Si procede dunque con l’applicazione del modello bayesiano MS-DC-MSV3 e dell’algoritmo di simulazione MCMC per la simulazione a posteriori, di cui si è ampiamente discusso nella seconda parte del capitolo 2; il modello qui applicato, viene implementato con alcune differenze rispetto a quello generale spiegato in precedenza. L’elemento di maggior distinzione è quello di aver scelto di impiegare un unico processo di switching congiunto sia per la volatilità che per la correlazione; tale scelta è dovuta al fatto di voler verificare in questa sede la definizione di contagio di Forbes e Rigobon, la quale spiega in fenomeno sulla base della presenza contemporanea di alta
CDS ADF Livelli ADF Differenze PP Livelli PP Differenze
Grecia 0.41 -12.48174 2.106449 -32.19658 UK -3.489100* -14.93800 -3.386449** -34.12596 Cipro 0.711424 -12.26437 0.834938 -45.29913 Francia -0.695881 -33.32135 -.693784 -33.38177 Germania -0.805912 -22.86645 -0.809935 -32.68916 Irlanda -0.842929 -36.83253 -0.757590 -36.83641 Italia -0.661951 -30.29785 -0.665106 -30.04445 Portogallo -0.622536 -19.19920 -0.635012 -30.41323 Spagna -0.566302 -21.11822 -0.623320 -32.23276 Aggregato -0.107968 -15.36299 -0.109742 -31.98404
volatilità e alta correlazione, e che quindi risulta più evidente da uno switching congiunto che tenga conto di entrambe le variabili. Una seconda differenza è l’assenza del parametro θ1 di cui in questa sede non viene tenuto conto, non essendo stato
applicato uno switching in media; infine non viene inserito in θ3 il parametro λ ma
vengono impiegati solamente v, d, D0 eD1.!
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Il valore delle iterazioni dell’algoritmo è fissato su un valore pari a 100, e una rolling window di ampiezza 20, valori massimi disponibili per i dati utilizzati. L’implementazione del codice viene effettuata in ambiente software Matlab, e come base di lavoro viene utilizzato il codice scritto per il lavoro di Casarin, Sartore, Tronzano (2013), modificato secondo le caratteristiche di cui sopra.!
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Avviato l’algoritmo nel software, al termine dell’esecuzione, il primo feedback che si riceve è il grafico che rappresenta gli andamenti dei processi delle volatilità logaritmiche delle tre variabili osservabili, rispetto al numero delle osservazioni, rispettivamente per Grecia, Regno Unito e aggregato resto Europa. Si procede poi con la rappresentazione dei tre processi di correlazione, indicizzati sempre rispetto al numero delle osservazioni e relativi agli stessi assets. I grafici delle volatilità logaritmiche e delle correlazioni sono mostrati in figura 5 rispettivamente sopra e sotto.! Osservando i grafici di figura 5, relativi ai processi delle volatilità logaritmiche rispettivamente di Grecia, Regno Unito e Resto Europa, la linea rossa rappresenta il valore del processo inizializzato, cioè il valore che viene calcolato inizialmente, secondo i valori dei parametri ipotizzati, prima che venga avviata la procedura di iterazione; la linea nera invece rappresenta il valore assunto dal processo al termine dell’esecuzione delle 100 iterazioni prestabilite.!
Il grafico rappresenta il valore della volatilità logaritmica in corrispondenza di ogni osservazione (sull'asse delle ascisse infatti si trova il numero delle osservazioni), e l’algoritmo iterativo ad ogni iterazione cerca il valore migliore del processo selezionato, cercando ad ogni ciclo di migliorare il valore calcolato nel ciclo precedente o scartandolo se peggiore; il punto di partenza come detto è rappresentato dal valore inizializzato, rappresentato dalla linea rossa. Uno dei pregi di questo modello è quello di riuscire a tener conto sia delle variazioni positive che di quelle negative, e quindi di saper rappresentare sia condizioni favorevoli di mercato, che di crisi o comunque di disagio. Come si nota dai grafici nella prima parte, che arriva indicativamente fino all’osservazione 950, vediamo che il processo simulato non si discosta poi molto da quello inizializzato e si posiziona, per tutte e tre le variabili, di poco al di sotto mostrando però un andamento un po' più frastagliato e meno lineare; in questa fase i processi di tutte e tre le variabili si posizionano in intervalli di valori poco al di sotto dello zero (indicativamente -4,-12). Una volta che i processi arrivano in prossimità dell’osservazione 950, dopo un rimbalzo positivo, c’è una caduta verticale degli!
andamenti, che porta i valori delle volatilità logaritmiche a livelli molto più bassi di quelli di partenza; dopo tale interruzione la volatilità legata al primo processo si assesta su valori intorno al -120, quella della seconda variabile a valori intorno ai -40 e quella della terza a circa -70. La 950-esima osservazione (e quelle del suo intorno) fa riferimento al mese di Marzo 2012, ed è il periodo da cui come si è visto nell’analisi grafica, iniziano a scendere e si stabilizzano i livelli dei prezzi, che nel caso di Grecia e successivamente di Cipro rimangono poi costanti fino alla fine del periodo; questo viene confermato quindi anche dagli andamenti delle volatilità e delle correlazioni, che mostrano l’inizio di una sensibilmente minore volatilità. In via generale dunque si può dire che i processi delle volatilità logaritmiche sono caratterizzati da una prima parte abbastanza lineare, simile nei valori e negli andamenti per tutte e tre le variabili, bruscamente interrotta da una caduta dei livelli che porta a una seconda parte, ancora abbastanza lineare, con livelli questa volta diversi per i tre processi.!
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I grafici relativi alle correlazioni, possono essere osservati in figura 5 (sotto), e sono realizzati secondo la stessa logica dei grafici delle volatilità, mostrando l’andamento del processo inizializzato (linea rossa) e l’andamento del processo al termine delle iterazioni (linea nera). Il grafico relativo alla correlazione ρ12t mostra un andamento che
nel complesso del campione è caratterizzato perlopiù da valori positivi. I valori negativi sono concentrati soprattutto nella prima parte del campione, indicativamente nelle prime 200 osservazioni, in cui si riscontrano diversi picchi positivi e diversi negativi; questo periodo è quello che arriva indicativamente fino a Maggio 2009, periodo in cui gli scossoni provenienti dal mercato finanziario statunitense arriva in Europa, colpendo per primo il mercato finanziario del Regno Unito. Nella seconda fase, quella che comprende le osservazioni dalla 200 alla 550 circa, i valori raggiungono una tendenza prossima al valore di +0.5; in questo periodo, da Maggio 2009 si arriva ad Ottobre 2010 indicativamente, si assiste al tracollo della Grecia, ai relativi primi aiuti da parte dei paesi dell’eurozona e del FMI e a l’arrivo dei problemi per l’Irlanda. Nell’ultima fase infine, l’andamento è meno stabile e caratterizzato da dei picchi che si avvicinano molto allo zero intorno alle osservazioni 550-600, e da dei picchi negativi in prossimità delle osservazioni 780 e 820; in questi mesi ci sono altri paesi che mostrano difficoltà (Irlanda e Portogallo) e viene disposto il secondo piano di salvataggio per la Grecia, che inizia a stabilizzare la situazione. Dall’osservazione vicina al 900 in poi c’è una stabilizzazione verso il valore zero, che diventa costante dalla numero 950 circa. La seconda correlazione indicata con ρ13t mostra anch’essa un andamento maggiormente
positivo, con picchi ben definiti e di ampiezza maggiore rispetto alla prima, intorno alle osservazioni 100 e centesima osservazione 320 e 900; anche intorno all’osservazione 600 circa c’è un doppio spike verso il basso che si avvicina allo zero, come si era visto nel grafico della correlazione ρ12t. Anche in questo caso inoltre, dall’osservazione 950
sicuramente il peso della situazione in Grecia si fa particolarmente sentire. Si può dire dunque che i due grafici mostrano segnali simili, seppur con intensità diverse, in corrispondenza circa degli stessi intorni. !
Anche il terzo grafico, quello relativo al processo ρ23t mostra un andamento nel
complesso positivo, interrotto da picchi negativi abbastanza consistenti, nelle primissime osservazioni che sono quelle relative alla propagazione in Europa della crisi finanziaria proveniente dagli USA, e in corrispondenza delle osservazioni 100, 300 e 600, in cui i casi di Irlanda e Portogallo si fanno sentire all’interno dell’eurozona. L’ultima fase del grafico non assume un andamento lineare come nei primi due, ma un trend negativo dall’osservazione 1100 circa che porta i valori verso lo zero e altri due picchi negativi nel tratto che va dalle osservazioni 1200 alla fine del campione.!
Figura 6: medie progressive dei parametri della volatilità logaritmica contenuti in θ2, al
variare delle iterazioni; nella parte parte superiore sono presenti i grafici relativi ai parametri b00,j, b01,j, B10,j e B11,j, mentre nella parte inferiore il grafico è relativo al
parametro Ση.!
Nel complesso si può dire che tutti i grafici mostrano caratteristiche comuni nella prima fase del grafico intorno alla centesima osservazione, che i primi due mostrano un andamento identico nella fase di stabilità dell’ultima parte del campione, e il secondo e il terzo segnalano dei picchi negativi in corrispondenza degli stessi punti. Gli andamenti irregolari nel tempo dei grafici delle volatilità logaritmiche e delle correlazioni confermano che la scelta di adottare un modello dinamico di correlazione, è stata una scelta corretta nella fase di selezione degli strumenti da impiegare in questo studio.!
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Vediamo ora di analizzare nel dettaglio i parametri contenuti all’interno di θ, cioè θ2,θ3 e
θ4, che si occupano rispettivamente di definire i parametri della volatilità logaritmica, i
parametri della correlazione stocastica e i parametri dei processi MS. Per quanto riguarda θ1, non essendoci uno switching in media, nel modello applicato non viene
inserito tale parametro in quanto non c’è bisogno di tener conto dei coefficienti della regressione, rappresentati appunto da θ1. !
In figura 6, in alto, sono mostrati i grafici relativi alle medie progressive dei tre parametri di volatilità logaritmica, contenuti in θ2, relativamente alle tre variabili
osservabili considerate. Il valore della linea continua rappresenta il valore puntuale della media del processo al variare delle iterazioni, mentre la linea tratteggiata rappresenta il valore stimato (in media) del parametro. Nella prima riga i grafici rappresentano il parametro b00,j,b01,j relativamente ai tre assets, e in ogni grafico
vengono mostrate le due intercette della volatilità logaritmica nei due regimi (linea verde alta volatilità, linea blu bassa volatilità). La seconda riga rappresenta il parametro B10,j, che è il parametro della log-volatility nel caso di bassa volatilità; vengono
rappresentate tre linee diverse, in quanto la volatilità dipenderà sia dalla serie stessa, che dalle volatilità delle altre due serie (al tempo precedente), tenendo quindi conto dei fenomeni di spillover (trasmissione del contagio). La terza riga di grafici infinite mostra B11,j che è il parametro che si occupa della volatilità nel regime di alta volatilità; anche
in questo caso, come per B10,j,sono mostrate tre andamenti diversi per lo stesso motivo
di cui sopra. Ogni colonna di grafici dunque è associata rispettivamente ad uno dei tre asset e descrive i suoi parametri θ2 rispetto alle altre due serie.!
Il grafico in basso invece rappresenta le medie progressive parametro Ση ed è disegnato secondo gli stessi criteri della prima serie di grafici di figura 6. In tutti i grafici si vede che il parametro considerato, assume dei valori che partono dal valore assegnato dalla procedura nella fase di inizializzazione e, al passare delle iterazioni, si stabilizza e tende al valore in media del parametro stesso; questo è dunque un risultato coerente con le aspettative, e a seconda dei casi, come si vede dai grafici, impiega più o meno lag temporali per raggiungere il valore stimato.!
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Figura7: medie progressive dei parametri della correlazione stocastica contenuti in θ3, ν, d, D0 e D1, al variare delle iterazioni!
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La figura7 mostra la stessa tipologia di grafici, questa volta riferiti ai parametri di θ3; anche in questo caso sono rappresentate le medie progressive, le linee continue identificano il valore della media del processo al variare delle iterazioni, mentre le linee tratteggiate il valore del processo stimato al termine delle 100 iterazioni. Il parametro v, rappresenta i gradi di libertà stimati della distribuzione Wishart, e indica dunque per valori maggiori di zero che la correlazione è stocastica; Il parametro d invece dice quanto la correlazione è persistente; essendo responsabile delle dinamiche di correlazione varianti nel tempo infatti, determina la dipendenza delle correlazioni al tempo t dai valori di correlazione ai tempi precedenti. Infine i parametri D0 e D1 sono
quelli che rappresentano la correlazione di lungo periodo e si occupano rispettivamente dei regimi di bassa e di alta volatilità; la regola che sta alla base dell’interpretazione di tali parametri è quella per cui in regimi di bassa volatilità non si presentano effetti di contagio, effetti che invece si presentano invece in regimi ad alta volatilità. Questo significa che in regimi di bassa volatilità (D0) le correlazioni di lungo periodo sono
negative, mentre nelle fasi ad alte volatilità i coefficienti di lungo periodo sono positivi (D1). Nelle fasi di passaggio da periodi a bassa volatilità a periodi ad alta volatilità si
presentano inoltre significativi effetti di contagio. Anche in questo caso vediamo che il valore dei parametri assume nella prima fase il valore inizializzato e poi col passare ! delle iterazioni si avvicina e tende al suo valore stimato. Come detto in questo modello non vengono generati valori per il parametro λ, che dovrebbe tener conto della struttura di correlazione di lungo periodo.!
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Figura 8: istogrammi dei parametri contenuti in θ3 che rappresentano le densità a
posteriori!
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Relativamente ai parametri di θ3 in figura 8 vengono mostrati gli istogrammi di ogni
elemento. Per quanto ritarda il parametro v, dal grafico si vede che la sua densità è molto concentrata in valori intorno a 50, valori perciò di per sé piuttosto alti; in linea con quanto detto da Asai e McAleer (2009) , tali valori indicano che la variabilità nelle dinamiche di correlazione sembra essere guidata (abbondantemente) dal processo Wishart sottostante. Per quanto riguarda il parametro d, la concentrazione su un valore ampiamente distante dallo zero (0.8894), come quella mostrata dall’istogramma, indica la presenza di significative correlazioni dinamiche. I successivi istogrammi infine, si occupano dei parametri di correlazione di lungo periodo; in ogni grafico è rappresentata la densità per il parametro nel regime di bassa volatilità (linea nera, D0)
e ne regime di alta volatilità (linea rossa, D1). Osservando le densità non si può
confermare in modo assoluto la teoria per cui in regimi di bassa volatilità (D0) le
correlazioni di lungo periodo sono negative perché non c’è contagio, mentre nelle fasi !
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Figura 9: grafici che rappresentano le medie progressive dei parametri del processo Markow-switching, contenuti in θ4, al variare delle iterazioni.!
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ad alte volatilità i coefficienti di lungo periodo sono positivi (D1) e si presentano
fenomeni di contagio; dai grafici si vede che i valori di correlazione di lungo periodo! sono maggiori nel caso di alta volatilità in due casi su tre (D1,13 e D1,23) rispetto al caso
di bassa volatilità (D0,13 e D0,23), pur essendo però in entrambi i casi positivi; nel caso!
invece di D1,12 si vede che nel regime di volatilità la correlazione di lungo periodo ha
valore minore rispetto a quanto avviene nel caso di bassa volatilità (D0,12), valori in
questo caso entrambi negativi. !
Infine, la figura 9 mostra le medie progressive dei parametri di θ4, indicando nelle linee
continue il valore puntuale della media al variare delle iterazioni e nelle linee tratteggiate il valore stimato in media. Il parametro θ4 si occupa della definizione del
processo di switching del modello. La linea blu si riferisce al caso di bassa volatilità, mentre la linea verde al caso di alta volatilità. Anche in questo caso il valore dei parametri parte dal valore inizializzato per poi tendere, al passare delle iterazioni, al valore a posteriori stimato dall’algoritmo, confermando quindi le ipotesi.!
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Terminata l’analisi dell’ andamento dei parametri si procede con la rappresentazione dei processi di volatilità logaritmica e correlazione latenti, e del processo di switching. Nel modello qui presentato, a differenza di quanto è stato fatto nel lavoro di Casarin, Sartore, Tronzano (2013), lo switching viene effettuato in via congiunta per i processi di volatilità e correlazione; nel modello di Casarin, Sartore, Tronzano (2013), infatti lo switching era guidato da due catene di Markov diverse, una che si occupava in modo congiunto di volatilità e correlazione e una catena dedicata che si occupava in modo
specifico dello switching riguardante la correlazione. Nel modello qui presentato invece la catena di switching è identificata da St e non presente una seconda catena; il
principale effetto di questa scelta è quello di avere un andamento dello switching che può assumere solamente due livelli di valore (1 e 0) e non quattro livelli di valori come in un modello in cui i due processi sono gestiti da due catene separate (in cui i livelli sono 0, 1, 2 e 3). Il background teorico che si pone dietro a questa scelta tecnica, è quello di andare ad applicare e a verificare in modo specifico la definizione di contagio fornita da Forbes e Rigobon, che spiega il fenomeno del contagio identificandolo come un periodo caratterizzato allo stesso tempo da un’alta correlazione e un’alta volatilità; risulta quindi di notevole importanza a questi fini di verificare dove si riscontrano contemporaneamente alti livelli di volatilità e di alta correlazione, e per vedere ciò sarà sufficiente un’unica catena a due livelli, nella quale uno stato “alto” corrisponderà a contagio e uno stato “basso” corrisponderà al non contagio. Lo switching congiunto, che si occupa sia della volatilità che della correlazione, è dunque un altro elemento che contraddistingue il modello applicato in questa sede da quello visto nel capitolo 2 (riferito al modello generale di Casarin, Sartore, Tronzano (2013). !
In figura 10 sono presentati i grafici della volatilità logaritmica e della correlazione latenti, mettendoli a confronto con l’andamento temporale dello switching stimato. Relativamente agli andamenti dei processi di volatilità logaritmica e delle correlazioni si era già detto poco sopra, quando si è commentata la figura 5 che evidenziava il valore dei processi di volatilità e di correlazione stimati e inizializzati. In questo grafico invece è possibile vedere l’andamento della volatilità logaritmica e della correlazione latenti in relazione, al variare delle osservazioni perciò del tempo, all’andamento dello switching. Osservando i grafici delle volatilità, nella parte alta, si vede che per tutti e tre i processi osservabili, il valore dello switching tende a rimanere sul livello “alto” per la maggior parte del tempo, indicativamente fino all’osservazione numero 950; sembra quasi che il valore “basso” dello switching rappresenti più che una tendenza di bassa correlazione e volatilità, gli spike negativi cioè delle brevi interruzioni tra due periodi ad alta volatilità (e quindi correlazione, essendo unico lo switching). Una più attenta osservazione dei suddetti grafici porta a vedere che, tra il grafico della volatilità stimata (linea nera) e il grafico dello switching (linea rossa), c’è uno sfasamento temporale nel quale la volatilità empirica risulta in ritardo; oltre ad avere il pregio quindi di riuscire a rappresentare andamenti positivi e negativi del processo, la stimata presenta il difetto di mostrare in ritardo eventuali variazioni o interruzioni del processo. !
Ecco quindi che si spiega il senso di impiegare un processo di inferenza Bayesiana, che risulta sicuramente importante per evidenziare significative variazioni all’interno dei processi; tuttavia in sede di analisi preliminare l’analisi del processo di volatilità può risultare uno strumento più che valido, per avere un’idea generale delle caratteristiche del processo. Per realizzare la procedura di inferenza Bayesiana sulla distribuzione a!
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posteriori, sia per i parametri che per gli stati latenti, si applica dunque l’algoritmo MCMC, come visto ampiamente nel capitolo2.!
Nella parte bassa della figura10, sono presentati invece i grafici dei processi di correlazione, anche in questo caso confrontati con l’andamento dello switching. Come detto lo switching è congiunto, e dunque sarà il medesimo rappresentato nei grafici ella parte di sinistra in figura 9; a conferma dei valori perlopiù alti della catena di Markov, troviamo anche un andamento delle correlazioni che si posiziona soprattutto su valori elevati, interrotti da degli spike negativi. Anche in questo caso si vede un certo ritardo !
Figura 11: processo di switching; il secondo grafico mette in relazione il processo stimato con quello inizializzato, mentre il primo indica come il processo inizializzato varia all’aumentare delle iterazioni fino a raggiungere la sua versione stimata, identificata nel valore stimato del processo.Nel terzo il dettaglio dello switching stimato.!
nelle variazioni della correlazione stimata, rappresentata dalla linea nera, rispetto ai due livelli della catena, linea rossa. Una più specifica rappresentazione del processo di switching è rappresentata in figura 11.!
I primi due grafici di figura 11, in alto, mostrano il valore del processo di switching a posteriori, mettendolo in relazione con quello inizializzato calcolato sulla base dei parametri fissati all’inizio della procedura; il valore iniziale del processo (linea rossa), nel corso delle iterazioni viene via via migliorato dall’algoritmo, e assume l’andamento mostrato in figura (linea nera) al termine delle 100 iterazioni fissate. Facendo un confronto tra i due andamenti si può dire che la tendenza iniziale, nel complesso, viene confermata al termine della procedura iterativa, eliminando gli spike di più breve durata e mantenendo quelli di durata superiore; sembra quasi che durante la procedura ci sia