0 . 0 0 . 5 1 . 0 1 . 5 2 . 0 2 . 5 3 . 0 Is* Is* I ρ A S / S S Ic* S i n a p s i v e l o c e : τD= 0 . 4 0 . 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 . 0 0 . 0 0 . 5 1 . 0 1 . 5 2 . 0 2 . 5 3 . 0 I c* A S / S S I ρ S i n a p s i l e n t a : τD= 1 . 4 3
Figura 5.2: Regioni di sincronizzazione nello spazio dei parametri (ρ, I) per una coppia di LIF accoppiati mediante sinapsi inibitorie ed elettriche (ρ = gc/(gc+ gs)). A sinistra, sinapsi inibitoria
veloce (τD = 0.4). A destra, sinapsi inibitoria lenta (τD = 1.43). Per entrambi i pannelli `e
β = 0.3, τR= 0.1 · τD. IS∗ definisce, nel caso di accoppiamento soltanto inibitorio, il valore critico
della corrente di stimolazione in corrispondenza del quale ha luogo una biforcazione sub-critica a forchetta (tale che per I > IS∗ gli unici stati stabili sono quelli di sincronia). IC∗ `e il valore critico della corrente nel caso di accoppiamento soltanto elettrico. S indica la regione di stabilit`a, AS/S quella di bistabilit`a.
5.2
Il nuovo modello biofisico di interneurone FS
Anche se la nuova forma (equazione 5.2) di interazione sinaptica tra i due modelli LIF di interneurone FS `e pi`u realistica della α-function, non si pu`o dimenticare che la descrizione dinamica del potenziale di membrana mostra, in questo modello, severe limitazioni, Ci`o rende difficile riprodurre le caratteristiche elettrofisiologiche degli interneuroni FS. Di conseguenza i risultati ottenuti con il modello LIF, riguardo gli stati di phase-locking di due interneuroni FS accoppiati, vanno presi con cautela. Lavori recenti apparsi in letteratura, e che trattano le stesse problematiche, presentano anch’essi risultati ottenuti con modelli che non rispecchiano fedelmente le caratteristiche elettrofisiologiche degli interneuroni FS. Ad esempio, nei lavori di N. Kopell e B. Ermetrout [48] e in quello di B. Pfeuty et al. [51, 54], si utilizza il modello QIF (vedi paragrafo 2.7) per uno studio teorico dei fenomeni di sincronizzazione tra due cellule accoppiate. Per simulare reti neurali pi`u estese, invece, i primi utilizzano il modello biofisico di Wang-Buzsaki [39], gli altri una sua versione modificata.
per la generazione del firing periodico, e ci`o non rispecchia i risultati sperimentali riportati in [44, 46] che invece mostrano che gli interneuroni FS passano dallo stato di quiescienza a quello di firing con frequenze iniziali nel range [20 − 30 Hz]. Questo comportamento `e quello tipico in presenza di una biforcazione di Hopf. Il modello biofisico di Wang-Buzsaki, poi, oltre a presentare una biforcazione di tipo diverso, `e stato formulato qualche anno prima che la cinetica delle correnti ioniche al N a+e al K+negli interneuroni FS fosse caratterizzata da un punto di vista sperimentale [59, 62, 63]; conseguentemente esso non riproduce accuratamente le propriet`a elettrofisiologiche degli interneuroni FS. Un modello pi`u realistico di interneurone FS `e stato proposto da A. Erisir et al., nel 1999, ed `e stato utilizzato da alcuni gruppi [60] per lo studio delle propriet`a di sincronizzazione tra interneuroni accoppiati con sinapsi elettriche e inibitorie. Il modello di Erisir et al. descrive correttamente la cinetica delle correnti al N a+ negli interneuroni FS, ma presenta delle equazioni per la cinetica della corrente al K+
che non attingono rigorosamente ai dati sperimentali pubblicati su questo tipo di cellule. Per ovviare ad una buona parte di questi inconvenienti uno degli obbiettivi di questo lavoro di tesi `e stato quello di mettere a punto un modello biofisico di interneurone FS che tenesse conto dei risultati sperimentali ottenuti recentemente [59, 62, 63]. Il modello biofisico di interneurone FS proposto in questa tesi `e definito da:
CmV = I˙ E − gN am3h(V − VN a) − gKn(V − VK) − gL(V − VL) ˙x = (x∞− x)/τx x = m, h, n (5.9)
dove Cm = 1µF/cm2 e IE `e la corrente di stimolazione esterna. Assumendo un’area della
superficie somato-dendritica pari a A = 1.2 · 10−4cm2, e una resistenza di input R
i ≈ 55M Ω
per gli interneuroni FS [61], la conduttanza di leakage gL `e stata stimata dalla relazione
(Ri = A·g1L). Il valore ottenuto `e gL = 0.15mS/cm2. Il potenziale d’inversione della corrente
di leakage ,VL, `e stato stimato dai dati sperimentali ed `e stato assunto il valore VL = −72mV
[44, 46].
La descrizione della corrente al N a+`e stata formulata sulla base del lavoro di M. Martina e P. Jonas [59] concernente gli interneuroni FS dell’ippocampo. Le curve teoriche di attivazione (m∞(V )) e inattivazione (h∞(V )) per questo tipo di corrente sono state stimate dagli autori
utilizzando un fit non lineare ai minimi quadrati e sono definite come segue: m∞(V ) = 1/ {1 + exp[−(V − Vm)/km]} h∞(V ) = 1/ {1 + exp[(V − Vh)/kh]} . (5.10) con Vm = −25.1mV , Vh = −58.3mV , km = 11.5mV , kh = 6.7mV .
Per quanto riguarda la dipendenza dei tempi caratteristici di attivazione (τm) e inatti-
vazione (τh) della corrente al N a+ dal potenziale di membrana, gli autori hanno riportato
soltanto i dati sperimentali. La determinazione delle curve teoriche descriventi i dati sper- imentali relativi a τm e τh, `e stata effettuata in questo lavoro di tesi. Secondo il formalis-
5.2. IL NUOVO MODELLO BIOFISICO DI INTERNEURONE FS 77
mo introdotto da H-H (paragrafo 2.2) la dipendenza funzionale dei tempi caratteristici dal potenziale di membrana `e stata assunta come segue:
τm(V ) = 1/[αm(V ) + βm(V )], αm(V ) = ame(V +Vm)/τm1, βm(V ) = ame−(V +Vm)/τm2 τh(V ) = 1/[αh(V ) + βh(V )], αh(V ) = ahe−(V +Vh)/τh1, βh(V ) = ahe(V +Vh)/τh2 (5.11) Le curve teoriche che sono state utilizzate nel fit non lineare ai minimi quadrati dei dati sperimentali sono state leggermente modificate e sono definite da:
τm(V ) = τ0,m+ 1/[αm(V ) + βm(V )] τh(V ) = τ0,h+ 1/[αh(V ) + βh(V )] (5.12)
dove i parametri τ0,m, τ0,h, sono stati aggiunti per migliorare l’accordo delle curve teoriche con
i dati sperimentali nel range di interesse fisiologico (−100mV, 40mV ) e sono stati mantenuti fissi (τ0,m = 0.03ms, τ0,h = 0.5ms) per rendere pi`u robusta la convergenza dell’algoritmo di
fit. Per Vm e Vh sono stati utilizzati i valori definiti nelle equazioni 5.10. I valori medi dei
parametri am, τm1, τm2 stimati nel fit sono, rispettivamente, 3ms
−1, 12.9mV, 17.1mV , mentre
i valori medi dei parametri ah, τh1, τh2 sono, rispettivamente, 0.026ms
−1, 8.1mV, 7.2mV . Le
curve che ottenute mediante il fit e i corrispondenti dati sperimentali sono mostrati in figura 5.3.
La corrente mediata dai canali selettivi per il N a+ ha una cinetica non dissimile negli
interneuroni FS e nelle cellule piramidali, di conseguenza ci`o che conferisce agli interneuroni FS la propriet`a di generare treni di potenziali d’azione ad alta frequenza (in risposta a gradini di corrente depolarizzante) `e la cinetica della corrente al K+ [59, 62, 63].
La corrente al K+ negli interneuroni FS `e costituita da diverse componenti, ognuna delle
quali `e mediata da un diverso canale ionico. I canali ionici voltaggio-dipendenti selettivi per il K+ sono codificati da quattro importanti famiglie di geni: Kv1, Kv2, Kv3 e Kv4. Studi di carattere sperimentale [62, 63] hanno mostrato che la componente della corrente al K+ maggiormente responsabile del fenotipo Fast-Spiking `e quella mediata dai canali codificati dalla famiglia genica Kv3.
Tali canali hanno una cinetica di attivazione/deattivazione veloce (il valore di picco `e τn(−20mV ) ≈ 20ms), una soglia di attivazione alta (Vn ≈ −10mV ) e una fase di inat-
tivazione praticamente mancante. La corrispondente corrente `e denominata fast-delayed rectifier. E’ stato mostrato [63] che la velocit`a del processo di attivazione per questo tipo di corrente ha un valore ottimale per la generazione di potenziali d’azione con la frequenza tipica del fenotipo FS. Infatti, utilizzando un recente metodo sperimentale, detto dynamic clamp, `e stato possibile aumentare o diminuire artificialmente la velocit`a di attivazione, e si `
e visto che la frequenza di scarica dei potenziali di azione risulta in entrambi i casi inferiore. Inoltre, sempre con la stessa tecnica, `e stato possibile abbassare artificialmente la soglia di attivazione (ad es. da −10 a −20mV ), e in tal caso il neurone non mostra pi`u il fenotipo FS;
- 1 0 0 - 8 0 - 6 0 - 4 0 - 2 0 0 2 0 4 0 0 . 0 0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 τm ( m s ) V ( m V ) - 1 0 0 - 8 0 - 6 0 - 4 0 - 2 0 0 2 0 4 0 0 5 1 0 1 5 2 0 τh ( m s ) V ( m V )
Figura 5.3: Risultati del fit non lineare ai minimi quadrati per determinare le curve dei tempi caratteristici di attivazione (τm) e inattivazione (τh) della corrente al N a+in funzione del potenziale
di membrana. A sinistra `e riportata la curva del tempo caratteristico di attivazione, τm, insieme
ai punti sperimentali. A destra sono riportati i risultati per il tempo caratteristico del processo di inattivazione.
piuttosto, se sottoposto ad uno stimolo depolarizzante a gradino, genera potenziali d’azione con un marcato adattamento in frequenza. Infine, aggiungendo artificialmente una com- ponente di inattivazione nella cinetica del canale Kv3, si ottiene un aumento della durata dei potenziali d’azione e una diminuzione della frequenza con cui questi vengono generati. Questi risultati hanno mostrato che la componente principale delle correnti al K+ per il
fenotipo FS `e quella mediata dai canali della famiglia genica Kv3.
La descrizione cinetica della componente Kv3 della corrente al K+`e stata formulata sulla
base del lavoro sperimentale di L. Lien e P. Jonas [63], i quali hanno fittato i dati sperimentali utilizzando una cinetica di attivazione della corrente Kv3 definita dalle equazioni:
αn(V ) = −[an1(V + Vn)]/ {exp[−(V + Vn)/τn1] − 1} βn(V ) = an2exp(−V /VAHP) (5.13) dove an1 = 0.019(ms·V ) −1, a n2 = 0.016ms −1, V n = −4.2mV , τn1 = 6.4mV , VAHP = 25.5mV .
La curva di attivazione, n∞, si ottiene da n∞ = αn/(αn + βn), mentre quella del tempo
caratteristico di attivazione, τn, dall’espressione τn = 1/(αn+ βn).
Affinch`e il modello di interneurone FS definito dalle equazioni 5.9, con la cinetica per la corrente al N a+ specificata dalle equazioni 5.12, e quella per la corrente al K+ dalle