L’integrale stocastico come processo

Per tutto questo paragrafo fissiamo T > 0 e lavoriamo con processi X ∈ M²[0, T ]. Come al solito, è fissato uno spazio filtrato standard (Ω, F, {F_t}_t≥0, P), su cui è definito un {F_t}_t≥0-moto browniano realeB = {B_t}_t≥0.

DatoX ∈ M²[0, T ], per ogni intervallo [a, b] ⊆ [0, T ] il processo ristretto {X_t}_t∈[a,b]

è chiaramente in M²[a, b], per cui è ben definito l’integraleR_b

aX_tdB_t. In alternativa, si può considerare l’integraleR_T

0 X_t1_[a,b)(t) dB_t del processo {X_t1_[a,b)(t)}_{t∈[0,T ]}∈ M²[0, T ].

Approssimando gli integrandi con processi semplici, è facile mostrare che questi due integrali in effetti coincidono (come classi di equivalenza inL²(Ω, F, P)), ossia

Z b a

XtdBt = Z T

0

Xt1_[a,b)(t) dBt, q.c.. (5.18) Notiamo che, grazie alla proprietà (5.14), è indifferente usare 1_[a,b)(t) o 1_[a,b](t) all’interno dell’integrale. Dalla relazione (5.18) e dalla linearità dell’integrale stocastico in M²[0, T ], si ricava l’abituale relazione di additività dell’integrale rispetto agli estremi di integrazione:

per ogni scelta di0 ≤ a < b < c ≤ T Z c

a

X_tdB_t= Z b

a

X_tdB_t + Z c

b

X_tdB_t, q.c..

5.3.1. L’integrale stocastico come martingala continua. Dato X ∈ M²[0, T ], definiamo il processo I = {It= It(X)}_{t∈[0,T ]} ponendo

I_t := J_0,t(X) = Z _t

0

X_sdB_s. (5.19)

Il processo I descrive l’integrale stocastico in funzione dell’estremo di integrazione. Si noti cheIt− Is= Js,t(X) =R_t

sXudBu.

Abbiamo già osservato che c’è una certa arbitrarietà nella definizione di It(ω) per ogniω ∈ Ω, dal momento che l’integrale stocastico identifica una classe di equivalenza di variabili aleatorie e non una variabile aleatoria precisa. Dimostriamo ora che il processo I = {It}_{t∈[0,T ]}è una martingala di quadrato integrabile, con variazione quadratica esplicita;

mostriamo inoltre che è possibile fissare le versioni diI_t(ω) per diversi valori di t in modo

“canonico” che fa sì che le traiettoriet 7→ I_t(ω) siano continue.

D’ora in avanti, quando avremo a che fare con il processoI = {I_t=Rt

0X_udB_u}_t≥0, supporremo sempre di averne fissato una versione continua.

5.3. L’INTEGRALE STOCASTICO COME PROCESSO 89

Teorema 5.18. Se X ∈ M²[0, T ], il processo I = {I_t}_{t∈[0,T ]} definito in (5.19) è una martingala di quadrato integrabile, la cui variazione quadratica è data da

hIit = Z _t

0

X_u²du . (5.20)

Esiste inoltre una modificazione diI con traiettorie continue.

Dimostrazione. Cominciamo a mostrare che il processo I = {It}_{t∈[0,T ]} è adattato, cioè che I_t è F_t-misurabile, per ogni t ∈ [0, T ]. A tal fine, per t ∈ [0, T ] fissato, sia {X⁽ⁿ⁾}_n∈N una successione di processi semplici in S[0, t] che convergono in M²[0, t]

verso il processo ristretto {X_s}_s∈[0,t]. Definendo I_t⁽ⁿ⁾ := Rt

0X_u⁽ⁿ⁾dB_u, per costruzione dell’integrale stocastico (o per la Proposizione 5.15) si haI_t⁽ⁿ⁾→ I_t inL²(Ω). Dal fatto che laσ-algebra F_t contiene tutti gli eventi di misura nulla segue che il limite inL²(Ω) di variabili aleatorie F_t-misurabili è F_t-misurabile.^† Per dimostrare la F_t-misurabilità di I_t basta allora mostrare cheI_t⁽ⁿ⁾ è F_t-misurabile, per ognin ∈ N. Per la Definizione 5.8 di integrale stocastico di processi semplici, seX⁽ⁿ⁾ è della forma (5.4) (con[a, b] = [0, t]) si ha I_t⁽ⁿ⁾ = Rt

0X_s⁽ⁿ⁾dB_s = Pk−1

i=0 C_i(B_ti+1 − B_ti), dove 0 = t₀ < t₁ < . . . < t_k = t.

Per costruzione le variabili Cj e Btj sono F_tj misurabili e quindi F_t-misurabili, perché t_j ∈ [0, t] per ogni j = 0, . . . , k, quindi anche I_t⁽ⁿ⁾ è F_t-misurabile.

Mostriamo ora che vale la relazione di martingala:E(It|F_s) = Is q.c., per ognis < t.

Dato cheI_t− I_s= J_s,t(X) =R_t

sX_udB_u, basta mostrare che

E(J_s,t(X)|F_s) = 0 , q.c.. (5.21)

Per0 ≤ s < t ≤ T fissati, sia {X⁽ⁿ⁾}_n∈N una successione di processi semplici in S[s, t] che convergono in M²[s, t] verso il processo ristretto {X_u}_u∈[s,t], in modo cheJ_s,t(X⁽ⁿ⁾) → Js,t(X) in L²(Ω) (si ricordi la Proposizione 5.15). Grazie alla prima relazione in (5.7), valida per processi in S[s, t], sappiamo che E(J_s,t(X⁽ⁿ⁾)|F_s) = 0 per ogni n ∈ N. Dato che la speranza condizionale è un operatore continuo in L², possiamo passare al limite in questa relazione, ottenendo (5.21). Dato che It=Rt

0XudBu ∈ L²(Ω) per ogni t ∈ [0, T ], per costruzione dell’integrale stocastico, abbiamo mostrato che il processoI = {I_t}_{t∈[0,T ]} è una martingala di quadrato integrabile.

Mostriamo ora che il processo hIi = {hIi_t}_{t∈[0,T ]} definito in (5.20) è effettivamente la variazione quadratica di I (si ricordi il Teorema 4.17). Omettiamo la verifica hIi è un processo crescente, continuo, adattato e nullo al tempo zero (esercizio), limitandoci a mostrare che il processo {I_t²− hIi_t}_{t∈[0,T ]} = {I_t²−Rt

0X_u²ds}_{t∈[0,T ]} è una martingala: con una semplice manipolazione algebrica, basta mostrare cheE(I_t²− I_s²|F_s) = E(R_t

s X_u²|F_s) q.c., per ogni0 ≤ s < t ≤ T . Dato che I è una martingala, si verifica facilmente (si ricordi

†Una successione convergente in L²(Ω) converge in probabilità, quindi ammette una sottosuccessione che converge q.c.; di conseguenza, la variabile aleatoria limite può essere scritta come limite puntuale della sottosuccessione, al di fuori di un evento di probabilità nulla.

la relazione (4.8)) cheE(I_t²− I_s²|F_s) = E((It− Is)²|F_s); dato che It− Is= Js,t(X), resta J_s,t(X) in L²(Ω). Grazie alla seconda relazione in (5.7), valida per processi semplici in S[s, t], la relazione (5.22) è verificata rimpiazzando X con X⁽ⁿ⁾, per ogni n ∈ N. La validità della relazione (5.22) per ogni X ∈ M²[0, T ] segue allora passando al limite, notando che pern → ∞ e sfruttando la continuità della speranza condizionale inL¹.

Entrambe le relazioni in (5.23) seguono dal seguente fatto generale: se (E, E, P) è uno spazio di probabilità e Yn→ Y in L²(E, E, P), allora Yn²→ Y² in L¹(E, E, P). Infatti

Mostriamo infine che esiste una modificazione del processoI = {I_t}_{t∈[0,T ]}con traiettorie continue. Sia {X⁽ⁿ⁾}_n∈N una successione di processi semplici in S[0, T ] che converge in M²[0, T ] verso X, cioè kX⁽ⁿ⁾− Xk_M²_{[0,T ]} → 0 per n → ∞, a meno di estrarre una sottosuccessione, possiamo supporre che kX⁽ⁿ⁾− Xk_M²_{[0,T ]}≤ ¹_2n¹₃. Di conseguenza, si ha kX⁽ⁿ⁾− X⁽ⁿ⁺¹⁾k_M2[0,T ] ≤ _n¹₃ per ogni n ∈ N, per la disuguaglianza triangolare.

Definendo I_t⁽ⁿ⁾ := Rt

0X_u⁽ⁿ⁾dB_u, il processo I⁽ⁿ⁾ = {I_t⁽ⁿ⁾}_{t∈[0,T ]} è una martingala di quadrato integrabile, per quanto visto nella prima parte della dimostrazione. Mostriamo ora che il processoI⁽ⁿ⁾è q.c. continuo. È facile verificare che per ogni 0 ≤ c < d ≤ T e 0 ≤ t ≤ T si haRt

01_[c,d)(s) dB_s= B_d∧t− B_c∧t (basta distinguere i tre casit < c, t ∈ [c, d) et > d e ricordare che x ∧ y := min{x, y}). Essendo il processo X⁽ⁿ⁾∈ S[0, T ] della forma (5.4) (con[a, b] = [0, T ]), per la linearità dell’integrale stocastico si ha

(I_t⁽ⁿ⁾)(ω) =

5.3. L’INTEGRALE STOCASTICO COME PROCESSO 91

Per definizione di moto browniano, esiste C ∈ F con P(C) = 1 tale che la traiettoria t 7→ B_t(ω) è continua per ogni ω ∈ C. Dato che la funzione t 7→ t_i∧ t è continua, segue che per ogniω ∈ C la traiettoria t 7→ (I_t⁽ⁿ⁾)(ω) è continua. Questo mostra che il processo I⁽ⁿ⁾ è q.c. continuo.

Dato che I⁽ⁿ⁾ è una martingala di quadrato integrabile, il processo (I⁽ⁿ⁾− I⁽ⁿ⁺¹⁾)² è una submartingala, per il Lemma 4.6. Dato che tale submartingala è q.c. continua, possiamo applicare la disuguaglianza massimale, cf. il Teorema 4.14, ottenendo

P dove l’ultima uguaglianza segue dall’isometria (5.10) dell’integrale stocastico, l’ultima disuguaglianza segue dall’ipotesi kX⁽ⁿ⁾− X⁽ⁿ⁺¹⁾k_M2[0,T ] ≤ ¹

n³ e dove abbiamo posto come al solito kf k∞:= sup_0≤u≤T|f (u)|. Dato cheP

n∈N 1

n² < ∞, per il lemma di Borel-Cantelli esiste un eventoA con P(A) = 1 tale che per ogni ω ∈ A si ha kI·⁽ⁿ⁾(ω) − I·⁽ⁿ⁺¹⁾(ω)k∞≤

1

n² per n grande, o più precisamente per n ≥ n0(ω), con n0(ω) < ∞. Applicando la disuguaglianza triangolare, per m ≥ n ≥ n₀(ω) si ottiene

kI·^(m)(ω) − I·⁽ⁿ⁾(ω)k∞ ≤ è di Cauchy per k · k_∞, quindi converge uniformemente pern → ∞ verso una funzione continua, che indichiamo conu 7→ I_u^(∞)(ω). Ponendo I_u^(∞)(ω) ≡ 0 per ω 6∈ A ∩ C, abbiamo definito un processoI^(∞)= {I_u^(∞)}_{u∈[0,T ]} con traiettorie continue.

Resta solo da verificare che I^(∞) è una modificazione di I. Fissiamo t ∈ [0, T ]. Per costruzione di I^(∞), si ha I_t⁽ⁿ⁾ → I_t^(∞) q.c.. D’altro canto, per la Proposizione 5.15 si ha I_t⁽ⁿ⁾ := J_0,t(X⁽ⁿ⁾) → J_0,t(X) =: I_t in L²(Ω), perché per costruzione X⁽ⁿ⁾ → X in M²[0, T ]. Dato che una successione convergente in L²(Ω) ha una sottosuccessione che converge q.c., i due limiti sono q.c. uguali: si ha dunqueI_t^(∞)= I_t q.c..

Osservazione 5.19. Vale la pena sottolineare un aspetto importante, messo in luce nell’ultima parte della dimostrazione del Teorema 5.18. Dato X ∈ M²[0, T ], esiste una successione {X⁽ⁿ⁾}n∈Ndi processi semplici M²[0, T ] tali che q.c.

dove fissiamo una versione continua del processoRt

0XudBu. Più precisamente, qualunque successione di processi {X⁽ⁿ⁾}_n∈Ntale che kX⁽ⁿ⁾− Xk_M2[0,T ]≤¹_2n¹₃ ha questa proprietà.

5.3.2. Tempi d’arresto e località. Vediamo ora due risultati molto utili.

Mostriamo innanzitutto che la relazioneR_t

0X_udB_u =R_T

0 X_u1_[0,t)(u) dB_u vale anche quando il tempo deterministico t è sostituito da un tempo d’arresto.

Proposizione 5.20. Sia X ∈ M²[0, T ] e sia {It = Rt

0XudBu}_t≥0 una versione continua dell’integrale stocastico. Per ogni tempo d’arrestoτ tale che τ ≤ T q.c., vale la relazione:

I_τ = Z τ

0

X_udB_u = Z T

0

X_u1_{[0,τ )}(u) dB_u q.c., (5.24) dove (Iτ)(ω) := I_{τ (ω)}(ω), per ogni ω ∈ Ω.

In altri termini, considerare l’integrale stocastico It del processoX fino al tempo t e poi porret = τ è la stessa cosa che fare l’integrale stocastico del processo {X_u1_{[0,τ )}(u)}_{u∈[0,T ]}. (Si noti che la prima uguaglianza in (5.24) è solo una questione di notazioni.)

Dimostrazione. Il processo {1[0,τ )(u)}_{u∈[0,T ]} è progressivamente misurabile, perché è continuo a destra e adattato: infatti si ha che 1[0,τ )(u) = 1{τ >u}(ω) è Fu-misurabile, perché {τ > u} = {τ ≤ u}^c ∈ Fu. Si verifica immediatamente che il prodotto di processi progressivamente misurabili è progressivamente misurabile, e dato che 1[0,τ )(u) ≤ 1 segue che {Xu1[0,τ )(u)}u∈[0,T ] ∈ M²[0, T ]. Questo mostra che il membro di destra nella relazione (5.24) è ben definito. Chiaramente anche il membro di sinistra è ben definito q.c.: (Iτ)(ω) := Iτ (ω)(ω) per ogni ω ∈ Ω tale che τ (ω) ≤ T . Resta solo da mostrare che queste due variabili sono q.c. uguali.

Sia {τn}n∈Nuna successione di tempi d’arresto che assumono valori discreti, tali che τn↓ τ q.c. per n → ∞ (ridefinendo τncome τn∧ T , possiamo assumere che τn≤ T ). Supponiamo di aver dimostrato la relazione (5.24) per τn, cioè Iτn = RT

0 Xu1_[0,τn)(u) dBu. Per n → ∞ si ha Iτn → Iτ q.c., poiché abbiamo fissato per ipotesi una versione di I con traiettorie continue. Dato che Xu(ω) 1[0,τ_n(ω))(u) → Xu(ω) 1[0,τ (ω))(u) per q.o. (u, ω), per convergenza dominata (|Xu(ω) 1[0,τ_n(ω))(u)| ≤ |Xu(ω)|) si ha X 1_[0,τn)→ X 1[0,τ )in M²[0, T ], quindiRT

0 Xu1_[0,τn)(u) dBu→RT

0 Xu1_{[0,τ )}(u) dBuin L²(Ω). Dato che una successione convergente in L² ha una sottosuccessione convergente q.c., le due variabili aleatorie limite Iτ eRT

0 Xu1[0,τ )(u) dBusono q.c. uguali e la relazione (5.24) è dimostrata.

Sia {X⁽ⁿ⁾}_n∈Nuna successione di processi semplici che converge verso X in M²[0, T ]. Supponiamo di aver dimostrato la relazione (5.24) con X⁽ⁿ⁾ al posto di X, cioè Iτ⁽ⁿ⁾=RT

0 Xu⁽ⁿ⁾1[0,τ )(u) dBu, dove I_t⁽ⁿ⁾ :=Rt

0 Xu⁽ⁿ⁾dBu. Se scegliamo X⁽ⁿ⁾ in modo che kX⁽ⁿ⁾− XkM²[0,T ] ≤ ¹_2n¹3, abbiamo visto nella dimostrazione del Teorema 5.18 che per q.o. ω ∈ Ω si ha la convergenza di I_t⁽ⁿ⁾(ω) per n → ∞ verso It(ω), (uniformemente) per ogni t ∈ [0, T ]; scegliendo t = τ (ω) si ha che I_{τ (ω)}⁽ⁿ⁾ (ω) → Iτ (ω)(ω), cioè Iτ⁽ⁿ⁾→ Iτ q.c.. Analogamente, kX⁽ⁿ⁾1[0,τ )− X1[0,τ )k_M2[0,T ]≤ kX⁽ⁿ⁾− Xk_M2[0,T ]≤ ¹_2n¹3, quindi anche RT

0 Xu⁽ⁿ⁾1[0,τ )(u) dBu→RT

0 Xu1[0,τ )(u) dBuq.c.. Questo mostra che Iτ =RT

0 Xu1[0,τ )(u) dBuq.c., cioè la relazione (5.24).

Resta infine da dimostrare che la relazione (5.24) è verificata quando X è un processo semplice e τ assume un insieme discreto di valori: in questo caso l’integrale stocastico è dato dalla formula elementare (5.5) e la validità di (5.24) si verifica facilmente con un calcolo diretto.

Mostriamo infine che l’integrale stocastico, pur non essendo definito puntualmente per ogniω ∈ Ω, è tuttavia un operatore che agisce localmente. Dato un evento A ∈ F, diciamo che una proprietà vale “per q.o.ω ∈ A” intendendo che esiste N ∈ F con P(N ) = 0 tale che la proprietà vale per ogni ω ∈ A \ N .