I limiti del calcolo VMC sono legati al fatto di dover scegliere un’espressione specifica della funzione d’onda di prova. Nel caso presentato sopra, si tratta dell’espressione (4.13) che propone una funzione d’onda di prova composta dal prodotto di un solo determinante di Slater moltiplicato per una funzio-ne di correlaziofunzio-ne, che a sua volta ha un’espressiofunzio-ne particolare. La tecnica GFMC risolve l’equaziofunzio-ne di Schr¨odinger senza fare alcuna restrizione dell’espressione della funzione d’onda a molticorpi. Que-sta tecnica `e indipendente da parametri o ipotesi di partenza, ma dipende solo dall’hamiltoniana, cio`e dall’interazione.
Riscrivo la funzione d’onda di prova come combinazione lineare di autostati dell’hamiltoniana H
|ΨTi =X
n
Dn|Ψni , (4.25)
dove i coefficienti Dn sono numeri. Utilizzo un operatore di evoluzione temporale nel quale considero un tempo immaginario τ . Faccio evolvere la funzione d’onda di prova per un valore infinito del tempo immaginario
τ →∞lim e−H−E0h¯ τ|ΨTi = limτ →∞e−H−E0¯h τX
n
Dn|Ψni = limτ →∞X
n
e−En−E0h¯ τDn|Ψni = D0|Ψ0i , (4.26)
questo perch´e per n 6= 0 si ha En > E0, dove quest’ultima `e l’energia dello stato fondamentale del sistema. Considero l’evoluzione in piccoli incrementi temporali dτ di uno stato in rappresentazione delle coordinate|Ri
Ψ(R, τ + dτ )≡ hR|Ψ(τ)i = hR|e−(H−E0)dτh¯ |Ψ(τ)i = Z
dR0hR|e−(H−E0)dτ¯h|R0i
| {z }
propagatore
hR0|Ψ(τ)i , (4.27)
dove ho considerato la completezza
Z
dR0|R0ihR0| = 1 .
Considero l’hamiltoniana H = T + V , e faccio l’ipotesi che il potenziale V sia diagonale in R, ovvero che sia locale. Questo significa che i termini operatoriali del potenziale non contengono derivate rispetto ad R. Questa `e una delle richieste fondamentali dei calcoli Monte Carlo. Per semplificare i calcoli `e conveniente utilizzare un’espressione approssimata dell’esponenziale detta Formula di Trotter-Suzuki
e−(T +V −E0)dτ¯h = e−12(V −E0)dτh¯ e−Tdτh¯ e−12(V −E0)dτ¯h + O(dτ3) , (4.28) valida per
|dτ3(T V − V T )| 1 . (4.29)
Considerando questa espressione, e trascurando i termini in dτ3, ottengo Ψ(R, τ + dτ )'
Z
hR|e−12(V −E0)dτ¯h|RihR|e−Tdτ¯h|R0ihR0|e−12(V −E0)dτ¯h|R0iΨ(R0, τ )dR0
= Z
e−[12(V (R)+V (R0))−E0]dτh¯ hR|e−Tdτh¯ |R0iΨ(R0, τ ) dR0 . (4.30)
4.3. GREEN FUNCTION MONTE CARLO (GFMC) 41
Definisco i propagatori
GV(R← R0) = e−[12(V (R)+V (R0))−E0]dτ¯h , (4.31) G0(R← R0) = hR|e−Tdτ¯h |R0i . (4.32) Calcolo il propagatore libero G0 usando l’equazione di Schr¨odinger dipendente da τ , il tempo imma-ginario
¯ h ∂
∂τΦ(R, τ )− ¯h2
2m∇2Φ(R, τ ) = 0 . (4.33)
Per risolvere questa equazione uso la trasformata di Fourier in n = 3A dimensioni Φ(K, τ ) =˜
Per il teorema del prodotto di convoluzione, l’equazione (4.36) pu`o essere considerata come il risultato del prodotto di convoluzione di Φ e g nello spazio delle coordinate, quindi, in questo spazio, posso scrivere
Φ(R, τ ) = Z
Φ(R0, 0)g(R0− R, τ)dR0 , (4.38)
e ottenere g nello spazio delle coordinate come antitrasformata
g(R, τ ) = 1
e il propagatore libero pu`o essere espresso come
G0(R← R0, τ ) = ¯hτ
L’evoluzione della funzione d’onda totale data dell’equazione (4.30) come prodotto dei propagatori libero e correlato, assume l’espressione
Ψ(R, τ + ∆τ ) '
42 CAPITOLO 4. TECNICHE MONTE CARLO
Figura 4.3: Convergenza dei risultati GFMC in funzione del crescere del valore del tempo immaginario τ .
Per il calcolo del valore di aspettazione di un operatore qualsiasi si usa una rappresentazione mista nella quale sono presenti sia lo stato di prova che quello ottenuto facendo evolvere il tempo fino al valore τ . Definendo Rn l’insieme di coordinate spaziali al tempo τn e
Pn = RnRn−1Rn−2· · · R0 , (4.43)
posso esprimere il valore di aspettazione in rappresentazione mista come
hOimix =hΨT|O|Ψ(τ)i
hΨT|Ψ(τ)i =R dPnΨ†T(Rn)O G(Rn, Rn−1)· · · G(R1, R0)ΨT(R0)
R dPnΨ†T(Rn)G(Rn, Rn−1)· · · G(R1, R0)ΨT(R0) , (4.44) dove il propagatore G `e dato dal prodotto di Gve G0. Con buona approssimazione il valore di aspettazione dell’operatoreO `e dato da
hOi ' hOimix+ [hOimix− hOiT] . (4.45)
Nella Figura 4.3 si mostra l’andamento delle energie di vari stati del 8B, calcolati con GFMC, in funzione del tempo immaginario τ . Si vede che il valore delle energie diminuisce con l’aumentare del tempo fino a raggiungere un valore costante, come indicato dall’equazione di evoluzione (4.3). Questo metodo pu`o essere applicato per identificare le energie minime di ogni stato caratterizzato da un momento angolare e parit`a. Nel caso del8B, nucleo con numero pari di protoni e neutroni, lo stato fondamentale
`e caratterizzato da 0+.
Le differenze tra calcoli VMC e GFMC sono mostrate nelle tabelle 4.2 e 4.3 e nella Figura 4.4. I risultati delle due tabelle mostrano per i liquidi di elio bosonico, tabella 4.2, e fermionico, tabella 4.2, la sensibilit`a dei risultati VMC alla scelta della funzione d’onda di prova ΨT. D’altra parte i calcoli GFMC sono indipendenti da questa scelta e producono energie inferiori a quelle del VMC, confermando la limitazione formale del principio variazionale, e pi`u vicini ai valori sperimentali. Considerazioni analoghe possono essere fatte anche per quanto riguarda i risultati mostrati in Figura 4.4 per le energie di legame di nuclei leggeri.
L’effetto dell’inserimento della forza a tre corpi nell’hamiltoniana nucleare `e mostrato nella Figura 4.5.
4.3. GREEN FUNCTION MONTE CARLO (GFMC) 43
Metodo Funzione di prova Energie (K)
VMC McMillan -5.72(2)
VMC PPA -5.93(1)
VMC Shadow -6.24(4)
VMC McMillan + 3B -6.65(2)
VMC OPT + 3B -6.79(1)
GFMC McMillan -7.12(3)
Exp. - -7.14
Tabella 4.2: Energie, espresse in K, dell’He4 liquido calcolate con VMC and GFMC utilizzando diverse funzioni d’onda di prova. Exp. `e l’energia sperimentale. Dati presi dalla referenza [Sch92].
Metodo Funzione di prova Energie (K)
VMC McMillan -1.08(2)
VMC 2B + 3B -1.61(3)
VMC 2B + BF -1.55(4)
VMC 2B + 3B + BF -2.15(3) GFMC 2B + 3B + BF -2.44(4)
Exp. - -2.47
Tabella 4.3: Energie, espresse in K, dell’He3 liquido calcolate con VMC and GFMC utilizzando diverse funzioni d’onda di prova. Exp. `e l’energia sperimentale. Dati presi dalla referenza [Sch92].
Figura 4.4: Confronto tra i risultati VMC e GFMC per nuclei leggeri [Car05].
44 CAPITOLO 4. TECNICHE MONTE CARLO
Figura 4.5: Effetto dell’inserimento dell’interazione a 3 corpi nell’hamiltoniana. [Car05].
Parte III
Teorie ispirate alla Teoria dei Campi
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Capitolo 5
Rappresentazione dei numeri di occupazione
5.1 Determinanti di Slater
La Rappresentazione dei Numeri di Occupazione (RNO) basata sugli operatori di creazione e di di-struzione `e stata introdotta nella teoria dei campi. In questa teoria l’uso di questi operatori `e necessario dato che il numero di particelle non `e fisso, poich´e `e energeticamente possibile creare coppie particella–
antiparticella. In Meccanica Quantistica non relativistica, la creazione di coppie non `e possibile. Il formalismo della RNO, anche se non necessario, risulta essere comunque comodo anche in ambito non relativistico per lo studio di sistemi composti da molte particelle.
Come `e stato accennato nell’introduzione, considerer`o solo il caso fermionico.
Un sistema di A particelle `e descritto dalla funzione d’onda che soddisfa l’equazione di Schr¨odinger indipendente dal tempo:
HΨ(x1, x2. . . xA) = EΨ(x1, x2. . . xA) (5.1) dove x indica tutti i numeri quantici che caratterizzano la particella: posizione (r), spin (σ), isospin (τ ) ed eventualmente, sapore e colore.
Dato che stiamo trattando un sistema fermionico Ψ deve essere antisimmetrica per lo scambio di due particelle:
Ψ(. . . xi, . . . , xj. . .) =−Ψ(. . . xj, . . . , xi. . .) (5.2) Ognuna di queste autofunzioni pu`o essere scritta come combinazione lineare di un sistema completo di autofunzioni ortonormali. Lo stesso concetto pu`o essere formulato dicendo che ogni autofunzione pu`o essere sviluppata su una base ortonormale:
Ψ =X
i
CiΦi, (5.3)
dove ho indicato con Φi dei determinanti di Slater e con Ci delle costanti. Il determinante di Slater `e co-struito con prodotti di funzioni d’onda di particella singola che formano una base di funzioni ortonormali.
Questa base viene costruita partendo da un’equazione di Schr¨odinger di singola particella:
hνφν(x) = νφν(x), (5.4)
dove ν `e l’insieme dei numeri quantici caratterizzanti lo stato di ogni singola particella; ad esempio le tre componenti dell’impulso p nel caso di onde piane, o i numeri quantici principale, n , orbitale l, momento
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48 CAPITOLO 5. RAPPRESENTAZIONE DEI NUMERI DI OCCUPAZIONE
angolare j e la sua proiezione sull’asse di quantizzazione m, nel caso di stati generati da un potenziale a simmetria sferica.
Date le funzioni d’onda di singola particella φνil determinante di Slater per A particelle viene costruito come:
in cui ho indicato con P le permutazioni tra gli indici delle coordinate. Il fattore √
A! garantisce la normalizzazione:
hΦ | Φi = 1 . (5.6)
L’eq. (5.5) pu`o essere scritta come
Φ(x1. . . xA) = 1
Il determinante di Slater `e autostato di un’hamiltoniana a molticorpi che `e somma delle hamiltoniane di singola particella:
X
ν
hνΦ = H0Φ =E0Φ . (5.8)