12.3 Fermioni
12.3.1 Materia nucleare infinita
Come esempio di applicazione della teoria della teoria CBF mostro i risultati ottenuti per materia nucleare.
Il sistema che studiamo ha invarianza traslazionale e densit`a costante di nucleoni definita dalla somma ρ = ρp+ ρn delle densit`a, costanti di protoni ρp e neutroni ρn. L’energia per nucleone e = E/A `e tradizionalmente scritta come somma di potenze pari del parametro di asimmetria δ = (ρn− ρp)/ρ, cio`e e(ρ, δ) = e(ρ, 0) + esym(ρ) δ2 + O(δ4) . (12.59) Attorno al punto di minimo della materia nucleare simmetrica, alla densit`a ρ0, i due coefficienti di questa equazione sono sviluppati in potenze del parametro = (ρ− ρ0)/(3 ρ0).
Per la materia simmetrica ottengo
e(ρ, 0) = aV + 1
2KV 2 + . . . , (12.60)
12.3. FERMIONI 159
exp AFDMC CBF D1M SLy5 DDME2
ρ0 0.16± 0.01 0.16 0.16 0.16 0.16 0.15
e(ρ0, 0) -16.0± 0.1 -16.00 -16.00 -16.01 -15.98 -16.13
B 220± 30 276 269 217 228 278
esym(ρ0) 30-35 31.3 33.94 29.45 32.66 33.20
L 88± 25 60.10 58.08 25.41 48.38 54.74
Tabella 12.1: Propriet`a della materia nucleare infinita ottenute con vari calcoli. La densit`a di saturazione ρ0 `e espressa in fm−3. Tutte le altre quantit`a in MeV. I risultati Monte Carlo (AFDMC) sono dalla referenza [Gan10], quelli della teoria CBF dalla referenza [Akm98]. Gli altri risultati da [Co12].
dove il termine del primo ordine in , legato alla derivata prima `e zero perch´e e(ρ, 0) ha un minimo per ρ = ρ0. Nel termine quadratico, legato alla derivata seconda, il coefficiente, definito come
B = 9ρ20 ∂2e(ρ, 0)
∂ρ2 ρ=ρ
0
(12.61)
`
e chiamato modulo di compressione di volume, vedi Eq. (2.60).
Il secondo coefficiente dell’equazione Eq. (12.59), cio`e l’energia di simmetria, `e sviluppato come
esym(ρ) = asym +L + . . . . (12.62)
con il coefficiente
L = 3ρ0 ∂esym(ρ)
∂ρ ρ=ρ
0
. (12.63)
Nella tabella 12.1 mostro i valori di queste quantit`a calcolate con diverse teorie al valore della densit`a di saturazione ρ0. Il confronto viene fatto con i valori empirici (exp). I valori ottenuti con la teoria (CBF) [Akm98] sono confrontati con quelli ottenuti da un calcolo di Auxiliary Field Diffusion (AFDMC) [Gan10] entrambi usano la stessa interazione microscopica di tipo fenomenologico. Gli altri risultati sono ottenuti da vari calcoli Hartree-Fock, con varie interazioni.
Tutti i valori delle densit`a di saturazione e del minimo di energia sono in accordo con piccole variazioni, dal 2% al 0.4%, rispettivamente. Anche le altre variabili hanno valori molto simili nei vari calcoli. Le differenze emergono nei valori diL.
Le equazioni di stato per pura materia neutronica (a), materia nucleare simmetrica (b) ed energia di simmetria (c) sono mostrare nella figura 12.11. Se tutti i calcoli mostrano un buon accordo nel punto di saturazione di materia nucleare simmetrica, si vedono notevoli differenze quando ci si allontana da questo punto.
Quello che interessa in questo contesto `e l’accordo dei risutati ottenuti con i due calcoli microscopici CBF e AFDMC.
160 CAPITOLO 12. TEORIA DELLA BASE CORRELATA (CBF)
0.0 20.0 40.0 60.0 80.0
-20.0 -10.0 0.0 10.0
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4
0.0 20.0 40.0 60.0
e(ρ,1)(MeV)e(ρ,0)(MeV)esym(ρ)(MeV)
ρ (fm−3)
CBF AFDMC DDME2 D1M SLy5
(a)
(b)
(c)
Figura 12.11: Equazioni di stato per pura materia neutronica (a), materia nucleare simmetrica ed energia si simmetria(c) ottenute con diverse teorie. I cerchi neri rappresentano i risultati della teoria CBF [Akm98], le linee nere quelli di calcoli Montecarlo [Gan10] e le altre linee diversi risultati di calcoli di campo medio [Co12].
Parte V
Teorie fenomenologiche
161
Capitolo 13
Teoria dei liquidi di Landau
13.1 Introduzione
Le teorie presentate fino a questo momento si basano su hamiltoniane microscopiche, quelle presentate nel Cap. 3, che contengono interazioni che riproducono le propriet`a dei sistemi a due corpi. A piccole distanze tra le particelle queste interazioni sono fortemente repulsive. Lo scopo delle teorie microscopiche `e quello di sviluppare tecniche non perturbative per poter gestire questa caratteristica dell’interazione, e questo consiste nel sommare tutti i possibili diagrammi con una certa topologia. Nelle teorie ispirate alla teoria dei campi l’idea `e quella di trasformare l’interazione microscopica in modo che non ci sia pi`u il nocciolo repulsivo. Ad esempio, nel caso della teoria di Brueckner, Cap. 8, questo scopo `e raggiunto sommando tutti i diagrammi tipo ladder. Nel caso della teoria CBF il problema del nocciolo repulsivo viene risolto inserendo una funzione di correlazione che impedisce a due particelle di avvicinarsi al punto da essere sensibili a questa parte dell’interazione. In entrambi i modi di affrontare il problema l’interazione `e una quantit`a esterna, ed indipendente dalla teoria utilizzata.
L’approccio al problema a molticorpi delle teorie effettive `e molto diverso. L’idea `e quella di trovare un’hamiltoniana effettiva che riproduca gli stessi autovalori di quella vera, quindi l’equazione
H|Ψni = En|Ψni , (13.1)
`
e sostituita dall’equazione
Heff|Ψeffn i = En|Ψeffn i . (13.2) Formalmente possiamo definire una relazione tra H e Heff considerando la solita separazione dell’hamil-toniana in due parti H = H0+ H1, e considerando l’operatore di proiezione P sugli autostati di H0, e Q il suo complemento
P2= P ; Q2= Q ; Q = 1− P ; P Q = 0 , (13.3) dove
H0P|Ψni = En0P|Ψni ⇒ P H0|Ψni = En0P|Ψni , (13.4) poich´e P e H0 commutano. L’equazione (13.1) pu`o essere riscritta come
H1|Ψni = (En− H0)|Ψni , (13.5)
e moltiplicando a sinistra per P ottengo
P H1|Ψni = P (En− H0)|Ψni = (En− H0)P|Ψni P H1(P + Q)|Ψni = (En− H0)P|Ψni
P H1Q|Ψni = (En− H0− P H1)P|Ψni . (13.6) 163
164 CAPITOLO 13. TEORIA DEI LIQUIDI DI LANDAU
Procedendo in maniera analoga e moltiplicando a sinistra per Q, ottengo
QH1P|Ψni = (En− H0− QH1)Q|Ψni . (13.7) Date le propiet`a di questi due operatori, posso riscrivere le due equazioni come
(P H1Q)Q|Ψni = (En− H0− P H1P )P|Ψni (13.8) (QH1P )P|Ψni = (En− H0− QH1Q)Q|Ψni . (13.9) Risolvo formalmente l’equazione (13.9) per Q|Ψni sostituisco il risultato nell’equazione (13.8), e ottengo
(P H1Q) 1
En− H0− QH1Q(QH1P )P|Ψni = (En− H0− P H1P )P|Ψni
H0+ P
H1+ H1Q 1
En− H0QH1QQH1
P
P|Ψni = EnP|Ψni . (13.10) Questa equazione ha la struttura dell’equazione (13.2) in cui si pu`o idenditificare l’interazione effettiva con il termine
Veff = P
H1+ H1Q 1
En− H0QH1QQH1
P . (13.11)
Una prima considerazione `e che l’interazione effettiva dipende dall’energia En. La seconda considerazione, pi`u rilevante in questo contesto, `e che l’interazione effettiva dipende da P , ovvero da come si separa l’hamiltoniana. L’interazione effettiva `e quindi legata alla teoria nella quale viene utilizzata.
La derivazione che ho presentato ha un valore puramente formale per mostrare come, in linea di principio, sia possibile definire rigorosamente le teorie effettive e legarle alle teorie microscopiche. Dal punto di vista pragmatico, risolvere le equazioni che ho mostrato `e altrettanto complicato che risolvere l’equazione di Schr¨odinger originale.
Il problema viene superato in maniera fenomenologica utilizzando interazioni che contenengono dei parametri liberi i cui valori sono fissati in modo tale che la teoria possa riprodurre selezionati dati empirici del sistema a molticorpi che si vuole studiare. Scopo della teoria `e quello di descrivere propriet`a del sistema non utilizzate nel processo di definizione della interazione. Ovviamente queste interazioni hanno caratteristiche differenti rispetto a quelle microscopiche, sopratutto non hanno nocciolo repulsivo a piccole distanze. Il collegamento tra teorie effettive e microscopiche e, sopratutto, tra interazioni effettive e microscopiche `e un tema di ricerca molto attuale.
In questo capitolo presento una teoria formulata da Landau per descrivere sistemi fermionici infiniti, sopratutto elio liquido fermionico. Si tratta si un sistema composto da atomi di elio i cui i nuclei di elio sono composti dall’isotopo3He, fermionico. Si tratta si un esempio esemplare di teoria effettiva che ha avuto molto successo. In questo caso si `e trovato un metodo per collegare i parametri fenomenologici della teoria con le teorie microscopiche, si veda ad esempio [Gro91].