Capitolo 3 Gasdyn e OptimICE
3.1 Gasdyn
Gasdyn è un codice di simulazione dei processi che avvengono nei motori a combustione interna, sviluppato all‟interno del Dipartimento di Ingegneria Energetica del Politecnico di Milano e scritto in linguaggio FORTRAN. Il programma permette di ricostruire uno schema sufficientemente accurato non solo del motore, ma anche di tutti i restanti componenti che concorrono alla realizzazione del sistema, fornendo in uscita tutte quelle variabili che sono reputate interessanti, come coppia erogata, consumo specifico, composizione chimica dei gas allo scarico, e se selezionato, il livello di pressione sonora in corrispondenza delle sezioni di aspirazione e scarico.
La modellazione prevede di selezionare tutte le caratteristiche geometriche del motore, come ad esempio la geometria della camera e delle valvole, le leggi di alzata, la tipologia di combustibile e il modello di reazione chimica per il processo di combustione. Poi vengono introdotti gli altri elementi come valvole a farfalla, giunzioni, perdite di carico localizzate e distribuite, catalizzatori, filtri, turbocompressori: questi poi vengono collegati tra loro per mezzo di condotti. Nella realtà i fenomeni che interessano il fluido di lavoro sono pluridimensionali e tempo-dipendenti e una simulazione che intendesse descrivere esaustivamente tali processi dovrebbe impiegare le equazioni di Navier-Stokes; tuttavia è possibile introdurre una semplificazione ritenendo il flusso monodimensionale all‟interno dei condotti, riducendo enormemente l‟onere computazionale. Il codice infatti considera che le caratteristiche del fluido varino solo lungo l‟ascissa curvilinea, in quanto i condotti sono a sezione costante o al più con
leggere variazioni, e nel tempo. La risoluzione comporta quindi la scrittura delle equazioni di conservazione della massa, della quantità di moto e dell‟energia all‟interno di condotti a sezione pressoché costante, alle cui estremità sono presenti delle discontinuità rappresentate dai vari elementi del sistema già elencati. Il codice tratta le discontinuità come elementi black-box: questo significa che ad ogni subroutine rappresentate una condizione al contorno viene fornito un set di valori in input, che viene elaborato dalla subroutine stessa; poi il codice restituisce i valori in output, perdendo però traccia di ciò che è stato elaborato.
3.1.1 Metodi numerici
I principi di conservazione della massa, della quantità di moto e dell‟energia porta alla scrittura delle rispettive equazioni [1]:
𝜕𝜌 𝜕𝑡+ 𝜕𝜌𝑢 𝜕𝑥 + 𝜌𝑢 𝐴 𝜕𝐴 𝜕𝑥 (3. 16) 𝜕 𝜌𝑢 𝜕𝑡 + 𝜕 𝜌𝑢2+𝑝 𝜕𝑥 + 𝜌𝑢2 𝐴 𝜕𝐴 𝜕𝑥+ 𝜌𝐺 = 0 (3. 17) 𝜕 𝜌𝑒0 𝜕𝑡 + 𝜕 𝜌𝑢 0 𝜕𝑥 + 𝜌𝑢 0 𝐴 𝜕𝐴 𝜕𝑥 + 𝜌𝑞 = 0 (3. 18)
dove ρ rappresenta la densità del fluido, u la velocità lungo l‟ascissa curvilinea x, p la pressione, A l‟area della sezione trasversale del condotto e q il calore scambiato per unità di tempo e di massa, mentre G è la funzione:
𝐺 =1 2𝑢 𝑢 𝑓
4 𝐷
con D il diametro della sezione e f il coefficiente d‟attrito.
Riorganizzando in forma vettoriale il sistema di equazioni otteniamo:
𝜕𝑊 𝜕𝑡 + 𝜕𝐹 𝑊 𝜕𝑥 + 𝐶 𝑊 = 0 (3. 19) dove: 𝑊 = 𝜌 𝜌𝑢 𝜌𝑒0 𝐹 𝑊 = 𝜌𝑢 𝜌𝑢2+ 𝑝 𝜌𝑢0 𝐶 𝑊 = 𝜌𝑢 𝜌𝑢2 𝜌𝑢0 𝑑 𝑙𝑛𝐹 𝑑𝑥 + 0 𝜌𝐺 −𝜌𝑞 Le equazioni si presentano quindi come un sistema iperbolico alle derivate parziali, la cui risoluzione può essere trovata solo per via numerica.
Il primo schema utilizzato per la risoluzione del sistema è stato il metodo delle caratteristiche, che si basava sulla forma non conservativa delle equazioni sopra citate: il metodo era in grado di cogliere le discontinuità di contatto dovute a porzioni di fluido a temperature diverse, ma non quelle di pressione, cioè le onde d‟urto.
Abbastanza recentemente sono stati introdotti metodi più accurati in grado di considerare entrambe le discontinuità, e detti perciò shock capturing; si dividono in due principali filosofie:
metodi upwind o characteristic based, che a fronte di un impiego elevato di risorse, offrono i risultati più attendibili;
metodi non-upwind o simmetrici, che al contrario utilizzano meno le risorse computazionali, ma generano una soluzione meno precisa.
In Gasdyn sono stati implementati i metodi di Lax-Wendroff e MacCormack, entrambi di tipo non-upwind, basati sullo sviluppo in serie di Taylor del vettore soluzione, simmetrici, conservativi, con accuratezza del secondo ordine ed espliciti nel tempo. Per ambedue i metodi la condizione di stabilità è assicurata dal criterio di Courant-Fredrichs-Lewy in base al quale il massimo passo ammissibile per ogni interazione è pari a:
Δ𝑡 = 𝜐 Δ𝑥 𝑢 + 𝑎
dove le velocità u e a vanno prese nel nodo dove la loro somma risulta massima e υ è un parametro compreso tra 0 e 1 che influenza la convergenza della soluzione: minore è il suo valore, tanto migliore risulta la convergenza, a scapito dei tempi di calcolo che si dilatano.
I metodi presentati, così come tutti i metodi con accuratezza del secondo ordine o superiore, presentano il problema delle oscillazioni spurie, ovvero delle fluttuazioni della soluzione imputabili non a meccanismi di natura fisica, ma di natura numerica, in corrispondenza delle discontinuità. Queste rappresentano un problema sconveniente soprattutto nei processi automatici di ottimizzazione, e rendono lungo se non impossibile il processo di determinazione della risposta ottimale. Condizione sufficiente affinché non si verifichi questo fenomeno è che il metodo sia TVD (Total Variation Diminishing): definita la variazione totale TV della soluzione 𝑊𝑛 al passo temporale t nel nodo i:
𝑇𝑉 𝑊𝑖 𝑡 = 𝑊𝑖+1𝑡 − 𝑊 𝑖𝑡 𝑁 𝑖=1 (3. 20)
perché il metodo sia detto TVD e quindi le oscillazioni spurie inesistenti deve essere verificata la disuguaglianza:
𝑇𝑉 𝑊𝑖𝑡+1 ≤ 𝑇𝑉 𝑊𝑖𝑡 (3. 21)
Purtroppo i metodi implementati non sono in origine TVD; tuttavia possono essere resi tali adottando particolari schemi risolutivi, tra cui la tecnica FCT, che introducendo una viscosità artificiale che si traduce in una diffusione numerica della soluzione, permette di correggere le oscillazioni spurie. Questo metodo consta di tre fasi:
1. transport stage: si applica il metodo scelto, il quale origina le fluttuazioni numeriche;
2. diffusion stage: si introduce il termine viscoso, che permette di eliminare le oscillazioni; tuttavia ciò comporta la determinazione di una soluzione che non rappresenta le reali discontinuità;
3. antidiffusion stage: si introduce un termine antidiffusivo che permette di ricostruire la soluzione reale senza introdurre le fluttuazioni numeriche. In ultimo è possibile anche determinare il livello temporale su cui il metodo agisce: sono state introdotte due opzioni:
dumping che agisce sulla soluzione al livello temporale corrente t;
smoothing che agisce sulla soluzione al livello temporale successivo t+1. Il primo metodo consente di eliminare quasi completamente le oscillazioni numeriche, ma è instabile, per cui bisogna ridurre il passo temporale. Il secondo metodo invece non influenza la stabilità, però non annulla completamente le fluttuazioni.