Il modello di pricing delle swaption di Black and Scholes.

Le swaptions o swap options sono delle opzioni su swap su tassi di interesse o interest rate swaps.

Come abbiamo già accennato nel capitolo precedente le swaptions attribuiscono al portatore il diritto, a una certa data stabilita, di entrare in un interest rate swaps. La convenienza nell’acquisto di swaption ha fatto si che la loro diffusione aumentasse in maniera esponenziale negli ultimi anni, ed ormai molte istituzioni finanziare che offrono swap su tassi di interesse negoziano (acquistano e vendono) coi propri clienti societari anche swaption.

In particolare le swaption hanno trovato larga diffusione tra le società, infatti tramite questo derivato esse si assicurano la garanzia che il tasso d’interesse che pagheranno su un prestito non supererà un determinato livello.

Supponiamo che una società programmi, tra sei mesi, di contrarre un prestito a 5 anni a tasso variabile.

Supponiamo inoltre che in tale contratto vi sia una revisione semestrale del tasso, e che l’azienda voglia scambiare i pagamenti a tasso variabile con quelli a tasso fisso, così che il finanziamento diventi a tutti gli effetti un’operazione a tasso fisso piuttosto che a tasso variabile.

La società per raggiungere questo scopo potrà acquistare un swaption e così avere il diritto di ottenere il Libor a sei mesi e pagare un certo tasso fisso, ad esempio il 4% annuo, per un periodo che va dal sesto mese successivi alla stipula fino ai 5 anni.

Se dopo sei mesi il tasso fisso di uno swap ordinario a 5 anni sarà maggiore del 4%, la società avrà la facoltà di esercitare la swaption e così otterrà uno swap a condizioni vantaggiose rispetto a quelle del mercato.

Viceversa se dopo sei mesi il tasso fisso di uno swap ordinario a 5 anni sarà minore rispetto al 4%, la società allora deciderà di non esercitare la swaption ed entrare nello swap in maniera consueta.

Alla diffusione delle swaption ha contribuito in maniera decisiva anche la convenienza nell’utilizzo di queste piuttosto che di altri strumenti.

Un confronto è possibile farlo con uno strumento che in qualche modo si avvicina a queste ovvero al foward swap. Lo swap differito, detto anche deferred swap, a differenza della swaption non prevede un costo di acquisto iniziale, tuttavia tale vantaggio è compensato dal fatto che tale strumento non offre la facoltà di entrare nello swap qualora le condizioni siano convenienti, come per la swaption, ma altresì obbliga la società acquirente ad entrarci.

Quindi mentre con le swaption la società potrà beneficiare di eventuali movimenti favorevoli del tasso di interesse mentre si protegge da quelli sfavorevoli, con lo swap differito non si potranno avere entrambi i benefici.

Affrontando il problema della valutazione delle swaption è necessario premettere che stiamo parlando di opzione di tipo europee.

Ricordiamo che per questo tipo di opzioni è l’esercizio della facoltà che attribuisce è esercitabile solo a scadenza, mentre per quelle americane la valutazione è più

complessa in quanto per queste il diritto è esercitabile in qualsiasi istante prima della scadenza.

Il modello per la valutazione delle opzioni di Black e Scholes assume che alla base vi siano specifici presupposti:

• Mercati sempre aperti, ovvero presuppone che sia possibile in ogni momento comprare o vendere il sottostante

• Assenza di costi di arbitraggio, infatti qualora ci fosse la possibilità di guadagnare senza rischio sul mercato, questo lo si potrebbe fare a costo zero.

• La volatilità del sottostante è costante, un sottostante molto volatile è un sottostante il cui prezzo, molto spesso e anche per grandi variazioni, si muove rispetto al suo prezzo medio.

• Il tasso d’interesse risk free è costante nel tempo, possiamo definire i tassi d’interesse come il premio che si incassa per rinunciare oggi ai soldi e riaverli tra un po’ di tempo. Un investimento risk free, per definizione, non può portare a perdite e, quindi, il tasso utilizzato rappresenta solo il valore temporale del denaro, non tenendo in considerazione il rischio di fallimento o di liquidità.

• I movimenti del prezzo dello sottostante seguono una distribuzione log- normale. “In teoria delle probabilità la distribuzione lognormale, o log- normale, è la distribuzione di probabilità di una variabile aleatoria X il cui logaritmo logX segue una distribuzione normale.”36

Figura 3.1 Esempio di distribuzione normale e log-normale.

Fonte: http://zdrav40.ru/?k=Simulate+lognormal+data+with+specified+mean+and+variance

Le swaption, come qualsiasi opzione possono essere put o call, per il momento ci concentreremo sulla valutazione di una swaption del tipo call.

Alla data di scadenza il valore della swaption sarà il maggiore tra i due payoff possibili.

Val. call swaption=max0;(Vfloating leg- Vfixed leg)

Il primo step per la determinazione del valore della swaption è la stima del valore della gamba variabile dello swap, al tempo t, ovvero alla scadenza dell’opzione. Avremo quindi:

VAfloating leg=N(1-v(t, t+n))

Dove:

• N è il capitale nozionale.

• v(t, t+n)=[1+i(t,i+n)]−𝑛 _{che è il fattore di sconto relativo alla durata dello}

swap (n), questo sarà uguale alla differenza tra la scadenza dell’opzione (t) e la scadenza dello swap (t+n).

La determinazione della gamba fissa alla scadenza dell’opzione è il passo successivo:

VAfixed leg= NK∑𝑛_𝑖=1𝑣(t, t+i)

Con:

• K che rappresenta lo strike rate della swaption o swap rate. • t+i la data di scadenza del flusso a tasso fisso dello swap. • t la data di scadenza dell’opzione.

• n la data di scadenza dello swap e dell’ultimo flusso per interessi.

Calcolato il valore della gamba fissa e della gamba variabile possiamo adesso determinare, utilizzando il modello di Black e impiegando i tassi foward, il valore di una swaption di tipo call prima della scadenza dell’opzione.

La formula che utilizzeremo sarà la seguente:

C=∑𝑛_𝑖=1𝑁𝑒−𝑟𝑖(1+𝑖)

[

f

Dove:

• ft+(i-1),t+i è il tasso foward di ciascun periodo in cui possiamo suddividere lo

scadenziario dello swap.

• ri rappresenta il tasso d’interesse di ogni periodo dalla data di valutazione

alla scadenza di ciascun flusso. • d1=

𝑙𝑛( ∑𝑛_𝑖=10𝑓𝑡+(𝑖−1),𝑡+𝑖 / 𝑛∗𝐾 )+ 1₂ 2𝑡

𝑡

.

• d2= d1-2.

• t+i è il tempo dalla data di valutazione con t=0 alla scadenza di ogni flusso (i).

• K uguale al tasso fisso del foward swap o al tasso strike della swaption. • N(d1/d2) è la funzione di ripartizione della normale standardizzata con

equazione generale: N(d)= 2 ∫ 𝑒 𝑑2 2 𝑑 − dz.

E’ possibile riscrivere la formula per la determinazione del valore della gamba fissa e di quella variabile, in particolare posta t come la scadenza dell’opzione avremo:

• ∑𝑛_𝑖=1𝑁𝑒−𝑟𝑖(𝑡+𝑖)

0

f

• ∑𝑛_𝑖=1𝑁𝑒−𝑟𝑖(𝑡+𝑖) _{K per calcolare il valore della gamba fissa.}

Possiamo quindi facilmente osservare che “il valore della call swaption è il risultato della differenza tra il valore attuale della gamba variabile e quello della fissa moltiplicati per le rispettive funzioni di ripartizione della normale standardizzata di un forward swap”.37

Potremo quindi riscrivere l’equazione per la determinazione del valore della call swaption:

C= VA(gamba variabile forward swap)[N(d1)] – VA(gamba fissa forward swap)[N(d2)]

Adesso si dovrà stimare il valore attuale della gamba fissa e della variabile. Con il valore della prima che sarà dato da:

VAfixed leg= NK ∑𝑛_𝑖=1𝑣(0, 𝑡 + 𝑖) ∗𝑔𝑖𝑜𝑟𝑛𝑖

360

Possiamo identificare quindi all’interno dell’equazione: • K che sarà il prezzo strike dell’opzione.

• v(0,t+i) il quale rappresenta il fattore di sconto dei periodi che vanno da quello a tempo 0 al tempo di ogni singolo flusso fisso, ovvero (t+i), con t data di scadenza dell’opzione

Per trovare il valore attuale della gamba variabile l’equazione sarà la seguente: VAfloating leg= N[v(0,t) – v(0, t+i)]

Nel quale:

• v(0,t) rappresenta il fattore di sconto relativo al periodo che va dal tempo 0 alla scadenza dell’opzione (t), possiamo riscrivere tale valore come: [1+i(0,t)]−𝑡.

• v(0,t+n) è il fattore di sconto relativo al periodo che va dal periodo 0 alla scadenza dello swap (t+n), è possibile riscrivere tale valore con la seguente equazione [1+i(0, t+n)]−(𝑡+𝑛).

Il valore di equilibrio della call swaption quindi sarà:

call swaption= VAfloating leg N(d1) - VAfixed leg N(d2)

E’ importante evidenziare le equazioni dei valori d1 e d2:

• d1=

(𝑉𝑓𝑙𝑜𝑎𝑡𝑖𝑛𝑔_{𝑉𝑓𝑖𝑥𝑒𝑑} )+1₂2

𝑡 .

• d2= d1-t.