Processi di Itô e formula di Itô generale

Sottolineiamo che si tratta solo di una notazione compatta, il cui significato è precisamente la formula di Itô (6.1). Questa relazione può essere vista come la chain rule (regola di derivazione di funzioni composte) per l’integrale stocastico.

La formula di Itô può essere vista come la versione stocastica del teorema fondamentale del calcolo (o anche della chain rule, per l’Osservazione 6.2). In effetti, essa permette di

“calcolare” — o meglio, di esprimere in forma più semplice — una classe particolare di integrali stocastici. Dato cheB₀= 0, possiamo infatti riscrivere (6.1) come

Z t 0

Φ⁰(B_s) dB_s = Φ(B_t) − Φ(0) − 1 2

Z t 0

Φ⁰⁰(B_s) ds , (6.6) e si noti che quello che compare nel membro di destra è un integrale ordinario, rispetto alla misura di Lebesgue.

Osserviamo che il membro destro in (6.6) è ben definito come integrale ordinario per ogni ω ∈ Ω per cui la funzione s 7→ Bs(ω) è continua (o anche solo misurabile). Abbiamo dunque un insieme di ω

“universale” su cui sono definiti canonicamente gli integrali stocastici della formaRt

0f (Bs) dBs, per ogni funzione f di classe C¹ e per ogni t ≥ 0 (basta porre Φ(x) :=Rx

0 f (z) dz).

In realtà, come avremo modo di apprezzare nel seguito, l’applicazione fondamentale della formula di Itô non consiste tanto nel “calcolare” gli integrali stocastici della forma Rt

0Φ⁰(Bs) dBs, cf. (6.6), quanto piuttosto nell’esprimere ogni processo {Φ(Bt)}t≥0, conΦ(·) di classeC², come somma di una martingala locale (l’integrale stocasticoRt

0Φ⁰(Bs) dBs) e di un processo a variazione finita^† (l’integrale ordinario ¹₂Rt

0Φ⁰⁰(Bs) ds), cf. (6.11).

6.2. Processi di Itô e formula di Itô generale

6.2.1. Processi di Itô. Sappiamo che per definire l’integrale stocastico Rt

0X_sdB_s per ognit ≥ 0 è necessario che il processo X = {X_s}_s≥0sia in M²_loc. Per definire l’integrale ordinarioR_t

0X_sds per ogni t ≥ 0 è sufficiente richiedere che X sia nello spazio M¹_loc, lo spazio dei processi progressivamente misurabili con traiettorie localmente integrabili.

Definizione 6.3. Indichiamo con M_loc¹ [0, T ] lo spazio vettoriale dei processi X = {X_t}_t∈[a,b] progressivamente misurabili tali che RT

0 |X_t| dt < ∞ q.c..

Indichiamo con M¹_loc lo spazio vettoriale dei processi progressivamente misurabili X = {X_t}_t∈[0,∞) tali che per ogniT > 0 si ha {X_t}_{t∈[0,T ]}∈ M_loc¹ [0, T ].

La formula di Itô mostra che, per ogniΦ : R → R di classe C², il processo {Φ(B_t)}_t≥0 si scrive come somma di due processi: l’integrale stocastico Rt

0Φ⁰(B_s) dB_s e l’integrale ordinario ¹₂Rt

0Φ⁰⁰(B_s) ds. Questo motiva la prossima importante definizione.

†Ricordiamo che, se g : [0, T ] → R è una funzione integrabile, l’integrale ordinario t 7→Rt

0g(s) ds è una funzione a variazione finita, cf. il paragrafo 2.4.

Definizione 6.4. Un processo stocastico reale q.c. continuo X = {Xt}_t≥0 è detto processo di Itô se esistono ϕ = {ϕ_t}_t≥0 ∈ M²_loc eψ = {ψ_t}_t≥0∈ M¹_loc tali che q.c.

X_t − X₀ = Z t

0

ϕ_sdB_s + Z t

0

ψ_sds , ∀t ≥ 0 . (6.7) Indicheremo questo fatto con la notazione differenziale dX_t= ϕ_tdB_t+ ψ_tdt.

Come abbiamo già osservato, un’ampia classe di processi di Itô è data dai processi della forma {Φ(Bt)}t≥0, qualunque siaΦ : R → R di classe C².

Si noti che nella Definizione 6.4 richiediamo cheX sia un processo q.c. continuo. Questa non è una restrizione: infatti seX deve soddisfare la relazione (6.7), esso ammette una versione continua, per le proprietà dell’integrale stocastico e dell’integrale ordinario.

Notiamo che seψ ≡ 0 si ha dX_t= ϕ_tdB_t, dunqueX è una martingala locale.^† Questa osservazione sarà molto utile nel seguito.

Osservazione 6.5. Un processo di Itô è per definizione un processo dato dalla somma di un integrale stocastico It:=Rt

0ϕsdBse di un integrale ordinario Rt:=Rt

0ψsds. È importante sottolineare che questi due processi hanno proprietà radicalmente differenti. Infatti, q.c. le traiettorie del processo Rt hanno variazione finita su ogni intervallo [0, T ]. D’altro canto, sappiamo che il processo It è una martingala locale: analogamente alle martingale di quadrato integrabile, si può mostrare che q.c. le sue traiettorie hanno variazione infinita su ogni intervallo (escludendo il caso banale in cui siano costanti). Sfruttando queste proprietà, è possibile mostrare che la decomposizione di un processo di Itô X nella forma (6.7) è unica, nel senso che i processi It:=Rt

0ϕsdBse Rt:=Rt

0ψsds sono univocamente determinati da X, a meno di indistinguibilità. Da ciò segue che i processi integrandi ϕ = {ϕs(ω)}s≥0e ψ = {ψs(ω)}s≥0 sono univocamente determinati per P-q.o. ω ∈ Ω e per Leb-q.o. s ≥ 0.

6.2.2. Formula di Itô generale. Se X è un processo di Itô, dXs = ϕ_sdB_s + ψ_sds, possiamo definire l’integrale rispetto a X ponendo semplicemente

Z _t

0

Y_sdX_s :=

Z _t

0

Y_sϕ_sdB_s + Z _t

0

Y_sψ_sds , (6.8)

per ogni processoY = {Ys}_s≥0 progressivamente misurabile per cui gli integrali abbiano senso, cioè tale che {Y_sϕ_s}_s≥0∈ M²_loc e {Y_sψ_s}_s≥0∈ M¹_loc. Per esempio, oltre a essere progressivamente misurabile, basta cheY abbia q.c. traiettorie localmente limitate (in particolare, basta che sia q.c. continuo).

Dato il processo di Itô X con decomposizione dX_s = ϕ_sdB_s + ψ_sds, definiamo variazione quadratica hXi_t di X la variazione quadratica dell’integrale stocastico che

†Vale anche il viceversa: un processo di Itô X con dXt = ϕtdBt + ψtdt è una martingala locale rispetto alla filtrazione {Ft}t≥0 fissata sullo spazio soltanto se ψt ≡ 0. L’enfasi sulla filtrazione è di fondamentale importanza! Si può infatti verificare che il processo Yt:= Bt−Rt

0 Bs

s ds, che ha differenziale stocastico dYt= dBt−^B_t^tdt (in particolare ψt6≡ 0) è un moto browniano. Come ogni moto browniano, il processo Y è una martingala rispetto alla sua filtrazione naturale {Gt= σ({Ys}s≤t)}t≥0. Il punto è che il moto browniano originale B non è un {Gt}t≥0-moto browniano, quindi {Gt}t≥0 non può essere presa come filtrazione sullo spazio (Ω, F , P).

6.2. PROCESSI DI ITÔ E FORMULA DI ITÔ GENERALE 105

Si può dimostrare che hXi_t è il limite in probabilità della somma Pk−1

i=0(X_ti+1− X_ti)² lungo una partizione π = {0 = t0 < t1 < . . . < t_k = t} di [0, t], quando il passo della partizione tende verso zero, ma non avremo bisogno di questo fatto. Si noti che per definizione hXi_t è un processo di Itô, il cui differenziale stocastico è dato da

dhXit = ϕ²_tdt .

Possiamo quindi definire l’integrale rispetto a hXi ponendo Z t

per ogni processo Y per cui ciò abbia senso. Si noti che se X è un moto browniano, si ha hXi_t= t e di conseguenza dhXi_t= dt.

Diremo che una funzioneΦ = Φ(t, x) : R⁺× R → R è di classe C^1,2 se è derivabile con continuità una volta in t e due volte in x, ossia se le derivate parziali ^∂Φ_∂t(t, x), ^∂Φ_∂x(t, x) e

∂²Φ

∂x²(t, x) esistono e sono funzioni continue di (t, x) ∈ R⁺× R. È prassi indicare la derivata temporale con un punto e le derivate spaziali con gli apici, ossia

˙Φ(t, x) := ∂Φ

∂t(t, x) , Φ⁰(t, x) := ∂Φ

∂x(t, x) , Φ⁰⁰(t, x) := ∂²Φ

∂x²(t, x) . Enunciamo ora (senza dimostrazione) una generalizzazione della formula di Itô.

Teorema 6.6 (Formula di Itô generalizzata). Se X = {Xt}_t≥0 è un processo di Itô, condXt= ϕtdBt+ ψtdt, e Φ = Φ(t, x) : R⁺× R → R è di classe C^1,2, si ha q.c. Ricordando le relazioni (6.8) e (6.10), possiamo riscrivere il membro destro in (6.11) nel modo seguente:

Questo mostra che, per ogni processo di Itô X = {Xt}_t≥0 e per ogni funzione Φ = Φ(t, x) : R⁺× R → R di classe C^1,2, il processo {Φ(t, X_t)}_t≥0 è un processo di Itô, il cui differenziale stocastico è dato da

dΦ(t, Xt) = Φ⁰(t, Xt) ϕtdBt +



˙Φ(t, Xt) + Φ⁰(t, Xt) ψt + 1

2Φ⁰⁰(t, Xt) ϕ²_t

 dt .