝑚) e lunghezza 𝑙 è de- scritta da una coppia di partizioni, che denotiamo con (Λ∗; Λ), che soddisi no
Λ∗⊂ Λ, ossia Λ∗ 𝑖 ≤ Λ 𝑖 per ogni 𝑖 = 1, . . . , 𝑙; |Λ∗| = 𝑛; 𝑙(Λ) = 𝑙;
Le due de nizioni sono equivalenti. Infatti la biezione fra le due rappresen- tazioni è data dalla funzione che associa ad ogni coppia (Λ∗
,Λ) che soddis la
seconda de nizione una coppia (Λ𝑎; Λ𝑠)de nita in modo tale che le componenti
di Λ𝑠 siano date dagli elementi di Λ∗ che soddisfano Λ 𝑖 = Λ
∗
𝑖, mentre quelle
di Λ𝑎 siano gli elementi di Λ∗ che soddisfano Λ 𝑖 ≠ Λ
∗
𝑖; la coppia di partizioni
così ottenuta è una superpartizione perchè gli elementi di Λ𝑎 sono tutti distinti
(perchè Λ/Λ∗ è una striscia verticale), inoltre se (Λ,Λ∗) aveva grado (𝑛|𝑚) (rispetto alla de nizione data per la seconda rappresentazione) allora anche la superpartizione (Λ𝑎
; Λ𝑠
) associata avrà grado (𝑛|𝑚) (rispetto alla de nizione data per la prima rappresentazione): poichè le sue componenti sono esattamen- te le stesse di Λ∗, deduciamo che il grado pari è 𝑛, mentre il grado dispari è 𝑚
perchè Λ/Λ∗è una 𝑚-striscia orizzontale e verticale. Il fatto che tale mappa sia
una biezione si può mostrare de nendo l'inversa, che è la funzione che data una coppia (Λ𝑎
,Λ𝑠) che soddis la prima de nizione vi associa una coppia (Λ∗,Λ)
de nita in modo che Λ∗ sia ottenuta ordinando in modo decrescente tutte le
componenti di (Λ𝑎; Λ𝑠), mentre Λsia ottenuta ordinando in modo decrescente
tutte le componenti di Λ𝑠 e quelle di Λ𝑎 aumentate di 1.
Ad esempio: sia
Λ = (Λ𝑎
; Λ𝑠
) = (5, 3, 0; 4, 3, 1, 1)
una superpartizione di grado (3|17) e lunghezza 𝑙(Λ) = 7. Questa può essere rappresentata anche dalle due partizioni
Λ∗= (5, 4, 3, 3, 1, 1) Λ= (6, 4, 4, 3, 1, 1, 1).
Una rappresentazione gra ca particolarmente intuitiva delle superpartizioni è costituita dai superdiagrammi.
De nizione 3.1.3. Un superdiagramma associato ad una superpartizione Λ = è il diagramma di Ferrers relativo alla partizione Λ in cui le celle relative a
Λ/Λ∗ sono rappresentate con dei cerchi.
Ad esempio:
cosiderando la superpartizione dell'esempio precedente Λ = (5, 3, 0; 4, 3, 1, 1), che può essere rappresentata dalle partizioni Λ∗= (5, 4, 3, 3, 1, 1), Λ= (6, 4, 4, 3, 1, 1, 1),
3.1 Superpartizioni 77
Figura 3.1: Superdiagramma relativo alla superpartizione Λ = (5, 3, 0; 4, 3, 1, 1) De nizione 3.1.4. Sia Λ ∈ 𝑆𝑃𝑎𝑟(𝑛|𝑚). De niamo superpartizione coniugata di Λ la superpartizione che, nella rappresentazione della forma (Λ∗
,Λ), è data
da
Λ0= ( (Λ∗)0,(Λ)0).
Equivalentemente, Λ0è la superpartizione associata al superdiagramma ottenuto
trasponendo il superdiagramma relativo a Λ.
Ad esempio: considerando ancora la superpartizione Λ = (5, 3, 0; 4, 3, 1, 1), si ha
(Λ∗)0= (6, 4, 4, 2, 1) (Λ)0= (7, 4, 4, 3, 1, 1),
dunque nella rappresentazione della forma (Λ𝑎
; Λ𝑠
) si ha Λ0 = (6, 2, 0; 4, 4, 1). Gra camente, il superdiagramma relativo a tale superpatizione è il trasposto di quello rappresentato in gura 3.1:
Figura 3.2: Superdiagramma relativo alla superpartizione Λ = (6, 2, 0; 4, 4, 1) Come nel caso delle partizioni, è possibile de nire degli ordinamenti su 𝑆𝑃𝑎𝑟 (o su 𝑆𝑃𝑎𝑟(𝑛|𝑚) con 𝑛, 𝑚 ssati).
Siano Ω, Λ ∈ 𝑆𝑝𝑎𝑟. Diciamo che Ω ⊆ Λ se e solo se Ω∗⊆ Λ∗ Ω⊆ Λ,
ovvero se Ω∗ 𝑖 ≤ Λ ∗ 𝑖 e Ω 𝑖 ≤ Λ
𝑖 per ogni 𝑖. Gra camente, Ω ⊆ Λ se e solo
se il superdiagramma di Ω è contenuto in quello di Λ, con la convenzione che un cerchio può essere contenuto in un quadrato ma non viceversa. Siano Ω, Λ ∈ 𝑆𝑝𝑎𝑟(𝑛|𝑚). Diciamo che Ω ≤ Λ se e solo se
Ω∗≤ Λ∗ Ω≤ Λ, ovvero se Í𝑘 𝑖=1Ω ∗ 𝑖 ≤ Í𝑘 𝑖=1Λ ∗ 𝑖 e Í 𝑘 𝑖=1Ω𝑖 ≤ Í𝑘
𝑖=1Λ𝑖 per ogni 𝑘. Tale ordine
è un'estensione dell'ordine di dominanza classico alle superpartizioni, ed è un ordine parziale su 𝑆𝑃𝑎𝑟(𝑛|𝑚) con 𝑛, 𝑚 ssati. Gra camente, Ω ≤ Λ se e solo se il superdiagramma di Ω si può ottenere da quello di Λ "trasportando in basso" dei quadrati o dei cerchi.