Georg Cantor: la gerarchia degli infinit

Abbiamo visto, dunque, che per Tommaso non possono esistere, al di fuori di Dio, realtà attualmente infinite e allo stesso modo, dunque, è impossibile che esistano insiemi attualmente infiniti; egli, infatti, fornendo una definizione di insieme come un aggregato di realtà distinte, negava l'esistenza di insiemi attualmente infiniti, poiché se gli elementi di un insieme attualmente infinito fossero concepibili tutti simultaneamente, potrebbero in questo modo essere contati uno per uno, dando come risultato un numero finito, generando così una contraddizione.

Facendo un grande balzo in avanti nel tempo, potremmo notare una certa vicinanza tra la definizione di “insieme” fornita da Tommaso e quella data da

91 _{Tommaso ammette l'esistenza di insiemi infiniti in senso relativo, e, seguendo lo stesso}

ragionamento, afferma anche l'esistenza di un tempo infinito: anche quest'ultimo, infatti, non è dato da un unico atto infinito, bensì da attimi che seguono l'uno all'altro.

92 _{«Ad primum ergo dicendum quod unumquodque quod est in potentia, reducitur in actum secundum}

modum sui esse, dies enim non reducitur in actum ut sit tota simul, sed successive. Et similiter infinitum multitudinis non reducitur in actum ut sit totum simul, sed successive, quia post quamlibet multitudinem, potest sumi alia multitudo in infinitum.

Ad secundum dicendum quod species figurarum habent infinitatem ex infinitate numeri, sunt enim species figurarum, trilaterum, quadrilaterum, et sic inde. Unde, sicut multitudo infinita numerabilis

non reducitur in actum quod sit tota simul, ita nec multitudo figurarum. Ad tertium dicendum quod, licet, quibusdam positis, alia poni non sit eis oppositum; tamen infinita

poni opponitur cuilibet speciei multitudinis. Unde non est possibile esse aliquam multitudinem actu infinitam» ( Cfr. Tommaso d'Aquino, Summa Theologiae, I, q.7 a. 4).

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Georg Cantor (1845-1918), matematico di lingua tedesca sostenitore dell'esistenza di insiemi attualmente infiniti e della relazione di questi ultimi con i numeri transfiniti. Per Cantor, un “insieme” è, come per Tommaso, «la riunione in un tutto di oggetti determinati e distinti della nostra intuizione»93. Fino a Cantor, l'idea dell'esistenza di un infinito attuale era ammessa, ma questo infinito era inteso come unico ed identificato con l'Assoluto. Con le teorie cantoriane le cose cambiano notevolmente e la possibilità dell'esistenza di insiemi attualmente infiniti esce allo scoperto.

Cerchiamo di spiegarci meglio fornendo qualche esempio94.

Una delle tesi fondamentali di Cantor, che qui richiamiamo, è quella che afferma che la «potenza del continuo» è superiore a quella del «numerabile»; come a dire che la potenza di un certo infinito (il continuo = C) è più potente di quella di un altro infinito (il numerabile = N), dove N coincide con la sequenza dei numeri naturali.

La «potenza» di cui ci parla Cantor è sinonimo di «cardinalità», ovvero si riferisce alla corrispondenza tra elementi di un insieme ed elementi di un altro insieme; quando la corrispondenza è biunivoca, allora tra i due insiemi presi in considerazione c'è equipotenza.

Ad esempio, tra i numeri naturali e i numeri pari c'è corrispondenza biunivoca, perché a ciascuno dei primi può esser fatto corrispondere uno tra i secondi; ma, poiché i numeri pari costituiscono un sottoinsieme proprio dei numeri naturali allora i numeri naturali sono infiniti. È infatti «infinito», per Cantor, un insieme che risulti equipotente rispetto ad un suo sottoinsieme proprio.

Dunque, per Cantor, vi sono insiemi che, pur essendo infiniti, sono numerabili, cioè riconducibili per corrispondenza biunivoca ai numeri naturali; tuttavia, sebbene esistano insiemi infiniti numerabili, ne esistono anche di non numerabili, come accade, ad esempio, per il «continuo» (l'insieme dei punti che costituiscono un segmento o una retta).

Questa teoria ci permette di dimostrare che, oltre all'esistenza di insiemi

93 _{P. Zellini, Breve storia dell'infinito, 8ᵃ edizione, Adelphi , Milano 2011, p. 79.} 94 _{Cfr. P. Pagani, La geometria dell'anima, Orthotes Editrice, Napoli 2012, cap. XIII.}

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attualmente infiniti, si può parlare anche di una gerarchia tra gli stessi: in altre parole esistono insiemi infiniti più potenti di altri. Nel caso preso in esame, gli insiemi infiniti sono, da una parte, l'insieme dei numeri reali, dall'altra quello dei numeri naturali.

L'infinito continuo corrisponde ai numeri reali (R) in quanto i numeri reali coprono in modo continuo la retta ideale dei numeri.

Volendo provare la non numerabilità dei numeri reali, ovvero dell'infinito continuo, potremmo farlo attraverso una dimostrazione per assurdo: se prendessimo un segmento di una retta che va da 0 a 1 e ammettessimo che tutti i punti compresi in quest'ultimo sono numerabili, si potrebbe stilare un elenco, anch'esso numerabile, che conterebbe tutti i punti compresi tra 0 e 1. Tuttavia ci accorgeremo che questo elenco non risulterà mai completo poiché si potrà sempre trovare un numero (x) compreso tra 0 e 1 non ancora presente nell'elenco. Questo numero (x) è un numero reale, compreso tra 0 e 1, di cui si può dire a priori che non compare nell'elenco; pertanto, è evidente che sostenere la numerabilità dei numeri reali non è possibile.

La conclusione a cui Cantor arriva è quella per cui la «cardinalità» o la «potenza» dei numeri reali, cioè del «continuo», è maggiore della potenza dei numeri naturali, cioè del «numerabile». Ciò che è importante sottolineare è che ci troviamo di fronte a due infiniti, di cui però uno risulta più infinito dell'altro: nel nostro caso, la «cardinalità del continuo» è superiore alla «cardinalità del numerabile», pur essendo entrambi insiemi infiniti.

Certamente, è lecito chiedersi come mai abbiamo deciso di soffermarci, seppur brevemente, sugli infiniti cantoriani e sulla loro gerarchia.

Abbiamo fatto questa scelta perché la gerarchia degli infiniti di cui ci parla Cantor sembra riproporre, in termini ovviamente differenti, la gerarchia delle beatitudini presente all'interno del Paradiso dantesco. Anche nella dimora di Dio descritta da Dante, infatti, i beati fruiscono di Dio in modo infinito, ma alcuni più potentemente di altri. In questo senso ci sono utili le riflessioni matematiche di Cantor: esse, riproponendo ciò che accade anche in Paradiso, mostrano in maniera chiara che pensare ad una gerarchia di infiniti non è contraddittorio, anzi.

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