Mentre parliamo di modellizzazione della realtà viene naturale pensare al fondamentale ruolo che ha avuto, e ha tuttora, la matematica nella formulazione delle teorie fisiche. Qualsiasi modello infatti viene descritto e formalizzato tramite linguaggio e concetti matematici. Ciò può sembrare ovvio perché, fin dal primo approccio verso la fisica, si è abituati a studiarla tramite concetti matematici. Le motivazioni per cui venga scelta proprio la matematica come linguaggio per descrivere i fenomeni naturali, appaiono però come una sorta di mistero.
Vogliamo ricordare, a questo punto, il dibattito che seguì dal 1960, quando Eugene Wigner6 pubblicò un articolo dal titolo The Unreasonable Effectiveness of Mathematics
in the Natural Sciences. In questo articolo, come si evince dal titolo, Wigner, dopo
definire che cosa sono la matematica e la fisica, spiega come mai, a suo parere, la matematica sia così efficace nel descrivere i fenomeni fisici, facendo apparire questa efficacia quasi come una sorta di mistero.
Infatti, oltre ad affermare che la descrizione precisa e accurata dei fenomeni tramite concetti matematici è inaspettata, mette in dubbio l’unicità di una determinata teoria formulata tramite concetti matematici. A quest’ultimo proposito, Wigner fa un paragone che può apparire provocatorio ma che racchiude tutti i dubbi e le incertezze che egli vuole manifestare: la situazione viene paragonata a un uomo che, con un mazzo di chiavi, dovendo aprire diverse porte, trova sempre la chiave giusta al primo tentativo: egli diventerà ovviamente scettico circa l’unicità della corrispondenza tra chiavi e porte. Nonostante tale scetticismo, Wigner non mette in dubbio il fondamentale ruolo della matematica nella fisica. L’affermazione che le leggi della natura sono descritte in linguaggio matematico, attribuita a Galileo, risaliva al tempo della pubblicazione di questo lavoro, a oltre trecento anni prima e Wigner ne ribadisce l’importanza anche dopo
6 Eugene P. Wigner, nato Janos Pal Wigner (Budapest, 1902 – Princeton, 1995) appartiene al
gruppo di studiosi che negli anni ’20 ha rifondato il mondo della fisica. Ha risolto alcune delle questioni più profonde della fisica del XX secolo, ha posto le fondamenta della teoria delle simmetrie in meccanica quantistica e, alla fine degli anni ’30, ha esteso al nucleo atomico le sue ricerche, per le quali ha vinto il Premio Nobel nel 1963.
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trecento anni e per mostrarlo riporta come esempio gli assiomi della meccanica quantistica formulati da Dirac
I concetti base della meccanica quantistica sono costituiti da gli stati e le osservabili, entrambi espressi tramite concetti matematici: gli stati sono vettori di uno spazio di Hilbert, le osservabili sono operatori autoaggiunti su tali vettori e, inoltre, i possibili valori delle osservazioni sono gli autovalori di tali operatori.
La fisica dunque sceglie determinati concetti matematici per la formulazione delle sue leggi e tali concetti non vengono scelti arbitrariamente da una lista di termini matematici, ma, nella maggior parte dei casi, sono stati sviluppati indipendentemente dall’applicazione fisica e quindi concepiti a priori da dei matematici. Quel che Wigner mette in discussione nel suo articolo è l’opinione comunemente diffusa che i concetti matematici che si ritrovano in qualunque formalismo sono i più semplici possibili. I concetti matematici utilizzati per descrivere i fenomeni naturali non vengono scelti per la loro semplicità concettuale, ma per la loro caratteristica di adattarsi particolarmente bene a manipolazioni e argomentazioni.
Ritornando nuovamente sulla meccanica quantistica, lo spazio di Hilbert utilizzato per la formulazione di tale teoria è lo spazio di Hilbert complesso e, i numeri complessi sono ben lontani dall’essere naturali e semplici; in questo caso, la scelta del loro utilizzo risulta necessaria per la formulazione delle leggi della meccanica quantistica.
Ciò che Wigner tende a sottolineare è che, nonostante la natura apparentemente misteriosa dell’efficacia del linguaggio matematico per descrivere la fisica, esso è l’unico linguaggio da adottare per descrivere i fenomeni naturali. L’esperienza del fisico, nonostante sia spesso grezza, espressa in termini matematici porta, in molteplici casi, a una descrizione molto accurata di una larga classe di fenomeni. Ciò fa pensare che non sia un caso che venga utilizzata proprio la matematica come strumento e linguaggio per esprimere le teorie fisiche, ma anzi, oltre a essere l’unico linguaggio che riusciamo a utilizzare, è anche quello corretto.
Wigner conclude il suo articolo scrivendo “Il miracolo dell’appropriatezza del
linguaggio della matematica per la formulazione delle leggi della fisica è un dono meraviglioso che né comprendiamo né meritiamo. Dovremmo essere grati per esso e sperare che esso rimanga valido nella nostra ricerca futura e che si estenderà, nel bene
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e nel male, a nostro piacere, anche se anche per il nostro sconcerto, ad ampi rami della conoscenza.”
Il discorso di Wigner è stato successivamente discusso ampiamente.
Richard Wesley Hamming7 affermò che la matematica disponibile non sempre basta per descrivere i fenomeni fisici. Per esempio, se pensiamo agli scalari, essi non sono adatti per la descrizione e la comprensione delle forze, per cui è servito introdurre i vettori e successivamente i tensori. Hamming inoltre, si tiene ben lontano dal pensiero che la matematica possa descrivere la realtà. Secondo il matematico, la matematica è adatta solo a una parte dell’esperienza umana, quella cioè che concerne l’ambito scientifico; ma gran parte dell’esperienza umana non ricade in tale ambito, per cui c’è bisogno di altri linguaggi, come l’etica, l’estetica, la filosofia politica, per descrivere la realtà nella quale le attività dell’Uomo sono immerse.
Egli afferma che spiegare il mondo attraverso la matematica è un atto di fede.
Un’opinione differente, in risposta a Wigner, è sostenuta da Max Tegmark8, che sostiene che la fisica è descritta con tanto successo dalla matematica perché il mondo fisico è completamente matematico, isomorfo a una struttura matematica che stiamo scoprendo poco a poco.
Come si vede da questo breve excursus dietro ad una questione data spesso per scontata si possono aprire delle analisi che portano a visioni molto differenti della questione, cioè, la relazione che vi può essere tra l’esperienza dei fenomeni e la loro rappresentazione.
7Richard Wesley Hamming (Chicago, 1915 – Monterrey,1998) è stato un matematico americano
il cui lavoro ha avuto molte implicazioni nell’ l’ingegneria informatica e nelle telecomunicazioni.
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Capitolo 2
L’obiettivo di questa tesi è, vogliamo ricordarlo, proporre e verificare una metodologia didattica che permetta un confronto quantitativo tra due approcci all’insegnamento della fisica che corrispondono alle due linee di pensiero: più formale e teorica, la prima, più empirica e sperimentale, la seconda.
Per raggiungere questo obiettivo sulla validità del quale e sui relativi limiti discuteremo alla fine, dobbiamo, de necessitate, percorrere la strada indicata nella seconda linea di lavoro: la sperimentazione didattica, in aula con studenti e su programmi curriculari.9 Questa scelta non nega affatto la necessaria elaborazione teorica e le conseguenti discussioni sulle modalità di perseguire una sperimentazione perché diventa cruciale, a questo punto, sia la letteratura, seppur non molto vasta, su questo argomento, sia l’esperienza didattica dei Docenti coinvolti, sia l’analisi a priori delle implicazioni delle molte e varie scelte che devono essere fatte sul campo.
La scelta sulle modalità della sperimentazione che è stata fatta alla fine di un lungo percorso di discussione ed analisi è introdurre e sviluppare il medesimo argomento a due gruppi separati di studenti, utilizzando due percorsi e metodologie diversi.
Lo scopo di questo capitolo è dunque quello di motivare i ragionamenti che hanno portato a questa scelta, illustrando nel dettaglio il lavoro che si è previsto per le due classi, affrontando le problematiche a esso legate.
Spiegheremo prima di tutto, la metodologia scelta per la sperimentazione e quali sono state le altre possibilità metodologiche che abbiamo preso in esame, analizzate e discusse e, infine, deciso di non adottare.
9 Per “programmi curriculari” si intendono le Indicazioni Nazionali, dettate dal Ministero
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Andremo poi nel dettaglio dei vari lavori svolti nelle due classi: test di ingresso, argomenti trattati e verifica finale.
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