multivariato a correlazione dinamica, che presenta nella dinamica della correlazione degli elementi di discontinuità; la tecnica con cui sono stati introdotte tali discontinuità è di tipo Markov-switching, e i parametri della dinamica di correlazione dipendono da una catena di Markov latente. Il modello è caratterizzato da tre variabili osservabili, che identificano rispettivamente tre macroaree geografiche a cui sono stati assegnati
rispettivamente i tre assets. Per la stima sono stati adottati i principi di inferenza Bayesiana basati sulla catena di Markov Monte Carlo (MCMC).! !
!
A questo proposito, prima entrare nel merito dell’analisi empirica, è necessario focalizzare l’attenzione sul background teorico su cui il modello impiegato poggia, approfondendo alcune tematiche chiave, come ad esempio il filone dei modelli Markov- switching, l’inferenza Bayesiana e la procedura di stima MCMC, da un pinto di vista econometrico. Il modello presentato nei prossimi paragrafi è basato su quello utilizzato nel working paper di Casarin, Sartore e Tronzano (2013), al quale verranno tradotte alcune varianti; i fondamentali che lo governano tuttavia saranno i medesimi di quello impiegato nel suddetto contributo. Le differenze tra i due modelli saranno comunque discusse anche nelle varie fasi dell’applicazione empirica.!
!
2.4.1 Modelli MS a correlazione costante!
Nella sezione seguente con la dicitura vech(A) si intende l’operatore che impila la parte inferiore di una matrice A, con vecd(A) si intende l’operatore che crea un vettore utilizzando gli elementi della diagonale principale di una matrice A, e infine con diag(x) si intende un operatore che definisce una matrice diagonale inserendo gli elementi del vettore x, nella diagonale principale. Saranno presentate delle estensioni Markov- switching multivariate dei modelli SV univariati di So et al. (1998). I modelli presentati di seguito possono essere considerati come modelli MS del modello MSV di Harvey et al. (1994) che, a sua volta, è un caso particolare del modello più generale CC-MSV di Asai e McAleer (2009).!
!
Modelli a correlazione costante MS basilari!
Sia yt = ( Y1T , ... , YMT )' ∈ Rm, un vettore contenente i valori di una serie storica che
rappresenta le differenze logaritmiche dei prezzi dell’asset considerato, sia ht = ( h1t , ... , hmt )' ∈ Rm il vettore che contiene il processo della volatilità logaritmica,
sia Σt ∈ Rm × Rm la matrice di covarianza variabile nel tempo ed S1,t ∈ {0 , . . . , K - 1} ⊂
N una catena di Markov di primo ordine omogenea nel tempo con K1 stati. Nell’applicazione sarà impostato K=2 per St per catturare il cambiamento dei parametri
del modello a causa della crisi finanziaria a partire dalla seconda metà del 2007. !
!
Il modello di volatilità stocastica Markov-switching basilare (MS-CC-MSV) è dato da:! !
!
!
con εt ⊥ ηs ∀ s,t, e Nm(μ,Σ) che rappresenta la distribuzione normale multivariata, con
considerare l’effetto leva ma non viene svolta l’estensione in questa sede). Un’ adeguata specificazione delle dinamiche dei parametri variabili nel tempo semplificherà la procedura di inferenza. Si segue dunque So et al. (2002) e So e Choi (2008), e si considera la seguente riparametrizzazione:!
!
!
!
!
dove a00, a01, A10, A11, b00, b01, b10 e b11 sono parametri da stimare. La legge di
probabilità che governa St è definita come segue:!
!
!
con pij che è l’elemento nella riga i colonna j della matrice di transizione, indicata da P.
Si noti che il modello CC-MSV di Asai e McAleer (2009) corrisponde al caso in cui ! Ση = diag{σ21η, …, σ2mη} , Bst = diag{b1st, ...,bmst} e K=1.!
!
Per quanto riguarda la matrice di covarianza condizionale Σt, viene usata la
scomposizione in deviazioni standard condizionali e correlazioni costanti di Bollerslev (1990), che è la seguente:!
!
!
con Λt = diag{exp {h1t / 2}, ..., exp {hkt / 2}}, che è una matrice diagonale in cui le
volatilità sono nella diagonale principale, e con Ω che è la matrice di correlazione definita come segue:!
!
!
!
!
!
Si noti che in questo modello ci sono (2m2 +3m)K+K(K-1) parametri che stimano le
dinamiche della variabile osservabile, della volatilità e dei regimi di commutazione, e (m2 - m)/2 parametri della matrice di correlazione costante.!
!
Modelli a code spesse!
I modelli che utilizzano serie storiche riguardanti variabili finanziarie, dovrebbero spiegare alcuni importanti scostamenti dall’ipotesi di normalità che si verificano nelle prove empiriche, come ad esempio l’eccesso di curtosi e di asimmetria. Al fine di modellare l’eccesso di curtosi, si assume che le innovazioni relative alle variabili osservabili rientrino nella famiglia della distribuzione t-Student, come viene suggerito per i modelli ARCH univariati (vedere Bollerslev (1987)) e per i modelli MSV (vedere
49
As regards the conditional covariance matrix Σt, we use the Bollerslev (1990)
decomposition into conditional standard deviations and constant correlations:
Σt= ΛtΩΛ′t, (6)
with Λt = diag{exp{h1t/2}, . . . , exp{hkt/2}}, a diagonal matrix with the volatilities
on the main diagonal and Ω the correlation matrix, defined as
Ω = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 ρ12 . . . ρ1m ρ21 1 . . . ρ2m .. . ... . .. ... ρm1 ρm 2 . . . 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .
Note that in this model there are (2m2+3m)K
1+K1(K1−1) parameters to estimate the
dynamics of the observable variable, volatility and switching regimes, and (m2− m)/2 parameters in the constant correlation matrix.
2.2 Heavy-tailed model
Time series models for financial variables should account for some important departures from normality, such as excess of kurtosis and asymmetry. In order to model the excess of kurtosis, we assume that the innovations for observable variables are in the family of the Student-t distribution, as suggested for univariate ARCH models (see Bollerslev (1987)) and for MSV models (see Harvey et al. (1994)). Moreover, we choose the skewed Student-t distribution which accounts for different degrees of kurtosis for the left and right tails of the distribution (see Aas and Haff (2006) for a discussion of the alternative set of distributions for modelling skewed and heavy-tailed data).
In the literature, there exist many definitions of multivariate skewed Student-t distributions. One of the first is due to Azzalini and Dalla Valle (1996). Their results have been then generalised by Branco and Dey (2001), which introduce the class of skewed elliptical distributions. Another generalisation of the class of elliptical skewed is due to Sahu et al. (2003). In this paper we adopt a definition of multivariate skewness based on the linear transformation of univariate skewed Student-t distribution. This construction of a multidimensional distribution has been first proposed in Bauwens and Laurent (2002). In particular, we apply the constructive method due to Ferreira and Steel (2007) which has many advantages: the simulation from the distribution is simple, the existence of the moments is guaranteed by the existence of the moments of the underlying univariate distributions, and the resulting multivariate distribution allows for different magnitudes and directions of kurtosis and skewness.
As an alternative to the Gaussian MSV model, one may consider the heavy-tailed MSV model (HTMSV), which results from replacing equation (1) by the following:
Harvey et al. (1994)). Inoltre si è scelta la distribuzione t-Student asimmetrica che rappresenta diversi gradi di curtosi per la coda sinistra e per quella destra della distribuzione (vedere Aas e Haff (2006) per una discussione del set alternativo di distribuzioni per modellare dati distorti e a code spesse). In letteratura esistono molte definizioni di distribuzioni t-Student multivariate asimmetriche; una delle prime è quella fornita da Azzalini e Dalla Valle (1996), i cui risultati sono stati poi generalizzati da Branco e Dey (2001), che hanno introdotto la classe di distribuzioni ellittiche asimmetriche. Un’altra generalizzazione della categoria ellittiche asimmetriche è quella di Sahu et al. (2003). Nel lavoro qui presentato invece, si va ad applicare una definizione di asimmetria multivariata basata sulla trasformazione lineare della distribuzione t-Student univariata asimmetrica; questa costruzione di una distribuzione multidimensionale è stata proposta per la prima volta da Bauwens e Laurent (2002). In particolare, in questa sede viene applicato il metodo di costruzione di Ferreira e Steel (2007), di cui vanno segnalati i seguenti vantaggi: la simulazione della distribuzione è abbastanza semplice, l’esistenza dei momenti è garantita dalla presenza dei momenti delle distribuzioni univariate sottostanti, e la conseguente distribuzione multivariata permette diverse grandezze e direzioni per la curtosi e l’asimmetria.!
In alternativa al modello MSV Gaussiano si può considerare il modello MSV a code spesse (HTMSV), che deriva dalla sostituzione dell’equazione (1) con la seguente:!
!
!
con SkTM (0, Σt, ξ, γ), che è la distribuzione t-Student multivariata asimmetrica
caratterizzata da: posizione dei parametri nulla, matrice di scala Σt, gradi di libertà dei
parametri ξ (ξ1, ..., ξm)’ ∈ (2, + ∞)m, e parametro di asimmetria γ = (γ1, ..., γm)’ ∈ Rm+. La
sua funzione di densità è:! !
!
!!
!
!
!
Se il parametro di asimmetria γ è l’unità, allora si potrà recuperare la densità simmetrica originale. Nel modello HTMSV, ci sono (2m2 + 3m)+2m+K(K-1) parametri
per le dinamiche della variabile osservabile, per la volatilità e per la commutazione dei regimi, e (m2-m)/2 parametri nella matrice di correlazione costante.!
!
!
!
2.4.2 Modelli MS a correlazione dinamica!
Viene estesa la teoria dei modelli di base MS-CC-MSV, riportata precedentemente, considerando ora delle correlazioni variabili nel tempo. Al fine di catturare la struttura di dipendenza stocastica nei dati, si segue Asai e McAleer (2009) e si considera la scomposizione della matrice di covarianza di Bollerslev (1990):!
!
!
e una matrice di correlazione variante nel tempo:!
!
!
con Qt =(diag {vecd Qt})1/2. !
Successivamente si permette ai parametri delle dinamiche di correlazione di dipendere da una catena di Markov latente. Questo approccio può essere considerato come una estensione del modello di correlazione Markov-switching di Pelletier (2006), dove le correlazioni sono costanti all’interno di un regime. Si noti inoltre, che i modelli proposti rappresentano dei cambiamenti nelle dinamiche di correlazione, estendendo così i modelli di correlazione autoregressivi continui di Asai e McAleer (2009).!
!
Modelli di transizione MS omogenei!
Il primo modello di correlazione dinamica MS, che di seguito sarà indicato come MS- DC-MSV1, rappresenta una estensione del primo modello DC-MSV fornito da Asai e McAleer (2009), nel quale viene inclusa una dinamica Markov-swtiching sia nella volatilità, che nelle correlazioni. In particolare si assumono le equazioni (1) e (5) del modello MS-CC-MSV, e una matrice quadrata Qt simmetrica positiva, con le seguenti !
dinamiche:!
!
!
con |θ|<1, e Wm(ν,Ξ) che è una distribuzione Wishart m-dimensionale con gradi di
libertà ν∈R+ e parametro di scala Ξ, che è una matrice m-dimensionale definita
positiva. Si assume che la struttura di correlazione tra gli elementi di yt ammetta diversi
regimi di equilibrio. Si ipotizza inoltre che la matrice Qt segua un processo di tipo
Markov-switching:!
!
!
con IE(x) che è la funzione dell’ indicatore, che assume valore 1 se x ∈ E e 0 in tutti gli
altri casi, e Dk, k ∈ {0, 1,. . . , K - 1}, che è una successione di matrici definite positive. Il
processo st ∈ {0, 1,. . . , K - 1}, è una catena di Markov con probabilità di transizione:!
!
!
che è l’elemento (i,j)-esimo della matrice di transizione P. In questo modello, il numero di parametri relativi alla dinamica di correlazione è (m2 + m)/2 + K(m2 + m)/2 + (K2-K)
+2. Seguendo Pelletier (2006), si considera una versione limitata del modello. !
!
E’ interessante notare che nella letteratura relativa alle correlazioni dinamiche, le innovazioni del processo di volatilità logaritmica sono solitamente indipendenti da quelle della correlazione. In una prospettiva più generale, è possibile definire le dinamiche di un processo autoregressivo non lineare attraverso una specificazione appropriata della sua distribuzione condizionale di transizione. Allo scopo di ottenere un processo a valore matriciale positivo, può essere utilizzata una distribuzione Wishart con dei parametri dipendenti dai valori passati del processo stesso (vedere Philipov e Glickman (2006) per un'applicazione di questo approccio al processo di covarianza). Asai e McAleer (2009) applicano un approccio simile per specificare le dinamiche di Qt-1. In questo lavoro invece, si estende il successivo contributo e si
propone un punto di vista MS del secondo DC-MSV di Asai e McAleer (2009). ! In questo modello, definito come MS-DC-MSV2, si assume che:!
!
! con:! ! !!
!
!
!
dove D è una matrice simmetrica definita positiva e d è un parametro scalare. In questo modello il numero dei parametri legati alla dinamica di correlazione è (m2 +m)/2
+ K22 +1.!
!
Questa specificazione parsimoniosa della matrice di scala di St-1 segue quanto fatto nel
proprio studio da Pelletier (2006).!
!
Modelli di transizione MS non omogenei!
Nella letteratura empirica, ci sono alcuni documenti che esaminano gli effetti di alcune variabili esogene finanziarie e macroeconomiche relativamente alle dinamiche delle correlazioni tra tassi di cambio. Tra gli altri, Chiang et al. (2007) indagano sulle relazioni esistenti tra i rendimenti dei diversi mercati e gli effetti di alcune componenti esogene (nello specifico le fasi della crisi finanziaria asiatica e le variazioni dei rating sui crediti sovrani) sulle correlazioni dinamiche. Seguono una procedura a due fasi, prima vengono calcolate le correlazioni per dei modelli DCC-GARCH, e poi si esegue
una regressione delle correlazioni stimate relative alle variabili esogene. Lo svantaggio di questo tipo approccio è duplice: da un lato va evidenziata la scarsa efficienza di una procedura a due fasi, dall’altro lato il modello di regressione con cui si effettua il secondo step non garantisce che i coefficienti della correlazione siano nell’intervallo (-1,+1). E’ possibile estendere la loro analisi tuttavia, al nostro contesto DC-MSV Bayesiano, ipotizzando che un insieme di variabili macroeconomiche e finanziarie, influenzi le probabilità di transizione tra i regimi di correlazione alternativi. A questo proposito l’approccio proposto si estende anche al contesto della correlazione Markov- switching delineato da Pelletier (2006), che considera una catena di Markov omogenea nel tempo, ma non affronta l’influenza delle variabili macroeconomiche sulla sulle dinamiche di correlazione. Inoltre in questo modello viene migliorata l’analisi di Calvet et al. (2006), che propone un modello Markov-switching con una correlazione condizionale variabile nel tempo, per esaminare le relazioni tra la volatilità del tasso di cambio e le variabili macroeconomiche, ma non considera gli effetti sulle dinamiche di correlazione. In linea con quanto detto sopra, in questa sede viene proposto un processo Markov-switching non omogeneo e viene concesso alle probabilità di transazione variabili nel tempo: P( St = j | St-1 = i) = p2,ijt, di dipendere da un set di
variabili esogene, xt = (1,x1t, ... ,xKt)' ∈ RK +1. !
!
La relazione tra pijt e le variabili esogene è la seguente:!
!
!
con βij ∈ Rk che è un vettore di parametri da stimare. I modelli risultanti saranno indicati
come modelli NHMS-DC-MSV.!
!
2.4.3 Inferenza Bayesiana!
Tenendo presente che il modello MS-DC-MSV2 è un caso particolare del modello MS- DC-MSV3, in questa sede si andrà a considerare una procedura di inferenza Bayesiana per stimare i parametri incogniti e le variabili latenti del modello MS-DC- MSV3. Inoltre senza perdita di generalità, si va a limitare la discussione dell’analisi Bayesiana al caso per cui K=2.!
!
Si definiscano: !
y=(y’1, …,y'T)', h=(h'0,..., h’T)', s=(s'0,...,s'T)', e q=(vech(Q0)’,…,vech(QT)’)’. !
!
La funzione di verosimiglianza completa relativa al modello MS-DC-MSV3, per un !
!
campione di dimensione T sarà:! !
!
!
! con: ! !!
!
!
!!
!
!
e dove Γm(ν/ 2) =π m(m-1)/4 ∏Γ(1/2(ν-i +1)) è la funzione gamma m-variata, ɛt , ηt e St-1
sono definiti rispettivamente nelle equazioni (1), (2) e (21)-(22), e θ = (a'00, a'01,
vec(A10)', vec(A11)', b'00, b'01, vec(B10)', vec(B11)', vech(Ση)', ν, d, vech(D0), vech(D1), p11,
p22)’ è il vettore dei parametri. Le densità di y0, h0, sK,0 corrispondono alle distribuzioni
condizionali stazionarie associate al modello. A causa della difficoltà nel trovare la stazionarietà delle distribuzioni del processo Wishart (vedere Philipov e Glickman (2006)), si assume che Q0 sia noto al pari di Im, come suggerito da Asai e McAleer
(2009).!
!
Distribuzione prior!
Si consideri la seguente partizione del parametro dei vettori θ=(θ'1, θ'2, θ'3, θ’4)’.
θ1=vec(Ψ) è l’insieme dei parametri dell’equazione osservabile, con Ψ=(ψ1,...,ψm) una
matrice di dimensioni ((2m +2) × m), che ha nelle colonne la sequenza di (2m+2) vettori
dimensionali, ψj = (a00,j, a01,j, (A10,j1,..., A10,jm),(A11,j1,...,A11,jm))',j =1 ,. . . ,m. θ2 = (φ',vech
(Ση)’)’ contiene i parametri dell’equazione di volatilità logaritmica, con φ = vec(Φ), dove
Φ =(φ1, ..., φm) è una matrice di dimensioni (2m+2)x m), che ha nelle colonne la
sequenza di (2m+2) vettori dimensionali φj=(b00,j, b01,j, (B10,j1,...,B10,jm),(B11,j1,..., B11,jm))',
j=1, ...,m. Infine, θ3 = (ν, d, vech(D0), vech(D1))’ e θ4=(p00, p11)' sono rispettivamente i
vettori dei parametri della correlazione stocastica e dei processi Markov-switching. ! Si assume la seguente prior coniugata per θ1:!
!
!
!
con densità f(θ1) e una prior pienamente coniugata per θ2:!
!
!
54
which has in the columns the sequence of (2m + 2)-dimensional vectors φj =
(b00,j, b01,j, (B10,j1, . . . , B10,jm), (B11,j1, . . . , B11,jm))′, j = 1, . . . , m. Finally, θ3 =
(ν, d, λ1, vech( ¯D0), vech( ¯D1))′ and θ4 = (p1,00, p1,11, p2,00, p2,11)′ are the parameter
vectors of the stochastic correlation and Markov-switching processes, respectively. We assume the following conjugate prior for θ1:
θ1 ∼ Nm(2m+2) ! µ 1, Υ −1 1 "
with density f (θ1) and a fully conjugate prior for θ2:
φ|Ση ∼ Nm(2m+2) ! µ 2, Ση⊗ Υ −1 2 " , Σ−1η ∼ Wm ! µ 3, Υ3 "
with the associated density denoted by f (θ2).
Consider now the elements of θ3. In order to ensure the stationarity condition,
|d| < 1, and the positive definiteness of ¯Qs2,t we assume the following uniform priors for d and λ1:
d∼ U(−1,1), λ1∼ U(0,1)
whereU(a,b) is the uniform distribution on the interval (a, b).
The m-dimensional Wishart distribution is defined for ν ≥ m, so we assume a
translated gamma prior for ν with parameters υ and µ4:
ν ∼ µ υ 4 Γ(υ)(ν− m) υ−1exp#−µ 4(ν− m) $ I(m,+∞)(ν).
For the precision matrices ¯Di, i = 0, 1, of the Wishart process, improper priors such as
the objective priors (see Robert (2001), Ch. 3), cannot be easily used. In the context of Markov-switching models, improper priors may actually yield improper posterior distributions. This may happen with a positive probability when data provide no information about the parameters of one of the regimes of the dynamic model (e.g., see Billio et al. (2012)). Thus, in this work we assume a proper fairly informative prior. Moreover, as the precision matrices must be positive definite, it is natural to assume the following inverse Wishart prior:
¯
D−1i ∼ Wm(µ5+i, Υ5+i).
For the elements of θ4, we assume independent uniform priors:
pk,ii ∼ U(0,1)
for i = 0, 1 and k = 1, 2.
4.2 Markov-Chain Monte Carlo
We follow a data augmentation framework (see Tanner and Wong (1987)) and apply MCMC in order to simulate from the joint posterior distribution of the parameters θ
which has in the columns the sequence of (2m + 2)-dimensional vectors φj =
(b00,j, b01,j, (B10,j1, . . . , B10,jm), (B11,j1, . . . , B11,jm))′, j = 1, . . . , m. Finally, θ3 =
(ν, d, λ1, vech( ¯D0), vech( ¯D1))′ and θ4 = (p1,00, p1,11, p2,00, p2,11)′ are the parameter
vectors of the stochastic correlation and Markov-switching processes, respectively. We assume the following conjugate prior for θ1:
θ1 ∼ Nm(2m+2)
!
µ1, Υ−11 " with density f (θ1) and a fully conjugate prior for θ2:
φ|Ση ∼ Nm(2m+2) ! µ 2, Ση⊗ Υ −1 2 " , Σ−1η ∼ Wm ! µ 3, Υ3 "
with the associated density denoted by f (θ2).
Consider now the elements of θ3. In order to ensure the stationarity condition,
|d| < 1, and the positive definiteness of ¯Qs2,t we assume the following uniform priors for d and λ1:
d∼ U(−1,1), λ1∼ U(0,1)
whereU(a,b) is the uniform distribution on the interval (a, b).
The m-dimensional Wishart distribution is defined for ν ≥ m, so we assume a
translated gamma prior for ν with parameters υ and µ
4: ν ∼ µ υ 4 Γ(υ)(ν− m) υ−1exp#−µ 4(ν− m) $ I(m,+∞)(ν).
For the precision matrices ¯Di, i = 0, 1, of the Wishart process, improper priors such as
the objective priors (see Robert (2001), Ch. 3), cannot be easily used. In the context of Markov-switching models, improper priors may actually yield improper posterior distributions. This may happen with a positive probability when data provide no information about the parameters of one of the regimes of the dynamic model (e.g., see Billio et al. (2012)). Thus, in this work we assume a proper fairly informative prior. Moreover, as the precision matrices must be positive definite, it is natural to assume the following inverse Wishart prior:
¯
D−1i ∼ Wm(µ5+i, Υ5+i).
For the elements of θ4, we assume independent uniform priors:
pk,ii ∼ U(0,1)
for i = 0, 1 and k = 1, 2.
4.2 Markov-Chain Monte Carlo
We follow a data augmentation framework (see Tanner and Wong (1987)) and apply MCMC in order to simulate from the joint posterior distribution of the parameters θ
con la densità associata indicata da f(θ2).!
!
Si consideri ora gli elementi di θ3. Per assicurare la condizione di stazionarietà, |d|<1 e
che QS2,t sia definita positiva, si assumono la seguente prior uniforme per d:!
!
!
dove U(a,b) è la distribuzione uniforme dell’intervallo (a,b).!
!
La distribuzione Wishart m-dimensionale è definita per v ≥ m, così noi assumiamo una prior gamma tradotta per v; con i parametri υ e μ4 che sarà la seguente:!
!
!
!
Per le matrici di precisione Di, i = 0,1 del processo Wishart, non possono essere usate
facilmente delle prior improprie, così come delle prior oggettive (vedere Robert (2001), cap. 3). Nel contesto dei modelli Markov-switching, le prior improprie potrebbero effettivamente fornire delle distribuzioni a posteriori improprie. Questo può accadere con una probabilità positiva quando i dati non forniscono informazioni sui parametri di uno dei regimi del modello dinamico (ad esempio, vedere Billio et al. (2012)). Così nel lavoro che viene qui presentato si assume una vera e propria prior informativa. !
!
Inoltre, così come la matrice di precisione deve essere definita positiva, è naturale assumere la seguente prior Wishart inversa:!
!
!
!
Per l’elemento θ4, si assumono prior indipendenti uniformi:!
!
!
per i = 0,1!
!
Catena di Markov Monte Carlo!
Si segue ora un percorso di data augmentation (vedere Tanner e Wong (1987)), e si applica un procedimento MCMC per simulare la distribuzione congiunta a posteriori dei parametri θ e le variabili latenti z=(h’, q’, S’)’. Più in particolare si considera un algoritmo di campionamento di Gibbs. Alcuni componenti del campionature Gibbs possono essere simulati esattamente, mentre altri saranno simulati da un passaggio di tipo Metropolis-Hastings. L’ MCMC che ne risulta è un campionatore di Gibbs ibrido (vedere Chib e Greenberg (1995) e Tanner (1993)). L’iterazione j, j = 1,. . . , J, del campionatore Gibbs comprende due fasi; in una prima fase si simula il vettore dei
which has in the columns the sequence of (2m + 2)-dimensional vectors φj =
(b00,j, b01,j, (B10,j1, . . . , B10,jm), (B11,j1, . . . , B11,jm))′, j = 1, . . . , m. Finally, θ3 =
(ν, d, λ1, vech( ¯D0), vech( ¯D1))′ and θ4 = (p1,00, p1,11, p2,00, p2,11)′ are the parameter
vectors of the stochastic correlation and Markov-switching processes, respectively. We assume the following conjugate prior for θ1:
θ1∼ Nm(2m+2) ! µ 1, Υ −1 1 "
with density f (θ1) and a fully conjugate prior for θ2:
φ|Ση ∼ Nm(2m+2) ! µ 2, Ση⊗ Υ −1 2 " , Σ−1η ∼ Wm ! µ 3, Υ3 "
with the associated density denoted by f (θ2).
Consider now the elements of θ3. In order to ensure the stationarity condition,
|d| < 1, and the positive definiteness of ¯Qs2,t we assume the following uniform priors for d and λ1:
d∼ U(−1,1), λ1 ∼ U(0,1)
whereU(a,b) is the uniform distribution on the interval (a, b).
The m-dimensional Wishart distribution is defined for ν ≥ m, so we assume a
translated gamma prior for ν with parameters υ and µ4:
ν ∼ µ υ 4 Γ(υ)(ν− m) υ−1exp#−µ 4(ν− m) $ I(m,+∞)(ν).
For the precision matrices ¯Di, i = 0, 1, of the Wishart process, improper priors such as
the objective priors (see Robert (2001), Ch. 3), cannot be easily used. In the context of Markov-switching models, improper priors may actually yield improper posterior distributions. This may happen with a positive probability when data provide no information about the parameters of one of the regimes of the dynamic model (e.g., see Billio et al. (2012)). Thus, in this work we assume a proper fairly informative prior. Moreover, as the precision matrices must be positive definite, it is natural to