13.2 Propriet` a all’equilibrio
13.2.1 Il concetto di quasi-particella
H0+ P
H1+ H1Q 1
En− H0QH1QQH1
P
P|Ψni = EnP|Ψni . (13.10) Questa equazione ha la struttura dell’equazione (13.2) in cui si pu`o idenditificare l’interazione effettiva con il termine
Veff = P
H1+ H1Q 1
En− H0QH1QQH1
P . (13.11)
Una prima considerazione `e che l’interazione effettiva dipende dall’energia En. La seconda considerazione, pi`u rilevante in questo contesto, `e che l’interazione effettiva dipende da P , ovvero da come si separa l’hamiltoniana. L’interazione effettiva `e quindi legata alla teoria nella quale viene utilizzata.
La derivazione che ho presentato ha un valore puramente formale per mostrare come, in linea di principio, sia possibile definire rigorosamente le teorie effettive e legarle alle teorie microscopiche. Dal punto di vista pragmatico, risolvere le equazioni che ho mostrato `e altrettanto complicato che risolvere l’equazione di Schr¨odinger originale.
Il problema viene superato in maniera fenomenologica utilizzando interazioni che contenengono dei parametri liberi i cui valori sono fissati in modo tale che la teoria possa riprodurre selezionati dati empirici del sistema a molticorpi che si vuole studiare. Scopo della teoria `e quello di descrivere propriet`a del sistema non utilizzate nel processo di definizione della interazione. Ovviamente queste interazioni hanno caratteristiche differenti rispetto a quelle microscopiche, sopratutto non hanno nocciolo repulsivo a piccole distanze. Il collegamento tra teorie effettive e microscopiche e, sopratutto, tra interazioni effettive e microscopiche `e un tema di ricerca molto attuale.
In questo capitolo presento una teoria formulata da Landau per descrivere sistemi fermionici infiniti, sopratutto elio liquido fermionico. Si tratta si un sistema composto da atomi di elio i cui i nuclei di elio sono composti dall’isotopo3He, fermionico. Si tratta si un esempio esemplare di teoria effettiva che ha avuto molto successo. In questo caso si `e trovato un metodo per collegare i parametri fenomenologici della teoria con le teorie microscopiche, si veda ad esempio [Gro91].
13.2 Propriet` a all’equilibrio
13.2.1 Il concetto di quasi-particella
Le propriet`a di un sistema di fermioni non interagenti a invarianza traslazionale, detto gas di Fer-mi, sono state presentate nel Paragrafo 2.3. Le funzioni d’onda di singola particella sono onde piane caratterizzate dal numero d’onda k legato all’impulso, p = ¯hk, Eq. (2.40). Gli autostati di que-sto sistema sono determinanti di Slater delle onde piane. Per definire l’autostato del sistema `e suf-ficiente indicare quali autostati di k sono occupati. Per questo motivo si utilizza la funzione di di-stribuzione n(k), dove ho indicato con k il modulo di k. La funzione di didi-stribuzione dipende solo
13.2. PROPRIET `A ALL’EQUILIBRIO 165
dal modulo di k perch`e faccio l’ipotesi che il mezzo sia isotropo. Nello stato fondamentale la fun-zione di distribufun-zione `e n(k) = θ(kF− k) dove kF `e l’impulso di Fermi, e Θ la funzione gradino.
kF k n
1
Figura 13.1: Funzione di distribuzione n(k) per lo stato fondamentale del sistema di fermioni.
La distribuzione n(k) per lo stato fondamentale `e disegnata nella figura 13.1.
Siamo interessati a piccole fluttuazioni δn(k) della di-stribuzione n(k) dello stato fondamentale. Nel linguaggio introdotto nel Cap. 5 queste fluttuazioni sono genera-te dalla creazione di stati particella e/o buca. L’ener-gia dello stato fondamentale viene modificata da queste fluttuazioni per un valore di
δE =X
k
¯ h2k2
2m δn(k) . (13.12)
L’energia di singola particella `e ottenibile come derivata funzionale dell’energia δE/δn(k) = ¯h2k2/2m cio`e quando δn(k) `e uguale alla δ di Kronecker δk,k0. Dato che togliere una particella, cio`e creare uno stato buca, fa diminuire l’energia, δn(k) deve essere necessariamente negativo. Ovviamente, avviene il contrario per la creazione di una particella.
Queste considerazioni riguardano un gas di fermioni non-interagenti. La situazione `e pi`u complessa quando si inserisce l’interazione tra i fermioni nella descrizione del sistema. L’idea della teoria di Landau,
`
e quella di passare dal sistema di fermioni non-interagenti, che d’ora in poi chiamer`o gas di Fermi, a quello di un sistema di fermioni interagenti, che chiamer`o sistema reale, accendendo poco a poco, in maniera adiabatica, l’interazione. Per fare questo `e necessario fare l’ipotesi che gli stati del gas di Fermi si trasformino in stati del sistema reale man mano che l’interazione aumenta. Possiamo studiare l’evoluzione temporale di questi stati usando le tecniche perturbative presentate nel Capitolo 6. In particolare, facciamo l’ipotesi che l’evoluzione dello stato fondamentale del gas di Fermi conduca allo stato fondamentale del sistema reale. `E da notare che l’ipotesi di lavoro che stiamo facendo non esclude che, nel sistema reale, si formino degli stati che scompaiono nel gas di Fermi, quando l’interazione `e spenta.
Aggiungiamo al gas di Fermi una particella con k > kF, e poi attiviamo l’interazione. In questo modo otteniamo uno stato del sistema reale. Possiamo affermare in questo modo di aver aggiunto una quasi-particella con vettore d’onda k allo stato fondamentale del sistema reale. In maniera analoga, definiamo quasi-buco di vettore d’onda k < kF la situazione nella quale togliamo una particella con questo k dal gas di Fermi e poi attiviamo l’interazione. Anche nel caso del sistema reale, la distribuzione delle quasi-particelle nello stato fondamentale `e rappresentata dalla fig. 13.1, e la nozione di superficie di Fermi rimane valida. L’eccitazione del sistema `e misurata dalla deviazione
δn(k) = n(k)− n0(k) (13.13)
dove n0(k) `e la distribuzione di quasi-particelle dello stato fondamentale rappresentata in fig. 13.1.
Perch´e la nozione di quasi-particella abbia significato i valori di δn(k) devono essere apprezzabili solo per k' kF. L’affermazione che il sistema reale sia costituito da quasi-particelle che riempiono tutti gli stati fino alla superficie di Fermi, `e erronea. Il concetto di quasi-particella `e strettamente limitato a quegli stati attorno alla superficie di Fermi. La quasi-particella `e un’eccitazione elementare del sistema reale per stati che si discostano poco dallo stato fondamentale. La teoria di Landau tratta di stati eccitati le cui differenze di energia rispetto allo stato eccitato, cio`e le energie di eccitazione, sono piccole rispetto al valore globale dell’energia dello stato fondamentale. La teoria di Landau non offre informazioni sullo stato fondamentale, che considera noto, ma si occupa di piccole fluttuazioni attorno ad esso.
Possiamo considerare l’energia E del sistema come un funzionale della funzione di distribuzione dei momenti n(k). Per il gas di Fermi l’energia si trasforma nella somma delle energie cinetiche delle particelle,
166 CAPITOLO 13. TEORIA DEI LIQUIDI DI LANDAU
come descritto dall’equazione (13.12). Per un sistema reale la situazione `e pi`u complessa. Se si modifica n0(k) per una quantit`a δn(k), la variazione dell’energia, al primo ordine, `e data da
δE =X
k
kδn(k) , (13.14)
espressione che definisce
k = δE/δn(k) . (13.15)
Per k > kF, k `e la variazione dell’energia del sistema quando si aggiunge una quasi-particella, quindi `e l’energia di quasi-particella. La definizione data per k `e legata alla fluttuazione dell’energia totale del sistema. Non c’`e alcuna possibilit`a di ottenere informazioni sull’energia totale del sistema. In particolare, l’energia del sistema non `e uguale alla somma delle energie di quasi-particella. Questo perch´e una volta aggiunta una particella in k, lo stato del sistema cambia, e l’energia della nuova particella k0 non `e pi`u quella ottenibile usando la (13.15) la cui variazione `e fatta rispetto al vecchio stato, quello che non conteneva la particella k.
Per k = kF, k `e l’energia acquisita aggiungendo una particella sulla superficie di Fermi. Il nuovo stato `e lo stato fondamentale del sistema con A + 1 particelle. Si pu`o scrivere
kF = E0(A + 1)− E0(A)≡ µ , (13.16) dove µ = ∂E0/∂A `e la definizione di potenziale chimico.
Dall’idea dell’accensione adiabatica dell’interazione ne consegue che solo una quasi-particella pu`o occupare un singolo livello di quasi-particella. Per questo motivo le quasi-particelle sono distribuite secondo la funzione di distribuzione di Fermi-Dirac
f (, T ) = 1
exp [(− µ)/(kBT )] + 1 , (13.17)
e possono essere trattate come fermioni.
L’espressione della variazione dell’energia (13.14) `e valida al primo ordine. Questo permette di descri-vere situazioni dominate da eccitazioni di singola quasi-particella. In generale, questo non `e sufficiente, perch´e la densit`a di quasi-particelle `e tale che non si pu`o trascurare la loro interazione. Questo implica la necessit`a di andare oltre il primo ordine e considerare anche il secondo
δE =X
k
0kδn(k) +1 2
X
k
X
k0
f (k, k0)δn(k)δn(k0) . (13.18)
dove il termine f (k, k0) `e definito come derivata funzionale seconda, con la, ovvia, propriet`a f (k, k0) = f (k, k0). Ho indicato come 0k l’energia di quasi-particella in assenza di interazione, poich´e quando l’in-terazione f `e attiva, l’energia di particella viene calcolata come variazione al primo ordine dell’energia (13.18) ottenendo l’espressione
k= δE
δn(k) = 0k +1 2
X
k0
f (k, k0)δn(k0) . (13.19)
Fino a questo momento ho trascurato la presenza dello spin delle quasi-particelle. Come abbiamo visto possono essere equiparate a fermioni, e mi limiter`o a trattare il caso di spin 1/2, indicando con s il valore della terza componente. In questo caso il sistema non `e pi`u omogeneo dato che l’orientamento degli spin definisce una precisa direzione dello spazio. Per questo motivo, tutte le quantit`a che ho precedentemente definito come dipendenti solo da k adesso devono essere considerate dipendenti da k e s, e le somme su k
13.2. PROPRIET `A ALL’EQUILIBRIO 167
evolvono in somme su k e s =±1/2. Nello specifico abbiamo che f(k, k0)→ f(k, s; k0, s0) e le propriet`a di simmetria diventano
f (k, s; k0, s0) = f (−k, −s; −k0,−s0) = f (k,−s; k0,−s0) . (13.20) E evidente che, fissati k e k` 0, le sole differenze tra le interazioni sono dovute al fatto che gli spin siano paralleli oppure antiparalleli. Per questo motivo `e conveniente definire termini simmetrici e antisimmetrici dell’interazione come
f (k, s; k0, s) = fs(k, k0) + fa(k, k0) , (13.21) f (k, s; k0,−s) = fs(k, k0)− fa(k, k0) . (13.22) I termini fa ed fsdipendono solo dai vettori k e k0, quindi dai moduli dei due vettori e dall’angolo tra loro. Per questo motivo possono essere sviluppati in somma di polinomi di Legendre Pl
fs(a)(k, k0) = fs(a)(k, k0, cosθ) =X
l
fls(a)(k, k0)Pl(cos θ) . (13.23)
Dato che le quasi-particelle sono definite sulla superficie di Fermi si ha che k = k0 = kF, quindi si elimina la dipendenza dai moduli dei numeri d’onda nei coefficienti fl. Le dimensioni dei fl sono quelle di un’energia. Si preferisce utilizzare coefficienti a-dimensionali moltiplicando questi coefficienti per la densit`a degli stati alla superficie di Fermi
Fl≡ ρ(F)fl= VD 2π2
kF
¯
h2m∗fl (13.24)
dove ho usato l’espressione (2.64) della densit`a degli stati
ρ(F) = VD 4π2
2m∗
¯ h2
3/2
1/2F = VD 2π2
m∗
¯
h2kF (13.25)
Le quantit`a V e D, definite nel Cap. 2.3, sono, rispettivamente, il volume del sistema e la degenerazione dei fermioni, che in questo capitolo sar`a solo quella di spin, quindiD = 2. Dato che stiamo parlando di quasi-particelle, ho indicato con m∗ la loro massa effettiva.
L’utilit`a della teoria consiste nel fatto che solo pochi parametri di Fl sono necessari, e possono essere determinati per riprodurre pochi dati empirici. Con questi pochi parametri la teoria permette di fare previsioni indipendenti su altri osservabili.