Il modello di Jarrow e Turnbull (1995)

Il modello di Jarrow e Turnbull è stato descritto nell'articolo intitolato Pric- ing Derivatives on Financial Securities Subject to Credit Risk (1995) con l'obiettivo di formulare una nuova teoria per il pricing di strumenti nanziari (derivati e non) soggetti a rischio di credito. Il default può avvenire in qualunque momento e si verica nel momento in cui il valore degli asset scende al di sotto di una soglia pressata delle passività. Le ipotesi alla base del modello sono principalmente:

• mercati perfetti e privi di frizioni;

• economia avente due classi di bond: i bond risk-free il cui prezzo al tempo attuale t = 0 è indicato con p0(t, T ) e i bond rischiosi XYZ il cui prezzo all'epoca t = 0 è indicato con v0(t, T ).

Gli autori dapprima formulano una nuova teoria per il pricing in ambito discreto e successivamente anche in ambito continuo.

In ambito discreto il modello prende in considerazione un intervallo tem- porale [t, T ] dove t rappresenta l'istante attuale e T la scadenza. Per il pricing, invece, gli autori utilizzano gli alberi binomiali, partendo cioè in t = 0 da un prezzo predenito del sottostante del contratto derivato e, per ogni istante temporale successivo a quello attuale, indicano con λ la probabilità di de- fault dell'impresa presa in considerazione e con u e d i fattori di incremento o decremento del prezzo del sottostante fra due epoche temporali. Tuttavia, però, se ipotizziamo che la scadenza sia T = 2, l'emittente di debito può fallire sia tra t = 0 e t = 1, sia tra t = 1 e T = 2. Per tale motivo, dunque, la probabilità di default λ può essere indicata con λ0 o con λ1 a seconda che si prenda in considerazione la possibilità che l'emittente di debito fallisca, rispettivamente, tra t = 0 e t = 1 o tra t = 1 e T = 2. Si ipotizza altresì che a seguito del fallimento, il sottoscrittore di un contratto derivato riesca a recuperare una parte dell'esposizione pari a δ.

Di conseguenza l'albero binomiale indicato da Jarrow e Turnbull al tempo t = 1 ha due nodi: quello più in alto mostra il prezzo che in t = 1 assume il sottostante se si vericasse l'ipotesi di rialzo del prezzo. Il nodo inferiore, invece, indica il prezzo assunto dal sottostante nel caso in cui si vericasse l'ipotesi di decremento del prezzo. Il prezzo dei titoli non soggetti a rischio di default, viene fatto dipendere unicamente dalla struttura a termine dei tassi di interesse. Sicché il tasso spot all'epoca attuale t = 0 sarà dato da:

r(0) = p(T, T )

p(0, 1) . (2.4)

L'albero binomiale che si dirama dal tasso di interesse spot r(0) può assumere nell'istante temporale successivo (t = 1) due valori a seconda che tale tasso

subisca un incremento o decremento. Avremo pertanto: r(1)u = p(T, T ) p(1, T )u in caso di incremento r(1)d = p(T, T ) p(1, T )d in caso di decremento (2.5) Una rappresentazione graca dell'albero binomiale col quale stimare il valore del tasso di interesse spot si ha nella gura 2.1:

Figura 2.1: Struttura a termine del tasso di interesse spot

(1, )

(, )

(0, )

(1, )

(, )

 = 0

 = 1

 = 2

Denita la struttura a termine del tasso di interesse è possibile costruire un albero che illustri in ogni istante temporale l'ammontare che l'investitore riceverebbe dal titolo di debito condizionatamente al vericarsi o meno del- l'evento default. Pertanto, se ipotizziamo di aver sottoscritto un'opzione su un'obbligazione soggetta a rischio default che a scadenza paga il valore di rimborso pari a 100, e sapendo che in caso di fallimento riceveremo un am- montare predenito pari a δ, allora ciò che possiamo attenderci di ottenere a scadenza, per ogni istante temporale, dipende unicamente dalla possibil- ità che si verichi o meno l'evento default. Come mostrato nella gura 2.2, in t = 0 al momento della sottoscrizione dell'opzione, non essendo fallito l'emittente di debito, possiamo attenderci di ottenere il valore di rimborso

dell'obbligazione a scadenza. In t = 1 si possono vericare due casi: l'emit- tente fallisce con probabilità λ0 (e pertanto in t = 1 potremo attenderci di ottenere il recovery rate a scadenza 100 · δ), oppure il debitore non fallisce e potremo attenderci di ricevere il valore di rimborso a scadenza. Tra l'istante temporale t = 1 e la scadenza T = 2 l'emittente di debito può fallire se e solo se non è già fallito precedentemente. Di conseguenza i nodi in T = 2 saranno solo tre e non quattro come in un albero binomiale: il nodo più in alto sarà dato dalla possibilità che, essendo il debitore fallito in t = 1, alla scadenza non potrà comunque rimborsare il debito contratto e pertanto ot- terremo 100 · δ. Nei due nodi in basso, invece si illustra la possibilità che tra t = 1 e T = 2 il debitore (non essendo fallito entro t = 1) possa fallire (con probabilità λ1) o rimanere solvibile (con probabilità 1 − λ1) entro la scadenza. Nel primo caso potremmo aspettarci di ottenere 100 · δ a scaden- za, mentre nel secondo caso ci attenderemo di ricevere il valore di rimborso dell'obbligazione.

Figura 2.2: Valore atteso dall'investitore condizionatamente all'evento default 100 ∙ δ  100 ∙ δ 100  (1 − ) 100 (1 − ) 100  = 0  = 1  = 2

Unendo l'albero binomiale di cui alla gura 2.1 e quello alla gura 2.2 si ottiene la rappresentazione complessiva del prezzo del derivato nella gura 2.3.

In questo albero in t = 0 è indicato il prezzo attuale del bond. In t = 1 sono possibili quattro scenari, rappresentati ognuno in ciascun nodo. Par- tendo dall'alto, il primo nodo indica la possibilità che tra t = 0 e t = 1 il debitore fallisca con probabilità λ0 e che nel medesimo istante temporale il prezzo del bond aumenti. In questo caso l'investitore potrà aspettarsi di ricevere un importo pari a δ · p(T, T ), dove con p(T, T ) si indica il valore di rimborso dell'obbligazione a scadenza. Nel secondo nodo invece è rap- presentata la possibilità che il debitore non fallisca entro t = 1, pertanto l'investitore si aspetterà di ricevere a scadenza il valore di rimborso p(T, T ). Il terzo nodo, invece, prende in considerazione l'ipotesi che il prezzo del bond tra t = 0 e t = 1 decresca ma che, simultaneamente, il debitore fallisca, per cui l'investitore a scadenza otterrà solo δ. Inne il nodo inferiore mostra il prezzo del bond in t = 1 in caso di decremento dello stesso e di solvibilità dell'emittente di debito.

In T = 2, inne, i nodi diventano sei: il primo e il quarto sono relativi alla possibilità che, essendo il debitore fallito entro t = 1 non possa migliorare la propria situazione. Pertanto l'importo che l'investitore otterrà a scadenza sarà δ. Nel secondo e terzo nodo l'investitore a scadenza può ottenere un importo che varia a seconda che l'emittente di debito, tra t = 1 e T = 2 possa fallire (con probabilità λ1) o rimanere solvibile dopo che il bond ha incrementato il proprio valore nell'intervallo (0, 1]. In caso di fallimento l'investitore otterrà il recovery rate δ altrimenti riceverà il valore di rimborso quanticato in 100. La stessa logica è applicabile agli ultimi due nodi in basso: dopo che il bond ha perso valore tra (0, 1], e dopo che nello stesso

intervallo l'investitore si è dimostrato solvibile, l'investitore potrà ottenere δ se l'emittente di debito fallirà tra (1, 2] altrimenti riceverà il valore di rimborso in caso di non default.

Figura 2.3: Albero rappresentante il pricing di un'obbligazione soggetta a rischio default  ∙ (, )  ∙ (, )    ∙ (, ) (1 − ) ∙  _{(1, )} (0, ) (1 − ) (, )   ∙ (, )  ∙ (, ) (1 − ) ∙    ∙ (, ) (1, )_ (1 − ) (, )

Secondo Jarrow e Turnbull (1995) è possibile ottenere i tassi di default λ0 e λ1 in assenza di arbitraggio uguagliando il prezzo di un bond risk-free per il payo ottenibile a scadenza al prezzo di un bond soggetto a rischio default secondo le equazioni:

v(0, 1) = p(0, 1)[λ0δ + (1 − λ0)] (2.6)

v(0, 2) = p(0, 2)(λ0δ + (1 − λ0))[λ1δ + (1 − λ1)] . (2.7) Nell'equazione (2.6) il tasso di default nell'intervallo (0, 1], (λ0) si ot- tiene uguagliando il prezzo in t = 0 di un bond rischioso avente scadenza T = 1, v(0, 1), con il prezzo di un bond non rischioso in t = 0 avente medes- ime caratteristiche e stessa scadenza, p(0, 1), per il payo atteso a scaden-

za dall'investitore. Supponendo assenza di arbitraggio e che a scadenza il valore di rimborso dell'obbligazione rischiosa sia pari ad un'unità di valuta (p(T, T ) = 1), il payo atteso a scadenza deve tener conto da un lato di ciò che il creditore otterrebbe in T = 1 in caso di fallimento (δ · 1) e della probabilità che eettivamente il debitore fallisca nell'intervallo considerato (λ0). Dall'altro lato il payo atteso deve anche considerare l'eventualità che il debitore non fallisca (con probabilità (1−λ0)) e che a scadenza l'investitore ottenga il valore di rimborso quanticato in 1.

In un'economia composta invece da due periodi, il payo atteso a scadenza è dato dalla somma del payo atteso nell'intervallo (0, 1] col payo atteso nell'intervallo (1, 2]. Relativamente al primo intervallo vale la spiegazione appena formulata, mentre nel secondo intervallo, la logica rimane la stessa ma cambia solo la probabilità di fallimento che è λ1. Sicché sommando il payo atteso dall'investitore in (0, 1] al payo atteso in (1, 2] si ottiene la formula (2.7).

Viene di seguito proposto un esempio tratto da Jarrow e Turnbull (1995) per il pricing di un'opzione put a un anno avente come sottostante un'ob- bligazione rischiosa, con scadenza due anni, valore di rimborso pari a 100, u = 0, 5 e strike dell'opzione pari a 92.

Sia dato v(0, 1) = 94, 2176, p(0, 1) = 94, 8627 e δ = 32%, è possibile calcolare la probabilità di default in base alla (2.6), ottenendo λ0 = 0, 01. Sia dato poi v(0, 2) = 87, 1168 e p(0, 2) = 89, 5343, λ1 = 0, 03 seguendo la (2.7). Sia poi denita la struttura a termine dei tassi di interesse come:

Figura 2.4: Albero binomiale per la struttura a termine del tasso d'interesse

r(1)= 6.359%; (1,2)= 93.84

(0) = 5.274%

r(1)= 5.206%; (1,2)= 94.93

allora è possibile applicare l'albero di cui alla gura 2.3 per indicare, in ogni nodo, il prezzo assunto dal bond e il relativo payo dell'opzione, come mostrato nella 2.5.

Figura 2.5: Albero per il pricing di una call europea

1,2 = 1,2 = 0.32 ∙ 93.84 = 30.07 1,= 61.97 1,2 = 1,2 + 1 −  = 91.93 1, = 0.07 0,2 1,2 = 1,2 = 0.32 ∙ 94.93 = 30.38 1,61.62 1,2 = 1,2 + 1 −  = 92.99 1, = 0

Dato l'albero di cui alla (2.5), il calcolo dell'opzione al tempo t = 0 è dato da:

p(0, 2) = (1 − λ0)[uC(1)u,n+ (1 − u)C(1)d,n]

r(0) +

(λ0)[uC(1)u,b+ (1 − u)C(1)d,b]

r(0) .

(2.8) Sostituendo ai vari termini quelli indicati nell'albero di cui alla 2.5, troviamo che il valore dell'opzione call al tempo t = 0 è pari a 0, 62.

Questa formulazione risulta valida in ambito discreto, ma il lavoro di Jarrow e Turnbull prende altresì in considerazione l'ambito continuo. In questo caso si denisce il tasso forward come

f0(t, T ) =

−∂logp(t, T )

∂T (2.9)

e il tasso spot come r0(t) = f0(t, t). Altre assunzioni che vengono fatte sono: • si ipotizza che nel mercato considerato ci sia un titolo risk-free che remuneri gli investimenti al tasso r, per cui depositando e1 l'investitore otterrà: B(t) = expRt

0 r(s)ds;

• si indica con τ il time-to-default dell'impresa e si ipotizza che τ si distribuisca in maniera esponenziale con parametro λ che è denita come intensità del default;

• l'economia è composta da due titoli: uno risk-free e l'altro rischioso. Il payo di un investitore che investe in un'obbligazione rischiosa che a scadenza rimborsa e1 sarà dato da:

j(t) = (

1 se τ > T ,

δ se τ ≤ T (2.10)

Il calcolo del valore di un bond rischioso v(t, T ) in ambito continuo avviene esattamente come in ambito discreto moltiplicando il valore di un bond non rischioso avente le medesime caratteristiche p(t, T ) per i payo attesi a sca- denza, sotto ipotesi di non arbitraggio e di mercati perfetti. Se il default avviene prima della scadenza allora il prezzo del bond rischioso sarà dato dalla moltiplicazione del prezzo del bond risk-free per il recovery rate, men- tre se non ci si aspetta un default antecedente la scadenza allora il valore del bond rischioso sarà dato da:

v(t, T ) = (

(e−λ(T −t)+ δ(1 − e−λ(T −t)))p(t, T ), se t < τ,

δp(t, T ), se t ≥ τ . (2.11)