Prolungamento di isometrie

Si dice spazio pseudometrico un insiemeE munito di una pseudodistanza d(·, ·), ossia di una funzioned : F × F → R tale che per ogni x, y, z ∈ E valgano le seguenti proprietà:

d(x, x) = 0 , d(x, y) = d(y, x) , d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) .

Come è ben noto, se si rafforza la prima condizione richiedendo ched(x, y) = 0 se e solo sex = y, la funzione d(·, ·) si dice distanza e lo spazio E si dice spazio metrico. Ciò che differenza uno spazio pseudometrico rispetto a uno spazio metrico è che ci possono essere puntix, y ∈ E distinti (cioè x 6= y) tali che d(x, y) = 0.

Un caso tipico è dato dagli spazi di variabili aleatorie L^p(Ω, F, P): date infatti due variabili aleatorieX, Y ∈ L^p(Ω, F, P) tali che d(X, Y ) := kX −Y k_p = (E(|X −Y |))^1/p= 0, non si ha necessariamente X = Y (ma solo X = Y q.c.). Come abbiamo già ricordato, se si identificano le variabili aleatorie q.c. uguali, il relativo spazio delle classi di equivalenza (che, con abuso di notazione, si indica ancora conL^p(Ω, F, P)) diventa uno spazio metrico.

Data una successione di punti {x_n}_n∈N in uno spazio pseudometrico E e un punto x ∈ E, si dice che xn converge versox (e si scrive xn→ x) se si ha limn→∞d(xn, x) = 0.

A differenza di quanto accade per gli spazi metrici, il limite in generale non è unico: in effetti, sex_n→ x, allora x_n→ y per ogni y ∈ E con d(x, y) = 0.

Un sottoinsiemeS di uno spazio pseudometrico E si dice denso se per ogni x ∈ E esiste una successione di punti x_n∈ S tali che x_n→ x. Una successione {x_n}_n∈N in uno spazio pseudometrico E si dice di Cauchy se ∀ε > 0 esiste n₀ < ∞ tale che d(x_n, x_m) < ε per ognin, m ≥ n₀. È facile vedere che in qualunque spazio pseudometrico ogni successione convergente è di Cauchy. Se vale anche il viceversa, ossia se per ogni successione {x_n}_n∈N di Cauchy inE esiste x ∈ E tale che x_n→ x, lo spazio pseudometrico E si dice completo.

Come è noto,L^p(Ω, F, P) come spazio di classi di equivalenza è uno spazio metrico completo; come spazio di variabili aleatorie, è invece uno spazio pseudometrico completo.

In effetti, seX_n→ X in L^p(Ω, F, P), allora X_n→ X⁰ per ogni altra variabile aleatoria X⁰ ∈ L^p(Ω, F, P) tale che X = X⁰ q.c..

Possiamo finalmente enunciare e dimostrare il risultato principale sull’estensione di isometrie densamente definite.

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Teorema 5.1. Siano E uno spazio pseudometrico e F uno spazio pseudometrico completo. Siano S un sottoinsieme denso di E e J : S → F un operatore isometrico, tale cioè che

d(J(x), J(y)) = d(x, y) , ∀x, y ∈ S . (5.1) Allora esiste un operatore isometrico ¯J : E → F che estende J a tutto E:

J(x) = J(x) ,¯ ∀x ∈ S , d( ¯J(x), ¯J(y)) = d(x, y) , ∀x, y ∈ E . (5.2) Se F è uno spazio metrico completo, esiste un unico operatore ¯J con tali proprietà.

Dimostrazione. Cominciamo a verificare l’ultima affermazione. Sia x ∈ E e consi-deriamo una successione {xn}_n∈N in S convergente a x, cioè d(xn, x) → 0 (una tale successione esiste perché per ipotesiS è denso in E). Se ¯J soddisfa la seconda relazione in (5.2) per ognix, y ∈ E, si ha d( ¯J(x_n), ¯J(x)) = d(x_n, x) → 0, cioè ¯J(x_n) → ¯J(x). Ma J(x¯ n) = J(xn), per la prima relazione in (5.2), quindi J(xn) → ¯J(x). Dato che in uno spazio metrico il limite è unico, il valore di ¯J(x) è univocamente determinato dai valori della successioneJ(x_n), dunque dai valori di J(z) per z ∈ S, che sono assegnati.

Mostriamo ora l’esistenza di un operatore ¯J che soddisfa (5.2). Per x ∈ S poniamo J(x) := J(x). Per x ∈ E \ S, fissiamo un’arbitraria successione {¯ ex_n}_n∈NinS che converge verso x. Essendo convergente, {xen}_n∈N è di Cauchy in E e quindi la successione delle immagini {J(ex_n)}_n∈N è di Cauchy inF , poiché d(J(xe_n), J(ex_m)) = d(ex_n,ex_m), grazie a (5.1). Essendo per ipotesiF completo, esiste almeno un punto limite per la successione {J(xen)}_n∈N: indicheremo con ¯J(x) uno di tali punti, scelto arbitrariamente ma fissato una volta per tutte, per cui si haJ(xe_n) → ¯J(x). Abbiamo quindi definito un operatore J : E → F che per costruzione soddisfa la prima relazione in (5.2).¯

Mostriamo ora che per ognix ∈ E e per ogni successione {x⁰_n}_n∈NinS tale che x⁰_n→ x si ha ¯J(x⁰_n) = J(x⁰_n) → ¯J(x). Per la disuguaglianza triangolare si ha d( ¯J(x), J(x⁰_n)) ≤ d( ¯J(x), J(xe_n)) + d(J(xe_n), J(x⁰_n)) e sappiamo per costruzione che d( ¯J(x), J(ex_n)) → 0;

d’altro canto, grazie a (5.1) si had(J(xe_n), J(x⁰_n)) = d(ex_n, x⁰_n) ≤ d(ex_n, x) + d(x, x⁰_n) → 0, poiché per ipotesixe_n→ x e x⁰_n→ x. In definitiva, d( ¯J(x), J(x⁰_n)) → 0, ossia J(x⁰_n) → ¯J(x), come volevamo mostrare.

Resta da mostrare che la seconda relazione in (5.2) è soddisfatta. Datix, y ∈ E, siano {x_n}_n∈N, {y_n}_n∈N due arbitrarie successioni in S che convergono rispettivamente a x, y.

Per la disuguaglianza triangolare

d(x_n, y_n) ≤ d(x_n, x) + d(x, y) + d(y, y_n) , d(x, y) ≤ d(x, x_n) + d(x_n, y_n) + d(y_n, y) , dunque |d(x_n, y_n) − d(x, y)| ≤ d(x_n, x) + d(y_n, y) → 0, cioè d(x_n, y_n) → d(x, y). Dato che ¯J(x_n) → ¯J(x) e ¯J(y_n) → ¯J(y) per quanto visto sopra, con analoghi argomenti si mostra ched( ¯J(x_n), ¯J(y_n)) → d( ¯J(x), ¯J(y)). Infine, applicando la prima relazione in (5.2) e la relazione (5.1), si had( ¯J(xn), ¯J(yn)) = d(J(xn), J(yn)) = d(xn, yn) per ogni n ∈ N;

passando al limiten → ∞, si ottiene d( ¯J(x), ¯J(y)) = d(x, y).

5.1. PROLUNGAMENTO DI ISOMETRIE 77

Osservazione 5.2. Abbiamo enunciato il Teorema 5.1 per operatori isometrici perché è il caso che ci interessa per l’integrale stocastico. Sottolineiamo tuttavia che la dimostrazione si estende quasi senza modifiche ad operatori lipschitziani J : S → F : più precisamente, se d(J(x), J(y)) ≤ C d(x, y) per ogni x, y ∈ S, con C ≥ 0, allora esiste un operatore J : E → F che estende J e tale che d( ¯¯ J(x), ¯J(y)) ≤ C d(x, y) per ogni x, y ∈ E; inoltre, tale operatore è unico se lo spazio d’arrivoF è metrico e completo.

Specializziamo ora il Teorema 5.1 al caso in cui E ed F sono spazi vettoriali e l’operatore J è lineare. L’analogo vettoriale di uno spazio pseudo metrico è dato da uno spazio seminormato: si tratta di uno spazio vettorialeE munito di una seminorma, cioè di una funzione k · k: E → R tale che per ogni x, y ∈ E e per ogni λ ∈ R si abbia

k0k = 0 , kλxk = |λ|kxk , kx + yk ≤ kxk + kyk .

Se si impone la condizione più forte che kxk = 0 se e solo se x = 0, la funzione k · k si dice norma e lo spazio vettoriale E si dice spazio normato. Ogni spazio seminormato (risp. normato) E è in particolare uno spazio pseudometrico (risp. metrico), in cui la pseudodistanza (risp. distanza) è definita dad(x, y) := kx − yk, per cui si applicano tutti i concetti definiti in precedenza: convergenza di successioni, densità di un sottoinsieme, completezza dello spazio, . . .

Per quanto ci riguarda, l’esempio tipico di spazio seminormato (risp. normato) completo è dato dallo spazio di variabili aleatorie (risp. di classi di equivalenza) L^p(Ω, F, P), in cui X 7→ kXk_p := (E(|X|^p))^1/p è una seminorma.

Veniamo ora al risultato annunciato. Si noti che per un operatore lineareJ la condizione di isometria d(J(x), J(y)) = d(x, y) per ogni x, y si riduce a kJ(z)k = kzk per ogni x.

Corollario 5.3. Siano E uno spazio seminormato e F uno spazio seminormato completo. Sia S ⊆ E un sottospazio vettoriale denso e sia J : S → E un operatore lineare e isometrico, tale cioè che

J(αx + βy) = αJ(x) + βJ(y) , ∀α, β ∈ R , ∀x, y ∈ S , kJ(x)k = kxk , ∀x ∈ S .

Allora esiste un’estensione lineare e isometrica ¯J : E → F di J a tutto E:

J(x) = J(x) ,¯ ∀x ∈ S ,

J(αx + βy) = α ¯¯ J(x) + β ¯J(y) , ∀α, β ∈ R , ∀x, y ∈ E , k ¯J(x)k = kxk , ∀x ∈ E .

Se F è uno spazio normato completo (spazio di Banach), tale estensione ¯J è unica.

Dimostrazione. Il Teorema 5.1 garantisce l’esistenza di un operatore isometrico ¯J : E → F che estende J, cioè tale che ¯J(x) = J(x) per x ∈ S e k ¯J(x)k = kxk per ogni x ∈ E. Inoltre, se lo spazio F è normato, dunque metrico, tale operatore ¯J è unico. Resta solo da mostrare che ¯J è lineare.

Dati x, y ∈ E, siano {xn}_n∈N e {yn}_n∈N successioni in S che convergono verso x e y rispettivamente. Per costruzione di ¯J (o per la proprietà di isometria, cf. la seconda relazione in (5.2)) si ha allora J(x_n) → ¯J(x) e J(y_n) → ¯J(y). Analogamente J(αx_n+ βyn) → ¯J(αx + βy), per ogni α, β ∈ R: infatti αxn+ βyn∈ S, perché S è un sottospazio vettoriale, e si haαx_n+ βy_n→ αx + βy (facile verifica). Dato che per ipotesi J(αx_n+ βy_n) = αJ(x_n) + βJ(y_n), passando al limite n → ∞ otteniamo la relazione cercata J(αx + βy) = α ¯¯ J(x) + β ¯J(y).

Osservazione 5.4. Supponiamo che, nelle stesse ipotesi del Teorema 5.3, esista una forma bilineare h·, ·i su E tale che kxk =phx, xi per ogni x ∈ E, e analogamente per F . Allora l’operatore lineare ¯J preserva, oltre alla seminorma, anche la forma bilineare, cioè

h ¯J(x), ¯J(y)i = hx, yi , ∀x, y ∈ E .

Basta infatti notare che la forma bilineare si può ricostruire dalla seminorma grazie alla relazione ha, bi = ¹₄(ka + bk²− ka − bk²), nota come identità di polarizzazione.