Il modello matematico di A.M.C.: stima dei parametr

Una volta definiti i criteri di scelta dei fattori di rischio utilizzati per la mappatura dei titoli, le caratteristiche del modello matematico di A.M.C. riprendono integralmente quelle dell’approccio parametrico classico varianza – covarianza. Esso infatti, come il modello teorico generale, assume che i rendimenti dei fattori di rischio siano distribuiti secondo una funzione di densità normale e che le variazioni dei titoli siano lineari rispetto a quelle dei singoli fattori di rischio. Pertanto anche i rendimenti del portafoglio saranno distribuiti normalmente e il calcolo del VaR viene a dipendere esclusivamente dalla stima dei parametri del portafoglio. Inoltre, anche per la stima dei parametri della distribuzione dei fattori di rischio, il modello riprende quella utilizzata dalla J.P. Morgan nella prima versione del 1996 in cui la rischiosità è stimata attraverso uno “statico” scarto quadratico dalla media della distribuzione normale. La semplificazione computazionale è evidente rispetto ad un modello di simulazione dove si richiede invece di applicare il concetto di full valuation, il quale processo iterativo rende molto più oneroso il calcolo.

Da quanto detto sopra, per la stima dei rendimenti e della volatilità degli N asset facenti parte di un portafoglio sono necessari:

1. I rendimenti medi dei K fattori di rischio su cui sono mappati gli N asset del portafoglio.

2. Le volatilità e le covarianze dei K fattori di rischio, quindi la matrice di varianza – covarianza dei fattori di rischio.

3. I parametri delle regressioni di ciascun asset sul corrispondente fattore (αi , βi,k), e i rischi specifici ( i)del medesimo.

94

1. Calcolo dei rendimenti dei fattori di rischio

Una volta individuato l’indice corrispondente al particolare titolo, i rendimenti del fattore (indice) vengono calcolati per mezzo di una stima storica. Detto Si il valore della variabile di mercato k al giorno t, è possibile calcolare il rendimento giornaliero continuamente composto (rendimento logaritmico) al giorno t, rk,t, secondo la formula:

(5.1) rk,t = ln

(

k

k, t-1

)

Il rendimento medio del medesimo fattore - necessario per la stima della volatilità - sarà dato quindi dalla media campionaria dei rendimenti giornalieri rk,t ottenuta sulla base delle osservazioni effettuate.

(5.2) r̅ =

n ∑ rk, t-i n i=1

2. Stima della matrice varianze – covarianze dei fattori di rischio

Il sistema di calcolo A.M.C. stima la volatilità dei fattori attraverso l’uso di una varianza incondizionata costante. A tal proposito, detta _k il tasso di varianza di una variabile di mercato al tempo t e k la sua volatilità, sulla base delle n osservazioni più recenti, la formula ben nota con cui l’applicativo calcola la rischiosità di un fattore è la seguente:

(5.3) _k = 1

n- 1 ∑ (rk,t-i- r̅)

n

i 1 2

Le equazioni esposte fino a ora in questo paragrafo riguardano le stime per singoli fattori. Nel considerare il calcolo degli stessi parametri per il portafoglio complessivo di K fattori, la formula della varianza del portafoglio che A.M.C. utilizza è già stata esposta nell’equazione (1.8), ma affinché la formula possa essere applicata, occorre stimare preliminarmente i parametri della regressione di ogni singolo fattore del portafoglio.

95

3. Stima dei parametri e calcolo della varianza del portafoglio

Sulla base del modello di mercato, il rischio di un portafoglio è misurato dalla somma delle volatilità dei rischi sistematici (come dalla (5.3)), associati ai singoli titoli attraverso la stima dei coefficienti di sensibilità (βi,k) e alla variabilità del rischio specifico ( 2_i). Pertanto i K indici su cui sono mappati gli N asset del portafoglio p necessitano della stima dei coefficienti di sensibilità, al fine di dedurne l’incidenza di ognuno in base alla composizione di p. A questo proposito il modello utilizza il metodo dei minimi quadrati per minimizzare la funzione di perdita, estraendo i βi,k e stimando successivamente la serie dei rendimenti specifici dell’asset i necessari al calcolo della varianza dei residui. La procedura utilizzata per la stima del rischio specifico è la stessa della (5.3) impiegata per il rischio sistematico.

Detto ciò, l’espressione della varianza di p in relazione ai due tipi di rischio (sistematico e specifico) può essere riscritta nella seguente forma matriciale:

(5.4) p = p( F + ) p

dove B rappresenta il vettore dei coefficienti di sensibilità del fattore k

all’asset i (con k = 1, …, K e i = 1, … , N)

F la matrice simmetrica delle varianze – covarianze dei K fattori di rischio comuni

la matrice diagonale delle varianze dei residui i

p rappresenta il vettore dei pesi wi del portafoglio rispetto agli asset e p il suo trasposto B = [ β_1,1 β_1, β_1, β _,1 β _, β _, β _,1 β _, β _{, ]} F = [ f2₁ f₁,f f₁,f f ,f₁ f2 f ,f f ,f₁ f ,f f2 ] =[ 1 0 0 0 0 0 0 ] e Wp = [ 1 ]

96

Infine, per quanto riguarda la stima del VaR su un orizzonte temporale breve, come nel caso di orizzonte giornaliero, l’evidenza empirica prova che in queste circostanze il rendimento atteso del portafoglio è un elemento trascurabile poiché, a meno di eventi occasionali, il valore futuro non potrà essere molto lontano da quello odierno. A questo proposito, così come tutti e tre gli applicativi analizzati, nella stima del VaR a un giorno il modello assume un valore atteso del portafoglio nullo, perciò il valore della misura di rischio viene a dipendere unicamente dalla deviazione standard. Dato il livello di confidenza quindi, il VaR risulterà un multiplo della deviazione standard del portafoglio. Di conseguenza diventa ancor più rilevante la superficialità del sistema circa il metodo di calcolo della varianza dei fattori di rischio, in quanto una stima basata su dati storici equipesati rischia di sottostimare (sovrastimare) il rischio nel caso in cui il passato più lontano risultasse molto più tranquillo (turbolento) di quello recente.

5.2 EFFE®

Nel periodo in cui svolgevo lo stage, la banca, insieme alla software house fornitrice del sistema di calcolo, era in fase di implementazione di un nuovo modello per la stima del VaR.

Come A.M.C., il nuovo applicativo è anch’esso un modello parametrico monofattoriale che stima il VaR seguendo la stessa procedura seguita nel paragrafo precedente. L’unica sostanziale differenza del modello matematico risiede nel calcolo della matrice delle varianze – covarianze dei fattori di rischio la quale, diversamente dall’altro, è stimata attraverso l’uso delle medie mobili esponenziali (EWMA).

Pertanto, definiti i criteri di mappatura, il sistema stima i coefficienti di sensibilità e specifica i valori dei residui di ognuno. Successivamente, mediante l’utilizzo della EWMA calcola le varianze del rischio sistematico e di quello specifico. Infine, attraverso la (5.4) stima il valore della deviazione standard del portafoglio.

Dal procedimento descritto si nota come il sistema agisca secondo gli step specificati per A.M.C., con l’unica variante nel secondo passaggio circa la metodologia di calcolo delle varianze dei fattori di rischio. Inoltre, come il primo modello, nella stima del VaR giornaliero EFFE assume un valore atteso pari a zero. Dunque il valore viene nuovamente a dipendere esclusivamente dalla stima della deviazione standard. In questo caso però, ai valori più recenti delle serie storiche dei fattori di rischio è assegnato un

97

peso esponenzialmente maggiore di quelli più lontani, perciò ne risulterà un valore previsivo (della misura di rischio) che riflette maggiormente il passato più recente. Senza soffermarsi sul modello matematico sottostante, descriviamo nel seguito la particolare procedura di mapping di EFFE.