Il paradosso di Einstein, Podolski e Rosen (EPR)

Si consideri un sistema fisico S costituito da una coppia di particelle (sottosistemi) A e B nello stato entangled di singoletto e si misuri la grandezza dello spin. La funzione d’onda che rappresenta lo stato è:





dove i segni + e – indicano i due possibili risultati degli spin delle particelle. Si assumano inoltre le seguenti condizioni:

1) Principio di Realtà:

Einstein, Podolski e Rosen formularono una condizione sufficiente di realtà fisica secondo la quale

se, senza disturbare in alcun modo un sistema, possiamo predire con certezza (cioè con probabilità pari all’unità) il valore di una grandezza fisica, allora esiste un elemento della realtà fisica corrispondente a questa grandezza fisica (Einstein et al. (EPR) 1935, p. 777).

Cioè quando è possibile prevedere con certezza e senza perturbazioni la proprietà di un sistema fisico, allora esiste un elemento di realtà fisico associato a tale proprietà78. Si può quindi attribuire una proprietà reale al sistema senza che si

77 _{Si presenterà la versione moderna del paradosso dovuta a Bohm nel 1951. Cfr. Laudisa (2015,} pp. 100-112).

78 _{Einstein ritiene sufficiente il principio di realtà, mentre una condizione di completezza che} considera necessaria è questa: “ogni elemento della realtà fisica deve avere una controparte nella teoria fisica” (Howard 2015, p. 153).

debba compiere una misurazione, cioè senza perturbarlo. Tale proprietà è definita

oggettiva.

2) Località:

Sia S1 un sistema fisico isolato da S. Nessuna operazione condotta su S1 può

modificare le proprietà oggettive di S.

3) Completezza:

La teoria fisica che descrive S coglie tutte le proprietà oggettive di S senza eccezioni.

4) Anti-correlazione:

Le misure dello spin nei due sottosistemi costituenti S sono sempre opposte.

Poste queste condizioni, si compie una misura al tempo t1 su A e si supponga di

trovare lo spin + lungo una direzione d stabilita. Per la condizione di anti- correlazione la misura dello spin su B, in un tempo t2 successivo a t1,darà il

risultato –. Se si assume il principio di realtà il valore dello spin su B è una proprietà oggettiva: Si può prevedere con certezza che B ha spin – e, se si assume la condizione di località, tale proprietà lo caratterizza anche prima della misura su A. Ma d’altra parte esiste la perfetta anti-correlazione e quindi anche prima della misura, A avrebbe lo spin + e quindi si può concludere che la misura non ha

creato nulla. Secondo il postulato di riduzione della funzione d’onda il sistema si

porta nello stato , 79.

Se si assume la condizione di completezza, allora, l’unico stato che descrive il

sistema in cui A ha lo spin + e B ha lo spin – è lo stato , , che è ben diverso dallo stato di singoletto. La meccanica quantistica, in questo caso, non riesce a rappresentare correttamente le proprietà oggettive degli spin del sistema. Si conclude che la meccanica quantistica è una teoria incompleta.

Analogamente si potrebbe avere la situazione opposta per gli spin in A e B. Allora la descrizione cambia e anche prima della misura si avrebbe una miscela statistica

 , 2 1 e , 2 1

che è osservabilmente diversa dallo stato di singoletto, come lo

è la sovrapposizione nell’esperimento della doppia fenditura dagli stati puri _A e

B

 . In particolare questi stati soddisfano la disuguaglianza di Bell (1964)80, che

79 _{Secondo Howard (2015), Einstein riteneva che la meccanica quantistica fosse incompleta per} ragioni diverse da quelle espresse nel paradosso EPR.

Non invocando mai le condizioni di completezza, di realtà e le relazioni di indeterminazione, in una lettera che Einstein scrive a Schrödinger nel 1935 afferma che “una teoria completa assegna uno e un solo stato teorico a ciascuno stato reale del sistema fisico” (Howard 2015, p. 154). Se si prendessero due sistemi chiamandoli sistema “destro” e sistema “sinistro”, la meccanica quantistica attribuisce ad uno stato reale “destro” diverse funzioni d’onda (stati teorici), in base alla misurazione che è stata effettuata in quello “sinistro”, ma ciascuno dei due sistemi ha una realtà individuale. Quindi la meccanica quantistica è incompleta perché ad uno stato reale non attribuisce un solo stato teorico. Inoltre, come nota Einstein, la non completezza discende dai principi di località e di separabilità. I due sistemi hanno interagito in passato e quindi anche dal punto di vista classico non sono del tutto indipendenti fra loro, ma dovrebbero essere separabili e quindi indipendenti perché le correlazioni tra di essi possono e devono poter essere solamente spiegate in virtù dei loro stati separati. Per dirla brevemente la probabilità congiunta dei due sistemi dovrebbe fattorizzarsi nel prodotto delle probabilità dei singoli stati separati cioè indipendenti: La non separabilità in meccanica quantistica si esplicita in questa non fattorizzabilità. 80 _{Si considerino due sistemi A e B, ciascuno dei quali possiede due variabili discrete che possono} assumere solo i valori +1 o -1, rispettivamente a e a’ per A, b e b’ per B. Supponendo che i due sistemi siano fra loro molto distanti per impedire qualsiasi sorta di azione causale fra di essi, si definisce la funzione E(x,y)P(x,y,1,1)P(x,y,1,0)P(x,y,0,1)P(x,y,0,0), dove

) 1 , 1 , , (a b

P indica la probabilità che le misure effettuate sulla variabile a di A e sulla variabile b di B diano risultato 1. Bell ha dimostrato che se la disuguaglianza

2 ) ' ,' ( ) ,' ( ) ' , ( ) , (abE ab E a bEa b  E

mostra come la descrizione delle variabili nascoste locali, in cui non valgono azioni a distanza, sia realistica cioè attribuisca le proprietà ancor prima della misura. Secondo la meccanica quantistica prima vale lo stato di singoletto poi vi è la riduzione. L’osservabile di Bell calcolata sugli stati della miscela fornisce un

valore minore uguale a 2, invece calcolata sullo stato di singoletto è pari a 2 2. C’è una differenza numerica confermata dagli esperimenti fisici fino all’ottava cifra decimale. Sembra quindi che l’entaglement sia una proprietà della natura: Lo

stato di singoletto è la giusta descrizione dello stato prima della misurazione. Si ignora però il motivo. In questo argomento di EPR però vi è una via d’uscita che

non mette in discussione nessuna delle quattro assunzioni supposte. Si può riprendere un altro principio filosofico importante che è quello di mettere in discussione la freccia del tempo, cioè riprendere il meccanismo di Wheeler di retroazione del futuro sul passato, come fece Olivier Costa de Beauregard81, allievo di De Broglie. C’è una reversibilità nomologica di tutte le leggi fondamentali della fisica e l’irreversibilità emerge come proprietà a livello dei

fenomeni macroscopici termodinamici. A livello profondo tutte le leggi della fisica sono perfettamente reversibili (si vedrà l’importanza della PT-simmetria nel

capitolo VIII di questa tesi). Ad esempio nelle equazioni di Newton o nelle leggi della meccanica quantistica, il tempo non compare mai come t ma compare sempre t2, sostituendo con –t non cambia nulla. La retrodizione nella meccanica di Laplace è ammessa. Anche la meccanica statistica ammette la reversibilità. I

non è verificata sulle variabili di A e B, allora esiste necessariamente una connessione tra i due sistemi. Questo è ciò che accade in meccanica quantistica per lo spin di coppie di fotoni o per la misurazione della polarizzazione su coppie di fotoni. Cfr. Fano (2004) e Selleri (1999), quest’ultimo sostiene che la violazione della disuguaglianza di Bell non sia stata del tutto archiviata da un punto di vista empirico.

fenomeni invece legati ad evidenze macroscopiche sono irreversibili. Anche l’atto

di misurazione e registrazione della meccanica quantistica è irreversibile. Invece la meccanica quantistica è in sé reversibile. Secondo de Beauregard la fisica che conta è la fisica matematica, se le leggi fondamentali della fisica matematica non forniscono una direzione privilegiata del tempo, allora si possono spiegare certi fenomeni facendo cadere il verso della freccia del tempo. Egli distingue tra macro

special relativity e micro special relativity. Nella micro special relativity non vi è

la freccia del tempo ed è possibile “telegrafare nel passato”, azione che è vietata solo dalla fisica macroscopica non da quella microscopica. L’idea di de Beauregard è la seguente: si supponga che al tempo t1 si trovi in A lo spin +,

quindi che avvenga una riduzione della funzione d’onda. Un segnale viaggia nel

passato e modifica lo stato di singoletto nella miscela statistica, il segnale ritorna al futuro e la particella B emerge nel futuro all’istante t con lo spin –, spin che si è

generato nel passato. La riduzione avviene solo dopo la misura, ciò avviene istantaneamente e non vìola la relatività perché viaggia dentro il cono luce nel passato cambiandolo. Tutto sembra chiaro. Quindi per spiegare il paradosso si fa una ipotesi ulteriore: la retrocausazione. Ciò però metterebbe in discussione la contiguità spazio-temporale e la causalità: viene violata l’antecedenza temporale, la causa si scambia con l’effetto. Si noti come si stia spostando il bandolo della

matassa dal paradosso di EPR ad uno altrettanto profondo: il problema della misurazione82_.

82 _{Recentemente Huw Price ha sostenuto qualcosa di simile: è possibile costruire modelli a} variabili nascoste che, rinunciando alla contiguità spazio-temporale, permetterebbero di avvicinare la teoria quantistica con la realtività speciale. Si veda Price (2001).