Passiamo ora ad esaminare le caratteristiche di quei bipoli che forniscono energia elettrica ai circuiti, cioè i bipoli attivi, e cominciamo da quelli che possono essere considerati ‘ideali’: i cosiddetti generatori indipendenti di tensione e di corrente. I simboli grafici che useremo per indicare questi due bipoli sono mostrati in Figura 3.24.
+ −
+ −
i(t) e(t)
v(t) i0(t) (b)
(a)
Figura 3.24: simboli per (a) il generatore di tensione e (b) per quello di corrente.
Qualche volta, specialmente se si tratta di un generatore di tensione continua, cioè costante nel tempo, si adotta anche il simbolo di Figura 3.25.
E
+ −
Figura 3.25: simbolo talvolta usato per un generatore di tensione costante.
Cominciamo col chiederci quale sia la caratteristica di un generatore ideale di tensione. In generale, un generatore ideale di tensione può imporre una tensione variabile nel tempo con una forma d’onda nota ed indipendente dalla corrente che in esso circola, cioè
v(t) = e(t), ∀ i(t) .
Il fatto che questo generatore eroghi una forma d’onda assegnata quale che sia la corrente che lo attraversa, implica che, a qualunque rete sia collegato, la tensione ai suoi capi assume sempre l’andamento temporale dettato dalla funzione e(t).
Tentiamo di spiegare perché questo bipolo è attivo e, tanto per fissare le idee, immaginiamo che esso sia collegato ad una rete ed eroghi una tensione sempre positiva. L’energia elettrica assorbita in un certo intervallo è, allora, pari a
Uel-ass(t1 , t2) = e(t)
t1
t2
i(t) dt .
La corrente ‘i(t)’ che attraversa il generatore di tensione dipende dalla rete cui è collegato e può essere definitivamente positiva, negativa, oppure a segni alterni. Se essa è negativa, cosa che può accadere, e sul bipolo si è fatto la convenzione
dell’utilizzatore, l’energia elettrica assorbita risulta negativa e da ciò discende che il generatore di tensione è un bipolo attivo.
+
−
+
−
e(t) v(t)
i(t) R0
v(t) = e(t) - R0 i(t)
Figura 3.26: generatore reale di tensione.
La caratteristica di un generatore ideale di tensione può soltanto approssimare quella di un generatore reale. È infatti implicito nella caratteristica di un generatore ideale di tensione che esso possa erogare una potenza grande quanto si vuole, al limite infinita quando la corrente è infinita. Naturalmente un generatore reale non potrà avere una tale proprietà: se la corrente che circola nel generatore diventa troppo grande la tensione non si mantiene uguale al valore che assume quando la corrente è zero (tensione a vuoto), ma diminuisce fino a tendere a zero e a cambiare segno per un valore di corrente finito che prende il nome di corrente di corto circuito del generatore. Il modo più semplice di rappresentare un generatore reale di tensione (Figura 3.26) è quello di considerare un generatore ideale di tensione con tensione uguale alla tensione a vuoto del generatore reale in serie con un resistore che porta in conto gli effetti dovuti alla
‘resistenza interna’ del generatore reale. Questo modello di generatore reale di tensione tende a quello ideale quando la resistenza interna tende a zero.
In modo del tutto simile, si può introdurre un nuovo bipolo ideale in cui circola una corrente con una forma d’onda assegnata e indipendente dalla tensione tra i terminali,
i(t) = i0(t), ∀ v(t) .
Un tale bipolo, per il quale si possono sviluppare considerazioni analoghe a quelle relative al generatore ideale di tensione, prende il nome di generatore ideale di corrente ed è anch’esso un bipolo attivo, come è facile provare ripetendo le considerazioni presentate per il caso dei generatori di tensione. Invece, un generatore reale di corrente è mostrato in Figura 3.27.
+
−
i0(t)
i(t)
v(t)
R0 i(t) = i0(t) - v(t) R0
Figura 3.27: generatore reale di corrente.
Spesso sui bipoli generatori può essere opportuno non utilizzare la convenzione normale, quella dell’utilizzatore, ma l’altra, che, per questo motivo, viene appunto detta convenzione del generatore. Comunque vi è sempre la massima libertà di adoperare la convenzione che si vuole; solo l’uso e l’abitudine ci fanno preferire talvolta l’una all’altra.
• Collegamento di generatori
Proviamo ora a prendere in considerazione i due tipi di collegamento, in serie e parallelo, che abbiamo già esaminato nel caso dei resistori, anche per i bipoli generatori. In Figura 3.28 sono mostrati quattro diversi casi ottenuti combinando generatori ideali di corrente e di tensione.
Per quanto riguarda i casi a) e b), è facile convincersi che i bipoli equivalenti, applicando la LKT in Figura 3.28a alla maglia segnata e la LKC al nodo A in Figura 3.28b, sono ancora un generatore ideale, rispettivamente di tensione pari a e1(t) + e2(t), e di corrente pari a i1(t) + i2(t).
+
− +
−
+
− A
B
+
−
+
−
− + +
−
A
B
A
B
A
B
(a) (b)
(c)
(d)
+
− I2 i(t)
i(t)
i(t)
i(t) v(t)
v(t)
v(t)
v(t) e2(t)
e2(t) e1(t)
e1(t) i1(t)
i1(t)
i2(t)
i2(t)
Figura 3.28: possibili collegamenti di generatori.
I casi c) e d) sono leggermente meno evidenti; per comprendere la natura del bipolo equivalente rappresentato nel caso c), per esempio, non basta considerare che, per il modo in cui il collegamento è realizzato, il generatore di tensione impone la sua tensione ai morsetti del bipolo equivalente. Occorre ancora mostrare che tale bipolo, deve essere in grado di erogare qualsiasi corrente mantenendo costante la sua tensione ai morsetti. Ciò è vero perché, essendo la corrente erogata dal generatore di tensione arbitraria, anche la corrente i(t) totale lo è, perché somma di una corrente fissa i1(t) e di una arbitraria i2(t):
i(t) = i1(t) [fissa] + i2(t) [arbitraria] .
Analogamente, nel caso d), avremo un generatore equivalente ideale di corrente.
Di proposito abbiamo lasciato per ultimi i due casi rappresentati in Figura 3.29, dato che tali collegamenti danno luogo a contraddizioni insanabili.
+
−
+
−
+
−
+
−
(a) (b)
e1(t) e2(t)
i(t)
v(t) v(t) i(t)
i1(t)
i2(t)
Figura 3.29: collegamenti impossibili di generatori.
Cominciamo ad esaminare il caso a). I due generatori ideali di corrente sono in serie e ‘vorrebbero imporre’ la loro rispettiva corrente ai morsetti del generatore equivalente, la quale d’altra parte non può che essere unica. Se le due correnti sono diverse, ciò crea una situazione assurda, poiché ciò equivarrebbe a scrivere, per esempio, nel caso a) di Figura 3.29:
i(t) = i1(t) e i(t) = i2(t) , con i1(t) ≠ i2(t) !
Il caso b) si analizza in maniera analoga. Infatti, i due generatori ‘vorrebbero imporre’ la loro tensione ai morsetti del generatore equivalente. D’altra parte tale tensione non può che essere unica, laddove deve essere v(t) = e1(t) e, allo stesso tempo v(t) = e2(t), con e1(t) ≠ e2(t). Eccoci ancora una volta incappati in una insanabile contraddizione.
Nelle situazioni reali, le cose si sanano, poiché non ci si trova mai di fronte a generatori ideali. Per motivi che chiariremo in seguito, sono comunque da evitare per problemi pratici le situazioni schematizzate in Figura 3.29, come mostra l’esempio che segue.