L’analisi di informazione completa

Con costi marginali di produzione nulli, il pro…tto congiunto della struttura verticalmente integrata coincide con i ricavi ottenuti sul mercato:

p2( ; e; q2; q1) q2( ) :

Utilizzando la funzione di domanda inversa (3.2), per ogni valore di e per ogni tripla e( ); q1

1( ); q12( j ) ₂ realizzata dalla relazione principale-agente, la struttura

integrata risolve il programma90_:

P2 : max q2( ) [( + e ( ) q2( ) q1( )) q2( )] + 2[ + e ( ) q2 j q1 j q2 j ] + 2[( + e ( ) q2( j ) q1( j ))q2( j )]

dove 0 1 è il tasso di sconto, identico per tutti gli attori coinvolti.

Quando massimizza il pro…tto congiunto di lungo termine, la struttura verticale conosce la realizzazione della domanda di primo periodo ma non quella della fase successiva. Per questa ragione, il programma di ottimizzazione deve considerare esplicitamente i due possibili valori futuri di , ponderandoli per le rispettive probabilità di realizzazione, entrambe pari ad 1₂ data l’assunzione di tipi indipendenti.

9 0_{Per non appesantire eccessivamente la notazione, si omettono gli apici che indicano il periodo di} riferimento ove la formulazione è su¢ cientemente chiara a tale proposito.

Dal programma di ottimizzazione si ricavano, per ogni periodo e per ogni valore di , le seguenti funzioni di reazione:

q2( ) = + e ( ) q1( ) 2 ; (3.3) q2 j = + e ( ) q1 j 2 (3.4) e q2( j ) = + e ( ) q1( j ) 2 : (3.5)

La quantità prodotta dalla struttura integrata è in‡uenzata dalla speci…ca realiz- zazione della domanda, dalla quantità prodotta dal concorrente e dallo sforzo esercitato da quest’ultimo nel primo periodo; mentre l’e¤etto delle quantità vendute dall’agente ha sempre segno negativo91_{, quello generato dallo sforzo realizzato dal concorrente dipenderà}

dalla natura privata o cooperativa delle attività extra-produttive esercitate dall’agente. Per quanto riguarda la relazione di agenzia, il principale massimizza il proprio pro…tto, rappresentato dal trasferimento ricevuto dal venditore nei due periodi, rispettando il vin- colo di partecipazione dell’agente che, come noto, garantisce che l’utilità attesa ottenuta dallo stesso nell’intera relazione sia non minore della sua utilità di riserva, normalizzata a zero:

P1: max t1( ) + t2( j )

s:t: U ( ) 0:

Poiché il venditore non ha informazione privata sulla domanda, il principale non ha bisogno di distorcere l’output di equilibrio ed il risultato …nale, che coincide esattamente con quello di integrazione verticale, non è in‡uenzato dalla scelta del regime contrattuale: né il principale né l’agente possono osservare la realizzazione futura della domanda quando disegnano il contratto di lungo periodo o determinano il livello ottimo di sforzo ma, a di¤erenza di quanto avviene con informazione asimmetrica, i due contraenti possiedono la stessa conoscenza e nessuno dei due gode di un vantaggio informativo.

L’utilità ottenuta dall’agente è data dai ricavi provenienti dalla vendita del bene sul mercato …nale al netto dei costi sostenuti per esercitare lo sforzo ed acquistare l’input

U ( ) = p1( ) q1( ) (e ( )) t ( ) +

2 p1 j q1 j t j + 2(p1( j ) q1( j ) t ( j )) : e, utilizzando la (3.1) può essere riscritta come

UQ( ) = [( + e ( ) q1( ) q2( )) q1( ) (e ( )) t ( )] +

2[ + e ( ) q1 j q2 j q1 j t j ] +

2[( + e ( ) q1( j ) q2( j )) q1( j ) t ( j )]: (3.6) Con contratti QF il venditore è libero di scegliere il livello di sforzo che massimizza la sua utilità e che, per ogni realizzazione della domanda di primo periodo, è dato da

eQ( ) = q1( ) +

2 q1 j + q1( j ) : (3.7) Il livello ottimo di sforzo è pari al valore atteso della quantità prodotta dall’agente nel corso dell’intera relazione perché, pur realizzando lo sforzo solo nel primo periodo, gli e¤etti di questa azione si ripercuotono anche sulle quantità future.

Avvalendosi della (3.6) per esprimere il trasferimento ottenuto dal principale in fun- zione dell’utilità dell’agente ed assumendo che il vincolo di partecipazione di quest’ultimo sia soddisfatto con uguaglianza, il programma da massimizzare può essere riscritto come92

P₁Q : max

q1( );e( )

[( + e ( ) q2( ) q1( )) q1( ) (e ( ))] +

2[ + e ( ) q1 j q2 j q1 j ] + 2[( + e ( ) q1( j ) q2( j )) q1( j )]

9 2_{Poiché sia il produttore che il venditore osservano la realizzazione di primo periodo, esattamente} come visto per la struttura integrata, l’incertezza è limitata solo alla fase successiva della transazione.

e le condizioni di primo ordine rispetto alla quantità prodotta sono date, per ogni periodo e per ogni possibile realizzazione di , da

qQ₁ ( ) = + e ( ) q2( ) 2 ; (3.8) q₁Q _j = + e ( ) q2 j 2 (3.9) e q₁Q_{( j ) =} + e ( ) q2( j ) 2 (3.10)

La quantità prodotta dall’agente dipende dalla realizzazione della domanda, dal livello di sforzo realizzato nel primo periodo e dalla quantità prodotta dal concorrente.

Il procedimento è simile a quello appena descritto quando il principale opta per un contratto di tipo RPM. In questo caso, poiché il produttore può …ssare il prezzo di vendita del bene, lo sforzo non è più controllato direttamente dall’agente ma può essere ricavato dalla (3.1) ed è dato, per ogni realizzazione di , da

e ( ) = p1( ) + q1( ) + q2( ) : (3.11)

Sostituendo la (3.11) nella (3.6), la funzione di utilità dell’agente in caso di contratti RPM può essere riscritta come

UR( ) = [p1( ) q1( ) (p1( ) + q1( ) + q2( ) ) t ( )] +

2[( + (p1( ) + q1( ) + q2( ) ) q1 j q2 j )q1 j t j ] +

2[( + (p1( ) + q1( ) +

q2( ) ) q1( j ) q2( j ))q1( j ) t ( j )]: (3.12)

Esprimendo il trasferimento ricevuto dal principale in funzione della (3.12) ed as- sumendo che l’agente ottenga esattamente la propria utilità di riserva, il problema di

ottimizzazione del principale è dato da P₁R : max q1( );p1( ) [p1( ) q1( ) (p1( ) + q1( ) + q2( ) )] + 2[( + p1( ) + q1( ) + q2( ) q1 j q2 j )q1 j ] + 2[( + p1( ) + q1( ) + q2( ) ) q1( j ) q2( j ))q1( j )]

e dalle condizioni di primo ordine rispetto a prezzo e quantità di primo periodo si ricava

eR( ) = q1( ) +

2 q1 j + q1( j ) (3.13) e

eR( ) = p1( ) +

2 q1 j + q1( j ) : (3.14) Con contratti RPM, il livello di sforzo ottimo è tale da eguagliare il valore scontato atteso della produzione realizzata durante l’intera relazione e del prezzo praticato, nello stesso arco temporale, sul bene …nale. Di conseguenza, anche se il valore ottimo dello sforzo è diverso, le equazioni (3.13) e (3.14) mostrano come, all’equilibrio, prezzo e quan- tità si eguagliano esattamente come avveniva nel caso statico. Sfruttando quest’ultimo risultato e sostituendo nella (3.11) il nuovo valore del prezzo, si ottiene che la funzione di reazione relativa alle quantità di primo periodo è identica a quella ottenuta nel caso di contratti QF (3.8).

Con semplici trasformazioni93_{, inoltre, è possibile dimostrare che anche le condizioni di}

primo ordine rispetto alle quantità di secondo periodo coincidono esattamente con quelle derivate nel caso di contratti QF (3.9 e 3.10).

Proposizione 1 L’equilibrio di informazione completa garantisce il rispetto delle seguen- ti proprietà94_:

(i) eQ( ) = eR_{( ) 8}

9 3_{Si veda l’Appendice A.}

9 4_{I livelli di equilibrio di sforzo e quantità prodotte da entrambi i concorrenti con i due regimi} contrattuali sono riportati nell’appendice B.

(ii) qQ₁ ( ) = qR 1 ( ) 8 (iii) q₁Q_{( j ) = q}R 1 ( j ) 8 (iv) q₂Q( ) = qR 2 ( ) 8 (v) q₂Q_{( j ) = q}R 2 ( j ) 8 (vi) Q_{( ) =} R_{( ) 8}

Quando il venditore non gode di un vantaggio informativo nei confronti del proprio principale, quest’ultimo non è forzato a lasciare al proprio agente una rendita positiva per incentivarlo a rivelare il suo tipo in modo sincero. Per questo motivo, il livello di controllo verticale esercitato dal produttore non condiziona l’evoluzione della transazione. In par- ticolare, qualsiasi sia il grado di completezza dell’accordo, la scelta di sforzo dell’agente è allineata con quella del principale e non si generano esternalità verticali; di conseguenza, il livello di sforzo realizzato all’equilibrio non cambia a seconda del regime contrattuale scelto dal principale né del grado di discrezionalità di cui gode il venditore.