Teorie economiche e uso della Gaussiana nella finanza moderna

Agli inizi del ‘900 l’analisi dei mercati finanziari si fondava sul concetto di informazione perfetta e gioco equo promosso da L. Bachelier nella Random Walk Theory, o teoria del cammino casuale, secondo la quale il prezzo di un asset si muove percorrendo una traiettoria indipendente dal percorso coperto in precedenza e affermando che i prezzi rilevati in un determinato istante riflettono pienamente tutte le informazioni disponibili del titolo oggetto di interesse. La teoria presuppone un mercato finanziario dove compratori e venditori si compensano nella loro attività di trading e tutti dispongano delle stesse informazioni, generando, in qualsiasi istante si vada a rilevare il prezzo di un titolo, un valore definito “giusto”, perciò un mercato a somma zero impossibile da “battere”. In un contesto del genere, l’investitore razionale che voglia accumulare extraprofitti sarà costretto quindi a tentare di anticipare i futuri prezzi attraverso strategie diverse dagli altri soggetti economici assumendosi un rischio maggiore.

Riguardo alla volatilità dei prezzi, Bachelier sosteneva che la valutazione del prezzo futuro considerato più attendibile dalla maggior parte dei soggetti è il vero prezzo corrente del titolo. In altre parole, se esistono aspettative comuni sull'andamento dei prezzi, e se queste si realizzano, la volatilità sarà contenuta e i prezzi dei titoli non subiranno brusche variazioni. Questa supposizione per cui non esistono possibilità di arbitraggio in grado di destabilizzare le aspettative, consentì allo stesso teorico di giungere alla conclusione di poter rappresentare graficamente la distribuzione dei rendimenti con un grafico campanulare altrimenti definita distribuzione Normale- Gaussiana, per affermare che i prezzi dei titoli siano distribuiti in maniera indipendente rispetto al percorso storico, nonché identicamente distribuite (i.i.d.). Dunque, questi dipendono solo dalle nuove informazioni di cui si è a disposizione nel presente.

Lo studio di Bachelier veniva sorretto da un’analisi empirica di natura probabilistica condotta sui prezzi di alcune attività finanziarie. In particolar modo l'analisi venne realizzata su obbligazioni di Stato francesi, la cui distribuzione dei rendimenti risultava caratterizzata da un rendimento medio nullo e da una varianza di valore unitario, elementi caratteristici della distribuzione di probabilità definita Normale o Gaussiana.

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La teoria della Finanza Moderna, in cui è compreso l’approccio varianza-covarianza, è costruita sulle ipotesi dei mercati efficienti nonché perfettamente concorrenziali come sostenuto dalla nuova corrente macroeconomica Neoclassica. Essa è eretta principalmente sulla teoria pionieristica di Eugene Fama: l’Efficient Market Hypothesis (EMH). Così come per Bachelier, secondo tale dottrina gli investitori preparano delle previsioni partendo dall'assunto che in un mercato ideale i prezzi dei titoli riflettono pienamente tutte le informazioni15 attinenti e che la variazione odierna dei prezzi non sia influenzata dalla variazione dei prezzi storici, denotando una caratteristica di indipendenza rispetto ad una variazione precedente e assenza di memoria di lungo periodo. Qualora nel corso del periodo di investimento, i valori dei titoli dovessero subire fluttuazioni improvvise, queste sarebbero dovute a fattori di irrazionalità prontamente corrette dagli investitori istituzionali che limano queste imperfezioni e frizioni tra i titoli.

Sintetizzando, il modello del mercato finanziario si basa su tre presupposti:

 le persone sono razionali e mirano a diventare ricche;  tutti gli investitori sono uguali;

 i cambiamenti dei prezzi hanno un andamento browniano16

esprimibile da una distribuzione normale.

Sulla base della EMH, nello stesso periodo, venne proposta da Markowitz una teoria finanziaria attinente la gestione di portafogli finanziari, che prese il nome di Modern

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L'informazione riflessa sui mercati viene divisa su tre livelli crescenti, un livello di efficienza informativa debole, dove i prezzi delle azioni riflettono informazioni riferite a situazioni passate. Le variazioni saranno dovute solo a nuove informazioni diffuse, motivo per cui questi cambiamenti si definiscono indipendenti. Segue un livello di efficienza informativa semi-forte, dove viene riflessa una informazione pubblicamente disponibile, rintracciabile nei bilanci delle società per valutare il titolo in maniera corretta e infine, un livello di efficienza informativa forte dove tutte le informazioni disponibili riferite ai prezzi delle azioni sono contenute nel trend dei prezzi presumendo che gli investitori siano paragonati agli insiders operanti attivamente in una società quotata in borsa.

16 _{In finanza, il termine "andamento browniano" implica a sua volta che siano verificate tre ipotesi:}  indipendenza delle singole fluttuazioni dei prezzi;

 stazionarietà statistica delle variazioni dei prezzi;

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Portfolio Theory (MPT) e rappresentò l’input allo sviluppo dei metodi per il calcolo e la gestione del rischio (vedi § 1.2). Il ragionamento su cui si basa l’analisi Markowitz è in realtà molto semplice. Gli investitori, oltre al desiderio di ottenere alti rendimenti, sono per natura avversi al rischio e pertanto l’atteggiamento più logico, e razionale, che possano adottare è quello di attuare un’efficace politica di diversificazione degli investimenti per ridurre il rischio.

In generale, l'idea di una distribuzione dei rendimenti che segua una gaussiana la si può forse attribuire al fatto che quando venivano studiati i dati raccolti, prima di essere messi su di un grafico, gli statistici prendevano i valori che più si discostavano dalla media e li eliminavano, considerandoli degli errori. Questa contaminazione dei dati storici insieme alla notevole semplificazione dei modelli e delle teorie che comporta un'idea di fluttuazioni casuali, ha permesso all'assunto gaussiano di rimanere in uso fino ad oggi.

Figura 2: Distribuzione Normale

In un contesto di mercato descritto da una funzione di densità di normale, in cui gli investitori sono uguali e hanno un comportamento uniforme, le piccole variazioni di prezzo sono la norma, mentre i crolli o le salite frenetiche delle irregolarità. Esso rappresenta un luogo dove i prezzi variano in maniera imprevedibile e soprattutto indipendente. Ma sarà veramente così?

μ - ,33 μ -1,65 μ - μ μ + μ +1,65 μ + ,33 μσ μσ μσ 68 % 95 % 99 %

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In realtà, data l'elevata stocasticità dei mercati e la difficoltà di reperire tempestivamente un'adeguata informativa, difficilmente si potrebbe parlare di mercati finanziari efficienti in senso informativo e che i prezzi delle azioni riflettano tutte le informazioni disponibili sui mercati.

La teoria dell’efficienza della scuola Classica di Bachelier e le teorie Neoclassiche EMH e MPT furono successivamente criticate da diversi matematici ed economisti appartenenti ad una corrente diametralmente opposta. Tra questi, il matematico franco- polacco Benoit Mandelbrot, il quale ebbe la capacità di abbattere ognuna delle ipotesi alla base della EMH attraverso la sua Teoria dei Frattali17, in questo caso applicata alla finanza.

Fu lo stesso autore a coniare il termine frattale nel 1975, quando, cercando per l'appunto un nome che potesse descrivere la sua visione della natura, sfogliando il vocabolario di latino del figlio, s'imbatté nell'aggettivo fractus, che, per la sua risonanza con parole come frattura e frazione, apparve subito adatto allo scopo di descrizione di variabili matematiche che sembravano seguire un comportamento “caotico”.

La geometria frattale contrasta con la scienza tradizionale che come visto annovera gli aspetti irregolari della natura e gli eventi non similari come teoria del caos. “È teoria del caos una goccia d’acqua che si espande nel mare, …, le fibrillazioni cardiache, gli errori dei computer e le oscillazioni dei prezzi”.

Qualche volta però, la realtà supera la teoria classica nel senso che l’imprevedibile si realizza, come ad esempio il crollo della borsa nel 1929 o gli sfortunati eventi finanziari dell’agosto del 1998. Secondo i modelli dell’economia tradizionale, la sequenza di questi eventi era così improbabile da essere impossibile. Tecnicamente venne chiamato “valore erratico”, cioè molto lontano dal normale valore atteso nel mondo azionario. Eppure è accaduto. Questo, secondo i frattali, dimostra che l’economia tradizionale è in errore.

Secondo Mandelbrot non esistono investitori omogenei nella selezione dei titoli e delle informazioni, così come non esistono investitori con la stessa avversione al rischio, oppure con orizzonti temporali uguali. Gli investitori si differenziano, ad esempio, tra cassettisti e speculatori, tra investitori emotivi e non, i quali avendo un comportamento finanziario divergente, richiederanno anche modelli e teorie divergenti. Da questa

17 _{Il suo lavoro fu pubblicato nel libro Les objets fractals, form, hasard et dimension (1975) e più}

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affermazione l’autore della teoria dei frattali asserisce che il mercato azionario sia paragonabile ad un ambiente caotico e non lineare o perfetto.

La caratteristica della normalità della curva dei prezzi è stata ampiamente criticata da Mandelbrot ed altri economisti, i quali hanno potuto costatare che i mercati hanno variazioni di prezzo che variano bruscamente creando dei gap ampi in giorni molto volatili, non rispettando quindi l'omogeneità delle leggi naturali, visto che essi non sono altro che luoghi frequentati da individui umani, imprecisi nelle loro azioni. Altro tema ampiamente dibattuto riguarda la continuità delle distribuzioni dei rendimenti dei titoli, che secondo la teoria Neoclassica risultano essere casuali.

Secondo i risultati conseguiti, il presupposto di una relazione di tipo gaussiano dei rendimenti di titoli finanziari è da eliminare visto che eventi come il crollo della borsa di New York del 1987, del 1997 nel Sud Est Asiatico, del 1998 e del 2008 in USA ed Europa, per la teoria classica si sarebbero dovuti verificare ogni migliaia di anni, cosa che in realtà, non è stata riscontrata.

Da questo presupposto, Mandelbrot afferma che le code delle distribuzioni di probabilità presentano il fenomeno delle Fat Tails (letteralmente code grasse) e che in realtà, i movimenti dei prezzi non sono indipendenti o Browniani come supposto dal modello gaussiano, bensì subiscono l'influenza degli eventi passati, in grado di alterare le quotazioni future dei titoli. Proprio da tale affermazione, l’autore consegue un secondo importante risultato: la presenza di caos o di improvvisi cambi nelle tendenze dei prezzi monitorati, ovvero la presenza di volatilità nei mercati, significante una eccessiva rischiosità dei mercati oltre quella normalmente quantificata dalle misure convenzionali.