A questo punto interviene un teorema, detto Teorema del limite centrale, che descrive la di-stribuzione dei valori approssimati di I. Il teorema afferma che, data la distribuzione dei valori di SN
per valori molto grandi di N si ha lim
Il teorema `e basato sul fatto che la variabili x sono equiprobabili. Il risultato del teorema indica che il valore di I ha, per N abbastanza grande, una distribuzione gaussiana attorno al valore atteso. L’ampiezza della distribuzione `e σN e scala come N−1/2. Quindi
I =
Figura 4.2: Distribuzione gaussiana attorno al valore centrale.
Questa tecnica pu`o essere estesa ad integra-li multidimensionaintegra-li. L’incertezza gaussiana `e indipendente dal numero di dimensioni.
L’idea di base `e quella di applicare questa tec-nica per il calcolo dell’energia (4.1), o, pi`u in ge-nerale, per quello del valore di aspettazione di un operatore qualsiasiO tra due stati a molticorpi.
4.2 Monte Carlo Variazionale (VMC)
Una prima applicazione delle tecniche Monte Carlo per calcoli di integrali a molte dimensioni `e basata sul principio variazionale.
La ricerca del minimo del funzionale dell’e-nergia (4.1) equivale a risolvere l’equazione di Schr¨odinger (vedi l’Appendice A). Nelle applica-zioni pratiche, la ricerca del minimo viene effettua-ta considerando solo funzioni d’onda che abbiano precise espressioni funzionali. Questa limitazione restringe la ricerca del minimo in un sottospazio di Hilbert ristretto, e per questo motivo la soluzione dell’equazione di Schr¨odinger `e approssimata ed il valore dell’energia ottenuto in questo modo `e sempre maggiore, solo in casi ideali uguale, al valore dell’energia che si otterrebbe senza alcuna approssimazione.
Nel caso dei calcoli VMC la funzione d’onda di prova viene costruita in analogia a quanto fatto nella teoria della Funzione di Base Correlata , (si veda il capitolo 12),
|ΨTi = F |Φi (4.13)
38 CAPITOLO 4. TECNICHE MONTE CARLO
dove |Φi `e un determinante di Slater e F `e una funzione di correlazione. La funzione di correlazione `e definita secondo l’ipotesi detta di Jastrow, cio`e come prodotto di funzioni di correlazione a due corpi
F =
A
Y
i<j
f (rij) . (4.14)
Abbiamo visto che una caratteristica tipica delle interazioni dei sistemi a molticorpi `e la presenza di un core fortemente repulsivo a piccole distanze tra le due particelle interagenti. Lo scopo della correlazione f `e quello di impedire che queste due particelle si avvicinino nella zona del core repulsivo. Per questo motivo la funzione di correlazione f di due particelle `e circa zero per piccole distanze relative, e tende ad uno per distanze maggiori del raggio d’azione delle forze, che ricordo sono a corto raggio.
La complessit`a dell’interazione nucleone-nucleone, richiede, in fisica nucleare, di usare espressioni della correlazione che dipendono dai vari termini operatoriali, in analogia all’espressione dell’interazione presentata nel Paragrafo 3.3.1
doveS `e un operatore che rende simmetrico F per lo scambio di due indici i, j. Questo `e necessario poich´e il determinante di Slater Φ `e gi`a antisimmetrizzato per lo scambio di due fermioni, e gli operatori Op, in generale, non commutano tra loro. Le espressioni degli operatori sono quelle presentare nel Paragrafo 3.3.1.
Le funzioni d’onda che sono utilizzate nei calcoli VMC sono espresse come
|Ψ(r), S, T i ≡ X
s=1,2A
X
t=1,2A
Rs,t(R)Xs(S)Xt(T ) , (4.16)
dove R indica la parte radiale della funzione d’onda, R rappresenta l’insieme di tutte le coordinate spaziali che descrivono i fermioni del sistema, e conXseXtho indicato la parte della funzione d’onda che descrive i termini di spin, S e isospin, T . Questa parte della funzione d’onda descrive tutte le possibili combinazioni di spin e isospin possibili nel sistema formato da A nucleoni. Per un nucleo con Z protoni e A− Z neutroni, il numero di queste combinazioni `e dato da
Nconf = 2A A!
Z!(A− Z)! . (4.17)
I valori di Nconf ottenuti per alcuni nuclei di interesse sono stati presentati nella tabella 4.1.
Come abbiamo visto, nel Paragrafo 3.3.1, in fisica nucleare si pu`o esprimere l’interazione tra due nucleoni utilizzando un’espressione del tipo
V (i, j) =X
p
vp(rij)Opij , (4.18)
dove le vp sono funzioni scalari della coordinata relativa tra le due particelle interagenti. Gli elementi di matrice dell’interazione (4.18) sono direttamente calcolabili per stati nella rappresentazione (4.16).
Consideriamo, ad esempio, il termine dipendente dallo spin, p=3 in (4.15). Usando le tradizionali matrici di Pauli
posso definire gli operatori ascedenti e discendenti come σ+≡ 1
4.2. MONTE CARLO VARIAZIONALE (VMC) 39
Nucleo Z N=A-Z Nconf
3H 1 2 24
Tabella 4.1: Numero di configurazioni di spin e isospin per alcuni nuclei.
la cui azione sugli autostati di spin `e
σ+| ↓i = | ↑i ; σ+| ↑i = 0 ; σ−| ↓i = 0 ; σ−| ↑i = | ↓i ; σz| ↑i = | ↑i ; σz| ↓i = −| ↓i . (4.21) Per semplificare la scrittura ho indicato con| ↑i la funzione d’onda di spin con componente 1/2 sull’asse z, e con| ↓i quella con componente -1/2.
Posso esprimere il prodotto scalare dei due operatori di spin come somma di operatori ascendenti e discendenti
σ(1)· σ(2) = 2 [σ+(1)σ−(2) + σ+(2)σ−(1)] + σz(1)σz(2) . (4.22) Considerando, ad esempio, il caso di tre particelle fermioniche, ottengo
σ(1)· σ(2)
dove ho utilizzato i pedici per identificare la particella, e ho messo parentesi tonde per indicare il prodotto di tre autostati di spin.
Il calcolo dell’energia non ha problemi formali, e consiste nel calcolare il valore di aspettazione dell’hamiltoniana
E =hHi = hΨT|H|ΨTi
hΨT|ΨTi . (4.24)
Il principio variazionale si applica cercando il minimo di questo funzionale di energia. I termini che possono variare sono le funzioni d’onda φi di singola particella che formano il determinante di Slater, e le funzioni scalari f della correlazione.
Nel calcolo dell’energia (4.24), e pi`u in generale del valore di aspettazione di un qualsiasi operatore O, il modulo della funzione d’onda |Ψ|2 gioca il ruolo della funzione peso P (x) presentata nella sezione precedente. La funzione d’onda Ψ di un sistema fermionico `e antisimmetrica per lo scambio di due particelle. Questo significa che scambiando due particelle la funzione d’onda cambia di segno. Dato che Ψ `e una funzione continua, esistono dei valori di R per i quali la funzione d’onda `e nulla, quindi
`
e nullo anche il modulo quadro. Evidentemente questi punti nei quali la funzione P (x) `e nulla creano
40 CAPITOLO 4. TECNICHE MONTE CARLO
problemi nel calcolo dell’integrale (4.12). Questo problema, noto in letteratura come problema del segno, viene affrontato con tecniche approssimate. Questo inserisce nel calcolo di sistemi fermionici alcune approssimazioni di principio, assenti nel caso di sistemi bosonici.